und damit wieder eine rationale Zahl.

4 Aufgabenlösungen 41 Lösungen zu den Typ-1-Aufgaben Inhaltsbereich Algebra und Geometrie 211 Die Menge der natürlichen Zahlen N = {, 1, 2, 3, } Die Menge der natürlichen Zahlen ohne die Zahl Null N* = {1, 2, } Die Menge der ganzen Zahlen Z = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3, } Die Menge der rationalen Zahlen (Bruchzahlen) Q = { a _ b a Z und b N*} Die Menge der reellen Zahlen R ist die Menge aller Zahlen der Zahlengerade und entsteht durch die Vereinigung der rationalen Zahlen (endliche und unendlich periodische Dezimalzahlen) und der irrationalen Zahlen (unendlich nichtperiodische Dezimalzahlen), zu denen z B die Zahlen 2 und π gehören 2 Z 5_ 2 Q 3,2 1 4 N (weil 3,2 1 4 = 32 ) 212 Richtig sind die Optionen 1 und 4 (1) Richtig! N = {, 1, 2, 3, } (2) alsch! π ist eine irrationale Zahl alsch! Nur rationale Zahlen sind als Brüche darstellbar (4) Richtig! Die Menge der rationalen Zahlen Q bildet zusammen mit der Menge der irrationalen Zahlen die Menge der reellen Zahlen R alsch! Alle natürlichen Zahlen sind auch reelle Zahlen, N R 213 Richtig sind die Optionen 1, 2 und 5 (1) Richtig! Jede natürliche Zahl ist auch eine reelle Zahl, da N R (2) Richtig! a _ b c_ d = ac bd und damit wieder eine rationale Zahl alsch! Gegenbeispiel: 2 3 = 1 Die natürlichen Zahlen sind bezüglich der Subtraktion (und auch Division) nicht abgeschlossen (4) alsch! Gegenbeispiel: 1 _ Die Division durch null ist nicht defi niert, liefert daher keine Zahl Richtig! Beispiel: 1 _ 3 3 = 1 214 In dieser Aufgabe sind die Teilmengenbeziehungen zwischen den Zahlenmengen darzustellen N Z Q R C, daher folgende Eintragungen in das Diagramm: C R Q Z N 144

41 Lösungen zu den Typ-1-Aufgaben 215 Richtig ist: Die Menge der rationalen Zahlen Q umfasst alle Zahlen, die in der orm a _ b mit a Z und b N* dargestellt werden können (1) (2) Richtig, da Q alsch, da die Menge der irrationalen Zahlen R \ Q entspricht alsch, da R alsch, da dies für die reellen Zahlen R gilt alsch, da als Lösungen von Gleichungen alle Zahlen möglich sind Richtig, da der Zähler eine beliebige ganze Zahl sein kann, der Nenner eine natürliche Zahl mit Ausnahme von Null 216 Richtig ist: Die Menge der reellen Zahlen R entsteht durch Vereinigung der Menge Q mit der Menge der irrationalen Zahlen, die beispielsweise auch die beiden Zahlen π und 2 enthält Erläuterung: Sowohl π als auch 2 sind irrationale Zahlen, e ist auch eine irrationale Zahl, aber 4 ist die natürliche Zahl 2 und 2 ist eine komplexe Zahl 217 311 = 3,11 1 8,32 = 3,2 1 3 218 Richtig sind die Optionen 1 und 4 (1) (2) Richtig! Addieren eines Terms zu beiden Seiten ist eine Äquivalenzumformung, verändert also die Lösungsmenge der Gleichung nicht alsch! Beidseitiges Multiplizieren mit einem beliebigen Term ist keine Äquivalenzumformung, wenn nicht ausgeschlossen ist, dass dieser Term den Wert null annehmen kann So hat etwa die Gleichung 3 x = 6 die Lösungsmenge L = {2} Die Multiplikation der Gleichung mit dem Term T liefert T 3 x = T 6 und damit ist für T = jedes x aus der Grundmenge Lösung alsch! Keine Äquivalenzumformung, da bei beidseitigem Quadrieren einer Gleichung Vorzeichen verloren gehen können So wird z B x = x zu x 2 = x 2 und damit ändert sich die Lösungsmenge von L = {} auf L = R (4) Richtig! Beidseitiges Dividieren mit einer Variablen ungleich null ist eine Äquivalenzumformung alsch! Keine Äquivalenzumformung, da beim Bilden eines Kehrwerts eine Division durch null nicht ausgeschlossen ist 219 Richtig ist Option 3 Eine Gleichung ist lösbar, wenn sie mindestens eine Lösung besitzt Damit wird weder eine konkrete Aussage über die Anzahl der Lösungen gemacht, noch darüber, ob es ein Verfahren zur Berechnung der Lösung(en) gibt 211 f = a b (a + b) f = a b a f + b f = a b a f a b = b f a + b a (f b) = b f a = b f f b oder a = b f b f 2111 R = R (1 + α t) R = R + R α t R R = R α t t = R R R α 2112 = G m 1 m 2 r 2 = G m r 2 1 m 2 r 2 = G m 1 m 2 r = G m1 m 2 oder r = G m 1 m 2 oder r = _ G m 1 m 2 145

