Berechnung der Zeitgleichung Um eine Sonnenuhr berechnen zu können, muss man zu jedem Zeitpunkt den infallswinkel der Sonne relativ zur Äquatorebene (= Deklination δ) sowie den Winkel, um den sich die rde seit dem Sonnenhöchststand weitergedreht hat (= Stundenwinkel τ), kennen. Wenn sich die rde gleichmäßig auf einer idealen Kreisbahn mit dazu senkrechter Drehachse bewegen würde, wäre es nicht allzu schwer, diese Größen zu berechnen. Da sich jedoch die rde auf einer elliptischen Bahn mit veränderlicher Geschwindigkeit bewegt und die Drehachse zur bene der rdbahn (kliptik) um den Winkel γ geneigt ist, ist die Lösung des Problems etwas komplizierter. Ich habe im folgenden Artikel versucht, die Sachverhalte so zu veranschaulichen, dass man sich den Ablauf der rdbewegung sowie die inflüsse auf die Deklination und den Stundenwinkel gut vorstellen kann. (Hinweis: Die Nutation der rdachse wird im Folgenden nicht berücksichtigt.) Algorithmus: a) Berechnung der Zeitdifferenz d vom gegebenen Datum zum 1. 1. 000, 1:00, ausgedrückt in Tagen. b) Berechnung des Anteils T am Julianischen Jahrhundert (= 36 55 Tage): d T = 3655 (Die folgenden Berechnungen erfolgen mit Näherungsformeln von Jan eeus) c) Berechnung der xzentrizität ε der rdbahn: ε = 0,016708634 0,00004037 * T d) Berechnung der Schiefe der kliptik: γ = 3,4399111 0,013004 * T 0,000000167 * T 0,00000016 * T e) Berechnung des Winkelweges, den die rde seit dem letzten Periheldurchgang zurückgelegt hätte, wenn sie sich auf einer Kreisbahn bewegen würde: 3 = 357,5910 + 35999,05030 * T 0,0001559 * T 0,00000048 * T mod 360 f) Berechnung des Winkelweges ν, den die rde seit dem letzten Periheldurchgang tatsächlich zurückgelegt hat (Die Berechnung erfolgt mit der Keplergleichung unter Verwendung des Newtonschen Iterationsverfahrens): ε.sin hilf ε.sin hilf hilf =, = hilf, 1 ε.cos 1 ε.cos hilf 1+ ε ν = * tan.tan 1 ε g) Berechnung des Winkelweges, den die rde seit dem letzten Frühlingspunkt zurückgelegt hätte, wenn sie sich auf einer Kreisbahn bewegen würde: = 80,46645 + 36000,76983 * T + 0,000303 * T mod 360 h) Berechnung des Winkelweges, den die rde zwischen Periheldurchgang und Frühlingspunkt zurückgelegt hätte, wenn sie sich auf einer Kreisbahn bewegen würde: = 1 Schwarz Alfred Zeitgleichung Seite 1
i) Die Nullpunkte von und ν sind so festgelegt, dass für den Winkelweg ν 1, den die rde zwischen Periheldurchgang und Frühlingpunkt tatsächlich zurückgelegt hat, gilt: ν 1 = 1 j) Berechnung des Winkelweges, den die rde seit dem Frühlingspunkt tatsächlich zurückgelegt hat: ν = ν ν 1 k) Projektion von ν auf die Äquatorebene: RA = tan (tanν.cos l) Berechnung der Zeitdifferenz zwischen ittagsmeridian und Sonnenhöchststand (=Zeitgleichung): ZG = RA * min ( ) 4 l) Berechnung der Deklination: ( sin γ.sinν ) δ = sin m) Berechnung des Stundenwinkels: [( OZ (Zeitzone) 1 : 00) + ZG] in min τ = + λ 4 (OZ... gültige Ortszeit innerhalb der Zeitzone, λ... geographische Länge ) Beispiel: Datum: 4. 10. 007, OZ: 17:00, Zeitzone: GT +1, Geographische Länge: λ = 18 rgebnis: d = 833,1667; T = 0,07756788; ε = 0,016705; γ = 3,4388 ; = 69,89896 ; ν = 67,98510 ; = 19,96970 ; ν = 76,997 ; ν = 191,05583 ; RA = 190,16345 ; ZG = 11,5 min; 1 = 1 δ = 4,37459 ; τ = 80,8065 1. Idealisierter Zustand Im idealisierten Zustand (ohne Deklination und llipsenbahn) bewegt sich die rde mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn um die Sonne. Wenn wir den eridian durch einen festen Punkt jeweils um 1:00 Uhr betrachten, so sehen wir, dass er sich (relativ zur Sonne) jeweils um denselben Winkel weiterdrehen muss, um den sich die rde um die Sonne bewegt. (siehe Abbildung) Schwarz Alfred Zeitgleichung Seite
