Wachstums- und Verteilungstheorie

Technische Universität Dortmund, SS 2010 Wachstums- und Verteilungstheorie Prof.Dr.AndreasSchabert

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 1 Literatur Aghion, P., and Howitt, P., 1998, Endogenous Growth Theory, Cambridge, MA: MIT Press. Barro, R. J.; Sala i Martin, X., 1995, Economic Growth, 1st ed., McGraw-Hill (2nd ed., MIT Press, 2004).* Bertola, G., 2000, Macroeconomics of Income Distribution and Growth, in A.B.Atkinson and F.Bourguignon (eds.), Handbook of Income Distribution vol.i, Amsterdam: North- Holland, 477-540. Bertola, Foellmi und Zweimüller (2006), Income Distributions in Macroeconomic Models, Princeton Unversity Press, Princeton.* Maußner, A.; Klump, R., 1996, Wachstumstheorie, Springer, Berlin. Romer, D.; 2001, Advanced Macroeconomics, 2. Auflage, McGraw-Hill, New York.

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 1 Einige Beobachtungen zur zentralen Größe Gesamtwirtschaftliches Einkommen bzw. Produktion Reale Produktion = reales Einkommen (BIP=GDP) ausgewählter Länder 1960-2004 (Datenquelle: Penn World Table) Absolut, in pro-kopf-grössen und Wachstumsraten Veränderung der Verteilung über 1960, 1980, und 2003

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 2 1.000e+10 Real GDP (Constant Prices: Laspeyres), 1960-2004 8.000e+09 GDP 6.000e+09 4.000e+09 2.000e+09 0 1960 1970 1980 1990 2000 2004 Year Data source: PWT 6.2 US Germany Taiwan Somalia China

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 3 40000 Real GDP per capita (Constant Prices: Laspeyres), 1960-2004 GDP per capita 30000 20000 10000 0 1960 1970 1980 1990 2000 2004 Year Data source: PWT 6.2 US Germany Taiwan Somalia China

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 4.2 Growth rate of real GDP per capita, 1960-2004 Growth rate of GDP per capita.1 0 -.1 -.2 1960 1970 1980 1990 2000 2004 Year Data source: PWT 6.2 US Germany Taiwan Somalia China

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 5 Zentrale Fragen Warum wachsen das Einkommen und das Einkommen pro Kopf im Zeitverlauf? Lässt sich ein dauerhaftes Wachstum des Pro-Kopf-Einkommens erklären? Welche Rolle spielen Produktionsfaktoren und der technische Fortschritt für das Wachstum? Warum gibt es reiche und arme Länder? Wie entwickeln sich die Unterschiede im Pro-Kopf-Einkommen im Zeitverlauf?

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 6 1 Neoklassische Wachstumstheorie Die gesamtwirtschaftliche Produktion hängt offensichtlich von dem Einsatz an Produktionsfaktoren ab. In der neoklassischen Wachstumstheorie werden entsprechend Kapitalakkumulation und Bevölkerungswachstum als zentrale Quellen der Veränderung untersucht. Zudem wird der Beitrag des technischen Fortschritt berücksichtigt. Durch Investitionen wird der Kapitalstock mit der Zeit vergrößert; durch Bevölkerungswachstum erhöht sich das Angebot an Arbeitskräften, und durch technischen Fortschritt erhöht sich der maximale Output, der aus einer gegebenen Menge an Arbeit und Kapital produziert werden kann.

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 7 Im Mittelpunkt der neoklassischen Wachstumstheorie steht die neoklassische Produktionsfunktion Produktionsfaktoren: Kapitalstock K und Arbeit A (Kapitalintensität K/A) Zunächst wird technischer Fortschritt nicht berücksichtigt. Die Produktionsfunktion Y = F (K, A) erfüllt die folgenden Eigenschaften. Positive erste Ableitungen: F K = F/ K > 0, F A = F/ A > 0. Negative zweite Ableitungen: 2 F/ K 2 < 0, F 2 / A 2 < 0. Lineare Homogenität: F (K, A) =A F (K/A, 1). Inada Bedingungen: lim K 0 F K = lim A 0 F A =, lim F K = K lim F A =0. A

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 8 1.1 Wachstum bei exogener Sparquote 1.1.1 Das Solow(1956)-Modell Zuerst wird das Grundmodell der Wachstumstheorie entwickelt: Das Modell von Robert M. Solow (1956) Zentrale Annahmen Konstante Sparquote s: Erspanis steigt proportional mit Y : S = sy Gleichgewicht auf dem Kapitalmarkt: Investitionen = Ersparnis: I = S Vollständiger Wettbewerb auf Faktor- und Gütermärkten Konstante Abschreibungsrate δ : K/ t = K = I δk

