M..04.0_ INHALT: 8. ADDITION UND SUBTRAKTION 44 9. MULTIPLIKATION UND DIVISION 49 0. BRÜCHE ERWEITERN UND KÜRZEN 6. RECHNEN MIT POTENZEN 69. RADIZIEREN 79 Information Wie Sie im ersten Kapitel gelernt haben, gelten für die technische Berechnungen, also Formeln mit physikalischen Grössen, dieselben wie für die Mathematik. Im folgenden Kapitel werden die grundlegenden dargelegt und dabei oft mit technischen Beispielen und Aufgaben gefestigt. Es sind dies die Addition und Subtraktion sowie die Multiplikation und Division. Weil Brüche und Klammern häufig in Formeln auftauchen, ist diesen Gebieten jeweils ein eigener Abschnitt gewidmet. Ausserdem werden in der Technik Divisionen ausschliesslich als Bruch dargestellt. Deshalb behandeln Sie diese in zwei besonderen Abschnitten. Wiederum ist es möglicherweise so, dass Ihnen besonders die ersten Abschnitte bekannt vorkommen und eigentlich dem Sekundarlernstoff entsprechen. Die Bearbeitung der Abschnitte Brüche erweitern und kürzen und Doppelbrüche ist fakultativ. Für das Potenzieren und Radizieren sind, welche aus der Multiplikation und Division ableitbar sind, anzuwenden. Das Kapitel ist besonders wichtig für die Berechnung von physikalischen Zusammenhängen in ihren Arbeitsbereichen und sie sollten die Lernziele besonders gründlich prüfen. Lernziele Sie können die Grundoperationen in berufbezogenen Ausdrücken ohne Hilfsmittel durchführen. Sie können Klammerausdrücke auflösen. Sie können für berufsbezogene Berechnungen potenzieren und radizieren Das bisher gelernte aus den Grundlagen selbstständig anwenden Sie beherrschen die Anwendung des Taschenrechners für die eingeführten Operationen....und los geht's! Seite 4
M..04.0_ 8. Addition und Subtraktion Zuerst einige bekannte Beispiele: 5 + 4 - = 7 oder cm + 5 cm - cm = 6 cm Aber : 6 m + 0 cm + 00 cm = 6 m + 0, m + m = 7, m Definition Es lassen sich nur gleiche Einheiten addieren Ferner zeigen folgende Beispiele, dass die Reihenfolge der einzelnen Glieder vertauscht werden kann: + 4 - = 4 + = + 4 = 5 a + c + b = a + b + c Definition Die Reihenfolge der einzelnen Glieder darf verändert werden. Die Subtraktion von zwei gleichen Zahlen ergibt immer 0 (Null). = 0 ebenso a a = 0 Wird von einer Zahl jedoch eine grössere subtrahiert, so entsteht eine negative Zahl. 5 7 = - ebenso m - 5m = -m Seite 44
M..04.0_ Das Rechnen mit allg. Zahlen und/oder physikalischen Grössen kann auf der so genannten Zahlengeraden veranschaulicht werden. Dabei werden die Zahlen als Strecken dargestellt. Die Subtraktion kann als Umkehroperation der Addition aufgefasst werden. Soll eine Strecke subtrahiert werden, so wird die entsprechende Strecke in der entgegengesetzten Richtung aufgetragen, und zwar eine positive Strecke nach links, eine negative Strecke jedoch nach rechts.. Aufgaben 8.. c + c + e + e + e = c + e 8.. 4a + b - a + c = a + b + c 8.. 8a + x + 4 - a + x = 5a + 5x + 4 8.4. Vereinfachen Sie folgende Aufgaben, setzen Sie dann für a = 5, für b = 8 ein und berechnen Sie den Wert: a) 9a - b + 6a + b = 5a + 8b (Wert = 9) b)b - 7a - 6b + a = 4a + 7b (Wert = 76) Seite 45
