Elektromagnetische Wellen

F Elektromagnetishe Wellen 2003 Franz Wegner Universität Heidelberg 16 Elektromagnetishe Wellen im Vakuum und in homogenen isotropen Isolatoren 16.a Wellengleihung Wir betrahten elektromagnetishe Wellen in einem homogenen isotropen Isolator einshließlih dem Vakuum. Das heißt, wir verlangen, dass die Dielektrizitätskonstante ɛ und die Permeabilität µ orts- und zeitunabhängig sind. Wir verlangen weiterhin, dass keine freien Ströme und Ladungen auftreten ρ f = 0, j f = 0. Das Material ist also ein Isolator. Damit lauten dann die vier MAXWELL-Gleihungen, ausgedrükt durh E und H mit Hilfe von D = ɛe und B = µh div E = 0, div H = 0, (16.1) rot H = ɛ Ė, rot E = µ Ḣ. (16.2) Daraus folgt Mit rot rot H = ɛ rot Ė = ɛµ 2 Ḧ (16.3) rot rot H = ( H) = H + ( H) (16.4) folgt unter Berüksihtigung von (16.1) für H und analog für E H = E = = 1 Ḧ, (16.5) 2 1 Ë, (16.6) 2. (16.7) ɛµ Die Gleihungen (16.5) und (16.6) heißen Wellengleihungen. 16.b Ebene Wellen Wir suhen nun partikuläre Lösungen der Wellengleihungen und beginnen mit Lösungen, die nur von z und t abhängen, E = E(z, t), H = H(z, t). Für die z-komponenten folgt dann div E = 0 E z z = 0 (16.8) ( rot H) z = 0 = ɛ Ėz E z t = 0. (16.9) In der z-rihtung ist mit diesem Ansatz also nur ein statishes homogenes Feld, das heißt ein konstantes Feld E z möglih. Entsprehendes gilt auh für H z. Wir sehen hieraus bereits, dass elektromagnetishe Wellen Transversal-Wellen sind. 59

60 F Elektromagnetishe Wellen Für die x- und die y-komponenten folgt ( H) x = ɛ Ėx z H y = ɛ Ėx z ( µh y ) = 1 ( ɛe x ) (16.10) ( E) y = µ Ḣy z E x = µ Ḣy z ( ɛe x ) = 1 ( µh y ). (16.11) E x ist mit H y verknüpft, analog E y mit H x. Wir können die beiden Gleihungen (16.10) und (16.11) zusammenfassen zu t ( ɛe x ± µh y ) = z ( ɛe x ± µh y ). (16.12) Die Lösung dieser Gleihung und der entsprehenden für E y mit H x ist ɛex ± µh y = 2 f ± (z t), (16.13) ɛey µh x = 2g ± (z t), (16.14) mit beliebigen (differenzierbaren) Funktionen f ± und g ±, woraus dann ɛex = f + (z t) + f (z + t) (16.15) µhy = f + (z t) f (z + t) (16.16) ɛey = g + (z t) + g (z + t) (16.17) µhx = g + (z t) + g (z + t) (16.18) folgt. Es handelt sih also um die Überlagerung von Wellen beliebiger Form, die nah oben ( f +, g + ) und nah unten ( f, g ) mit der Geshwindigkeit laufen. = / ɛµ ist also die Ausbreitungsgeshwindigkeit der elektromagnetishen Wellen (des Lihtes) in dem jeweiligen Medium. Insbesondere finden wir, dass die Vakuum-Lihtgeshwindigkeit ist. Wir berehnen noh die Energiedihte und die Energiestromdihte in Form des POYNTING-Vektors u = 1 8π (ɛe2 + µh 2 ) = 1 4π ( f 2 + + g2 + + f 2 + g2 ) (16.19) S = 4π E H = e z 4π ( f 2 + + g 2 + f 2 g 2 ), (16.20) wobei wir ein homogenes Feld in z-rihtung niht berüksihtigt haben. Durh Vergleih der Ausdrüke für u und S jeweils nur für die nah oben oder unten laufenden Anteile sieht man, dass die Energie mit der Geshwindigkeit der Welle ± e z transportiert wird, da S = ± e z u. Wir bemerken noh, dass die Welle, für die E y = 0 und H x = 0, das heißt g ± = 0, linear polarisiert in x-rihtung heißt. Für die Angabe der Polarisationsrihtung ist immer die Rihtung des Vektors E maßgeblih. 16. Überlagerung ebener periodisher Wellen Allgemein kann man die elektrishe Feldstärke als FOURIER-Integral ansetzen E(r, t) = d 3 kdωe 0 (k, ω)e i(k r ωt), (16.21) analog für H. Damit drüken wir die Felder als Überlagerung ebener periodisher Wellen aus. 16..α Einshub über FOURIER-Reihen und Integrale Die FOURIER-Reihe einer Funktion mit Periode L, f (x + L) = f (x), lautet f (x) = ĉ f n e 2πinx/L. (16.22) n=

