1 Lernliste 1.1 Relationen reflexiv, symmetrisch, asymmetrisch, antisymmetrisch, transitiv, linaer konnex Äquivalenzrelation, Kongruenzrelation Klasseneinteilung Hauptsatz über Äquivalenzrelationen Jede Äquivalenzrelation induziert in kanonischer Weise eine Klasseneinteilung und umgekehrt. 1.2 Gruppen Halbgruppe (zu jedem Element der HG gibt es ein linksneutrales und linksinverses Element, beide sind eindeutig bestimmt, Links- und Rechtstranslation sind surjektiv bzw. bijektiv) Gruppe, Untergruppe, Beispiele Transformationsgruppen, Wirkung, Invariante, Fixpunkt, Orbit, treu, (scharf) transitiv, Isotropiegruppe innerer Automorphismus, Normalteiler Homomorphiesatz für Gruppen Die Faktorgruppe einer Grupe nach dem Kern eines Homomorphismus ist isomorph zum vollen Bild der der Gruppe bei diesem Homomorphismus. Kardinalzahl Satz von Langrange Die Ordnung einer Gruppe ist gleich dem Produkt der Ordnung einer Untergruppe und dem Index dieser Untergruppe. Kleiner Fermatscher Satz einfache Gruppen Kommutator, Kommutatorgrupe, Normalreihe, auflösbare Gruppe Homomorphismus, Isomorphismus, Automorphismus, Epimorphismus Allgemeiner Homomorphiesatz Ist R eine Kongruenzrelation auf der allgemeinen Algebra A = (M, V, R), so ist die kanonische Abbildung κ : M M/ R mit κ(a) = a := {x M : (a, x) R} ein Homomorphismus von A auf die Faktoralgebra A/ R. 1
Ist umgekehrt ϕ ein Homomorphismus von A auf eine Algebra A vom gleichen Typ, so wird R mit (x, y) R : ϕ(x) = ϕ(y) eine Kongruenzrelation auf A und die Faktorstruktur A/ R ist isomorph zu A. volles Bild (Image), Urbild (Kern) Satz von Cayley Jede Gruppe ist isomorph zu einer Transformationsgruppe. Faktorgruppen Homomorphiesatz für Gruppen Ist ϕ ein Homomorphismus einer Gruppe G in eine Gruppe H, so ist die Faktorgruppe G/ ker ϕ isomorph zur Gruppe Iϕ. 1.3 Ringe und Körper 1.3.1 Ringe Ringe, kommutativ, Ring mit Einselement, Unterring, Beispiele Nullteiler, Integritätsbereich Jeder nichttriviale endliche nullteilerfreie Ring ist ein Körper. Quotientenkörper Polynomring, Nullstelle, normiert Satz über Division mit Rest Ist R ein Integritätsbereich, so existieren zu jedem α R[x] und jedem normierten β R[x] eindeutig bestimmte Polynome γ, ρ R[x] mit α = γ β + ρ und es gilt, dass der Grad von ρ kleiner als der Grad von β ist. Teiler, Primelement, irreduzibel Ideal, Hauptideal, Hauptidealring 1.3.2 Körper Schiefkörper, Körper, Beispiele Modul Körper der rationalen Funktionen, Charakteristik Körpererweiterung, Zwischenkörper, Primkörper Grad der Körpererweiterung, Gradformel algebraische und transzendente Zahlen 2
Jede endliche Körpererweiterung ist algebraisch. Minimalpolynom Satz von Kronecker Zu jedem Polynom f L[x] mindestens ersten Grades öber einem Körper L existiert stets ein Erweiterungskörper und ein a K mit f(a) = 0. 1.4 Gruppentheoretischer Aufbau der Geometrie Affine Inzidenzebenen invariantes involutorisches Erzeugendensystem, Axiome Anstieg, Anstiegsgerade, Abschnitt Ternärkörper, affine Koordinatenebene Loop, Doppelloop Affiner Satz von Desargues und Pappos Satz von Wedderburn Jeder endliche Schiefkörper ist ein Körper. (ohne Beweis) 1.5 Konstruktion mit Zirkel und Lineal Grundobjekte, Menge aller konstruierbaren Objekte Satz von Gauss Für natürliche Zahlen mit n 3 sind folgende Aussagen äquivalent: 1. Das reguläre n-eck ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar. 2. Für die Eulersche ϕ-funktion gilt ϕ(n) ist eine Potenz von 2. 