2113 Richtig sind die Optionen 1 und 4 (1) Richtig! b = α L 2 (Gleichung mit b multiplizieren und durch L dividieren) L (2) alsch! Richtig wäre α = _ L b + L 2 2 alsch! Richtig wäre L 2 = b L + α 2 (4) Richtig! L 2 = α b L alsch! Richtig wären die Lösungen der quadratischen Gleichung α 2 L 2 b L = Tipp: Bei Aufgaben dieser Art kann folgende Strategie hilfreich sein: Wenn man die Variablen mit konkreten Zahlen belegt (hier z B b = 1, L = 2 usw, Null besser nicht verwenden!) und damit die Werte der Terme berechnet, ist es meist möglich, die Auswahl einzuschränken Weichen nämlich Werte in einer Option vom Sollwert der Angabe (Gleichung, Term) ab, dann ist diese Option falsch! Sollten die Werte passen, dann ist das natürlich kein Beweis, dass eine Option immer richtig ist, aber gerade bei 2-aus-5- und 1-aus-6-ormaten ist man oft schon (fast) am Ziel 2114 Richtig sind die Optionen 1, 3 und 5 M = (P 2N) M = P 6N 2 M + 6N 2 = P P = M + 6N 2 P = M + 6N2 (Option 5) P = M + 6N2 (1) Richtig! Siehe obige Rechnung (2) alsch! Vorzeichen Minus ist falsch! Richtig! Siehe obige Rechnung M (Option 3) P = + 2N (Option 1) (4) alsch! älschlicherweise mit 3 multipliziert, statt korrekt durch 3 zu dividieren Richtig! Siehe obige Rechnung 2115 Bei der Lösung der Gleichung ist zu beachten, ob die Unbekannte x als Exponent oder als Basis der Potenz gegeben ist Damit entscheidet sich, ob die Lösung mit Hilfe eines Logarithmus oder einer Wurzel dargestellt werden kann a) x = log 3 5 (da x in der Gleichung Exponent und a x = b x = log a b) b) x = 3 5 (da x in der Gleichung Basis) 2116 Richtig ist Option 4 Erläuterung: Wenn man in der Einheit Zentimeter rechnet, ist die Gleichung (f + 1,5) 1,5 = 42 zu lösen Als Lösung ergibt sich f = 26,5 cm 2117 Richtig sind die Optionen 3 und 4 (1) alsch! Da der Vorverkaufspreis hier nicht um 1 % reduziert wurde, sondern um den Absolutwert,1 Die angegebene Berechnung des Gewinns würde nur dann korrekt erfolgen, wenn die Eintrittskarten genau 1 Euro gekostet hätten (2) alsch! Hier wurde die Summe der verkauften Karten mit der Summe der Preise multipliziert (4) Richtig! Die ormel besteht aus den Einnahmen wie beim ersten Konzert (m v + n a) minus der Preisreduktion für m Vorverkaufskarten (,1 m v) abzüglich der Mindereinnahmen an der Abendkasse ( 6 a) zuzüglich der Einnahmen für die zusätzlich verkauften, allerdings preisreduzierten Vorverkaufskarten (+ 18 v) Die ormel ergibt sich auch, wenn man die ormel aus Option 4 ausmultipliziert und umordnet Richtig! Die Gleichung beschreibt die erhöhte Anzahl der Vorverkaufskarten mal dem auf 9% reduzierten Vorverkaufspreis plus die verminderte Anzahl der Abendkassekarten mal dem unveränderten Preis dieser Karten alsch! Die Preisreduktion bezieht sich hier nur auf m Vorverkaufskarten und nicht wie korrekt auf alle (m + 2) Vorverkaufskarten 146

