Bericht über den zweiten Tag von Mädchen machen Techni Thema Kombinatori Christof Böcler und Marion Orth 31. Otober 2003 Vormittag Nachdem am ersten Tag der Begriff der Wahrscheinlicheit (stets unter der Laplace-Annahme, dass alle Elementarereignisse gleichwahrscheinlich sind), P(A) = Anzahl günstiger Ereignisse Anzahl möglicher Ereignisse eingeführt wurde, stellte sich nun am zweiten Tag die Frage, wie viele günstige bzw. mögliche Ereignisse es für ein bestimmtes Experiment gibt? Für einfache Fälle ann man dies noch abzählen, wenn es jedoch omplizierter wird, wie z.b. beim Lottospielen, wäre eine Möglicheit zur Berechnung sehr hilfreich. Aus der folgenden Tabelle der möglichen Ziehweisen von Kugeln (aus n) im Urnenmodell haben wir uns die Fälle 1. bis 3. vorgenommen. Mit Beachtung der Reihenfolge Mit Zurüclegen 1. n 4. ( n+ 1 Ohne Beachtung der ) Reihenfolge n! n! Ohne Zurüclegen 2. (n )! 3. (n )!! = ( n Nach der Begrüßung durften die Mädchen zum Wachwerden Dosenwerfen (6 Dosen in Pyramidenform aufgestellt). Wir gingen urz auf das Laplace-Experiment ein, indem wir das Dosenwerfen (Elementarereignisse unterschiedlich wahrscheinlich) mit dem Würfeln (Elementarereignisse gleich wahrscheinlich) verglichen. Das Dosenwerfen hat den Mädchen sehr viel Spass gemacht. Sogar das während der Vorbereitung heftig disutierte Kunststüc, dass genau eine Dose aus der Mitte der Pyramide rausgeschossen wird, ohne dass die darüber liegenden Dosen mitfallen, schaffte ein Mädchen. 1. Modell: mit Reihenfolge, mit Zurüclegen Das am Vortag Gelernte war bei den Mädchen noch recht gut präsent. Für die Herleitung der Formel n verwendeten wir das Beispiel des Werfen eines Würfels, eines Tetraeders oder einer ) 1
Münze. Für den Fall dreimaligen Werfens einer Münze ließen wir die Mädchen alle möglichen Ergebnisse in Einzelarbeit ermitteln, was sie relativ problemlos bewerstelligten. Auch die gesuchte Formel n wurde sehr schnell gefunden. Nach der ersten Pause stellten wir anhand des Würfelns das Urnenmodell vor. Ein durchsichtiger Glasbehälter und farbige Socen dienten als Urne und die dazugehörigen Kugeln. Da wir uns am Nachmittag Gedanen über die Möglicheiten, passende Socen aus einer Schublade zu ziehen, machen wollten, verwendeten wir diese schon von Beginn an. 2. Modell: mit Reihenfolge, ohne Zurüclegen Nachdem das 1. Modell erlärt war, überlegten wir gemeinsam, was daran verändert werden önnte. Wie erwartet am die Idee, die Kugeln nicht mehr zurüczulegen. Damit die Mädchen eine Vorstellung von dem neuen Modell beamen, stellten wir das Konzept der Permutation vor, die die Teilnehmerinnen dann für die Ziffern 1 bis 4 in Zweiergruppen durchführen sollten. Hierbei fanden einige bereits den Zusammenhang zwischen der Mächtigeit der zu permutierenden Menge und der Anzahl der Permutationen heraus. Um dies nun allgemein formulieren zu önnen, musste der Begriff der Faultät eingeführt werden. Für den Fall, dass alle Kugeln gezogen werden, war dann schnell lar, dass die Formel hierfür n! ist. Werden nur Kugeln gezogen, ommt man dann durch geschictes Erweitern auf die Formel n!/(n )! für die Anzahl der Permutationen. 3. Modell: ohne Reihenfolge, ohne Zurüclegen Nach der nächsten Pause amen wir dann zum letzten Modell, welches die Herausforderung des Vormittags darstellte. Für die Herleitung zeigten wir den Mädchen als erstes eine alternative Herleitung für die Formel von Modell 2. Dabei verwendeten wir die Idee, dass beim Ziehen von Kugeln von den insgesamt n! Möglicheiten jeweils (n )! das gleiche Ergebnis liefern, da ja (n ) Kugeln in der Urne verbleiben und ihre Anordnung unerheblich ist. Wendet man diese Idee nun auf Modell 3 an, sind von den n!