16 Wellen im Vakuum und Isolatoren 61 f n sind die FOURIER-Koeffizienten von f. Die Darstellung ist möglih für quadrat-integrable Funktionen, mit einer endlihen Anzahl von Unstetigkeits-Stellen. ĉ ist eine geeignete Konstante. Die Rüktransformation, das heißt die Berehnung der FOURIER-Koeffizienten gewinnt man aus L/2 L/2 dxe 2πinx/L f (x) = ĉl f n, (16.23) wie man durh Einsetzen in (16.22) und Vertaushen von Summation und Integration leiht sehen kann. Die FOURIER-Transformation für eine von bis + definierte niht notwendig periodishe Funktion f (x) gewinnt man, indem man den Grenzübergang L durhführt und definiert. Dann geht nämlih (16.22) in k := 2πn L, f n = f 0 (k), ĉ = k = 2π L f (x) = über und die Rük-Transformation (16.23) in k f 0 (k)e ikx (16.24) dk f 0 (k)e ikx (16.25) dx f (x)e ikx = 2π f 0 (k). (16.26) Damit können wir zum Beispiel die Rüktransformation von (16.21) zu E 0 (k, ω) = 1 d 3 rdte i(k r ωt) E(r, t) (16.27) (2π) 4 angeben. 16..β Zurük zu den MAXWELL-Gleihungen Die Darstellung durh die FOURIER-Transformierte hat den Vorteil, dass die Gleihungen einfaher werden. Durh Anwendung der Operationen und / t auf die Exponentialfunktion e i(k r ωt) = ike i(k r ωt), in den MAXWELL-Gleihungen folgt für die FOURIER-Komponenten t ei(k r ωt) = iωe i(k r ωt) (16.28) E = 0 ik E 0 (k, ω) = 0 (16.29) H = 0 ik H 0 (k, ω) = 0 (16.30) H = ɛ Ė ik H 0(k, ω) = i ɛ ωe 0(k, ω) (16.31) E = µ Ḣ ik E 0(k, ω) = i µ ωh 0(k, ω). (16.32) Der Vorteil dieser Darstellung besteht darin, daß immer nur FOURIER-Komponenten mit gleihem k und ω miteinander verknüpft sind. Für k = 0 folgt ω = 0, wobei E 0, H 0 beliebig sein können. Dies sind die statishen homogenen Felder. Für k 0 folgt aus (16.29) und (16.30), dass Aus den beiden anderen Gleihungen (16.31) und (16.32) folgt Daraus folgt E 0 (k, ω) k, H 0 (k, ω) k. (16.33) k (k E 0 (k, ω)) = µ ωk H 0(k, ω) = ɛµ 2 ω2 E 0 (k, ω). (16.34) k(k E 0 (k, ω)) k 2 E 0 (k, ω) = 1 2 ω2 E 0 (k, ω), (16.35)

62 F Elektromagnetishe Wellen analog für H 0. Wegen (16.29) vershwindet der erste Term auf der linken Seite von (16.35). Es gibt also niht vershwindende Lösungen, wenn die Beziehung ω = ± k erfüllt ist. Dies ist die Dispersionsrelation für elektromagnetishe Wellen, das heißt der Zusammenhang zwishen Frequenz und Wellenvektor für elektromagnetishe Wellen. Unter Berüksihtigung dieser Bedingung können wir shreiben und damit E 0 (k, ω) = 1 2 δ(ω k)e 1 (k) + 1 2 δ(ω + k)e 2 (k). (16.36) E(r, t) = ( 1 d 3 k 2 E 1(k)e i(k r kt) + 1 ) 2 E 2(k)e i(k r+ kt). (16.37) Da die elektrishe Feldstärke reell sein muss, muss sie mit ihrem Konjugiert-komplexen übereinstimmen ( 1 E (r, t) = d 3 k 2 E 1 (k)e i(k r kt) + 1 ) 2 E 2 (k)e i(k r+ kt) ( 1 = d 3 k 2 E 1 ( k)ei(k r+ kt) + 1 ) 2 E 2 ( k)ei(k r kt). (16.38) Durh Koeffizienten-Vergleih folgt Damit haben wir dann E(r, t) = = E 2 (k) = E 1( k). (16.39) ( 1 d 3 k 2 E 1(k)e i(k r kt) + 1 ) 2 E 1 ( k)ei(k r+ kt) ( 1 d 3 k 2 E 1(k)e i(k r kt) + 1 ) 2 E 1 (k)e i(k r kt) = R ( d 3 ke 1 (k)e i(k r kt) ). (16.40) Für H 0 folgt dann aus (16.32) H 0 (k, ω) = µω k E 0(k, ω) = ( ɛ δ(ω k) k µ 2k E 1(k) δ(ω + k) k ) 2k E 2(k) (16.41) und damit für H H(r, t) = R ( ɛ d 3 k k µ k E 1(k)e ) i(k r kt). (16.42) Trägt nur eine FOURIER-Komponente bei, E 1 (k) = δ 3 (k k 0 )E 1,0 (Idealisierung), so spriht man von einer monohromatishen Welle, E(r, t) = R(E 1,0 e i(k 0 r k 0 t) ) (16.43) ɛ H(r, t) = µ R( k 0 E 1,0 e ) i(k 0 r k 0 t). (16.44) k 0 Von linear polarisierten Wellen (Liht) spriht man, wenn E 1,0 = e 1 E 1,0 mit einem reellen Einheitsvektor e 1, von zirkular polarisierten, wenn E 1,0 = (e 1 ie 2 )E 1,0 / 2 mit reellen Einheitsvektoren e 1 und e 2, wobei e 1, e 2 und k 0 eine orthogonale Rehtsbasis bilden. Für das obere Vorzeihen ist die Welle rehts-, für das untere links-polarisiert. 16..γ Zeitmittelwerte und Zeitintegrale Die Energiedihte und der POYNTING-Vektor sind Größen, die bilinear in den Feldern sind. Hat man etwa monohromatishe Wellen, wie in (16.43) und (16.44), so oszillieren diese Größen. Man ist aber oft am Mittelwert dieser Größen interessiert. Haben wir also zwei Größen a = R ( a 0 e iωt), b = R ( b 0 e iωt), (16.45)

