Mechanik der Kontinua Guido Schmitz, 30.01.0 4..5 Beispiel : Schubmodul (shear modulus) Das Schubmodul beschreibt die eaktion der Probe auf eine Scher (Schub)spannung. Wie in der Abbildung angedeutet, wirkt jetzt die Kraft tangential auf zwei gegenüberliegenden Seitenflächen des quaderförmigen Volumens. Das Schubmodul beschreibe den Zusammenhang zwischen Scherwinkel und Schubspannung τ s G α (4.6) Um den Zusammenhang zwischen G und sowie ν abzuleiten zerlegen wir das Problem in zwei Schritte. Wesentlich hier wieder das Superpositionsprinzip der linearen Theorie: Zunächst berechnen wir in einer Vorüberlegung die Dehnung eines Würfels, der in einer ichtung durch eine Zugkraft gedehnt und in dazu senkrechter ichtung durch eine betragsgleiche Kraft gestaucht wird: l 1 F A F 1+ ν + ν (4.7) l A (Auch die Druckspannung führt über die Querkontraktion zu einer Verlängerung.) Aus Symmetriegründen muss für die Höhenabnahme der Probe gelten h F A l h l Jetzt betrachten wir unser Scherproblem. Soll die Belastung nur eine Verformung und keine Drehung der Probe hervorrufen, so müssen 4 Schubspannungen τ S F/A wie in der Zeichnung gezeigt an vier Seitenflächen angreifen. Wir betten den zu scherenden Würfel in ein um den Faktor grösseres Volumen ein. Offensichtlich erreichen wir die Spannung zur Abscherung auch durch eine Kombination von Zug und Druck-Kräften auf dieses äussere Volumen, wenn diese Kräfte proportional zur grösseren Oberfläche um einen Faktor grösser angesetzt werden. Für die Zug- und Druckspannung auf das große Volumen gilt also: F F σ Zug σ Druck A A Die Diagonalen des abzuscherenden Volumens stellen die Kanten des großen Volumens dar. Deren Längenänderungen ergeben sich gemäß unserer Vorüberlegung (Gl. 4.7) zu D 1+ ν F ± D A
Der Scherwinkel α hängt mit dieser Längenänderung zusammen (infache Trigonometrie): D D α D / D 1+ ν α τ S G (4.8) (1 + ν ) Gl. 4.8 ist der gesuchte Ausdruck für das Schubmodul. Ähnlich wie beim Kompressionsmodul muss auch hier für ein stabiles System gelten:! G > 0 ν > 1 (4.9) (Wir hatten allerdings schon gesehen, dass ν experimentell immer grösser als 0 gefunden wird.) Im Folgenden demonstrieren wir den insatz der elastischen Moduln zur Lösung von praktischen Problemen. 4..6 Biegung eines Balkens in zylindrischer Stab eines elastisch homogenen Materials werde einseitig eingespannt und am freien nde durch ein Gewicht belastet. Wir berechnen die Biegung des Balkens als eine Funktion y(x) unter der Annahme, dass der lokale Krümmungsradius immer sehr viel grösser bleibt als der Durchmesser des Stabes (kleine Biegungen, bei großer Biegung müssten wir ohnehin mit plastischer Verformung rechnen). Offensichtlich führt die Biegung an der Oberseite zu einer Dehnung des Materials, an der Unterseite hingegen zu einer Stauchung. Dazwischen muss sich die sogenannte neutrale Faser befinden, deren Länge bei der elastischen Verformung unverändert bleibt. Definieren wir die lokale y- Achse ausgehend von der neutralen Faser, wie in nebenstehender Skizze, so finden wir für die lokale Dehnung l + l l l l ( + y)ϑ ϑ y Aufgrund dieser Längenänderung trägt die Faser bei der radialen Höhe y mit einem Moment dm σ ( y) da y y da y zum ückstellmoment des gesamten Stabes bei. (da: Querschnitt der Faser bei y) Letzteres ergibt sich durch eine Integration über den Querschnitt des Stabes:
M M A dm I y : I da (4.10) Die geometrische Grösse I ist als Trägheitsmoment aus Physik I bekannt. Wir erkennen, um einen Stab möglichst steif gegen Verbiegung zu machen, muss möglichst viel Material in die Außenbereiche weit weg von der neutralen Faser gebracht werden. So erklärt sich die Verwendung von T- und H-Profilen bei Brücken und Kränen. Die Trägheitsmomente für einen Zylinder und einen Quader sind in der Abbildung angegeben. Bei einem rechteckigen Balken ist die Biegung viel geringer, wenn die längere Kante in ichtung der Krümmung ausgerichtet wird (Demonstrationsversuch in der