M..04.0_ Aufgaben mit physikalischen Grössen: 8.5. 5, m + 0, m - 50 mm = 5,5 m 8.6. km + 0,6 km -.5 * 0 m =, km 8.7. 4m + m + m + m = 6m + m 8.8. - F - 6F + F + F = -F 6F +F Umgang mit Klammern: Zunächst untersuchen wir die Situation bei einer Klammer mit positivem Vorzeichen: 6 + (4 ) =. Lösungsmöglichkeit : 6 + (+ ) = 7. Lösungsmöglichkeit : 6 + 4 = 7 oder 8 (5 ) =. Lösungsmöglichkeit : 8 - (+ ) = 5. Lösungsmöglichkeit : 8-5 + = 5 Da bei den algebraischen Ausdrücken meist nur die. Lösungsart möglich ist, wurden folgende Regeln aufgestellt: Definition Steht ein + -Zeichen vor dem Klammerausdruck, so können die Klammer und das + -Zeichen weggelassen werden, ohne dass sich der Wert ändert. Umgekehrt darf immer eine Klammer gesetzt werden, wenn ein +-Zeichen vor ihr steht. + (- + 6 8) =. Lösungsmöglichkeit : + (- 5) = -. Lösungsmöglichkeit : + 6 8 = - Beispiele: 5a + (7b - a) = 5a + 7b - a = a + 7b (6m - 4n) + (5n + m) = 6m - 4n + 5n + m = 8m + n 6x + y + (z - x) + (y + z - 5x) = 6x + y + z - x + y + z - 5x = 8x + 5y + 4z Seite 46
M..04.0_ Wie ist zu verfahren bei einem negativen Vorzeichen vor der Klammer? Wir betrachten wieder ein Beispiel mit natürlichen Zahlen: - (6 + 5) ( 5) =. Lösungsmöglichkeit : - (+ ) (- ) = - 9. Lösungsmöglichkeit : - 6 5 + 5 = - 9 Definition Steht ein - -Zeichen vor der Klammer, so müssen bei ihrem Weglassen alle Vorzeichen in der Klammer umgekehrt werden. Das - Zeichen vor der Klammer fällt mit der Klammer weg. Beispiele: a - (b 5a) = a - b + 5a = 7a - b (5x - b) - (6x + b) = 5x - b - 6x - b = - x - 4b = - 4b - x 5e - (- f + e) + (7g f + e) = 5e + f e + 7g - f + e = 7e + f + 7g Nun kann es vorkommen, dass gleich mehrere Klammern ineinander geschachtelt sind und darüber hinaus noch unterschiedliche Vorzeichen vorkommen. Beispiel: 5 - [0 - (4-4)] =? Definition Immer zuerst die innere Klammer auflösen und dann die äussern Klammern, selbstverständlich unter Beachtung der Vorzeichen. 5 - [0 - (4-4)] =. Lösungsmöglichkeit :5 [0 0] = - 5. Lösungsmöglichkeit :5 [0 4 + 4] = - 5 Beispiele: 6a - [b - (5a - b) + 4a] - 5b = 6a - [b - 5a + b + 4a] - 5b = 6a - b + 5a - b - 4a - 5b = 7a - b Seite 47
M..04.0_ 6m - [(m - 4n) - (8m + 4n)] = 6m - [m - 4n - 8m - 4n] = 6m - m + 4n + 8m + 4n = m + 8n Aufgaben 8.9. 9x + y - (x - y) + (x - y) = 0x + 4y 8.0. a + 8b - 7c + (9a - 6b + c) - (5b - 4a - c) = 4a b - c 8.. x - y + (x + y) - (x + y) - (x - y) = 0 8.. 5 + (6-{5 + } ) = Lernkontrolle Die folgenden Aufgaben sollten Sie innert 0 Minuten mit max. Fehler lösen:. Stimmt diese Aussage? Steht ein - -Zeichen vor der Klammer, so müssen bei ihrem Weglassen alle Vorzeichen in der Klammer umgekehrt werden. Das - Zeichen vor der Klammer fällt mit der Klammer weg. ja. a - b (- 7a + 5b) + (- a - b) = 7a 8b. 6a - [a + (7b - a)] = 5a 7b 4. r - [7s - 6r + (4r - s)] = 4r 4s 5. (5-6) + = 5 Seite 48
M..04.0_ 9. Multiplikation und Division Eine Summe aus gleichen Summanden kann als Produkt geschrieben werden: 5 + 5 + 5 + 5 = 4 5 a + a + a + a = 4 a Definition Faktoren werden multipliziert, indem man die Ziffern miteinander und die Buchstaben miteinander multipliziert. Das Malzeichen zwischen den Buchstaben und zwischen einer Ziffer und einem Buchstaben kann weggelassen werden, nicht aber zwischen zwei oder mehreren Ziffern: 4 a = 4a a b c = abc N m = Nm aber 4 5 45 Die Faktoren können beliebig vertauscht werden: 5 6 = 6 5 = 6 5 a b c = a c b = c b a Ist ein Faktor gleich Null, so ist das ganze Produkt gleich Null: 5 0 = 0 a 0 = 0 Ein Produkt wird negativ, wenn eine ungerade Anzahl Faktoren negativ ist. (-a) (-b) = +ab (+a) (-b) = -ab a (-c) = -6ac Seite 49