16 Wellen im Vakuum und Isolatoren 63 so ist ab = 1 4 a 0b 0 e 2iωt + 1 4 (a 0b 0 + a 0 b 0) + 1 4 a 0 b 0 e2iωt. (16.46) Der erste und der letzte Term oszillieren (wir nehmen ω 0 an). Sie heben sih im Zeitmittel weg, so dass im Zeitmittel bleibt ab = 1 4 (a 0b 0 + a 0 b 0) = 1 2 R(a 0 b 0). (16.47) Man beahte, dass a 0 und b 0 im allgemeinen komplex sind, und das Zeitmittel wesentlih von der relativen Phase beider Größen und niht nur von den Beträgen a 0 und b 0 abhängt. Sind a und b durh FOURIER-Integrale gegeben, a(t) = R ( dωa 0 (ω)e iωt) (16.48) und analog für b(t), so werden häufig die Zeitintegrale über diese Größen und deren Produkte endlih sein. Hierzu müssen wir das Zeitintegral dte iωt bestimmen. Dieses Integral ist niht wohl definiert. Tatsählih soll es aber mit einer in ω stetigen Funktion multipliziert werden, so dass es auh genügt, herauszubekommen, wie sih das Zeit-Integral über dieses Frequenz-Integral verhält. Hierzu gehen wir auf die Notation unseres Einshubs mit x und k zurük und stellen fest, dass also L/2 L/2 n + L/2 n=n dxe 2πinx/L = Lδ 0,n, (16.49) L/2 dxe 2πinx/L = L, (16.50) falls n 0 und n + 0 sind, sonst vershwindet die Summe. Jetzt führen wir wieder den Limes L durh und erhalten k + k k L/2 L/2 dxe ikx = kl k+ falls k negativ und k + positiv sind, sonst ist es Null. Daraus folgt Mit diesem Ergebnis finden wir dta(t)b(t) = π 2 k dk Treten nur positive Frequenzen ω unter dem Integral auf, so erhält man dta(t)b(t) = π 2 0 dxe ikx = 2π, (16.51) dxe ikx = 2πδ(k). (16.52) dω ( a 0 (ω) + a 0 ( ω))(b 0( ω) + b 0 (ω)). (16.53) dω ( a 0 (ω)b 0 (ω) + a 0 (ω)b 0(ω) ) = πr ( dωa 0 (ω)b 0(ω) ). (16.54) 0