. Abweichungen vom idealisierten Zustand: a) llipsenbahn: Die rde bewegt sich nicht auf einer Kreisbahn um die rde, sondern sie beschreibt nach dem zweiten Keplerschen Gesetz eine llipsenbahn. Dabei ist die Geschwindigkeit in Sonnennähe größer als in größerer ntfernung zur Sonne. Üblicherweise misst man den überstrichenen Winkel vom Perihel weg das ist der sonnennächste Punkt der rdbahn. Der tatsächlich von der rde in einem bestimmten Zeitraum überstrichene Winkel ν wird aus dem Winkel berechnet, den die Sonne bei einer gleichmäßigen Kreisbahn in dieser Zeit zurückgelegt hätte. ν S Perihel Die dazu nötigen Gleichungen lauten: (siehe: http://tau.fesg.tumuenchen.de/~iapg/web/lehre/veranstaltungen/veranstaltungen/studienplan/echanik_kap5 _0607.pdf ) ε.sin = (Keplergleichung) (1) ν tan = 1+ ε.tan 1 ε ε... numerische xzentrizität der rdbahn ( 0,01671) ()... exzentrische Anomalie (für uns eine Hilfsvariable zur Berechnung von ) Hinweis: Für die Lösung von Gleichung (1) müssen und im Bogenmaß angegeben werden. Am besten löst man diese Gleichung durch ein Iterationsverfahren: 0 =, n+ 1 = + ε.sinn,... oder das Newtonverfahren: 0 =, n+ 1 = n n ε.sinn 1 ε.cos (Hinweis: In der Astronomie bezeichnet man den Winkel ν als Wahre Anomalie und den Winkel als ittlere Anomalie) n Schwarz Alfred Zeitgleichung Seite 3
b) kliptik: ine zweite Änderung der idealisierten Verhältnisse ergibt sich daraus, dass die rdachse nicht senkrecht auf die bene der rdbahn um die Sonne steht. Die Äquatorebene der rde ist um etwa γ = 3, 44 gegenüber der rdbahnebene geneigt. ine Drehung in der rdbahnebene um einen Winkel α entspricht daher nicht einer Drehung um denselben Winkel in der Äquatorebene. Der Winkel α muss zuerst in die Äquatorebene projiziert werden: β = tan 1 ( tanα.cos 3. Zusammenschau aller ffekte: Wir wollen nun die Auswirkungen der oben beschriebenen ffekte im Laufe des Jahres beobachten: Schwarz Alfred Zeitgleichung Seite 4
Phase 1: Die rde befindet sich im Perihel. Der Winkel zwischen dem einfallenden Sonnenstrahl und der Schnittgeraden von rdbahnebene und Äquatorebene beträgt ν 1. Wir legen den Nullpunkt für die essung des von der rde auf ihrer Bahn um die Sonne zurückgelegten Winkels (= wahre Anomalie) durch den einfallenden Lichtstrahl im Perihel fest. Den Nullpunkt für die Bewegung des ittagsmeridians (blau) können wir beliebig festlegen. ine öglichkeit wäre, ihn ebenfalls mit dem einfallenden Sonnenstrahl zu fixieren. In der Praxis wird er jedoch so festgelegt, dass der Winkel zur Schnittgeraden von rdbahnebene und kliptikebene gleich groß ist, wie der Winkel ν 1. s gilt dann 1 = ν1. Zwei Gründe sprechen für diese Wahl des Nullpunktes: Falls der Winkel γ zwischen rdbahnebene und Äquatorebene Null wäre, dann würden die beiden Nullpunkte zusammenfallen. Falls die rde sich auf einer Kreisbahn bewegen würde, dann wären die Winkelgeschwindigkeiten für und ν gleich groß und die Winkel 1 und ν 1 würden im gleichen Zeitabschnitt zurückgelegt werden. Dies hätte zur Folge, dass im Frühlingspunkt ( ) die Zeitgleichung Null wäre. Wenn wir nun die Nullpunkte für die beiden Winkelmessungen (Bewegung der rde um die Sonne, Bewegung des ittagsmeridians) wie oben beschrieben festlegen, dann hat dies zur Folge, dass die eridiane durch die beiden Nullpunkte nicht zusammenfallen. s ergibt sich ein Differenzwinkel zwischen ihnen. Der ittagsmeridian (blau) läuft dem eridian durch den Nullpunkt der wahren Anomalie (orange) nach. Die Sonnenuhr geht daher nach. Das Ausmaß der Differenz können wir berechnen, indem wir den Winkel ν 1 auf die kliptikebene projizieren: ν1 = tan 1 (tanν1.cos und anschließend die Differenz zu 1 bilden. Division durch 4 (h) und ultiplikation mit 60 (min) ergeben die Zeitdifferenz. (für 008: ν1 = 76, 94, γ = 3, 44 ergibt die Winkeldifferenz 1,13 und die Zeitdifferenz 4,5 min.) Phase : Nun betrachten wir die rde im Frühlingspunkt. Der Sonnenstrahl fällt genau in der Richtung der