Didaktik der Analysis

Jürgen Roth Didaktik der Analysis Modul 12a: Fachdidaktische Bereiche 4.1

Inhalt Didaktik der Analysis 0 Organisatorisches 1 Ziele und Inhalte 2 Folgen und Vollständigkeit in R 3 Ableitungsbegriff 4 Integralbegriff 4.2

Greefrath et al. (2016). Didaktik der Analysis. Heidelberg: Springer Spektrum, S. 238-262 Danckwerts, R.; Vogel, D. (2006). Analysis verständlich unterrichten. Heidelberg: Spektrum Akad. Verlag Büchter, A.; Henn, H.-W. (2010). Elementare Analysis. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag Didaktik der Analysis Kapitel 4: Integralbegriff 4.3

Integral-Quiz Anleitung Klaus-Dieter Arndt (1995). Integral-Quiz. In: Die etwas andere Aufgabe. mathematik lehren 72, S. 67 Reihen Sie die Kennbuchstaben der richtigen Aussagen aneinander. Es ergibt sich ein Lösungsspruch auf sprachlich eher mäßigem Niveau. Wichtig: Bei jeder Frage sind mehrere richtige Antworten möglich. Aufgabe 1: Was bedeutet die Aussage f ist auf [a, b] integrierbar genau? E f ist im Intervall [a, b] differenzierbar. K f ist im Intervall [a, b] stetig. O f hat im Intervall [a, b] eine Stammfunktion. M Obersummengrenzwert = Untersummengrenzwert 4.4

Integral-Quiz Aufgabe 2: Klaus-Dieter Arndt (1995). Integral-Quiz. In: Die etwas andere Aufgabe. mathematik lehren 72, S. 67 Unter welchen Bedingungen gilt: a b f x dx a b g x dx A Z D T Es ist a b und f x g(x) auf [a, b]. Es ist a > b und f x g(x) auf [a, b]. Es ist a < b und f x g(x) auf [a, b]. Es ist a > b und f x g(x) auf [a, b]. Aufgabe 3: Unter welchen Bedingungen gilt: a b f x dx = b a f x dx (f sein integrierbar.) H E I T Falls f(x) 0 auf [a, b] ist. Falls a = b ist. Falls f eine ungerade Funktion und a = b ist. Falls f eine gerade Funktion und a = b ist. 4.5

Integral-Quiz Klaus-Dieter Arndt (1995). Integral-Quiz. In: Die etwas andere Aufgabe. mathematik lehren 72, S. 67 Aufgabe 4: a Unter welchen Bedingungen gilt: a f x dx = 0 (f sein integrierbar; a 0) A Falls f x = x 2 ist. Z Falls f x = 1 ist. x S Falls f(x) 0 ist. M Falls f eine gerade Funktion ist. Aufgabe 5: a a Unter welchen Bedingungen gilt: a f x dx = 2 0 f x dx (f sein integrierbar und a > 0.) T Falls f(x) 0 auf [ a, a] ist. G Falls f auf [ a, a] eine gerade Funktion ist. O Falls f auf [ a, a] eine ungerade Funktion ist. E Falls f x = x auf [ a, a] ist. 4.6

Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Aufgabe 5 Aufgabe 6 Integral-Quiz Klaus-Dieter Arndt (1995). Integral-Quiz. In: Die etwas andere Aufgabe. mathematik lehren 72, S. 67 Aufgabe 6: I Berechnen Sie L du, und geben Sie an: [ ] ist der Minuend des Ergebnisses. [ ] ist der Subtrahend des Ergebnisses. Lösungsspruch MATHE IST GEIL 4.7

Grundvorstellungen zum Integralbegriff Orientierter Flächeninhalt Rekonstruktion der Wirkung bzw. des Gesamteffekts Mittelung Kummulation 4.8

zunehmende Abstraktion Entwicklung des Integralbegriffs Integral als Grenzwert von Produktsummen Produktsummen analytisch-exakt geometrisch-naiv allgemeine Rekonstruktion f I a (Hauptsatz) Mittelwert einer Funktion (konkrete) Rekonstruktion f f Rekonstruieren (diskretes) arithmetisches Mittel Mitteln 4.9