64 F Elektromagnetishe Wellen 17 Elektromagnetishe Wellen in homogenen Leitern 17.a Transversal-Shwingungen bei niedrigen Frequenzen Wir untersuhen Transversal-Shwingungen in einem homogenen Leiter. Dabei setzen wir µ = 1. Aus j f = σe (17.1) folgt rot B 1 ɛė = 4π σe. (17.2) Bei periodishen Feldern der Kreisfrequenz ω, entsprehend auh für ρ f und j f, folgt dann Dies können wir auh shreiben Aus der Kontinuitätsgleihung folgt und damit Damit gilt E = E 0 (r)e iωt, B = B 0 (r)e iωt, (17.3) rot B 0 + ( iω ɛ 4π σ)e 0 = 0. (17.4) rot B 0 + iω ɛ(ω)e 0 = 0, ɛ(ω) = ɛ 4πσ iω. (17.5) ρ f + div j f = 0 (17.6) iωρ f,0 + div j f,0 = 0 (17.7) div D 0 = 4πρ f,0 = 4π iω div j f,0 = 4πσ iω div E 0. (17.8) ɛ(ω) div E 0 = 0 (17.9) wegen div D 0 = ɛ div E 0. Wir können daher unsere bisherigen Ergebnisse von Isolatoren auf Leiter übertragen, indem wir ɛ durh ɛ(ω) ersetzen. So finden wir k 2 = ɛ(ω) ω2 2. (17.10) Da ɛ(ω) komplex ist, ist für reelles ω der Wellenvektor k komplex. Wir setzen ω ɛ(ω) = n + iκ, k = (n + iκ) (17.11) und erhalten mit eine gedämpfte Welle. Für die Felder ergibt sih dann e ikz = e iωnz/ ωκz/ (17.12) E = R(E 0 e iω(nz/ t) )e ωκz/, (17.13) B = R( ɛ(ω)e z E 0 e iω(nz/ t) )e ωκz/. (17.14) Die Amplitude fällt auf der Streke d = ωκ auf 1/e ab (Eindringtiefe). Für kleine Frequenzen kann man approximieren ɛ(ω) 4πσ 2πσ 2πσ = (1 + i) iω ω, n = κ = ω, d =. (17.15) 2πσω Für Kupfer hat man σ = 5.8 10 17 s 1, für ω = 2π 50 s 1 folgt d = 9 mm. Man spriht vom Skin-Effekt. Der Wehselstrom fällt im Leiter nah innen exponentiell ab, wobei der Abfall für höhere Frequenzen rapider ist.

17 Wellen in homogenen Leitern 65 17.b Transversal-Shwingungen bei hohen Frequenzen Tatsählih hängen ɛ und σ von ω ab. Wir wollen das Frequenz-Verhalten der Leitfähigkeit modellmäßig betrahten und gehen von der Bewegungsgleihung eines Ladungsträgers (zum Beispiel eines Elektrons im Metall) aus, m 0 r = e 0 E m 0 ṙ, (17.16) τ wobei m 0 und e 0 Masse und Ladung des Ladungsträgers seien. Der letzte Term ist ein Reibungsterm, der die Stöße mit anderen Teilhen paushal beshreibt. Dabei ist τ die Relaxationszeit, die angibt, wie rash die Bewegung ohne elektrishes Feld abklingt. Mit j f = ρ f ṙ = n 0 e 0 ṙ, wobei n 0 die Dihte der freibeweglihen Ladungsträger ist, folgt dann m 0 j f = e 0 E m 0 j f. (17.17) n 0 e 0 t n 0 τe 0 Im stationären Fall j f / t = 0 folgt die statishe Leitfähigkeit σ 0 = n 0τe 2 0 m 0, so dass wir τ j f t shreiben können. Mit der Zeitabhängigkeit e iωτ folgt dann was aufgelöst wird zu Für hohe Frequenzen, ωτ 1 folgt daraus = σ 0 E j f (17.18) (1 iωτ)j f,0 = σ 0 E 0, (17.19) j f,0 = σ(ω)e 0 (17.20) σ 0 σ(ω) = 1 iωτ (17.21) ɛ(ω) = 4πσ 0 ɛ iω(1 iωτ). (17.22) ɛ(ω) = ɛ 4πσ 0 τω 2 = ɛ 4πn 0e 2 0 m 0 ω 2 = ɛ ( 1 ω2 ) P ω 2 (17.23) mit der Plasmafrequenz ω P = Für ω < ω P erhält man ein negatives ɛ(ω), das heißt n = 0, κ = mit einem exponentiellen Abfall der Welle. Für ω > ω P dagegen wird ɛ positiv, n = 4πn 0 e 2 0 ɛm 0. (17.24) ɛ ( ω 2 P ω 2 1) (17.25) ɛ ( 1 ω2 P ω 2 ), κ = 0. (17.26) Für diese hohen Frequenzen ist der Leiter durhsihtig. Für Kupfer hat man 1/τ = 3.7 10 13 s 1, σ 0 = 5.8 10 17 s 1 und ω P = 1.6 10 16 s 1. Für sihtbares Liht hat man den Frequenz-Bereih ω = 2.4...5.2 10 15 s 1, so dass Kupfer im sihtbaren Bereih undurhsihtig ist. In Elektrolyten ist jedoh die Ladungsträgerdihte niedriger, die Masse der Ladungsträger höher, so dass die Plasmafrequenz niedriger ist. Daher sind Elektrolyte in der Regel durhsihtig.

66 F Elektromagnetishe Wellen 17. Longitudinale = Plasma-Shwingungen Für ω = ω P ist ɛ(ω) = 0. Dann erlaubt (17.9) longitudinale elektrishe Wellen E = E 0 e z e i(k zz ω P t), B = 0. (17.27) Diese gehen mit longitudinalen Shwingungen der Ladungsträger einher, die man erhält, wenn man den Reibungsterm in (17.17) vernahlässigt.