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 9 Zentrale Bewegungsgleichung Die zentrale Bewegungsgleichung lautet K = I δk = S δk = sy δk = sf (K, A) δk K/A = sf (K/A) δ (K/A) Um die Dynamik des Modells zu beschreiben, wird die Wachstumsrate des Quotienten K/A, d.h. (K/A)/ t, betrachtet. (K/A) Allgemein gilt für die Wachstumsrate eines Quotienten K/A : (K/A) / t = K/ t (K/A) K A/ t A (K/A) / t = K K A K K Ȧ A A = K A K Ȧ A 2

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 10 Zunächst wird angenommen, dass die Bevölkerung nicht wächst: Ȧ =0.Indiesem vereinfachten Fall gilt (K/A) / t = K/A und man erhält eine Differentialgleichung in (K/A) : (K/A) / t = G (K/A) :=sf (K/A) δ (K/A) Diese impliziert, dass die Veränderung des pro-kopf-kapitalstocks von seinem Niveau abhängt. Wird irgendwann ein stabiler Zustand erreicht? Stationäres Gleichgewicht Die Funktion G(K/A) besitzt ein stationäres Gleichgewicht bei (K/A) : K =0 sf (K/A) = δ (K/A) saf (K/A) = sy = δk.

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 11 Im stationären Gleichgewicht entspricht die Ersparnis den Abschreibungen. Neuinvestitionen decken gerade den Verschleiß ab. Die beiden Teilfunktionen von G(K/A) besitzen die folgende Eigenschaften: 1. Die Teilfunktion G 1 (K/A) =sf (K/A) steigt mit abnehmender Rate. 2. Die Teilfunktion G 2 (K/A) =δ(k/a) besitzt die konstante Steigung δ. Aus den Inada-Bedingungen folgt lim K/A 0 G 1 (K/A) > lim K/A 0 G 2 (K/A).

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 12 Graphik 1.1 Teilfunktionen von G

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 13 Graphik 1.2 Stabilität von G Das stationäre Gleichgewicht (K/A) ist lokal stabil wegen G(K/A) (K/A) (K/A) = s F(K/A) (K/A) δ<0. Wenn man nur positive Werte für K/A zulässt, dann ist G(K/A) global stabil.

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 14 Konvergenz und Bedingte Konvergenz Fundamentale Gleichung in Pro-Kopf-Größen k = K/A und y = Y/A = f(k) k = sf (k) δk k/k = γ = s [f (k) /k] δ Die Wachstumsrate γ sinkt mit dem Pro-Kopf-Kapitalstock k, da die Durchschnittsproduktivität y/k größer als die Grenzproduktivität y 0 ist γ/ k = s h f 0 (k) f(k)/k i /k < 0 Gleichermaßen sinkt die Wachstumsrate der pro-kopf-produktion y mit dem Niveau. Absolute Konvergenz: Ärmere Länder wachsen mit einer größeren Rate Empirisch kaum haltbare, unrealistische Implikation des Solow-Modells Konvergenz nur bei ähnlicher Technologie, Sparquote etc.

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 15 Bedingte Konvergenz: Länder wachsen umso schneller je weiter sie von ihrem Steady State entfernt sind. Graphiken 1.3-1.4: Wachstumsrate vs. Niveau der Pro-Kopf Produktion für den Zeitraum 1960-2000 von Robert Barro (2005). Graphik 1.3: Keine Konvergenz, schwach positiver statt negativer Effekt Graphik 1.4: Bestätigung der Konvergenzhypothese für ähnliche Länder (OECD) Graphik 1.5: Konvergenz unter Berücksichtigung verschiedener Steady States Wachstumsrate als Funktion der jeweiligen Pro-Kopf-Produktion und des Steady State Wertes γ = γ(y,y ). + Wenn Barro für die Determinanten der Steady State Produktion kontrolliert, bestätigt sich die Hypothese der bedingten Konvergenz.