M..04.0_ Eine Multiplikation von gleichen Faktoren nennt man Potenz: a a = a oder x x x = x Multiplikation mit einem Klammerausdruck: Definition Eine Zahl wird mit einem Klammerausdruck multipliziert, indem jedes Glied der Klammer mit der Zahl multipliziert wird. Beispiele: (a + b) c = ac + bc a b a b a b a ab b (auch Binom genannt) a b a b a b a ab b (auch Binom genannt) ( + 4x - a) (-4) = - - 6x + 4a R0 Rv Ri UR v U Ri R 0 R 0 U x (5a - b + c) = 5ax - 9bx + cx griech. Buchstabe a (sprich: Alpha) griech. Buchstabe t (sprich: Theta) Manchmal trifft man aber auch Ausdrücke, die bereits ausmultipliziert sind und man möchte, z.b. um ein Formel zu vereinfachen, gerne einen Faktor ausklammern: Beispiel: l F + l F + l F = l (F + F + F ) Wie werden später sehen, dass diese ausgeklammerte Form viel günstiger ist zum Lösen von Gleichungen. Seite 50
M..04.0_ Aufgaben Zerlegen Sie die Ausdrücke in Faktoren: 9. m 6 = 4 (m-4) 9. 8abx 6acy 0az = a(4bx cy 5z) 9. x (p - q) - (p - q) = (p q)(x-) 9.4 7 (a - b) (x - y) - 5 (a - b) (x - y) = (a-b)(-x-6y) 9.5 m + n + x (m + n) = (m+n)(+x) 9.6 (r - s) t + (r - s) u = (r-s)(t+u) 9.7. Bearbeiten Sie die Aufgaben: Technische Mathematik für Metallberufe, Kapitel.. Aufgaben, Punktrechnungen: Multiplikation, Nr. - Seite 5
M..04.0_ Lösungen: Seite 5
M..04.0_ Die Division kann als Umkehrung der Multiplikation aufgefasst werden. Eine Vertauschung von Dividend und Divisor ist jedoch nicht gestattet! 5 kg : = 5 kg Probe: 5 kg = 5 kg 5 x : 5 = 7 x Probe: 7x 5 = 5x Eine Division kann aber auch in Bruchform dargestellt werden: 6xy 6 xy : 4y 9x 4y Hinweis Üblich in der Technik ist praktisch nur die Schreibweise als Bruch. Sie sollten künftig die Division nur noch als Bruch darstellen. Ein Bruch mit dem Zähler Null hat den Wert Null: 0 0 F Ein Bruch mit Nenner ist gleich dem Zähler Ein Bruch mit Nenner Null ist nicht erlaubt! Ist nur der Zähler oder nur der Nenner negativ, so ist der gesamte Bruch negativ. Ein einzelnes negatives Vorzeichen darf vor den Bruchstrich geschrieben werden. P P P P P P aber c c c c Seite 5
M..04.0_ Welche Funktionen besitzt der Bruchstrich noch zusätzlich? + 7 ----------- =? 5 Definition Der Bruchstrich ersetzt auch eine Klammer, d.h. alle Elemente des Zählers und Nenners gehören zusammen! + 7 --------- = 5. Schritt: + 7 = 40 40. Schritt: --------- = 8 5 Die folgende Darstellung ist deshalb möglich und in der Technik sehr gebräuchlich: R Anstatt R UR U schreibt man nur U oder R R R R R R Aufgaben Schreiben Sie ggf. zunächst in Bruchform und berechnen Sie dann: 9.8. (- 54) : (- 9) = 6 9.0. (- 7 ms) : m = - 9s 9.. 8 Nm : (- N) = - 4m 9.. - 8 VA : 4 V = - A Seite 54
M..04.0_ 9.. Bearbeiten Sie die Aufgaben: Technische Mathematik für Metallberufe, Kapitel.. Aufgaben, Punktrechnungen: Division, Nr. - Seite 55
M..04.0_ Lösungen: Seite 56