18 Reflexion und Brehung 67 18 Reflexion und Brehung an einer ebenen Grenzflähe 18.a Problemstellung und Ausbreitungsrihtung Wir betrahten eine einlaufende ebene Welle e i(k e r ωt) für x < 0, k e = (k, 0, k z ), die auf die Grenzflähe x = 0 auftrifft. Für x < 0 habe man die Dielektrizitätskonstante ɛ 1 und die Permeabilität µ 1, für x > 0 habe man ɛ 2 und µ 2. An der Grenzflähe x = 0 variiert die Welle wie e i(k zz ωt). Für die reflektierte und die gebrohene Welle hat man das gleihe Verhalten an der Grenzflähe, das heißt sie stimmen alle in k z, k y und ω überein und untersheiden sih nur in k x. Aus folgt k 2 i = ɛ iµ i ω 2 2 = n2 i ω2 2, n i = ɛ i µ i (18.1) ε µ ε µ 1 1 2 2 r α e 1 α 1 z d α 2 x k 2 1 = k2 z + k 2 = n2 1 ω2 2 k r = ( k, 0, k z ) (18.2) k 2 2 = k2 z + k 2 = n2 2 ω2 2 k d = (k, 0, k z ). (18.3) Dabei sind n 1,2 die Brehzahlen der beiden Medien. Die x-komponente des Wellenvektors der reflektierten Welle k r ist gerade das Negative der einlaufenden Welle. Daher stimmt der Einfallswinkel α 1 mit dem Reflexionswinkel überein. Falls k reell ist, muss man k > 0 wählen, damit die Welle ausläuft und niht einläuft. Falls k imaginär ist, muss man Ik > 0 wählen, damit die Welle im Material 2 exponentiell abklingt und niht anwähst. Für reelles k hat man k z = k 1 sin α 1 = k 2 sin α 2. (18.4) Daraus folgt mit (18.1) das SNELLIUSshe Brehungsgesetz n 1 sin α 1 = n 2 sin α 2. (18.5) Falls sih sin α 2 > 1 ergibt, entspriht das einem imaginären k. Wir bemerken shließlih noh k k = k 1 os α 1 k 2 os α 2 = tan α 2 tan α 1. (18.6) 18.b Grenzbedingungen, Amplituden Wir müssen nun zwei Polarisationen untersheiden. Diese werden auf die Einfallsebene bezogen. Diese ist die von der Rihtung des einfallenden Strahls und von der Normalen auf die Grenzflähe aufgespannte Ebene (in unseren Koordinaten die x-z-ebene). Die Polarisation 1 liegt senkreht zur Einfallsebene, das heißt E ist in y-rihtung polarisiert. Die Polarisation 2 liegt in der Einfallsebene, H liegt in y-rihtung. Man erhält dann folgende Polarisationen und Stetigkeitsbedingungen Polarisation 1 Polarisation 2 E Einfallsebene in Einfallsebene H in Einfallsebene Einfallsebene E t E 1,y = E 2,y E 1,z = E 2,z (18.7) D n = ɛe n ɛ 1 E 1,x = ɛ 2 E 2,x (18.8) H t H 1,z = H 2,z H 1,y = H 2,y (18.9) B n = µh n µ 1 H 1,x = µ 2 H 2,x (18.10)

68 F Elektromagnetishe Wellen Für die Polarisation 1 hat man daher für die elektrishe Feldstärke E(r, t) = e i(k zz ωt) e y { (Ee e ik x + E r e ik x ) x < 0 E d e ik x x > 0 (18.11) anzusetzen. Aus den MAXWELL-Gleihungen erhält man daraus die magnetishe Feldstärke rot E = µ Ḣ = iωµ H, (18.12) µh x = iω ( rot E) x = E y iω z = k z ω E y (18.13) E y H z = iµω x = ei(k zz ωt) k ω µ 1 (E e e ik x E r e ik x ) x < 0 k µ 2 E d e ik x (18.14) x > 0. Die Randbedingungen ergeben sih aus der Stetigkeit von E y, die mit der Stetigkeit von µh x identish ist, und aus der Stetigkeit von H z, k E e + E r = E d, (E e E r ) = k E d, (18.15) µ 1 µ 2 woraus die Amplituden E r = µ 2k µ 1 k µ 2 k + µ 1 k E 2µ 2 k e, E d = µ 2 k + µ 1 k E e (18.16) folgen. Von der Polarisation 1 gelangt man zur Polarisation 2 durh die Transformation Daher erhält man für die Amplituden E H, H E, ɛ µ. (18.17) H r = ɛ 2k ɛ 1 k ɛ 2 k + ɛ 1 k H 2ɛ 2 k e, H d = ɛ 2 k + ɛ 1 k H e. (18.18) 18. Diskussion für µ 1 = µ 2 Wir diskutieren nun die Ergebnisse für µ 1 = µ 2, da für viele Materialien die Permeabilität praktish gleih 1 ist. 18..α Isolator, sin α 2 < 1: Brehung Wir bestimmen nun die Amplitude der reflektierten Welle aus der der einfallenden Welle. Der Reflexionskoeffizient R, das heißt der Anteil der Strahlungsleistung, die reflektiert wird, ergibt sih zu R = ( E r E e ) 2 = ( Hr H e ) 2, (18.19) da der zeitgemittelte POYNTING-Vektor S = E H/(4π) für Vektoren E und H, die orthogonal auf einander stehen, sih betragsmäßig zu S = E H = 8π 8π ɛe2 = 8π µh2 (18.20) ergibt. Für die Polarisation 1 ergibt sih mit (18.6) Für die Polarisation 2 folgt E r = k k k + k E e = tan α 2 tan α 1 tan α 2 + tan α 1 E e = sin(α 2 α 1 ) sin(α 2 + α 1 ) E e. (18.21) H r = n2 2 k n 2 1 k n 2 2 k + n 2 1 k H e = sin2 α 1 tan α 2 sin 2 α 2 tan α 1 sin 2 α 1 tan α 2 + sin 2 α 2 tan α 1 H e = tan(α 1 α 2 ) tan(α 1 + α 2 ) H e. (18.22)

