Analysis I Kurzskript

Analysis I Kurzskript 25. Januar 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Die Sprache der Mathematik 5 1.1 Mathematische Aussagen................................ 5 1.2 Aussagenlogik....................................... 5 1.3 Beweise.......................................... 5 1.4 Vollständige Induktion.................................. 5 2 Die Arbeitsweise des Mathematikers 6 2.1 Induktiv.......................................... 6 2.2 Deduktiv: die axiomatische Methode.......................... 6 2.3 Axiome der reellen Zahlen R.............................. 6 2.4 Die natürlichen Zahlen N := {0,1,2,3,...}...................... 6 3 Folgen, Reihen und Grenzwerte I 7 3.1 Folgen reeller Zahlen (a n ) n N.............................. 7 4 Folgen, Reihen und Grenzwerte II 8 4.1 Folgen........................................... 8 4.2 Unendliche Reihen.................................... 8 4.3 Bestimmte Divergenz / Uneigentliche Konvergenz................... 8 5 Vollständigkeit 9 5.1 Cauchyfolgen und Vollständigkeit............................ 9 5.2 Teilfolgen und Häufungspunkte............................. 9 6 Beschränkte Folgen I 10 6.1 Satz von Bolzano-Weierstraß.............................. 10 6.2 sup/inf und min/max................................. 10 7 Beschränkte Folgen II 11 7.1 Monotone Folgen..................................... 11 7.2 limsup und liminf.................................... 11 7.3 Vollständigkeit...................................... 11 8 Metrische Räume I 12 8.1 Metrische Räume (X,d)................................. 12 8.2 Konvergenz in metrischen Räumen........................... 12 8.3 Offene und abgeschlossene Mengen........................... 12 9 Metrische Räume II 13 9.1 Offene und abgeschlossene Mengen........................... 13 9.2 Vollständigkeit und Kompaktheit............................ 13 1

10 Konvergenz auf R d ; Konvergente Reihen I 14 10.1 Der euklidische Raum R d................................ 14 10.2 Reihen mit nicht-negativen Gliedern.......................... 14 10.3 Absolute Konvergenz, Konvergenzkriterien....................... 14 11 Konvergente Reihen II 15 11.1 Konvergenzkriterien................................... 15 11.2 Umordnung von Reihen................................. 15 12 Potenzreihen und Exponentialfunktion 16 12.1 Umordnung von Reihen................................. 16 12.2 Reelle Potenzreihen.................................... 16 12.3 Die Exponentialfunktion................................. 16 13 Potenzreihen und Exponentialfunktion II 17 13.1 Exponentialfunktion................................... 17 13.2 Körper der komplexen Zahlen.............................. 17 14 Komplexe Potenzreihen 18 14.1 Körper der komplexen Zahlen.............................. 18 14.2 Konvergenz in C..................................... 18 14.3 Komplexe (Potenz)reihen................................ 18 15 Stetigkeit in metrischen Räumen I 19 15.1 Allgemeine Definitionen und Eigenschaften...................... 19 16 Stetigkeit in metrischen Räumen II 20 16.1 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen...................... 20 16.2 Gleichmäßige Stetigkeit................................. 20 17 Stetigkeit R R 21 17.1 Grenzwerte von Funktionen............................... 21 17.2 Zwischenwertsatz..................................... 21 17.3 Monotone Funktionen.................................. 21 18 Elementare Funktionen und Grenzwerte I 22 18.1 Exponentialfunktion und Logarithmus......................... 22 18.2 Einige Grenzwerte mit exp und log........................... 22 19 Elementare Funktionen und Grenzwerte II 23 19.1 Trigonometrische Funktionen.............................. 23 19.2 Die Zahl π......................................... 23 20 Die Funktionen tan, arctan, arcsin und arccos 24 21 Differentialrechnung auf R 24 21.1 Differenzierbare Funktionen............................... 24 22 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen 25 22.1 Ableitungsregeln..................................... 25 22.2 Extrema.......................................... 25 23 Probeklausur 26