M..04.0_ Lernkontrolle Die folgenden Aufgaben sollten Sie innert 5 Minuten mit max. Fehlern lösen. Wenn Sie mehr als zwei falsche Resultate haben, arbeiten Sie den Abschnitt nochmals durch. Ansonsten gehen Sie weiter zum Kapitel Gemischte Rechnungen.. Stimmt folgende Aussage: Definition Eine Zahl wird mit einem Klammerausdruck multipliziert, indem jedes Glied der Klammer mit der Zahl multipliziert wird. ja a. -5 6 = -0 b. 4 a = 4a c. b b = b d. (a + b) = a + b e. (a + b) = a + b f. 5a 0 = 0 x 7. ----------- = x x a b 8. ----------- = a b 0 9. ----------- = -5-0 0. ----------- = 0 00 6 + 4. ----------- = 0 5. ----------------- =,5 +,5 Seite 57
M..04.0_ 0. Gemischte Rechnungen Werden Berechnungen wie Addition/Subtraktion und Multiplikation/Division gemischt, ist die Reihenfolge der einzelnen Lösungsschritte zu beachten. 6 + 5 =? Definition Bei gemischten Berechnungen werden die Multiplikation/Division vor der Addition/Multiplikation ausgeführt. 6 + 5 =. Schritt: 6 = 08. Schritt 08 + 5 = Gemischte Berechnungen mit Klammern werden speziell behandelt: ( 5 7) =? Definition Sind bei gemischten Berechnungen Klammerausdrücke vorhanden, so werden zuerst die Werte in den Klammern berechnet. Anschliessend wird die Multiplikation/Division vor der Addition/Multiplikation ausgeführt ( 5 7) =. Schritt: (5 7) = -. Schritt: - = -4 Beispiele: (6 ) + 5 = + 5 = 6 + 5 = ( + ) 6 = 5 6 = 5 8 = - 5 {4 + (6 )} = 5 {4+} = 5 7 = 5 Seite 58
M..04.0_ (5+) (6-) = 7 = 5 6 --------- = 6 + + ----------- =,5 (8+) ----------- = 6 5 4 + ------------- = 6 Aufgaben 0.. Bearbeiten Sie die Aufgaben: Technische Mathematik für Metallberufe, Kapitel. Aufgaben, Gemischte Punktund Strichrechnungen, Nr. -8 Seite 59
M..04.0_ Seite 60
M..04.0_ Lösungen: Seite 6
M..04.0_ Lernkontrolle Die folgenden Aufgaben sollten Sie innert 0 Minuten mit max. Fehler lösen. Wenn Sie mehr als ein falsches Resultat haben, arbeiten Sie den Abschnitt nochmals durch. Ansonsten gehen Sie weiter zu den Kapiteln Brüche erweitern oder Doppelbrüche oder Rechnen mit Potenzen.. a + b 6 = a + 6b. 5 6 + =. 4 { (6 + )} = 7 a + a 4. ----------- = a 5 + 5. ----------- = 9 00 6. ------------------ = 5 0 + (5 ) 7. Stimmt folgende Aussage: Definition Der Bruchstrich ersetzt auch eine Klammer, d.h. alle Elemente des Zählers und Nenners gehören zusammen! ja Seite 6
M..04.0_. Brüche erweitern und kürzen Hinweis Das Kapitel Brüche erweitern und kürzen ist freiwillig und wird nicht geprüft. Der Wert eines Bruches z.b. wird nicht verändert, wenn man sowohl Zähler als auch Nenner mit dem gleichen Faktor multipliziert: 4 mit jeweils multiplizieren ergibt 6 oder a b mit jeweils c multiplizieren ergibt a c b c ac bc Diesem Vorgehen sagen wir erweitern. Es kann manchmal nützlich sein, um z.b. zwei Terme miteinander zu addieren, obwohl die Nenner unterschiedlich sind. Beispiel: RA RB? die beiden Ausdrücke können so nicht addiert werden, weil sie R R unterschiedliche Nenner haben. Wenn wir aber den ersten Summand mit R erweitern und den zweiten mit R entsteht: RA R R R R R B R R R A R R R R B R In dieser Form kann der Ausdruck z.b. in einer Formel besser umgeformt werden. Seite 6