18 Reflexion und Brehung 69 Man erkennt, dass bei der Polarisation 2 die Reflexion vershwindet, wenn α 1 + α 2 = 90 0, woraus dann wegen sin α 2 = os α 1 und (18.5) tan α 1 = n 2 /n 1 folgt. Dies ist der BREWSTERshe Winkel. Bei Einfall von Liht unter diesem Winkel wird nur Liht der Polarisation 1 reflektiert. Dies kann zur Erzeugung linear polarisierten Lihtes verwendet werden. Im Limes α gegen Null, das heißt bei senkrehtem Auffall des Lihtes ergibt sih für beide Polarisationen (die in diesem Limes niht mehr zu untersheiden sind) 18..β Isolator, sin α 2 > 1: Totalreflexion R = ( n 2 n 1 n 2 + n 1 ) 2, α = 0 (18.23) In diesem Fall ist k imaginär. Die Welle dringt nur noh exponentiell abklingend in das zweite Material ein. Jeweils den ersten Ausdrüken in (18.21) und (18.22) entnimmt man, da der Zähler des Bruhs das konjugiert Komplexe des Nenners ist, dass E r = E e, H r = H e. R = 1, (18.24) Man hat also Totalreflexion. 18..γ Metallishe Reflexion, α = 0 Im Falle der metallishen Reflexion setzen wir n 1 = 1 (Vakuum oder Luft) und n 2 = n + iκ (17.11). Dann folgt für den Reflexionskoeffizient für α = 0 aus (18.23) R = n + iκ 1 2 n + iκ + 1 = (n 1)2 + κ 2 (n + 1) 2 + κ = 1 4n 2 (n + 1) 2 + κ. (18.25) 2 Für ωɛ 2πσ folgt dann aus (17.5) und (17.15) 2πσ n κ ω, ein Ergebnis, das nah HAGEN und RUBENS benannt ist. 18..δ Oberfl ähenwellen am Leiter R 1 2 n 1 2ω πσ, (18.26) Wir wollen nun noh Wellen betrahten, die sih an der Grenzflähe von Leiter und Vakuum entlang bewegen. Wir setzen also ɛ 1 = 1 und ɛ 2 = ɛ(ω) aus (17.5). Wir benötigen dann auf jeder Seite der Grenzflähe genau eine Welle. Das erreihen wir, wenn wir die Lösung aufsuhen, bei der keine Welle reflektiert wird. Das heißt, wir nehmen formal die Welle mit Polarisation 2, bei der H r in (18.18) vershwindet, also gilt. Zusammen mit (18.2) und (18.3) findet man die Lösung k z = ω k 2 z + k 2 = ω2 2, ɛ(ω) 1 + ɛ(ω), k = Mit der Näherung (17.15) erhält man für niht zu große Frequenzen k z = ω ( iω ) 1 + 8πσ k (1 i)ω3/2 = 2 2πσ ɛ(ω)k = k (18.27) k2 z + k 2 = ɛ(ω)ω2 2 (18.28) k z ɛ(ω), k = ɛ(ω)k z. (18.29) (18.30) (18.31) k = (1 + i)ω1/2 2πσ. (18.32) Für kleine Frequenzen, ω < σ, ist daher der exponentielle Abfall in Ausbreitungsrihtung (k z ) am langsamsten, in das Vakuum hinein etwas shneller (k ) und im Metall am shnellsten (k ).