42 Lösungen zu den Typ-2-Aufgaben (1) Richtig! 128 7227 1,775 (2) Richtig! 59 + 5467 + 4461,495 295 alsch! Länder mit größerem Rückgang untersuchen; : I: (4) alsch! 4949 539,68; Au: 539 2971 2 98 5,21 298 5 1216 13759,116 13759 51615 54642,55 ; 54642 Richtig! ARG: 18576 16388 = 21 88; Chile: 1778 9979 = 799; Südafrika: 97 75 91 28 = 647 321 Luftdruck und Bergsteigen a) Angesprochene Grundkompetenzen: A51, A52 Berechnen der unktionsgleichung Ansatz mittels Exponentialfunktion entweder in der orm (1) p (h) = p a h oder in der orm (2) p (h) = p e k h (1) 5 = 113 a 55 a = 55 5 113,9998716, daher p (h) = 113,9998716h oder (2) 5 = 113 e k 55 k 1,2838 1 4, daher p (h) = 1 13 e 1,2939 1 4 h Berechnen der Meereshöhe und des Luftdrucks am Gipfel Uhuru Peak als höchster Punkt: h = 5895 m p(5 895) 475 mbar b) Angesprochene Grundkompetenzen: AG21, A13, A14 Bestimmen eines Luftdruckintervalls Es muss die Einheit uß in Meter und umgekehrt umgerechnet werden Beachtet man, dass 1 ft etwa,348 m entspricht, so erhält man als Umrechnungsformel: x [m] =,348 x [ft] Der Gipfel liegt auf 2928 ft, daher 2928,348 8 848,7 [m] Luftdruckintervall: [ 32 mbar; 41 mbar] Ermitteln der Todesgrenze Die Todesgrenze liegt zwischen den Lagern Camp II und Camp III: 7 22966 [ft],348 p(h) 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 91 h in m 322 Section Control a) Angesprochene Grundkompetenzen: AG21, A17 Berechnen der für das Zurücklegen einer Strecke benötigten Zeit Umrechnung der Einheiten von km/h auf m/s ist durchzuführen: 1 m/s = 3,6 km/h 8 km/h 22,22 m/s; 92 km/h 25,56 m/s Eine gleichförmige Bewegung in einem Zeit-Weg-Diagramm wird durch eine Gerade, d h eine lineare unktion, dargestellt: s = v t t = s _ v 8 km/h: t 1 = 229 22,22 13,5 s; 92 km/h: t 2 = 229 25,56 89,61 s b) Angesprochene Grundkompetenzen: AG23, A22, AN31, AN42, AN43 Berechnen von v () und Interpretieren des Ergebnisses v() entspricht der Geschwindigkeit beim Einfahren in den Tunnel, v() = 3 m/s 18 km/h Der im Zeitintervall [t 1 ; t 2 ] zurückgelegte Weg ist seinem Betrag nach gleich dem Inhalt jenes lächenstücks, das der Graph der Geschwindigkeitsfunktion in einem Weg-Zeit-Diagramm mit der x-achse (Zeitachse) einschließt Daher kann der zurückgelegte Weg als bestimmtes Integral s(t) = t 1 t 2 v (t)dt berechnet werden 237

2 Berechnen von v (t) dt und Interpretieren des Ergebnisses 2 2 v (t) dt = [,5 t + 3] dt = [,25 t 2 + 3 t] 2 = 5 [m] entspricht daher dem in den ersten 2 Sekunden im Tunnel zurückgelegten Weg Die Geschwindigkeit auf der verbleibenden Wegstrecke im Tunnel beträgt v(2) = 2 m/s 229 5 Die dafür benötigte Zeit t 3 ist gegeben durch t 3 = = 89,5 [s] 2 Die Durchschnittsgeschwindigkeit im Tunnel beträgt _ v = 2 29 2 + 89,5 2,91 [m s ] Die mittlere Geschwindigkeit im Tunnel liegt also unter 8 km/h c) Angesprochene Grundkompetenzen: A61, A62, A63 Berechnen der Schwingungsfrequenzen Schwingungsvorgänge sind periodische Vorgänge, daher sind sie durch eine Sinusfunktion beschreibbar Zur Beschreibung der Abnahme der Amplitude bietet sich im vorliegenden all eine Exponentialfunktion an Abb 1: Straße Aufbau: T =,8 s f = 1 _ T = 1,25 Hz; Straße Rad: T =,8 s f = 1,25 Hz Abb 2: in beiden ällen: T =,8 s, daher wiederum f = 1,25 Hz Beruhigtes System Im all der in Abb 1 dargestellten Schwingung nimmt die Amplitude nach etwa 3 Sekunden auf sehr kleine Werte ab Im zweiten all (Abb 2) ist dies erst nach etwa 5 Sekunden der all Offensichtlich ist im zweiten all die Dämpfung geringer weicher gefedertes Auto oder defekte Stoßdämpfer 323 Industrieproduktion a) Angesprochene Grundkompetenzen: AG22, A13, A22 Punkte auf einer Geraden Die drei Punkte liegen dann auf einer Geraden, wenn der Anstieg k 1 für die Gerade durch P 1 = (2 6) und P 2 = (1 1272) gleich dem Anstieg der Geraden durch P 1 und P 3 = (18 1944) ist k = y 2 y 1 x 2 x ; k 1 1 = 1272 6 = 84; k 1 2 2 = 1 944 6 = 84 k 18 2 1 = k 2 Alternative Lösungswege: 1 Man bestimmt eine Gerade durch zwei Punkte (zb P 1 und P 2 ) und überprüft dann, ob der dritte Punkt ebenfalls auf der Geraden liegt 2 Man berechnet die beiden Vektoren P 1 P 2 und P 1 P 3 und zeigt dann, dass der zweite Vektor ein Vielfaches des ersten ist b) Angesprochene Grundkompetenzen: A15, A41, A44 Skizzieren einer Polynomfunktion 25 2 15 1 5 Kosten in GE Bestimmen des Grades einer Polynomfunktion Die unktion ist im angegebenen Bereich streng monoton steigend, die Punkte liegen nicht auf einer Geraden, außerdem ändert sich offensichtlich das Krümmungsverhalten Daher muss der Grad der Polynomfunktion mindestens drei sein 5 1 15 2 Menge in t 238