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 16 Graphik 1.3 Wachstumsrate vs. Niveau der Pro-Kopf Produktion von 112 Ländern 1960 in 2000 US$ (Quelle: Barro, 2005)

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 17 Graphik 1.4 Wachstumsrate vs. Niveau der Pro-Kopf Produktion von OECD Ländern (Quelle: Barro, 2005)

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 18 Graphik 1.5 Wachstumsrate vs. Niveau der Pro-Kopf Produktion: Bedingte Konvergenz (Quelle: Barro, 2005)

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 19 Kaldor s (1963) stilisierte Fakten 1. Die Pro-Kopf-Produktion wächst mit einer nicht-schrumpfenden Rate. 2. Der Pro-Kopf-Kapitalstock wächst über die Zeit. 3. Die reale Kapitalertragsrate ist nahezu konstant. 4. Die Einkommensanteile der Arbeit und des Kapitals sind nahezu konstant. 5. Der Kapitalkoeffizient (K/Y) ist nahezu konstant. 6. Wachstumsraten des Pro-Kopf-Produktion unterscheiden sich zwischen Ländern. Fakten 1 und 6: siehe oben; 2-4 siehe folgende Abbildungen; 5 folgt aus 3 und 4 Wie lässt sich langfristiges Wachstum im neoklassischen Modell berücksichtigen?

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 20 Reale Pro-Kopf Investitionen (US, in Preisen von 2000) 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 1960 1962 1964 1966 1968 1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 21 Realer Zinssatz, US treasury bonds mit 10-jähriger LZ (Proxi für die reale Kapitalertragsrate) 12.00 10.00 Realzins 8.00 6.00 4.00 2.00 0.00-2.00-4.00-6.00 Apr-52 Apr-54 Apr-56 Apr-58 Apr-60 Apr-62 Apr-64 Apr-66 Apr-68 Apr-70 Apr-72 Apr-74 Apr-76 Apr-78 Apr-80 Apr-82 Apr-84 Apr-86 Apr-88 Apr-90 Apr-92 Apr-94 Apr-96 Apr-98 Apr-00 Apr-02 Apr-04 Apr-06 Apr-08

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 22 US-Kapitaleinkommensquote (= 1 Lohn.eink.quote) 33% 31% 29% 27% 25% 23% 21% 19% 17% 15% 1945 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 23 1.1.2 Technischer Fortschritt Zwei Formen des technisches Fortschritt, Hicks-neutral und Harrod-neutral Hicks-neutral: Das Verhältnis der Grenzproduktivitäten Y K /Y A ist konstant für einen gegebenen Kapitalkoeffizienten K/Y Harrod-neutral: Das Verhältnis der Einkommensquoten (rk)/(la) ist konstant für einen gegebenen Kapitalkoeffizienten K/Y Harrod-neutralität Die Produktionsfunktion laute Y = f(aτ, K), mit dem Produktivitätsniveau τ. Lineare Homogenität von f : λy = f(λaτ, λk) Die Kapitalintensität in Effizienzeinheiten ist definiert als q = K/(Aτ).

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 24 Somit lässt sich die Produktion pro Effizienzeinheit wie folgt schreiben: Y Aτ = 1 Aτ f (Aτ, K) Y Aτ = f µ1, K Aτ = f (1,q) Solow-Modell mit Harrod-neutralem technischen Fortschritt Die Wachstumsraten des Produktivitätsniveaus technischer Fortschritt w τ = τ/τ und die Rate für das Bevölkerungswachstum w A = Ȧ/A sind exogen und konstant. Zur Vereinfachung werden Abschreibungen vernachlässigt δ =0. Die reale Kapitalertragsrate entspricht bei vollständigem Wettbewerb der Grenzproduktivität des Kapitals r = Y/ K

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 25 Schreibt man die Produktionsfunktion mit Hilfe der Kapitalintensität wie folgt um f(aτ, K) =Aτ f (1,K/(Aτ)) = Aτ f (q) ergibt sich für die Grenzproduktivität des Kapitals r = Aτ f (1,K/(Aτ)) K f (K/(Aτ)) = Aτ K = f 0 (K/(Aτ)) = f 0 (q). Analog, ist der Reallohnsatz l durch die Grenzproduktivität der Arbeit gegeben l = Y [Aτ f (K/(Aτ))] = A A = τ h f(q) qf 0 (q) i (1) Übung: Leiten Sie (1) ab. Das Kapitaleinkommen ist rk =( Y/ K) K und die Kapitaleinkommensquote: rk/y =( Y/ K) K/Y