70 F Elektromagnetishe Wellen 19 Hohlleiter Es gibt vershiedene Arten von Wellenleitern. Diese können zum Beispiel aus zwei Leitern bestehen, die entweder nebeneinander herlaufen (zwei Drähte) oder koaxiale Leiter sind. Man kann aber auh elektromagnetishe Wellen in einem dielektrishen Wellenleiter (Lihtleiter) oder in einem Hohlleiter führen. In allen Fällen wollen wir davon ausgehen, dass Translationsinvarianz in z-rihtung besteht, so dass die Materialgrößen ɛ, µ und σ nur Funktionen von x und y sind. Dann kann man die elektromagnetishen Felder ansetzen zu E = E 0 (x, y)e i(k zz ωt), B = B 0 (x, y)e i(k zz ωt). (19.1) Es bleiben nun die Funktionen E 0, B 0 und ω(k z ) zu bestimmen. 19.a Hohlleiter Wir wollen das Programm für einen Hohlleiter durhführen, das heißt für einen Metallzylinder (niht notwendig mit kreisförmigem Quershnitt). Wir beginnen mit den Randbedingungen, wobei wir die metallishe Oberflähe als idealen Leiter annehmen, σ =. Dann gilt an der Oberflähe E t = 0, (19.2) da eine tangentiale Komponente eine unendlih große Stromdihte an der Oberflähe bewirken würde. Weiter folgt aus rot E = Ḃ/ ikb n = ( rot E) n = ( rot E t ) e n k = ω/, (19.3) woraus folgt. Im Inneren des Hohlleiters gilt Unter Verwendung von B n = 0 (19.4) ( rot E) y = 1 Ḃy ik z E 0,x x E 0,z = ikb 0,y (19.5) ( rot B) x = 1 Ėx y B 0,z ik z B 0,y = ike 0,x. (19.6) k 2 = k2 k 2 z (19.7) lassen sih die Transversalkomponenten durh die Longitudinalkomponenten ausdrüken k 2 E 0,x = ik z x E 0,z + ik y B 0,z (19.8) k 2 B 0,y = ik x E 0,z + ik z y B 0,z. (19.9) Ähnlihe Gleihungen gelten für E 0,y und B 0,x. Zur Bestimmung der Longitudinalkomponenten verwenden wir die Wellengleihung woraus und analog k 2 div E=ik z k 2 ( rot B Ė/) z =ik ( 2 2 t 2 )(E 0,ze i(k zz ωt) ) = 0, (19.10) ( 2 x + 2 y + k 2 )E 0,z (x, y) = 0 (19.11) ( 2 x + 2 y + k 2 )B 0,z (x, y) = 0 (19.12) folgt. Man kann zeigen, dass damit für k 0 auh die übrigen MAXWELL-Gleihungen erfüllt sind. Es gilt nämlih } ( 2 x + 2 y + k2 )E 0,ze i(k zz ωt) (19.13) k 2 div B=ik z k 2 ( rot E + Ḃ/) z = ik } ( 2 x + 2 y + k2 )B 0,ze i(k zz ωt). (19.14)

19 Hohlleiter 71 Es genügt daher, die Wellengleihungen zu erfüllen. Wir bemerken weiter, dass E 0,z und B 0,z von einander unabhängig sind. Man untersheidet dementsprehend TE-Moden (transversal elektrish) mit E 0,z = 0 und TM-Moden (transversal magnetish) mit B 0,z = 0. Wir kommen nun nohmals auf die Randbedingungen zurük. Die Komponenten senkreht zu der Ausbreitungsrihtung z lassen sih k 2 (e xe 0,x + e y E 0,y ) = ik z grad E 0,z ike z grad B 0,z (19.15) k 2 (e x B 0,x + e y B 0,y ) = ik z grad B 0,z + ike z grad E 0,z (19.16) shreiben. Führen wir auf der Oberflähe des Hohlleiters zu dem Normalenvektor e n und dem Vektor e z noh einen dritten Einheitsvektor e = e z e n ein, dann wird die Tangentialebene an die Oberflähe durh e z und e aufgespannt. e liegt dabei in der xy-ebene. Da auh e n in der xy-ebene liegt, können wir auf n- and -Komponenten transformieren e x E 0,x + e y E 0,y = e E 0, + e n E 0,n. (19.17) Damit lassen sih dann (19.15, 19.16) in der Form k 2 (e ne 0,n + e E 0, ) = ik z (e n n E 0,z + e E 0,z ) ik(e n B 0,z e n B 0,z ), (19.18) k 2 (e n B 0,n + e B 0, ) = ik z (e n n B 0,z + e B 0,z ) + ik(e n E 0,z e n E 0,z ) (19.19) shreiben. Auf der Oberflähe muss gemäß (19.2, 19.4) gelten. Aus (19.18, 19.19) folgt E 0,z = E 0, = B 0,n = 0 (19.20) k 2 E 0, = ik z E 0,z ik n B 0,z, (19.21) k 2 B 0,n = ik z n B 0,z + ik E 0,z. (19.22) Da E 0,z = 0 auf der Oberflähe, gilt auh E 0,z = 0 auf der Oberflähe. Offensihtlih hat man als zweite Bedingung n B 0,z = 0. Damit ist das folgende Eigenwert-Problem zu lösen Es folgt das Dispersionsgesetz TM-Mode: ( 2 x + 2 y + k2 )E 0,z = 0, E 0,z = 0 auf der Oberflähe, (19.23) TE-Mode: ( 2 x + 2 y + k 2 )B 0,z = 0, ( grad B 0,z ) n = 0 auf der Oberflähe. (19.24) ω = kz 2 + k 2. (19.25) TEM-Moden Wir haben den Fall k = 0 bisher niht diskutiert. Wir wollen dies niht in allen Details tun. Man kann zeigen, dass für diese Moden beide Longitudinal-Komponenten vershwinden, E 0,z = B 0,z = 0. Man spriht daher von TEM-Moden. Für diese folgt mit k z = ±k aus (19.5) und analog durh eine Drehung von E und B um 90 0 um die z-ahse E 0,x E 0,y, B 0,y B 0,x B 0,y = ±E 0,x, B 0,x = E 0,y. (19.26) Aus ( rot E) z = 0 folgt dann, dass man E 0 durh den Gradienten eines Potentials darstellen kann das wegen div E 0 = 0 die Potentialgleihung erfüllt E 0 = grad Φ(x, y), (19.27) ( 2 x + 2 y )Φ(x, y) = 0. (19.28) Es ist also die homogene LAPLACE-Gleihung in zwei Dimensionen zu lösen. Wegen E 0,t = 0 muss auf der Leiteroberflähe das Potential konstant sein. Daher erhält man eine niht-triviale Lösung nur in mehrfah zusammenhängenden Gebieten, also niht im Innern eines kreisförmigen oder rehtekigen Quershnitts, aber außerhalb, oder in Koaxialkabeln, oder im Außenraum zweier Drähte.