Vorlesung). Bei komplizierteren Profilen geht die neutrale Faser durch den Schwerpunkt des Querschnitts, wegen Gleichheit der Zug und Druckkraft ober- und unterhalb der Faser. Den Verlauf der Krümmung entlang des Stabes ermitteln wir jetzt durch wenige weitere Schritte: Mathematisch ist die Krümmung einer Funktion z(x) gegeben durch 1 d z / dx d z (4.11) 3 / ( 1+ ( dz / dx) ) dx (Bei schwacher Krümmung können wir den Term (dz/dx) im Nenner vernachlässigen). Das Drehmoment, das das Gewicht am rechten nde auf den Stab bei x ausübt, muss durch das Biegemoment des Stabes kompensiert werden. Also: W ( L x) M ( x) I ( x) d z I dx Zweimaliges Integrieren mit andbedingung z(0)0 und dz/dx(0)0 liefert schließlich z( x) W I L x 3 x 6 (4.1) (Praktische Beispiele in der Vorlesung: i) Cantilever bei asterkraftmikroskopie, ii) Messung von Spannungen in dünnen Schichten über die Durchbiegung des Substrates)
4..7 lastische Stabilität Modellversuch in der Vorlesung: Wir belasten eine Stütze mit einer Druckkraft. Unter dieser Kraft wird die Stütze sich verbiegen. rstaunlicherweise tut sie das erst bei Überschreiten einer kritischen Kraft. Für eine weitere Verbiegung ist dann kaum eine rhöhung der Druckkraft nötig. Wir untersuchen dieses Phänomen quantitativ und berechnen insbesondere die Abhängigkeit der kritischen Kraft von Durchmesser und Länge der Stütze. Mit den Überlegungen aus 4..6 (Gl. 4.10) stellen wir die Bilanz der Momente bei Position x auf (siehe Skizze) I M ( x) F z( x) d z F z dx I DGl. 4.13 hat als Lösung (4.13) π x z C sin L I F π L : mit F c d z dx π L (4.14) z Wir sehen: Für kleine Biegungen ist F unabhängig von der Biegungsamplitude C. Unsere Interpretation ist: Für eine exakt axiale Kraft kann aus Symmetriegründen kein Biegemoment auftreten (In welche ichtung sollte sich die Stütze denn knicken?) Allerdings sind in der ealität immer kleine seitliche Fluktuationen vorhanden. Für Druckkräfte F<F c ist die Stütze stabil gegen solche Fluktuationen; für Druckkräfte F>F c gerät das System in ein instabiles Gleichgewicht. Jede noch so kleine Fluktuation führt dann zum Kollaps des elastischen Systems (Allerdings nimmt für große Biegungen das elastische ückstellmoment noch etwas zu. Das sieht man, wenn anstatt der Näherung für kleine Krümmung die vollständige Gl. 4.11 verwendet wird.) Das Stabilitätskriterium Gl. 4.14 wurde bereits von Leonhard uler im Jahre 1744 abgeleitet. Jeder Architekt oder Bauingenieur sollte es wohl kennen! 4.3. Kristalline Festkörper Bei sorgfältiger Vermessung werden viele igenschaften von Festkörpern anisotrop gefunden, d.h. ihre Stärke ändert sich mit der Messrichtung relativ zur Probe. Physiker sind oft geneigt, diese Komplikation zu vernachlässigen und wie in Abschnitt 4. als eine gute Näherung Isotropie anzunehmen. Die komplizierteren, realen Fälle werden dann den Ingenieuren überlassen. Dennoch gibt es in der Natur eben Phänomene, die erst durch die Anisotropie verstanden werden können (z.b. Drehung von Polarisationsebenen, Modellversuch in der Vorlesung: bevorzugte
Spaltflächen in LiF). Wir werden deshalb hier einen kurzen Abriss über den Zusammenhang zwischen der Anisotropie von igenschaften und dem inneren, zumeist kristallinen Aufbau von Materie geben. 4.3.1 Der Kristall: Spontane Brechung der Symmetrie des Kontinuums Die Thermodynamik erfordert für eine Probe im Gleichgewicht ein Minimum der Freien nthalpie. G H TS min! Mit abnehmender Temperatur nimmt der influß der ntropie ab, so dass für hinreichend tiefe Temperatur praktisch immer Konfigurationen minimaler nthalpie ( nergie, bei kondensierten Systemen) beobachtet werden. Hat ein Atom im Verbund zu seinen Nachbarn lokal eine Konfiguration geringster nergie, d.h. bester Bindung gefunden, so ist es nicht erstaunlich, dass die Natur diese Konfiguration auch an allen anderen Stellen des Gesamtsystems einstellen will. Bei tiefer Temperatur wird sich die Konfiguration der Materie folglich als eine