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 26 Das Arbeitseinkommen ist la =( Y/ A) A und die Arbeitseinkommensquote: la Y = ( Y/ A) A Y = τ f(q) qf 0 (q) A Aτ f (q) =1 qf0 (q) f(q) =1 rk Y Fundamentale Gleichung der Kapitalakkumulation Die fundamentale Gleichung der Kapitalakkumulation beschreibt die Entwicklung der Kapitalintensität q = K/(Aτ). Diese kann durch die Entwicklung des Kapitalstocks, der Bevölkerung und des technischen Fortschritts beeinflusst werden. Leitet man q = K/(Aτ) nach der Zeit ab, lassen sich diese Einflüsse isolieren: ³ K Aτ t = K(Aτ) K (Aτ) t (Aτ) 2 = K Aτ K Aτ Ȧ A K Aτ τ τ (2)

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 27 Übung: Leiten Sie (2) ab. Verwendet man q = K/(Aτ) lässt sich der Ausdruck in (2) wie folgt vereinfachen wobei w A = ȦA,w τ = τ τ. ³ K Aτ t = q = K Aτ qȧ A q τ τ K Aτ = q + w Aq + w τ q (3) Aus der Investitionsfunktion lässt sich die Veränderung des Kapitalstocks je Effizienzeinheit der Arbeit ermitteln. Die Investition entspricht der Ableitung des Kapitalstocks nach der Zeit: K = K t = I (4)

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 28 Berücksichtigt man, dass aus der Konstanz der Sparquote und dem Gleichgewicht auf dem Kapitalmarkt I = sy folgt, und dass die Produktion durch Y = f(aτ, K) gegeben ist, erhält man aus (4) K = I = sy = s f(aτ, K) K = s f(aτ, K) µ K K = s Aτ f Aτ K µ K Aτ = s f Aτ = s f (q) (5) Die Gleichungen (3) und (5) lassen sich zur Fundamentalgleichung zusammenführen q + w A q + w τ q = sf(q) q = sf(q) (w A + w τ ) q (6)

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 29 Die fundamentalen Gleichung (6) besagt, dass die Kapitalausstattung je Effizienzeinheit mit der Pro-Kopf-Ersparnis sf(k) steigt. Man beachte, dass sie mit technischem Fortschritt w τ und mit der Wachstumsrate der Bevölkerung w A sinkt. Bei einem Anstieg von q muss umso mehr Kapital K für die Ausstattung pro Effizienzeinheit Aτ aufgewendet werden, je größer die Bevölkerung und je höher das Produktivitätsniveau sind.

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 30 Graphische Darstellung der fundamentalen Gleichung (6) Wenn die Ersparnis sf(q) größer als (w A + w τ ) q ist, gilt: q >0. Bei sf(q) =(w A + w τ ) q ist der Steady State erreicht.

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 31 Definition: Im Steady State wachsen alle Größen mit einer konstanten Rate. Man spricht dann von einem gleichgewichtigen Wachstum. Konstanz der Steady State Kapitalintensität K/(Aτ) Gibt es eine gleichgewichtige Wachstumsrate 6= 0? Um die konstante Wachstumsrate q /q = γ der Kapitalintensität im Steady State q zu ermitteln, verwendet man die Fundamentalgleichung q q = sf(q ) q (w A + w τ )=γ, Da die Wachstumsrate γ konstant sein soll, ist ihre zeitliche Veränderung gleich null. Desweiteren gilt natürlich (w A + w τ ) t so dass man die folgende Bedingung erhält: =0, γ t = sf(q )(q ) 1 t =0.

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 32 Formt man diese Bedingung um, ergibt sich sf(q )(q ) 1 = s f(q ) t q + sf(q ) (q ) 1 =0 t t à γ sf(q ) f 0 (q )q! q f(q 1 =0 (7) ) Übung: Zeigen Sie (7). Da sf(q )/q > 0 gilt, muss folglich entweder γ oder f 0 (q )q f(q ) sein. 1 gleich null Berücksichtigt man, dass die Kapitaleinkommenquote KQ f 0 (q)q f(q) = r Aτ K f( Aτ K ) = r Aτ K Aτ Aτf( K Aτ ) = rk Y = KQ

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 33 kleiner als eins ist (KQ < 1), da sonst die Lohneinkommensquote gleich null wäre (was durch die Inada-Bedingungen ausgeschlossen ist), folgt aus (7): γ sf(q ) q (KQ 1) = 0 und somit für KQ < 1 γ =0 Die gleichgewichtige Wachstumsrate ist folglich gleich null und die Steady State Kapitalintensität ist konstant.