72 F Elektromagnetishe Wellen 19.b Lösung für rehtekigen Quershnitt Wir bestimmen die Wellen im Hohlleiter für einen rehtekigen Quershnitt mit Seitenlängen a und b. Für die TM-Wellen mahen wir den Produkt-Ansatz Einsetzen in (19.11) gibt oder E 0,z (x, y) = f (x)g(y) (19.29) f g + f g + k 2 f g = 0 (19.30) f f + g g = k2, (19.31) woraus folgt, dass f / f und g /g konstant sind. Da E 0,z am Rand vershwinden muss, folgt E 0,z (x, y) = E 0 sin( nπx a ) sin(mπy b ), k2 = ( nuπ a Für die TE-Welle erhält man mit dem entsprehendenen Ansatz und der Randbedingung ( grad B 0,z ) n = 0 die Lösungen B 0,z (x, y) = B 0 os( nπx a ) os(mπy b ), ) 2 ( mπ ) 2, + n 1, m 1. (19.32) b B 0,z (x, y) = f (x)g(y) (19.33) k2 = ( nπ a ) 2 ( mπ ) 2, + n 0, m 0, n + m 1. (19.34) b 19. Wellenpakete Vielfah hat man es niht mit monohromatishen Wellen, sondern mit Wellenpaketen zu tun, die aus FOURIERkomponenten mit k z k z,0 bestehen E = E 0 (x, y) dk z f 0 (k z )e i(k zz ω(k z )t), (19.35) wobei f 0 (k z ) bei k z = k z,0 ein Maximum hat und für andere k z -Werte rash abfällt. Dann entwikeln wir ω(k z ) um k z,0 ω(k z ) = ω(k z,0 ) + v gr (k z k z,0 ) +... (19.36) v gr = dω(k z) dk z kz =k z,0. (19.37) In linearer Näherung dieser Entwiklung folgt dann E = E 0 (x, y)e i(k z,0z ω(k z,0 )t) f (z v gr t), f (z v gr t) = dk z f 0 (k z )e i(k z k z,0 )(z v gr t). (19.38) Der Vorfaktor enthält die Phase φ = k z,0 z ω(k z,0 )t. Das Paket oszilliert also mit der Phasengeshwindigkeit v ph = z t = ω(k z,0). (19.39) φ k z,0 Die Ortsabhängigkeit der Amplitude stekt dagegen in der Funktion f (z v gr t). Das Wellenpaket bewegt sih also mit der Gruppengeshwindigkeit (auh Signalgeshwindigkeit) v gr, (19.37). Für die Wellen des Hohlleiters finden wir aus (19.25) k 2 + k2 z,0 v ph =, (19.40) k z,0 v gr = k z,0. (19.41) k 2 + k2 z,0

19 Hohlleiter 73 Die Phasengeshwindigkeit ist größer als die Vakuum-Lihtgeshwindigkeit, die Gruppen- oder Signalgeshwindigkeit aber kleiner als die Lihtgeshwindigkeit. Geht man in der Entwiklung (19.36) über den linearen Term hinaus, so findet man, dass die Wellenpakete auseinanderfließen. Aufgabe Bestimme ω(k) für Transversal-Shwingungen in einem Leiter oberhalb der Plasmafrequenz (Abshnitt 17.b) für ɛ = 1 und die daraus resultierende Phasen- und Gruppengeshwindigkeit.

74 F Elektromagnetishe Wellen