Inhalte 4 Integralbegriff 4.1 Integrieren als Bestimmen eines orientierten Flächeninhalts 4.2 Integrieren als Rekonstruieren 4.3 Integrieren als Mitteln 4.4 Integrieren als Kummulieren 4.4 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) 4.10

Kapitel 4: Integralbegriff 4.1 Integrieren als Bestimmen eines orientierten Flächeninhalts 4.11

TIMSS-Aufgabe Baumert et al. (Hrsg.) (1999). Testaufgaben zu TIMSS/III. Mathematisch-naturwissenschaftliche Grundbildung und voruniversitäre Mathematik und Physik der Abschlussklassen der Sekundarstufe II (Population 3). Berlin: Max-Planck-Institut für Bildungsforschung. S 1 ist der Inhalt der Fläche, die vom Graphen G f der Funktion f, von der x-achse und der Geraden x = a eingeschlossen wird. S 2 ist der Inhalt der Fläche, die vom Graphen G f der Funktion f, von der x-achse und der Geraden x = b eingeschlossen wird. Es ist a < b und 0 < S 2 < S 1. Der Wert des Integrals a b f x dx ist dann: a) S 1 + S 2 b) S 1 S 2 c) S 2 S 1 d) S 1 S 2 e) 1 2 S 1 + S 2 4.12

Wert des Integrals 4.13

Orientierter Flächeninhalt und Kummulation 4.14

Komplementarität von Flächeninhalt und Integral naiver Standpunkt Flächeninhalt Integral theoretischer (analytischer) Standpunkt 4.15

Kapitel 4: Integralbegriff 4.2 Integrieren als Rekonstruieren 4.16

Integrieren als Rekonstruieren Badewannenbeispiel In eine leere Badewanne wird 1 Minute lang Wasser eingelassen, dann die Wasserzufuhr gestoppt und gleichzeitig der Abfluss geöffnet. Nach weiteren 1,5 Minuten wird der Abfluss wieder geschlossen. Wie lässt sich aus der Zuflussgeschwindigkeit auf die Wassermenge V in der Wanne zum Zeitpunkt t schließen? 4.17

Integrieren als Rekonstruieren Badewannenbeispiel Zuflussphase 10 Liter min t min = 10 t Liter Also: V t = 10 t für 0 t 1 Nach einer Minute sind 10 Liter 1 min = 10 Liter min in der Wanne. Abflussphase 10 5 t 1 Liter V t = 10 5 t 1 für 1 < t 2,5 Nach zweieinhalb Minuten sind also 10 5 2,5 1 Liter = 2,5 Liter in der Wanne. 10 t für 0 t 1 V t = ቐ10 5 (t 1) für 1 < t 2,5 2,5 für t > 2,5 10 t und 5 t 1 sind Rechteckinhalte. V t ist die Summe vorzeichenbehafteter Rechteckinhalte, also ein orientierter Flächeninhalt. 4.18

Integrieren als Rekonstruieren 10 t für 0 t 1 V t = ቐ10 5 (t 1) für 1 < t 2,5 2,5 für t > 2,5 4.19

Integrieren als Rekonstruieren V t = 1 t 10t 2 für 0 t 1 1 10 5 (t 1) 2 für t > 1 4.20

Integrieren als Rekonstruieren Rückblick Aus der Zuflussgeschwindigkeit des Wasser zu jedem Zeitpunkt wurde die Wassermenge V(t) zu jedem Zeitpunkt rekonstruiert. Die Zuflussgeschwindigkeit ist die Ableitung V (t) (momentane Änderungsrate der Wassermenge in der Wanne). Aus der Änderungsrate V wurde die Funktion V wiederhergestellt. [wiederherstellen = integrare (lat.)] Vorteile des Beispiels Fokussiert auf das Grundverständnis Integrieren als Rekonstruieren. Unterstützt die Vorstellung Integral als orientierter Flächeninhalt. 4.21

Nichtlinearer Zufluss Zuflussgeschwindigkeit V (t) in Liter/Minute t Zeit t in Minuten 4.22

