Kräftepaar und Drehmoment Vorlesung und Übungen 1. Semester BA Architektur KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu
Kräftepaar und Drehmoment Kräftepaar Drehmoment Gleichgewicht 2 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai Hainlein
Drehmoment F2 F 3 F 2 F2 F 3 F 3 R R R Kräfte mit parallelen Wirkungslinien, die nicht identisch sind. Angriffspunkt der Resultierenden? 3 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai Hainlein
Kräftepaar F 2 = - R = 0 a Drehpunkt A 2 gleichgroße und entgegen gesetzt gerichtete Kräfte mit parallelen Wirkungslinien Resultierende Kraft ist Null Verdrehung des Körpers 4 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai Hainlein
Kräftepaar A. a. F A M F mit M = F a Zwei Kräfte, die gleichgroß sind, entgegengesetzt gerichtet wirken und mit parallelen Wirkungslinien im Abstand a werden als Kräftepaar bezeichnet. Die Resultierende solch eines Kräftepaares ist das Drehmoment M. Das Drehmoment M ist bestimmt durch: die Größe der Kraft F den Abstand a der Wirkungslinien a ist senkrecht zu den Wirkungslinien den Drehsinn (rechts drehend, links drehend) 5 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai Hainlein
Drehmoment Zur Berechnung des Drehmomentes wird ein Drehpunkt A festgelegt. Der Abstand von der wirkenden Kraft zum Drehpunkt steht im rechten Winkel zur Wirkungslinie der Kraft. M 1 M 2 F 2 a 1 A a 2 6 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai Hainlein
Drehmoment M M A A A a a a/2 a/2 M = a Das resultierende Drehmoment ist unabhängig vom Drehpunkt konstant M = 2 a/2 = a 7 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai Hainlein
Drehmoment Beispiel 1 M F 2 Vertikales Gleichgewicht R = F 2 F 3 = 0 F 2 F 3 F 3 Resultierendes Drehmoment M Drehpunkt A M = 2a F 2 a F 3 0 = (2 F 2 ) a a a Einheit des Drehmoments: [knm], [MNm] 8 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai Hainlein
Drehmoment Beispiel 2 M Drehpunkt außerhalb des Körpers F 2 Vertikales Gleichgewicht F 2 F 3 R = F 2 F 3 = 0 F 3 = F 2 Resultierendes Drehmoment M M = 3a F 2 2a F 3 a a a a F 3 Drehpunkt A M = 3a F 2 2a ( + F 2 ) a = (2 F 2 ) a 9 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai Hainlein
Drehmoment 10 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai Hainlein
Drehmoment Resultierende Kraft P 3 am Drehpunkt P 1 + P 2 P 3 = 0 Hebelgesetz M 1 = P 1 a P 3 = P 1 + P 2 M 2 = P 2 b M 1 M 2 = 0 P 1 a P 2 b = 0 P 1 a = P 2 b P 2 = P 1 a/b 11 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai Hainlein
Drehmoment R Beispiel 3 F 2 = F 3 = /2 Resultierende Kraft R R = + F 2 + F 3 = 2 Hebelgesetz Drehpunkt A F 2 F 3 x F 2 M 1 = F 2 a + F 3 2a = 3/2 a A a a F 3 R M 2 = R x M 1 = M 2 3/2 a = R x 3/2 a = 2 x x = 3/4 a 12 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai Hainlein
Drehmoment Beispiel 4 F 3 = F 4 = /2 = F 2 /2 x R F 2 F 3 F 4 Resultierende Kraft R R = + F 2 + F 3 + F 4 = 3 Hebelgesetz a a a a a M 1 = a + F 2 2a + F 3 3a + F 4 4a = 13/2 a M 2 = R x M 1 = M 2 13/2 a = R x 13/2 a = 3 x x = 13/6 a ~ 2,167 a 13 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai Hainlein
Drehmoment 14 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai Hainlein
Drehmoment H H Drehpunkt A a A 1 Hebelgesetz um Drehpunkt A H a - A 2 b = 0 A 2 = H a/b b A 2 Resultierende Kraft A 1 A 1 = A 2 + H 15 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai Hainlein
Gleichgewicht in der Ebene Vertikale Verschiebung Horizontale Verschiebung Verdrehung Physikalisches Prinzip: Vertikales Gleichgewicht actio = reactio Horizontales Gleichgewicht Momentengleichgewicht 16 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai Hainlein
Gleichgewicht Statik: das zu untersuchende System befindet sich in Ruhe keine Bewegung Annahme: Masseloser Körper F 3 F 2 R Gesucht: Betrag, Angriffspunkt und Richtung der Kraft, damit der Körper unter den einwirkenden Kräften in Ruhe ist (sich nicht bewegt) Bedingung: die Summe aller einwirkenden Kräfte ist Null! 17 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai Hainlein
Gleichgewicht Kräftegleichgewicht F 2 A = - R F 3 F 2 A = - R F 3 Kräftepolygon ist geschlossen Pfeile haben einen Umlaufsinn Die zum Gleichgewicht des Körpers erforderliche Kraft A entspricht dem Betrag der resultierenden Kraft R und ist zur resultierende Kraft R entgegengesetzt gerichtet 18 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai Hainlein
Gleichgewicht Momentengleichgewicht M 1 = h F 2 M 2 = F 2 a/2 h h Drehpunkt A Kein Kippen: M 1 M 2 = 0 h-f 2 a/2 = 0 F 2 = 2h/a a/2 a/2 Drehpunkt A 19 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai Hainlein
Gleichgewicht Überlegungen zum Kippen V V V H H H h R h h a/2 a/2 a/2 a/2 R a/2 a/2 R Kippen gerade nicht kippen kein Kippen 20 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai Hainlein
Zerlegen von Kräften Kernsatz der Statik: Findet jede an einem Körper wirkende Kraft eine gleich große Gegenkraft und findet jedes Moment ein gleich großes Gegenmoment, so befindet sich der Körper in Ruhe. Die Summe aller an ihm wirkenden Kräfte und Momente ist NULL. Für ebene Systeme, bezogen auf des kartesische Koordinatensystem gilt somit: Summe der Kräfte in X-Richtung ist Null Σ F x = 0 Summe der Kräfte in Y-Richtung ist Null Σ F y = 0 Summe der Momente ist Null Σ M = 0 21 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai Hainlein
Gleichgewicht Das Einhalten des Gleichgewichts ist die Grundlage zu: der Bestimmung des Lastangriffspunktes von Resultierenden der Bestimmung des Flächenschwerpunktes von Bauteilen der Bestimmung der Schwerachsen von Bauteilen der Berechnung der Auflagerreaktionen von Bauteilen der Berechnung der inneren Beanspruchungen in Bauteilen dem Nachweis der Standsicherheit von Tragwerken. 22 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai Hainlein
Gleichgewicht Stabiles Gleichgewicht Druckstab (Stütze) labil indifferentes Gleichgewicht labiles Gleichgewicht Zugelement (Pendel) stabil 23 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai Hainlein
Gleichgewicht a A F A F D a D F D Gewicht der Hülle F A Auftriebskraft öffnen: F A a A > F D a D 24 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai Hainlein