regelmäßige Aneinanderreihung gleichartiger Bausteine darstellen, es wird ein Kristall gebildet. Letzterer zeichnet sich durch eine Translationssymmetrie aus. Verschiebe ich das Gesamtsystem um gewisse ausgezeichnete Translationsvektoren t t h a + k b + l c ; h, k, l Ζ (4.15) so kommt der Kristall wieder mit sich selbst zur Deckung. (Die Materie wird so zu einem Diskontinuum. Im Vergleich zu einem Kontinuum überführen nicht mehr alle Verschiebungen die Struktur in sich selbst, sondern nur noch die durch Gl. 4.15 ausgezeichneten. Also eine Verringerung / Brechung der Symmetrie) Die drei linear unabhängigen Vektoren a, b, und c heißen Basisvektoren. Für eine übersichtliche Darstellung wird man diese möglichst kurz wählen, so dass sie die sogenannte primitive Basis repräsentieren, durch deren periodische Hintereinanderreihung der Gesamtkristall aufgebaut wird. ntsprechend der thermodynamischen Überlegungen zeigen fast alle Festkörper einen solchen kristallinen Aufbau. Allerdings setzen sich makroskopische Proben zumeist aus vielen einzelnen Kristalliten ( Körnern ) zusammen. Die Größe der Körner liegt in polykristallinen Materialien typisch zwischen 1 µm und 1 mm und ist durch sogenannte thermomechanische Behandlung einstellbar (Al-Streifen in der Vorlesung).
4.3. Wichtige Gitterstrukturen Aus der Vielzahl der verschiedenen Kristallstrukturen greifen wir einige besonders übersichtliche Strukturen heraus, die von einfachen Substanzen in der Natur bevorzugt eingestellt werden. Metalle zeichnen sich durch die sogenannte metallische Bindung aus (lektronen werden an einen gemeinsamen lektronen see abgegeben-> F.K. Physik-Vorlesung). Die Bindung ist ungerichtet und strebt nur eine gleichmässig dichte Packung der Atome an. ine solche dichte Packung kann geometrisch auf zwei verschiedene Arten erreicht werden. Betrachten wir Kugeln in einer bene, dichte Packung in Honigwabenstruktur. Durch Stapelung solcher benen füllen wir den 3D aum aus. Allerdings ist diese Stapelung auf zwei verschiedene Weisen möglich. (siehe Abbildung). ntweder deckt sich die laterale Lage jeder zweiten oder jeder dritten bene. Wir sprechen hier von Stapelfolge ABAB oder ABCABC. rstere führt zum Aufbau einer hexagonal dichtgepackten (hdp/hcp), letztere zu einer kubisch flächenzentrierten Struktur (kfz/fcc). In der Tat werden viele reine Metalle in einer von diesen beiden Gitterstrukturen gefunden. Die hohe Packungsdichte dieser Strukturen spiegelt sich in der hohen Zahl von nächsten Nachbarn wieder (Koordinationszahl z1). Davon hatten wir bereits bei der Abschätzung von Oberflächenenergien (Abschnitt 1.1.6 ) Gebrauch gemacht. Werden beim Aufbau des Festkörpers kovalente also richtungsabhängige Bindungsanteile wesentlich, findet man offenere Gitterstrukturen. Das vielleicht wichtigste Beispiel ist die Diamantstruktur der Halbleiter (C, Si, Ge) in der 4. Spalte des Periodensystems. Jedes Atom findet 4 Nachbarn in tetraedrischer Anordnung. Bei Metallen mit kovalenten Bindungsanteilen findet man häufig die kubischraumzentrierte (krz/bcc) Struktur mit 8 nächsten Nachbarn. H ex ag onal, dichtgepackt D iam antstruktur
4.3.3 Typische Länge der Basisvektoren (Gitterkonstanten) Wir fragen uns auf welcher Längenskala werden die Translationseigenschaften des Diskontinuums die igenschaften beeinflussen? rstaunlicherweise reicht eine einfache Dichtemessung des Festkörpers, um diese Frage zu beantworten. Beispiel Al, kristallisiert in kfz Struktur. Diese Struktur hat 4 Atome / pro inheitszelle (ckplätze zählen 1/8, Flächenzentren ½). Die Dichte von Al beträgt ρ Al,7 g/cm 3, die Masse eines Atoms m Al 7 10-4 g. Für den Gitterparameter finden wir 3 4m a Al (4.16) ρ also a 4,08 10-10 m. d.h. Die Translationssymmetrie macht sich folglich erst bei mikroskopischen ffekten auf einer Wellenlänge unter 1 nm bemerkbar. Kontinuumstheorien abstrahieren von diesen, was dann etwa für Längenskalen ab 10 nm gerechtfertigt sein sollte.