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 34 Weitere Steady State Eigenschaften Im Steady State q (= γ) =0ist die Kapitalintensität q konstant. 1. Für die Veränderung des Reallohns l = τ f(q) qf 0 (q) gilt l = τ f(q) qf 0 (q) = τ t = τ t t h f(q) qf 0 (q) i + τ h f 0 (q) q qf 0 (q) q qf 00 (q) i h f(q) qf 0 (q) i + τ h qf 00 (q) i q Da im Steady State q =0gilt, fällt der zweite Summand im Steady State weg: l = τ h f(q ) q f 0 (q ) i t

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 35 Teilt man beide Seiten durch l = τ f(q ) q f 0 (q ), erhält man l τ l = t f(q ) q f 0 (q ) τ l = t f(q ) q f 0 (q ) τ τ [f(q ) q f 0 (q = t )] τ = w τ. Folglich wächst der Reallohn mit der Rate des technischen Fortschritts. 2. Bei der realen Kapitalertragsrate r = f 0 (q) sieht man sofort, dass die Wachstumsrate im Steady State (wegen q =0) gleich null ist ṙ = f0 (q ) t = f 00 q =0. 3. Die Veränderung der pro-kopf-produktion y, die sich auch wie folgt schreiben lässt y = Y f(aτ, K) = = Aτf ³ K Aτ A A A erhält man durch die Ableitung nach der Zeit ẏ = [τf(q)] t = τf(q). = τf(q)+τ qf 0 (q).

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 36 Für die Wachstumsrate ergibt sich dann ẏ y = τf(q) y + τ qf0 (q) y = τf(q) τf(q) + τ qf0 (q) τf(q) = w τ + f 0 (q) q f(q). Da im Steady State q =0gilt, erhalten wir als Lösung (ẏ/y) = w τ.die Pro-Kopf-Produktion wächst im Steady State mit der Rate des Fortschritts w τ. 4. Des Weiteren gilt für den pro-kopf-kapitalstock K/A =(K/Aτ) τ = qτ (qτ) / t qτ = q/ t q + τ/ t τ = w τ Grundsätzlich gilt für die gleichgewichtigen (Steady State) Wachstumsraten des neoklassischen Wachstumsmodells mit technischem Fortschritt: Aggregatsgrößen wachsen mit der Rate (w τ + w A ) Pro-Kopf Größen wachsen mit der Rate w τ

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 37 Größen in Effizienzeinheiten wachsen mit der Rate 0. Zudem wachsen die Löhne l mit dem technischen Fortschritt w τ,währenddie Kapitalertragsrate r sowie die Einkommensquoten konstant sind. Die Vorhersagen des Solow-Modells mit Harrod-neutralem technischen Fortschritt w τ > 0 sind konsistent mit Kaldors stilisierten Fakten 1. 5. während 6. nicht erklärt werden kann.

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 38 1.1.3 Die goldene Regel der Kapitalakkumulation Nach der Goldenen Regel der Kapitalakkumulation gibt es eine Sparquote, mit der langfristig das maximale Konsumniveau erreicht werden kann. Um die Goldene Regel zu berechnen, geht man davon aus, dass derjenige Teil des Einkommens, der nicht gespart wird, konsumiert wird C = Y S = Y sy c = C Aτ = Y Aτ sy = f(q) sf(q). Aτ (8) Außerdem nimmt man an, dass sich die Volkswirtschaft im Steady State befindet, weshalb sich die Kapitalintensität nicht ändert: q = sf(q ) (w A + w τ )q =0. (9) Somit ergibt sich das folgende Maximierungskalkül, bei dem die optimale Sparquote gesucht wird: max s c = f(q ) sf(q ) (10) u.d.n. : sf(q ) (w A + w τ )q =0.

TU Dortmund, SS 10, Wachstums- und Verteilungstheorie 39 Bei dem Maximierungsproblem in (10) muss man berücksichtigen, dass die stationäre Kapitalintensität q auch von der Sparquote abhängig ist: q = q (s, w A,w τ ). Das Maximierungsproblem in (10) kann nach Eliminierung von sf(q ) auch geschriebenwerdenals: max c = f (q (s, w s A,w τ )) (w A + w τ )q (s, w A,w τ ). (11) Im Maximum muss die folgende Bedingung erfüllt sein c s = f(q ) q q s (w A + w τ ) q s =0 " f(q # ) q q (w A + w τ ) s =0 f(q ) q = w A + w τ. (12) Um das Konsummaximum zu erreichen, muss die Grenzproduktivität der Kapitalintensität der Wachstumsrate der Bevölkerung zzgl. der Wachstumsrate des technischen Fortschritts entsprechen.