/(n )! Möglicheiten von Modell 2 genau! gleichwertig, sobald die Anordnung der gezogenen Kugeln eine Rolle mehr spielt. Man erhält n! also (n )!!. Unsere Befürchtungen, dass wir unseren Zeitplan nicht einhalten würden, waren unbegründet. Leider haben wir es aber versäumt, den Mädchen mitzuteilen, dass wir später als am Vortag Mittagspause machen wollten. Die letzte halbe Stunde waren sie deshalb etwas unonzentriert. Nachmittag GUANO Nach der Mittagspause begannen wir mit dem Fertigen von Spielarten zu einem von uns angepassten Kartenspiel namens GUANO, welches ähnlich zu dem verbreiteten Spiel UNO ist (siehe Anhang). Jede Teilnehmerin beam einen ompletten Spielsatz übergeben, sollte sich aus 2
Zeitgründen jedoch mit drei anderen Mädchen zusammenschließen, um gemeinsam möglichst schnell ein vollständiges, also spielbares Kartenspiel herzustellen. Dazu mussten die Mädchen nur die von uns gedructen A4-Bögen aus leichter Pappe in Kartenform zurechtschneiden sowie einzelne Elemente des Aufdrucs farbig ausmalen. Nach circa 30 Minuten waren alle Teilnehmerinnen bereit, entsprechend der von uns ausgearbeiteten und ausgeteilten Spielregeln mit dem Spielen zu beginnen. Nach einer Weile des Spiels setzten wir unseren inhaltlichen Teil fort und begannen mit ein paar Betrachtungen zum Beginn des Spiels GUANO. Zuerst überlegten wir uns, wie viele Mög- 3
licheiten es gibt, dem ersten Spieler seine sieben Karten zu geben, wenn er sie vor allen anderen Spielern und omplett beommt. Entsprechend unserer Tabelle (Matrix) mit den verschiedenen Fällen des Urnenmodells fanden die Mädchen schnell zur richtigen Betrachtungsweise des Problems und erannten Fall 3. wieder. Nun variierten wir die Fragestellung, indem wir z.b. nach der Anzahl der Möglicheiten fragen, 7 Karten mit einem bestimmten Mermal zu ziehen, also beispielsweise, eine Jocer- Karte. Nach urzer Erläuterung onnten wir auch hier das Modell drei als zutreffend erennen, wobei sich im Vergleich zum ersten Fall die Anzahl der Karten, aus denen man ziehen ann entsprechend dem Kriterium verringert. Socen auf Füße verteilen Wir variierten diese Fragen noch ein wenig, bevor wir dann zur Frage mit den Strümpfen amen. Sie wurde ja in der Anündigung des Ferienprojetes bereits erwähnt, und sollte nun einer Klärung zugeführt werden. Es galt zu ermitteln, auf wie viele Arten man vier Paare Socen auf acht Füße verteilen ann. Wir unterschieden der Einfacheit halber bei der Beantwortung der Frage, nur zwischen der Farbe der paarweise gleichen Socen, jedoch nicht zwischen der Seite, also ob ein Socen nun zum linen oder rechten Fuß gehört. So behandelten wir zuerst den Fall, dass man die Socen paarweise verteilt. Wie führten dies exemplarisch vor, indem wir vier Socenpaare aus unserer Glasurne herausholten und daran unseren Fall 2. vom Vormittag wieder erannten. Also gibt es in diesem Fall 4! Möglicheiten, die Socenpaare auf Personen zu verteilen. Rechnerisch gleich, aber von der Betrachtungsweise her anders ist dagegen der Fall, dass man jeden Socen einzeln vergeben ann. Es erhöhte sich die Anzahl der Elemente in der Glasurne auf 8, aber das Vorgehen blieb gleich. Wie folgerten leicht, dass es in diesem Fall eben 8! Möglicheiten geben müsse, die 8 Socen auf 8 Füße zu verteilen. 4