Schnittgeraden von rdbahnebene und Äquatorebene ein. Die rde hat sich um den Winkel ν Υ = ν 1 auf ihrer Bahn weitergedreht. Da sich jedoch die rde auf einer llipsenbahn bewegt und die Geschwindigkeit während des Jahres variiert, hat der ittagsmeridian in dieser Zeit nicht denselben Winkel zurückgelegt. Der vom ittagsmeridian zurückgelegte Winkel Υ ist kleiner als ν Υ. s ergibt sich wieder eine Zeitverschiebung zwischen dem ittagsmeridian (blau) und dem eridian durch den einfallenden Sonnenstrahl (orange). Ihr Wert beträgt Υ 1 (bzw. Υ ν1). (für 008: Υ = 75, 065 ergibt die Winkeldifferenz 1.859 und die Zeitdifferenz 7,436 min.) Schwarz Alfred Zeitgleichung Seite 5
Phase 3: Zuletzt wollen wir die Zeitgleichung für einen beliebigen Zeitpunkt berechnen. Wir bezeichnen den von der rde auf ihrer Bahn zurückgelegten Winkel ν und den vom ittagsmeridian zurückgelegten Winkel. Der seit dem Frühlingspunkt von der rde zurückgelegte Winkelweg beträgt dann ν = ν ν1. Die Projektion dieses Winkels auf die kliptikebene ergibt den Wert ( tan( ν ).cos tan Der ittagsmeridian hat seit dem Frühlingspunkt den Winkel = 1 = ν1 zurückgelegt. Die Differenz der beiden Winkel beträgt also: tan ( tan( ν ).cos (z.b. 0. 5. 008: ν = 136, 760, = 135, 437 ergibt die Winkeldifferenz 0,865 und die Zeitdifferenz 3,64 min) (Hinweis: In der Astronomie wurden folgende Bezeichnungen eingeführt:... ittlere Länge der Sonne ν... Wahre Länge der Sonne ( tan( ν ).cos tan... Rektaszension). 4. Praktische Durchführung: it den bisher angeführten Rechenschritten könnte man die Zeitgleichung für jeden Zeitpunkt berechnen, wenn man ν 1 und kennen würde. In der Wirklichkeit kommen aber noch folgende erschwerende Sachverhalte dazu: Weder die Lage des Perihels auf der rdbahn noch der Abstand zwischen Perihel und Frühlingspunkt noch die Schiefe der kliptik noch die xzentrizität der rdbahn sind konstant, sondern sie alle verändern sich im Laufe der Zeit. In der Praxis löst man die Schwierigkeiten durch folgende Schritte: an berechnet für einen gegebenen Zeitpunkt das Julianische Datum (dieses gibt die Zeit in Tagen an, die seit dem 1. Januar 471 (4713 v. Chr.) 1:00 Uhr vergangen sind; dem 1. Januar 000 1:00 Uhr entspricht zum Beispiel das Julianische Datum 451 545,0). Dann dividiert man die Differenz zu einem Referenzdatum (z.b. 1. Januar 000) durch ein Julianisches Jahrhundert (= 3655) und erhält den Anteil T des Julianischen Jahrhunderts, das seit dem Referenzdatum verstrichen ist. Anschließend verwendet man Näherungsformeln (von Jan eeus), welche die gewünschten Größen in Abhängigkeit von T festlegen: ittlere Anomalie: 3 = + mod 360 357,5910 35999,05030 * T 0,0001559 * T 0,00000048 * T Schwarz Alfred Zeitgleichung Seite 6
Numerische xzentrizität: ε = 0,016708634 0,00004037 * T Schiefe der kliptik: 0,000000167 * T γ = 3,4399111 0,013004 * T 0,00000016 * T Winkelweg, den die rde seit dem letzten Frühlingspunkt zurückgelegt hätte, wenn sie sich auf einer Kreisbahn bewegen würde: = 80,46645 + 36000,76983 * T 0,000303 * T mod 360 + V. Deklination und Stundenwinkel: Die Deklination δ bezeichnet den Winkel, unter dem der Sonnenstrahl auf die Äquatorialebene der rde trifft (siehe Abbildung). s gilt: δ = sin ( sin γ.sinν ) Den Stundenwinkel für die Wahre Ortszeit WOZ (bei dieser steht die Sonne um 1 Uhr genau im Süden) erhalten wir, indem wir: die koordinierte Weltzeit berechnen: UTC = Zeit, die in der jeweiligen Zeitzone gültige ist minus Zeitzone (OZ + GT), die Differenz (in inuten) zu 1:00 Uhr bilden, den Wert der Zeitgleichung addieren, das rgebnis durch 4 dividieren (60 inuten entsprechen 15 ), und zuletzt die geographische Länge λ addieren. τ = [( OZ (Zeitzone) 1 : 00) + ZG] 4 in min + λ Schwarz Alfred, A-40 Hellmonsödt, Sonnenhang 4, -mail: alfred.schwarz@eduhi.at Schwarz Alfred Zeitgleichung Seite 7