M..04.0_ Natürlich ist es genauso möglich, Zähler und Nenner mit derselben Zahl zu dividieren. Wir sprechen dann vom Kürzen: : 4 wird mit 4 gekürzt 0, 75 6 6 : 4 4 oder a a ab ab b a b b a b a a a a Hinweis Vorsicht: Immer wieder wird vergessen, dass es sich beim Kürzen und auch beim Erweitern um Faktoren handelt, es liegt also immer eine Multiplikation oder Division vor. Niemals kann ein einzelner Summand gekürzt werden Folgendes Beispiel zeigt den Unterschied: a b b a b b a a FALSCH!!! DIESER AUSDRUCK KANN NICHT GEKÜRTZT WERDEN RICHTIG!! Aufgaben Kürzen Sie soweit als möglich, denken sie an die im vorigen Abschnitt behandelten Themen wie z.b. Ausklammern: x x.. x -x a + 4ab a.. -------------- = ------ ab + 6b b 0ac 6adx -a.. ------------------------ = 5c dx - a Seite 64
M..04.0_ a - ab + b.4. ----------------- = a-b a-b.5. Erweitern Sie um zu einem gemeinsamen Nenner zu gelangen: C + C ----- + ------ = ------------- C C C C.6. Überprüfen Sie das Resultat aus Aufgabe.5, indem Sie sowohl bei der Aufgabenstellung als auch in Ihrem Resultat die folgenden Werte einsetzen: C = 6pF und C = 0,04nF (Hinweis: Es handelt sich um physikalische Grössen, F ist eine Einheit) 7, 0-9 ------- F.7. Erweitern Sie folgende Brüche mit (- a): -a ------ = -------- 6-48a 6b -8ab ------ = --------- c -9ac 4x y -ax + 9ay ----------- = --------------------- x -ax b + c -6ab ac ----------------- = -------------------------- 5a -b + c -5a + 6ab ac Seite 65
M..04.0_. Doppelbrüche Hinweis Das Kapitel Doppelbrüche ist freiwillig und wird nicht geprüft. Oft tritt bei Berechnungen und Umformungen aus Formeln folgende Situation ein: P v t s Man hat eigentlich einen Bruch, der durch einen zweiten Bruch dividiert wird. Diese Brüche nennt man Doppelbrüche. In dieser Form sind Doppelbrüche sehr unübersichtlich und werden deshalb stets in einfache Brüche umgewandelt, d.h. in einen Bruch mit nur einem gemeinsamen Bruchstrich. Das Umwandeln ist nach einer einfachen Regel zu vollziehen:. Schritt Man zieht einen gemeinsamen Bruchstrich und schreibt den Zählerbruch unverändert auf diesen: P t. Schritt Man kehrt den Nennerbruch (Zähler wird zu Nenner und umgekehrt) und schreibt ihn ebenfalls auf den gemeinsamen Bruchstrich: P s t v Ein weiteres Beispiel: P s v P v s Seite 66
M..04.0_ Die Regel muss auch im folgenden Fall beachtet werden: U R U t R t Beachten Sie: In diesem Manuskript sind Hauptbruchstriche etwas fetter gezeichnet, bei ihren handschriftlichen Notizen sollten sie den Hauptbruchstrich etwas länger zeichnen. Die Regel, dass ein Bruchstrich auch wie eine Klammer wirkt, gilt natürlich auch hier. Also: x y xy ( x ) xy y Aufgaben.. Kürzen Sie den Bruch aus dem letzten Beispiel = (x + ) x.. 4 8 + ----- + ----- 5 4 --------------------- = 4 ------ 4 47 - ----- + ----- 5 9.. 4 ----- + ----- - ----- 4 5 7 ------------------------- = ------ 7 5 4 09 ----- - ----- + ----- 5 4 Seite 67
M..04.0_.4. ------------------- = ------ 46 4 + ---------- 5 + ---.5. A -------- = Vs A ---- Vs.6. 0,5N N - ------------ m m ---------------------------- =.5 N m - m.7. N mm ------------- m m --------------------- = N mm.8. 00 kwh -------------------- = 000 kw min -------------- min 60 ------- h.9. 0 ----- h --------------- = kw 60 ------- kwh.0. 8 0 J ------------------------ = 0,97 W kj 8h 600 ------ kwh Seite 68