Nichtlinearer Zufluss Idee Die Zuflussgeschwindigkeit ist im Kleinen, d. h. bei genügend kleinen Zeitintervallen t, t + Δt nahezu konstant. In jedem Zeitintervall t, t + Δt kann man wie oben vorgehen. V V Was trägt V im Zeitintervall t, t + Δt zum Gesamteffekt bei? Da V die momentane Änderungsrate von V ist, gilt für kleine Δt in guter Näherung V t ΔV also ΔV V t Δt. Δt Dies ist der Zuwachs der Wassermenge im Zeitintervall Δt, geometrisch zu deuten als kleiner (orientierter) Rechteckinhalt. t Δt t 4.23

Nichtlinearer Zufluss Zur Rekonstruktion der Wassermenge zu einem beliebigen Zeitpunkt t sind die Zuwächse längs aller Teilintervalle aufzusummieren, in die das Intervall [0, t] zerlegt gedacht war. Geometrisch gedeutet, ist der rekonstruierte Wert V(t) die Summe aller dieser kleinen (orientierten) Rechteckinhalte. Diese unterscheidet sich bei genügend kleiner Streifenbreite beliebig wenig von dem (orientierten) Inhalt der Fläche unter V. V t V t Grundverständnis Integrieren als Rekonstruieren stützt sich auf die Vorstellungen vom Kumulieren und vom Gesamteffekt. 4.24

Integralfunktion Bemerkung Der Übergang zum orientierten Inhalt ist nicht daran gebunden, dass die berandende Funktion Ableitung einer anderen ist. Es liegt nahe, den Übergang von dieser Voraussetzung zu lösen. a + + f I a x (Summe der Inhalte aller oberhalb der x- Achse gelegenen Flächenstücke zwischen a und x) (Summe der Inhalte aller unterhalb der x-achse gelegenen Flächenstücke zwischen a und x) x b Definition Zu einer Berandung f: a, b R gehört die Integralfunktion I a, die jedem x [a, b] den orientierten Inhalt der Flächen zuordnet, die f mit der x-achse zwischen a und x einschließt. Die Funktionswerte der Integralfunktion heißen Integrale. 4.25

Kapitel 4: Integralbegriff 4.3 Integrieren als Mitteln 4.26

Mittelwertbildung bei linearen Funktionen Inhaltlich als Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm deuten Gesucht Mittelwert einer linearen Funktion in einem Intervall [a, b]. Der Mittelwert wird in der Mitte des Intervalls angenommen. Der mittlere Funktionswert kann genutzt werden, um den Flächeninhalt I a (b) unter dem Graph von f als Rechteck zu realisieren. Damit gilt: I a b = b a f x 0 f(x 0 ) a x 0 b f f Für den Mittelwert f x 0 f x 0 = 1 I b a a b folgt: f(x 0 ) a x 0 b 4.27

Mittelwertbildung einer Messreihe Gesucht: Mittelwert einer Messreihe aus n Messwerten y 1, y 2,, y n zu äquidistanten Zeitpunkten x 1, x 2,, x n. Ergebnis: Der gesuchte Mittelwert ist das arithmetische Mittel der Messwerte y 1, y 2,, y n n y 1 y 2 y n തy = 1 n y 1 + + y n = 1 n i=1 y i. Messwerte als diskrete Realisierung eines stetigen Funktionsverlaufs f. Algebraische Umformung der arithmetischen Mittels liefert: n n x 1 x 2 x n 1 x n f തy = 1 n i=1 y i = 1 n i=1 f x i y 1 y 2 y n = 1 n b a f x i i=1 b a n 1 b a I a b a x 1 x 2 x n 1 x n = b 4.28

Mittelwert einer Funktion f im Intervall [a, b] Bemerkung Aus den Beispielen folgt, dass es sinnvoll ist, unter der Zahl μ f = 1 b a I a(b) den Mittelwert einer Funktion f im Intervall [a, b] zu verstehen. Es gilt: Speziell: x I a x = න f t dt a b b I a b = න f t dt = න f x dx a a 4.29