3. n = 2 m p 1 p r mit m, r N und p i = 2 2s i + 1 ist eine Fermatsche Primzahl. Quadratur des Kreises Zu jedem gegebenen Kreis kann mit Zirkel und Lineal kein inhaltsgleiches Quadrat konstruiert werden. punktmengengeometrische Fassung von Tarski Zerlegungsstruktur, Kleinscher Raum Hauptsatz über Zerlegungsstrukturen, Formales Hauptkriterium Verdoppelung des Würfels Dreiteilung des Winkels 3
1.6 Lineare Räume linearer Raum (Vektorraum), Beispiele, Unterräume Linearkombination lineare Hülle Satz von den Eigenschaften der linearen Hülle Für beliebige Teilmengen A, B eines Vektorraumes V gilt: 1. lin(a) = A U U (U linearer Unterraum von V ) 2. Ist A ein linearer Unterraum von V, so ist die lineare Hülle von A gleich A 3. Die lineare Hülle ist ein Hüllenoperator auf V, es gilt: lin : 2 V 2 V A lin(a) A B lin(a) lin(b) lin(lin(a)) = lin(a) lineare Unabhängigkeit Basis Basissatz für Vektorräume Jeder Vektorraum besitzt eine Basis und alle Basen desselben Vektorraumes sind gleichmächtig. (ohne Beweis) Austauschsatz von Steinitz Wenn B eine Basis des Vektorraumes V und C = c 1,..., c r eine linear unabhängige Menge von Vektoren aus V ist, dann existieren Basiselemente b 1,..., b r B, so dass B := C (B\{b 1,..., b r }) wieder eine Basis von V ist. (Basiselemente können durch andere linear unabhängige ersetzt werden. Dimension 1.7 Lineare Abbildungen, Gleichungssysteme, etc. lineare Abbildung, Beispiele Hauptsatz über endlichdimensionale lineare Räume Jeder lineare Raum (V, +, K) dessen Dimension eine natürliche Zahl ist (dim V = n N), ist isomorph zum Raum K n. Rang Dimensionssatz für lineare Abbildungen Für alle linearen Abbildungen ϕ L(V, W ) eines endlichdimensionalen linearen Raumes V in einen linearen Raum W gilt dim ker ϕ + rgϕ = dim V. 4
Matrix, Algebra, Endomorphismenring invertierbare Matrix Determinante Charakterisierung der Determinanten nach Weierstraß Laplacescher Entwicklungssatz lineares Gleichungssystem Hauptsatz über lineare Gleichungssysteme Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der Systemmatrix ist. Ist das lineares Gleichungssystem Ax = b lösbar, so ist die Lösungsmenge (n r)- parametrig, wenn n die Anzahl der Unbekannten und r der Rang der Koeffizientenmatrix ist. Cramersche Regel Gaußscher Algorithmus 1.8 Affine Geometrie affiner Raum (vier Eigenschaften), affines Koordinatensystem, affiner Unterraum, affine Hülle Translation, translationsgleich, Translationsgleichheit ist Äquivalenzrelation affine Abbildung (zwei Eigenschaften), affine Transformation affine Kombination, konvexe Kombination, konvexe Hülle Dimension, affin unabhängig 1.9 Euklidische Geometrie Bilinearform, hermitesche Form, positiv definit, hermitesche und symmetrische Matrix, euklidischer linearen Raum Skalarprodukt Cauchy-Schwartzsche-Ungleichung Ist (V, f) ein euklidischer bzw. unitärer linearer Raum, so gilt x, y V f(x, y) 2 f(x, x) f(y, y). (Gleichheit gilt, wenn x, y linear unabhängig sind.) normierter Raum, metrischer Raum, Abstand, Orthogonalität Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren 5
orthogonale Gruppe Eigenwert, Eigenvektor, charakteristische Gleichung, charakteristisches Polynom Hauptachsentransformation 6