M..04.0_. Rechnen mit Potenzen Bereits im Kapitel 9 haben wir den Begriff der Potenz als mehrmalige Multiplikation desselben Faktors eingeführt. a a = a oder x x x = x Man nennt in diesem Fall x die Basis und der Exponent Ausserdem haben wir im Kapitel bereits die Zehnerpotenzen kennen gelernt. 9 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (Basis 0; Exponent -9) Da wir im Berufskundeunterricht oft auf Potenzen stossen, fassen wir die wichtigsten zusammen. Addition und Subtraktion: a a a a a oder k 5 4 k 5k 4k k k 4 5 0 0 0 weiter können die Potenzen mit k nicht zusammengefasst werden Definition Nur gleiche Potenzen (gleich Basis, gleicher Exponent) können addiert oder subtrahiert werden Anders verhält es sich bei der Multiplikation und Division: 5k 4k 0 oder 0k 0 5 k 5 Seite 69
M..04.0_ s s s aber s t s t d.h. der Ausdruck lässt sich nicht mehr weiter vereinfachen, weil die Basis unterschiedlich ist. Definition Potenzen mit gleicher Basis können dividiert und multipliziert werden nach der Regel: m n mn a a a und m a mn a n a Dies gilt natürlich auch für die Zehnerpotenzen: Beispiel,4 0 6 m m m m m km --------------- = 0 6 ---- = 0 4 ---- = 0 0 ---- = 0k ---- = 0 ----, 0 s s s s s s km (physikalische Grössen, der Ausdruck ------ ist eine Einheit für die Geschwindigkeit) s Bei der Division gilt darüber hinaus noch die folgende Regel: Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem der Quotient der Basis mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert wird. m m a a m b b Diese Regel ist oft hilfreich, denn bei vielen techn. Problemen taucht die Potenz m=, also das Quadrat, auf. Seite 70
M..04.0_ Weitere Beispiele für Multiplikation: a 5 b 5 = (ab) 5 (4 ab) = 64 a b ( 0) 4 = 8 0 4 4 4 Weitere Beispiele für Division: 4 bc 6 b c b c 4 4 a a 8 5 7 0 0 6 0 a 8 5 0 a 7 0 8 0 8 6 0 6 6 4 6 0 4 a a 4 5a 5a 5 5 4 Aufgaben.. 0 0 0 4 = 0 9 = 00'000 000.. 4 5 0 = 400 = 64'000 000.. 6x 4 7x = 4x 7.4. 7a x 6ax = 4a x.5. (-5) (- ) 5 = 57.6. ab (- 5b ) = -0ab 4.7. 6a a + a = -5a Seite 7
M..04.0_.8. (- a) + a (- a) = a.9. (-x) 4 (-x) x = -x 8.0. (a 4 + a b + b 4 ) (a b ) = a 6 b 6 Eine in der Technik weit verbreitete Darstellungsart ist die Potenz mit negativem Exponenten, z.b. 0 -. Wir hatten bereits gesehen, das dies nichts anderes bedeutet als 0 - = Man könnte auch schreiben: 0 - = 0 0 0 0 0 0 0 Beide Darstellungsarten, also sowohl 0 - als auch sind völlig gleichwertig. 0 Häufig wird die Darstellung 0 - gewählt, weil sie etwas kürzer ist. Achten Sie sich bei nächster Gelegenheit auf den Tourenzähler bei einem Auto oder Motorrad. Die Einheit dort ist meistens mit min - vermerkt, was nichts anderes bedeutet als oder einfach (Anzahl Umdrehungen pro Minute) min min Natürlich gelten alle vorher behandelten Regeln uneingeschränkt. Beispiel: (physikalische Grössen) ( ) 8 6 6, 6 0 W 6 0, 0 s W s 0 W s 000 W s MW 00 s Aufgaben.. 7 0 : 0 0 5.. 4 0 b : a b 4 64 : 64a.. ab 6b 5a a.4. : 9 / 6 b b 4 4 Seite 7