Kapitel 4: Integralbegriff 4.4 Integrieren als Kummulieren 4.30

Idee des Integrieren als Kummulieren Integral als Prozess des Aufsummierens von Teilprodukten zu einer Produktsumme. 4.31

Integrieren als Rekonstruieren 10 t für 0 t 1 V t = ቐ10 5 (t 1) für 1 < t 2,5 2,5 für t > 2,5 4.32

Kapitel 4: Integralbegriff 4.4 Hauptsatz der Differentialund Integralrechnung (HDI) 4.33

Auf dem Weg zum Hauptsatz Behauptung Die Ableitung der Integralfunktion ist die Berandungsfunktion. Begründung a x x + h Der absolute Zuwachs von I a, das Flächenstück I a x + h I a (x), lässt sich durch Rechteckflächen abschätzen: f x h I a x + h I a x f x + h h Für den relativen Zuwachs von I a (mittl. Änderungsrate ΔI a h ) folgt: f x I a x+h I a x h f x + h (*) Die Integralfunktion I a hat an der Stelle x die Eigenschaft I a = f, wenn f(x + h) für h 0 gegen f(x) strebt (d. h. f stetig in x ist). Dann folgt aus (*): I f x lim a x+h I a x h 0 h f x I a x = f x f I a x + h I a (x) 4.34

Genauer: Auf dem Weg zum Hauptsatz Behauptung Die Ableitung der Integralfunktion ist die Berandungsfunktion. Begründung a x x + h Der absolute Zuwachs von I a, das Flächenstück I a x + h I a (x), lässt sich durch Rechteckflächen abschätzen: min f x, f x + h h I a x + h I a x max f x, f x + h h Für den relativen Zuwachs von I a (mittl. Änderungsrate ΔI a ) folgt: h min f x, f x + h max f x, f x + h (*) I a x+h I a x h Die Integralfunktion I a hat an der Stelle x die Eigenschaft I a = f, wenn f(x + h) für h 0 gegen f(x) strebt (d. h. f stetig in x ist). Dann folgt aus (*): f x lim I a x+h I a x h 0 h f x I a x = f x f I a x + h I a (x) 4.35

Hauptsatz der Differentialund Integralrechnung (HDI) Vorstellung Wenn man die von f berandete Fläche mit Farbe streicht und dabei gleichmäßig von a nach rechts läuft, dann ist der Verbrauch an Farbe proportional zum Funktionswert von f an der Stelle, an der man sich gerade befindet. a x f Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Ist f: a, b R in x [a, b] stetig, dann ist die Integralfunktion I a dort differenzierbar und es gilt: I a x = f(x) Kurz: Die Integralfunktion ist eine Stammfunktion der Berandungsfunktion. 4.36

Hauptsatz der Differentialund Integralrechnung (HDI) Bemerkung Die auf Folie 4.36 angegebene Formulierung des HDI, kann nur voll durchschaut werden, wenn Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit als analytisch definierte Begriffe verfügbar sind. Dies wird im Analysisunterricht der Oberstufe nicht erreicht. Die schulische Bedeutung des HDI liegt darin, dass er ein Instrument zur Berechnung von Integralen zur Verfügung stellt. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Integralfunktionen zu einer Funktion f lassen sich finden, wenn man irgendeine Stammfunktion F von f sucht und die Differenz berechnet. I a x = F x F a mit x a, b 4.37

Differenzieren und Integrieren sind Umkehroperationen Übergang zur lokalen Änderungsrate g g I a = g Differenzieren Übergang zur Integralfunktion Integrieren ( Rekonstruieren ) Übergang zur Integralfunktion f I a I a = f Integrieren ( Rekonstruieren ) Übergang zur lokalen Änderungsrate Differenzieren 4.38

Wasserhahn-Applets vernetzen Grundvorstellungen https://www.geogebra.org/b/m5tkjruv 4.39

Integralbegriff: Inhaltliche Aspekte und Vorstellungen Stammfunktion Aspekte Rekonstruieren Mitteln Unterliegende Vorstellungen Kumulieren (Prozess) Gesamteffekt (Produkt) Flächeninhalt 4.42