Verschiedene Betrachtunsgweisen ein Ergebniss Anschließend wollten wir emplarisch aufzeigen, dass man eine Fragestellung auf verschiedene Arten behandeln ann. Wir griffen dazu den Begriff der Wahrscheinlicheit vom Vormittag und vom Vortag auf. Wir stellten die Frage, wie hoch die Wahrscheinlicheit sei, ein Paar gleichfarbiger Socen aus einer Schublade mit vier verschiedenfarbigen Paaren loser Socen zu ziehen. Dazu stellten wir drei Ansätze vor: 1. Wir nahmen zuerst an, dass man beim Ziehen der Socen auf die Reihenfolge achtet. Als Anwendung der Laplace-Annahme suchten wir nun nach der Anzahl der günstigen und der Anzahl der möglichen Ereignisse. Als günstig erannten wir nach urzer Überlegung 2 4 Fälle, da man die Paare in vier Farben jeweils in zwei verschiedenen Reihenfolgen ziehen ann. Die Anzahl der möglichen Ereignisse ließ sich gemäß dem Urnenmodell und der von uns am Morgen präsentierten Tabelle leicht mit 8! (8 2)! angeben. Insgesamt erhält man als Quotient eine Wahrscheinlicheit von 8 56 = 1 7. 2. In der zweiten Betrachtungsweise achtet man nicht auf die Reihenfolge, in der die Socen gezogen werden. Dann ann man natürlich auch nur noch vier günstige Ereignisse erzielen, entsprechend den vier Farben. Die Anzahl der möglichen Ereignisse findet sich entsprechend der Matrix ein Wert von ( 8 2). Insgesamt erhält man daraus eine Wahrscheinlicheit von 4 28 = 1 7. 3. Als dritten und einfachsten Weg ann man sich auch überlegen, dass man in jedem Fall einen ersten Socen ziehen muss. Erst dann hat man eine Wahl, die das Zusammenpassen der beiden Socen betrifft. Es stehen dann nämlich noch sieben Socen zur Auswahl, von denen aber genau ein Socen die gewünschte Paareigenschaft aufweist. Hieraus ersieht man unmittelbar eine Wahrscheinlicheit von 1 7 für den Fall, zwei gleiche Socen zu ziehen. Pascal-Dreiec Zum Abschluss des Tages wollten wir noch etwas Erstaunliches präsentieren, nämlich das Pascal-Dreiec und sein Bildungsgesetz sowie den natürlichen Zusammenhang mit Binomialoeffizienten. Dazu schrieben wir an die Tafel in der üblichen Dreiecsform versetzt untereinander die Binomialoeffizienten in symbolischer Form, also als ( n ) für n, = 1,..., 6. Dann vergaben wir an die Mädchen den Arbeitsauftrag, jeweils einen der Werte von Hand gemäß der Definition des Binomialoeffizienten auszurechnen. Nach urzer Stillarbeit onten wir neben diesem ersten Dreiec noch ein zweites anschreiben, in dem wir die Ergebnisse der Teilnehmerinnen parallel zu den symbolischen Größen in ein Pascal-Dreiec eintrugen. Nach und nach ging dann ein erleuchtetes Raunen durch den Raum, bei dem deutlich wurde, dass das einfache Bildungsgesetz ( ) n + 1 = ( n ) ( + n 1 ) 5
am Beispiel nachvollzogen wurde. Ohne auf die symbolische Form dieses Zusammenhangs genau einzugehen erläuterten wir nochmals den Inhalt der Regel, so dass alle Mädchen den Aufbau der Dreice einsehen onnten. Das Lächeln auf manchen Gesichtern brachte sicher die Freude an der arbeitssparenden Schönheit der Mathemati zum Ausdruc. Hiermit ließen wir den Tag zu Ende gehen und brachten die Schülerinnen noch wie üblich zum Bus und damit zur U-Bahn in Hochbrüc. Schlussbemerung Bis auf zwei angehende Neuntlässlerinnen amen alle Teilnehmerinnen in die 7. Klasse. Da das Niveau der behandelten Themen relativ hoch war, machte sich der Unterschied zwischen den Klassenstufen sehr deutlich bemerbar. Damit die anderen noch einigermaßen folgen onnten, mussten wir die beiden sehr interessierten und eifrigen älteren Mädchen im Unterrichtsgespräch meistens etwas bremsen, was für diese wiederum etwas demotivierend war. Insgesamt waren wir mit unserem Tag sehr zufrieden, da sich gezeigt hat, dass der Stoff und die Begrifflicheiten eineswegs zu ompliziert für diese Altersstufe sind. 6