M..04.0_ Potenzieren von Potenzen Potenzen werden potenziert, indem die Exponenten miteinander multipliziert werden. Die Regel lautet: m n m n a a Beispiele : 6 4 a a 6 x 7x 6 0 0 6 0 9 0 Bereits im ersten Kapitel haben Sie über die Umwandlung von Einheiten gelesen. So z.b. wenn die Flächeneinheit cm in m umgewandelt werden soll. Diese Umwandlungen waren auch Thema während Ihrer Sekundarschulzeit. Im Grunde handelt es sich hier aber genau um die Potenzierung einer Potenz. In unserem Beispiel steht ja der Buchstabe c für 0 - (siehe Kapitel 0). Der Buchstabe c ist aber mit einer 'unsichtbaren Klammer' fest an die Einheit m gebunden. Eigentlich müsste man die Einheit schreiben als: cm = (cm) Man schreibt aber der Einfachheit halber diese Klammer nie. Ersetzt man nun c (=Zenti) durch seine Potenz 0 -, entsteht cm = (0 - m) und somit cm = (0 - m) = 0 m 0 4 m cm ist also gleich 0,000 m und dies entspricht dem Umwandlungsfaktor, den Sie in Kapitel 04 errechnet haben! Seite 7
M..04.0_ Hinweise zum Taschenrechner Das Potenzieren ist mit dem Taschenrechner möglich. Die Eingabe ist vom Typ des verwendeten Taschenrechners abhängig. Oft wird die folgende Taste zur Eingabe benötigt: Taste oder oder durch Eingabe von Multiplikationen Beispiel: 5 = 5 5 5 X Y x Beschreiben Sie wie auf Ihrem Taschenrechner das Potenzieren eingegeben wird: Aufgaben.5 Berechnen Sie die Umrechnungsfaktoren aus Kapitel 04 gemäss obigem Beispiel für: Liter in m = 0 - mm in m = 0-6 cm in m = 0-6 dm in m = 0 - = ein dm entspricht einem Liter! Seite 74
M..04.0_.6. Bearbeiten Sie die Aufgaben: Technische Mathematik für Metallberufe, Kapitel. Aufgaben, Potenzieren, Nr. - 4 Lösungen: Seite 75
M..04.0_ Seite 76
M..04.0_ Lernkontrolle Die folgenden Aufgaben sollten Sie innert 7 Minuten mit max. Fehler lösen. Wenn Sie mehr als ein falsches Resultat haben, arbeiten Sie den Abschnitt nochmals durch. Ansonsten gehen Sie weiter zu den Kapiteln Radizieren.. Stimmt folgende Aussage: Definition Nur gleiche Potenzen (gleich Basis, gleicher Exponent) können addiert oder subtrahiert werden. Antwort: ja. x + x x = x x. b ----- = b b 4. a a = a 5 5. 5 6 ----- = 5 = 5 5 6. 0 = 000 7. Schreiben Sie die Einheit ------- in Exponentialdarstellung. min 8. ( 6 ) = 96 9. ( 5 ) - = 5-6 = -------- = 0,000 5 6 0. ( ) = 6 = 64 min - Seite 77
M..04.0_ Seite 78
M..04.0_ 4. Radizieren Sie wissen bereits wie die Fläche eines Quadrats berechnet wird. Wie sie gelernt haben wird die Seitenlänge potenziert. Ist die Länge z.b. 4 m, so ist die Fläche 4m 4m 4m 6m. Nun geht man aber den umgekehrten Weg: Man kennt die Fläche des Quadrates bereits und fragt sich: Wie gross ist nun die Seitenlänge? Die Operation die uns hier hilft ist eben das Radizieren oder Wurzel ziehen (beide Formulierungen sind geläufig und bedeuten genau dasselbe). Es handelt sich im Grunde also um die Umkehroperation zum Potenzieren. Der Potenzwert ist uns bekannt und wir suchen die Basis dazu (siehe vorherigen Abschnitt). Beispiel: Die Fläche eines Quadrates beträgt 5m. Wie lang ist eine Seite s? Lösung: s 5m 5m Allgemein schreibt man Wurzeln n a b denn b n a wobei: n = Wurzelindex oder Wurzelexponent a = Radikand b = Wurzelwert Wird n nicht notiert, ist immer n =, also die Quadratwurzel gemeint. Beispiel: 4 4, denn 4 (Der Wurzelindex wird nicht geschrieben!) 8 denn 8 (sprich:. Wurzel aus 8 ergibt ) 6 4 denn 4 6und 4 6 Seite 79
M..04.0_ Hinweis Für uns gelten die nachfolgenden Einschränkungen: Der Radikand a ist immer positiv Es werden nur positive Wurzelwerte berücksichtigt. Aufgaben Bestimmen Sie mit dem Taschenrechner: 4.. 764 4 4.. 75 5 4..,44. 4.4 0,7070. Welche gelten nun beim Wurzel ziehen? Diese Antwort können wir leicht finden wenn wir wissen, dass man einen Wurzelausdruck auch als Potenz schreiben kann. Man notiert einen Wurzelausdruck folgendermassen als Potenz: / 5 5 oder / 78 78 oder allgemein: n a a /n Da nun also das Wurzelziehen als Potenzierung mit gebrochenen Exponenten gesehen werden kann, gelten selbstverständlich alle die im vorigen Abschnitt behandelt wurden uneingeschränkt. Seite 80
M..04.0_ Aufgaben 4.5. Überprüfen Sie mit dem Taschenrechner die beiden Beispiele oben. Geben Sie jeweils beide Notierungsarten ein und vergleichen Sie das Resultat Hinweise zum Taschenrechner Das Radizieren ist mit dem Taschenrechner möglich. Die Eingabe ist vom Typ des verwendeten Taschenrechners abhängig. Oft wird die folgende Taste zur Eingabe benötigt: Taste oder x oder durch Eingabe als Potenz mit gebrochenem Exponenten. Beispiel: 5 = 5 / = 5 Beschreiben Sie wie auf Ihrem Taschenrechner das Potenzieren eingegeben wird: Seite 8
M..04.0_ Wir wollen also die bereits bekannten Potenzregeln auf die Wurzelausdrücke übernehmen: Addition und Subtraktion Es war z.b. a a a a a und daraus die Regel: Nur gleiche Potenzen (gleich Basis, gleicher Exponent) können addiert oder subtrahiert werden Ebenso verhält es sich bei den Wurzelausdrücken: Definition Nur gleichnamige Wurzelausdrücke lassen sich zusammenziehen (Beizahlen addieren und subtrahieren). Beispiele a a a a a a Denn man kann nur gleiche Potenzen zusammen addieren. f f f f f Der Ausdruck ist nicht weiter zu vereinfachen Bei der Multiplikation und Division hatten wir die Regeln: Potenzen mit gleicher Basis können dividiert und multipliziert werden nach der Regel: m n mn a a a und m a mn a n a Somit können wir auch Wurzeln multiplizieren und dividieren: n n n a b ab und Seite 8
M..04.0_ n n a b n a b Beispiele 6 6 8 9 4a b ab a b a b 6x 0x 60x x 60 x 45 x 5 Aufgaben n m 6.5 Erstellen Sie eine Rechenregel für b? n b m = b m/n 6.6 0 0 6 6.7 a 8a 6 4 6 6.8 e e 0e ab 6.9 4a 7 b6 =- ----- ----- 64 a 6.0 8 8 8 Seite 8
M..04.0_.6. Bearbeiten Sie die Aufgaben: Technische Mathematik für Metallberufe, Kapitel. Aufgaben, Wurzelziehen (Radizieren), Nr. -7 Seite 84
M..04.0_ Lösungen: Seite 85
M..04.0_ Lernkontrolle Die folgenden Aufgaben sollten Sie innert 5 Minuten mit 0 Fehlern lösen. Wenn Sie ein falsches Resultat haben, arbeiten Sie den Abschnitt nochmals durch. Ansonsten gehen Sie weiter zum Kapitel Gleichungen, Begriffe.. 4 =. 78 = 4. a + a = a 4. a a = a = a 6. + 9 ---------------- =, 5 Kapiteltest Vergegenwärtigen Sie sich nochmals die Lernziele des Leitprogramms und überprüfen Sie ihren Wissensstand. Klären Sie Unsicherheiten die während den Übungen entstanden sein könnten. Wenn Sie sicher sind, dass sie den Anforderungen entsprechen, melden Sie sich bei der Lehrperson. Sie werden dann den Kapiteltest absolvieren und eine entsprechende Bewertung (Note) erhalten. Seite 86