24 Mittelwertsatz und Anwendungen 27 24.1 Mittelwertsatz...................................... 27 24.2 Regel von de l Hopital.................................. 27 25 Extrema, Monotonie 28 25.1 Kriterium für Extrema.................................. 28 25.2 Monotonie......................................... 28 26 Konvexität 29 26.1 Anwendungen von Konvexität.............................. 29 27 Das Riemann sche Integral 30 27.1 Charakterisierung von Riemann-integrierbaren Funktionen.............. 30 28 Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung 31 28.1 Riemann sche Summen.................................. 31 28.2 Das unbestimmte Integral................................ 31 29 Integrationsmethoden 32 29.1 Stammfunktionen..................................... 32 29.2 Substitutionsregel..................................... 32 29.3 Partielle Integration................................... 32 29.4 Uneigentliche Integrale.................................. 32

Empfohlene Literatur [F] Otto Förster: Analysis 1 [H] Stefan Hildebrandt: Analysis 1 [K] Konrad Königsberger: Analysis 1 9. Oktober 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi

1 Die Sprache der Mathematik [F] 1 [H] 1.4 [K] 1 1.1 Mathematische Aussagen tertium non datur 1.2 Aussagenlogik Implikation: P Q, P(n) Q(n) Äquivalenz: P Q Konjuktion: P und Q Disjunktion: P oder Q Negation: nicht P Beispiel 1 (Fallunterscheidung). 1.3 Beweise Direkter Beweis; Indirekter Beweis; Beispiel 3 n 2 3 n; (x 1)(x y) = 0 (y 3)(x 2 y 2 +1)y = 0 Widerspruchsargument; Beispiel 2 irrational; Vollständige Induktion. Kontraposition: { P Q } { nicht Q nicht P } 1.4 Vollständige Induktion (1) Induktionsanfang: P(n 0 ) für ein n 0 N; (2) Induktionsschritt: P(n) P(n+1). Beweisprinzip: aus (1) und (2) folgt P(n) für alle n n 0. Definition 1 (Summen/Produktzeichen). 0 a k = 0 und k+1 a k = a k+1 + k a k ; 0 a k = 1 und Satz 1. n k = n(n+1) 2 Satz 2. Die Anzahl Anordnungen von {1,...,n} ist n! k+1 a k = a k+1 Satz 3 (Bernoulli sche Ungleichung). Falls x > 1 und n N, dann (1+x) n 1+nx. Satz 4 (geometrische Reihe). n k=0 xk = 1 xn+1 1 x. Satz 5. Die Anzahl k-elementigen Teilmengen von {1,...,n} ist ( n k). Satz 6 (Binomischer Lehrsatz). n ( ) n (x+y) n = x k y n k. k k=0 k a k. 9. Oktober 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi

2 Die Arbeitsweise des Mathematikers 2.1 Induktiv Beispiel 1. Der Kreis besitzt unter allen ebenen Figuren mit gleichem Flächeninhalt den kleinsten Umfang. Beispiel 2. a n = n 2 +n+41 ist eine Primzahl für alle n 39! Beispiel 3. n (4k2 1) 1 = n 2n+1. 2.2 Deduktiv: die axiomatische Methode Grundbegriffe werden nicht definiert, sondern durch Axiome beschrieben. [F] 2-3 2.3 Axiome der reellen Zahlen R Algebraischen Axiome, Definition eines Körpers; Anordnungsaxiome; Das Archimedische Axiom (Gegenbsp. Körper der rationalen Funktionen); Das Vollständigkeitsaxiom (siehe Vorlesung 5) Satz 1. Die Zahl 0 ist eindeutig bestimmt. Die Zahl 1 ist eindeutig bestimmt. Satz 2. Für alle x R ist xeindeutig bestimmt. Weiterhin gilt 0 = 0. Das Inverseist eindeutig bestimmt, und es gilt 1 1 = 1. Satz 3. Die Gleichung a+x = b hat eine eindeutig bestimmte Lösung, nämlich x = b a. Die Gleichung ax = b hat eine eindeutig bestimmte Lösung, nämlich x = a 1 b. Satz 4. x 0 = 0 für alle x R. Satz 5. xy = 0 genau dann wenn x = 0 oder y = 0. Satz 6. 1 > 0 Beispiel 4. R, Q, Z, C 2.4 Die natürlichen Zahlen N := {0,1,2,3,...} Definition 1. EineTeilmengeeinesKörpersheißtinduktiv,falls0 M und(a M a+1 M). N ist die kleinste induktive Teilmenge von R. Definition 2. x = { x x 0 x x < 0 Satz 7. (a) Für alle x R gilt: x 0 und x = 0 genau dann wenn x = 0. (b) xy = x y, (c) x+y x + y. 12. Oktober 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi

3 Folgen, Reihen und Grenzwerte I [F] 4 3.1 Folgen reeller Zahlen (a n ) n N Definition 1. Eine Folge (a n ) n N heißt konvergent falls es ein a R gibt, so dass folgende Bedingung gilt: für alle ε > 0 existiert ein N N so dass a n a < ε für alle n N. Negation der Bedingung in obiger Definition: Es existiert ein ε > 0 so dass für alle N N existiert n N mit a n a ε. Notation: abgeschlossene [a, b] und offene ]a, b[ Intervalle. Definition 2. beschränkte Folgen Satz 1. Jede konvergente Folge ist beschränkt. Beispiel 1. konstante Folge a n = a; a n a, a n = 1 n ; a n 0, a n = ( 1) n ; nicht konvergent, a n = n n+1 ; a n 1, a n = n 2 n ; a n 0, Fibonacci Zahlen, f 0 = 0, f 1 = 1, f n+2 = f n +f n+1 für n 0. unendliche Kettenbrüche; a 0 = 0, a n+1 = 1+ 1 1+a n. Satz 2. Das Limes einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt. Satz 3 (Regeln und Operationen mit Folgen). (i) aus a n a und b n b folgt a n +b n a+b; (ii) aus a n a und b n b folgt a n b n ab; (iii) aus a n a und b n b folgt λa n +µb n λa+µb; (iv) aus a n a und b n b mit b 0 folgt an b n a b ; (v) aus a n a folgt a n a ; (vi) aus a n a, b n b und a n b n folgt a b; 16. Oktober 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi

4 Folgen, Reihen und Grenzwerte II [F] 4 [H] 1.9 4.1 Folgen Satz 1 (Regeln und Operationen mit Folgen). (i) aus a n a und b n b folgt a n +b n a+b; (ii) aus a n a und b n b folgt a n b n ab; (iii) aus a n a und b n b folgt λa n +µb n λa+µb; (iv) aus a n a und b n b mit b 0 folgt an b n a b ; (v) aus a n a folgt a n a ; (vi) aus a n a, b n b und a n b n folgt a b; Satz 2 (Quetschlemma). Aus a n a, b n a und a n c n b n folgt c n a. Beispiel 1. 2n 2 +1 3n 2 +n+1 2 3 ; 1+ 1 2+ 1 2+ 1 2+... 1+ 1 1+ 1 1+ 1 1+... = 2; = 1 2 ( 5+1); c > 0, a 0 = 1 und a n+1 = 1 2 (a n + c a n ). 4.2 Unendliche Reihen Definition 1. Eine unendliche Reihe ist definiert als Grenzwert der Partialsummen: a k = lim k=0 n k=0 Beispiel 2. Die geometrische Reihe. Sei x < 1. Dann k=0 n a k. x k = 1 1 x. 4.3 Bestimmte Divergenz / Uneigentliche Konvergenz Definition 2. Bestimmt divergente Folgen (gegen oder ). Satz 3. Reziprokes einer positiven (oder negativen) Nullfolge = bestimmt divergente Folge. 19. Oktober 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi

5 Vollständigkeit [F] 5 5.1 Cauchyfolgen und Vollständigkeit Definition 1. Cauchyfolgen. Satz 1. Jede konvergente Folge ist eine Cauchyfolge. Das Vollständigkeitsaxiom: In R ist jede Cauchyfolge konvergent. [H] 8 Beispiel 1 (Dezimalbrüche, p-adische Brüche). a n p n, p,a n N,p 2,0 a n < p. n=0 Satz 2. Sei p N, p 2. (i) Jeder p-adischer Bruch stellt eine Cauchyfolge dar. (ii) Jede reelle Zahl lässt sich in einem p-adischen Bruch entwickeln. Definition 2. Eine Intervallschachtelung ist eine Folge (I n ) n N von Intervallen in R so dass I n+1 I n für alle n N, und lim n I n = 0. Satz 3 (Intervallschachtelungsprinzip). Zu jeder Intervallschachtelung (I n ) n existiert genau eine reelle Zahl im Durchschnitt n I n. Beispiel 2. 1+ 1 2+ 1 2+ 1 2+... = 2 Satz 4. Q liegt dicht in R. d.h. zu jedem x R und jedem ε > 0 existiert q Q mit x q < ε. [F] 5 [H] 1.11 5.2 Teilfolgen und Häufungspunkte Definition 3. (i) Teilfolgen (ii) Häufungspunkte Beispiel 3. a n = ( 1) n ; falls a n a, dann ist a der einzige Häufungspunkt von (a n ) n N ; die rationalen Zahlen Q als eine Folge; Cantor sches Diagonalverfahren. 23. Oktober 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi

6 Beschränkte Folgen I [F] 5 [H] 1.8 6.1 Satz von Bolzano-Weierstraß Satz 1 (Bolzano-Weierstraß). Jede beschränkte Folge besitzt einen Häufungspunkt. Korollar 1. Eine beschränkte Folge konvergiert dann und genau dann, wenn sie genau einen Häufungspunkt besitzt. [F] 9 6.2 sup/inf und min/max Definition 1. Supremum und Infimum einer Folge. Satz 2. Jede nach oben beschränkte Folge besitzt ein Supremum. Definition 2. Maximum und Minimum einer Folge. Beispiel 1. a n = 1 n, n 1, a n = n n+1, n 0, a n = 2n n2, n 1. Definition 3. Sup/Inf und Max/Min einer Teilmenge M R. Beispiel 2. [a,b] und ]a,b[ 26. Oktober 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi

7 Beschränkte Folgen II [F] 5 [H] 1.10 7.1 Monotone Folgen Definition 1. monoton wachsend/fallend; streng monoton wachsend/fallend. Satz 1. Jede beschränkte monotone Folge reeller Zahlen ist konvergent. Beispiel 1. Intervallschachtelungen; ( e = lim n 1+ 1 n. n) [F] 9 [H] 1.11 7.2 limsup und liminf Definition 2. Limsup und liminf einer Folge. Lemma 1. Sei (a n ) beschränkt. Dann liminfa n limsupa n. Gleichheit besteht dann und genau dann wenn die Folge konvergent ist. In diesem Fall gilt liminfa n = lima n = limsupa n. Lemma 2. Sei (a n ) n N beschränkt. Dann ( ) lim supa n = lim sup{a k : k n} n n ( ) lim inf a n = lim inf{a k : k n} n n Beispiel 2. Sei (a n ) n N die Folge 0,1,2,2,4,4,4,4,8,8,8,8,8,8,8,8,... Die Menge der Häufungspunkte von b n = an n+a n ist das Intervall [1/3,1/2]. 7.3 Vollständigkeit Bolzano-Weierstraß Vollständigkeitsaxiom Intervallschachtelungsprinzip Satz 2. Der Satz von Bolzano-Weierstraß impliziert das Vollständigkeitsaxiom 30. Oktober 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi

8 Metrische Räume I [H] 1.14 8.1 Metrische Räume (X, d) Definition 1. Metrik d : X X R: für alle x,y,z X gilt (i) d(x,y) = d(y,x); (ii) d(x,y) 0 und d(x,y) = 0 genau dann wenn x = y; (iii) d(x,y) d(x,z)+d(z,y). Beispiel 1. R mit d(x,y) = x y. (Diskrete Metrik): Beliebige Menge X mit d(x, y) = { 1 x y 0 x = y Beispiel 2. R d = { } x = (x (1),x (2),...,x (d) ) : x (i) R für i = 1,...,d mit ( d x y = (x (i) y (i) ) 2) 1/2, x y max = max i=1,...,d x(i) y (i), x y 1 = i=1 Lemma 1. In R d gilt (a) d x i y i x y (Cauchy-Schwarz Ungleichung); i=1 (b) x + y x + y (Dreiecksungleichung). d x (i) y (i) i=1 8.2 Konvergenz in metrischen Räumen Definition 2. Konvergenz in (X,d): x n x falls d(x n,x) 0. Lemma 2. Eindeutigkeit des Limes 8.3 Offene und abgeschlossene Mengen [H] 16 Definition 3. Offene Kugel B r (x) := {y X : d(x,y) < r}; A X ist offen, falls für alle x A ein r > 0 existiert so dass B r (x) A; A X ist abgeschlossen, falls für alle konvergente Folgen (x n ) n A mit x n x gilt: x A. Satz 1. Eine Menge A X ist genau dann offen, wenn das Komplement X\A abgeschlossen ist. Folgende Definition wird in Aufgabe 21 benötigt, in der Vorlesung war jedoch keine Zeit mehr: Definition 4. Sei A X. Das Innere A := {x A : es existiert ε > 0 so dass B ε (x) A}; Der Abschluss A := {x X : es existiert (x n ) n A mit x n x}; Der Rand A := {x X : für alle ε > 0 gilt B ε (x) A und B ε (x)\a }. 2. November 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi

[H] 1.16 9 Metrische Räume II 9.1 Offene und abgeschlossene Mengen Definition 1. Sei A X. Das Innere A := {x A : es existiert ε > 0 so dass B ε (x) A}; Der Abschluss A := {x X : es existiert (x n ) n A mit x n x}; Der Rand A := {x X : für alle ε > 0 gilt B ε (x) A und B ε (x)\a }. Lemma 1. Der Durchschnitt endlich vieler offenen Mengen ist offen; Die Vereinigung beliebig vieler offenen Mengen ist offen; Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossenen Mengen ist abgeschlossen; Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen. Lemma 2. Sei A X. A ist offen und A ist abgeschlossen. Definition 2. Eine Teilmenge B A ist dicht in A falls A B. Beispiel 1. In R d : B r (x) = {y : x y r}; B r (x) = {y : x y = 1}; In R: Q = R, Q =, Q = R; Für die diskrete Metrik: B 1 (x) = {x}; jede Teilmenge ist offen und abgeschlossen. 9.2 Vollständigkeit und Kompaktheit Definition 3. Cauchyfolgen Lemma 3. Jede konvergente Folge ist eine Cauchyfolge. Lemma 4. Jede Cauchyfolge, die eine konvergente Teilfolge besitzt, ist selbst konvergent. Definition 4. Beschränkte Mengen. (Folgen-)kompakte Mengen. Lemma 5. Jede Cauchyfolge ist beschränkt. Definition 5. Ein metrischer Raum (X, d) heißt vollständig, falls jede Cauchyfolge konvergiert. 6. November 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi

10 Konvergenz auf R d ; Konvergente Reihen I [H] 1.16 10.1 Der euklidische Raum R d Satz 1. Charakterisierung der Konvergenz auf R d : Konvergent komponentenweise. Definition 1. Würfelschachtelungen. Lemma 1 (Würfelschachtelungsprinzip). Jede Würfelschachtelung in R d erfasst genau einen Punkt im Durchschnitt. Satz 2. Jede beschränkte Folge in R d besitzt eine konvergente Teilfolge. Korollar 1. (a) R d ist vollständig; (b) Eine Teilmenge A R d ist genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist. [F] 7 [H] 1.12 10.2 Reihen mit nicht-negativen Gliedern Satz 3. Eine Reihe a n mit a n 0 ist entweder konvergent oder bestimmt gegen divergent. n=1 Satz 4. Majorantenkriterium. Beispiel 1. n=1 1 n = und n=1 1 n 2 <. 10.3 Absolute Konvergenz, Konvergenzkriterien Definition 2. absolute Konvergenz. Satz 5. Cauchys Konvergenzkriterium. Korollar 2. Wenn a n konvergiert, dann ist (a n ) n eine Nullfolge. n=1 9. November 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi

11 Konvergente Reihen II [F] 7 [H] 1.16 11.1 Konvergenzkriterien Definition 1. Absolute Konvergenz. Satz 1. Leibniz Konvergenzkriterium für alternierende Reihen. Beispiel 1. Alternierende harmonische Reihe: 1 1 2 + 1 3 1 4 + 1 5... Satz 2 (Quotientenkriterium). limsup n an+1 a n < 1. Beispiel 2. 1 n divergiert, 1 n 2 konvergiert. Satz 3. Cauchy s Verdichtungskriterium. Beispiel 3. 2 n 1 k n 2. Beispiel 4. Falls α > 1, dann 2 n 1 n k α q k 1 mit q = 2 α+1. [H] 1.19 11.2 Umordnung von Reihen Definition 2. Die Reihe n=0 b n ist eine Umordnung der Reihe n=0 a n, wenn es eine bijektive Abbildung σ : N N gibt so dass b n = a σ(n) für alle n. Definition 3. Bijektive Abbildungen. Beispiel 5. Umordungen der alternierenden harmonischen Reihe 1 1 2 + 1 3 1 4 + 1 5... 13. November 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi

12 Potenzreihen und Exponentialfunktion [H] 1.19 12.1 Umordnung von Reihen Satz 1 (Umordnungssatz von Dirichlet). Satz 2 (Umordnungssatz von Riemann). Ohne Beweis. [F] 8 [H] 1.20 12.2 Reelle Potenzreihen Lemma 1. Falls x < y und die Reihe a n y n konvergiert, dann konvergiert die Reihe a n x n absolut. Definition 1 (Konvergenzradius). { R = sup x R : } a n x n konvergent. Satz 3. Sei n=0 a nx n eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R. (i) Falls R =, dann konvergiert die Potenzreihe für alle x R; (ii) Falls R = 0, dann divergiert die Potenzreihe für alle x R\{0}; (iii) Falls 0 < R <, dann konvergiert die Potenzreihe absolut für alle x < R und divergiert für alle x > R. 12.3 Die Exponentialfunktion [F] 8 Definition 2. Für x R: exp(x) = Konvergenzradius der Exponentialreihe ist R =. n=0 x n n!. 16. November 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi

13 Potenzreihen und Exponentialfunktion II 13.1 Exponentialfunktion [F] 8 [K] 8.1 Lemma 1 (Fundamentallemma für die Exponentialfunktion). ( lim 1+ 1 n = exp(1). n n) Varianten: lim n ( 1+ x n) n = exp(x); lim n ( 1+ x nn ) n = exp(x) falls xn x. Satz 1. (i) exp(x+y) = exp(x)exp(y) für alle x,y R; (ii) exp( x) = 1 exp(x) für alle x R; (iii) exp(x) 1+x und exp(x) > 0 für alle x R; (iv) exp(nx) = exp(x) n für n N, x R; (v) exp(1/n) = e 1/n für n N, n 0. 13.2 Körper der komplexen Zahlen [F] 13 [H] 1.17 Satz 2. C ist ein Körper. 20. November 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi

[F] 13 14 Komplexe Potenzreihen 14.1 Körper der komplexen Zahlen [H] 1.17 Beispiel 1. Aus z 2 = w 2 folgt z = ±w; Aus z 3 = 1 folgt z {1, 1 2 +i 3 2, 1 2 3 2 } Definition 1. Komplexe Konjugierte z, Reeller und imaginärer Teil Re z und Im z. Beispiel 2. Re z = 1 2 (z + z), Im z = 1 2i (z z), z = z, zw = z w. Satz 1. (i) z 0 und z = 0 genau dann wenn z = 0; (ii) zw = z w ; (iii) z +w z + w. Satz 2. C mit der Metrik d(z,w) := z w ist ein metrischer Raum. 14.2 Konvergenz in C Definition 2. c n c falls c n c 0. Satz 3. c n c genau dann wenn Re c n Re c und Im c n Im c. Korollar 1. C ist vollständig. Korollar 2. c n c genau dann wenn c n c. 14.3 Komplexe (Potenz)reihen Beispiel 3. (a) n=1 ( ) n 1+i, (b) 2 i i n n, n=1 (c) n=1 ( ) n 1 i. 1+i Definition 3. Konvergenzradius der Potenzreihe n=0 c nz n ist R = sup{ z : z C und c n z n konvergent}. Satz 4. (i) Falls R =, dann konvergiert die Potenzreihe für alle z C; (ii) Falls R = 0, dann divergiert die Potenzreihe für alle z C\{0}; (iii) Falls 0 < R <, dann konvergiert die Potenzreihe absolut für alle z < R und divergiert für alle z > R. Definition 4. exp(z) = n=0 zn n!. Satz 5. (i) exp(z +w) = exp(z)exp(w) für alle z,w C; (ii) exp( z) = 1 exp(z) für alle z C; (iii) exp(z) 0 für alle z C; (iv) exp( z) = exp(z) für alle z C. Beispiel 4. e ix = 1 für alle x R. Definition 5. cos(x) = Re (e ix ) und sin(x) = Im (e ix ). 23. November 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi

15 Stetigkeit in metrischen Räumen I [F] 10 [H] 2.1-2.3 [K] 7.1 15.1 Allgemeine Definitionen und Eigenschaften Im Folgenden betrachten wir metrische Räume (X,d X ) und (Y,d Y ) und Funktionen f : D Y, wobei D X eine Teilmenge ist (der Definitionsbereich von f). Falls Y = R, heißt die Funktion reellwertig. Falls Y = C, heißt die Funktion komplexwertig. Falls Y = R d, d > 1, heißt die Funktion vektorwertig. Definition 1. Die Funktion f ist stetig im Punkt x 0 D wenn (x n ) n N D mit lim n x n = x 0 gilt : lim n f(x n) = f(x 0 ). Die Funktion f ist stetig in D wenn sie in jedem Punkt x D stetig ist. Beispiel 1. Konstante Funktion und Identität stetig, Charakteristische Funktion einer Menge A X stetig in x X \ A. Lemma 1 (Summe, Produkt und Quotient). Falls f,g reellwertig und stetig, dann f +g und fg stetig. Falls zusätzlich g(x 0 ) 0, dann f/g stetig im Punkt x 0. Lemma 2 (Vektorwertige Funktionen). Eine vektorwertige Funktion f = (f 1,...,f d ) ist genau dann im x 0 D stetig, wenn jede Komponente f i, i = 1...d stetig im x 0 ist. Falls f,g vektorwertige, stetige Funktionen sind, ist auch f +g stetig. Falls h reellwertig und stetig ist, ist auch fh stetig. Lemma 3 (Die Abstandsfunktion). Sei x 0 X. Die Funktion f : X R definiert durch f(x) = d(x,x 0 ) ist stetig. Insbesondere ist die Funktion f(x) = x, f : R R stetig. Sei f : D X Y eine Funktion und A D eine Teilmenge vom Definitionsbereich D. Das Bild von A unter f ist die Teilmenge von Y definiert durch f(a) := {f(x) : x A}. [H] 2.4 Lemma 4 (Verknüpfung). Seien (X,d X ),(Y,d Y ),(Z,d Z ) metrische Räume. Sei f : D X Y stetig im Punkt x 0 und g : f(d) Z stetig im Punkt f(x 0 ). Dann ist die Verknüpfung g f : D Z definiert durch g f(x) = g(f(x)) stetig im x 0. [F] 11 Satz 1 (ε-δ Kriterium). Die Funktion f : D X Y ist genau dann stetig im Punkt x 0, wenn ε > 0 δ > 0 x D mit d X (x,x 0 ) < δ : d Y (f(x),f(x 0 )) < ε. 27. November 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi

16 Stetigkeit in metrischen Räumen II Im Folgenden betrachten wir metrische Räume (X,d X ) und (Y,d Y ) und Funktionen f : D Y, wobei D X eine Teilmenge ist (der Definitionsbereich von f). Sei B Y eine Teilmenge. Das Urbild von B unter f ist die Teilmenge von X definiert durch f 1 (B) := {x D : f(x) B}. Satz 1. Eine Funktion f : D X Y ist genau dann stetig in D, wenn U Y offen : f 1 (U) offen. Beispiel 1. Sei f : X R stetig und c R. Dann ist f 1 (],c[) = {x X : f(x) < c} offen. Die Nullstellenmenge f 1 (0) = {x X : f(x) = 0} ist abgeschlossen. [F] 11 [H] 2.6 16.1 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen Erinnerung (aus Vorlesung 9): eine Teilmenge K X heißt kompakt, wenn jede Folge (x n ) n N in K eine konvergente Teilfolge besitzt. In R d sind die kompakte Mengen genau die beschränkte und abgeschlossene Mengen. Daraus folgt: Satz 2. Sei K R kompakt und nichtleer. Dann besitzt K Minimum und Maximum. D.h. es existieren x m,x M K so dass für alle x K gilt: x m x x M. Satz 3. Sei K X kompakt und f : K Y stetig. Dann ist die Bildmenge f(k) Y kompakt. Korollar 1. Sei K X kompakt und f : K R stetig. Dann besitzt f Minimum und Maximum auf K. D.h. es existieren x m,x M K so dass für alle x K gilt: f(x m ) f(x) f(x M ). [F] 11 [H] 2.8 16.2 Gleichmäßige Stetigkeit Definition 1. Die Funktion f : D X Y ist gleichmäßig stetig auf D, wenn: ε > 0 δ > 0 x,y D mit d X (x,y) < δ : d Y (f(x),f(y)) < ε. Beispiel 2. Die Funktion f(x) = 1 x ist stetig aber nicht gleichmäßig stetig auf ]0,1[. Satz 4. Die Funktion f : D X Y ist genau dann gleichmäßig stetig auf D, wenn für alle Folgen (x n ) n N,(y n ) n N D mit lim d X(x n,y n ) = 0 gilt: n lim n d Y ( f(xn ),f(y n ) ) = 0. Satz 5. Falls K X kompakt und f : K Y stetig, dann ist f gleichmäßig stetig auf K. 30. November 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi

17 Stetigkeit R R Im Folgenden betrachten wir Funktionen f : D R, wobei D R eine Teilmenge ist (der Definitionsbereich von f). [F] 10 [H] 2.3 [K] 7.7-7.8 17.1 Grenzwerte von Funktionen Definition 1. Sei a D. Man definiert lim f(x) = c, falls (x n) n N D mit lim x n = a gilt: lim f(x n) = c; x a n n lim f(x) = c, falls (x n) n N D mit lim x n = gilt: lim f(x n) = c; x n n { xn lim f(x) = c, falls (x > a, n) n N D mit xցa lim x gilt: lim n = a f(x n) = c; n n lim f(x) = c, falls (x n) n N D mit xրa lim f(x) = c, falls (x n ) n N D mit x a x a Beispiel 1. lim expx = 1, lim x 0 { xn < a, lim x n = a n { xn a, χ ],0](x) = 1, xր0 lim x n = a n gilt: lim n f(x n) = c; gilt: lim n f(x n) = c. lim χ ],0] (x) = 0. xց0 Definition 2. f : D R R ist stetig im Punkt a D falls lim x a f(x) = f(a). Beispiel 2. exp : R R ist stetig. [F] 11 [H] 2.5 [K] 7.4 17.2 Zwischenwertsatz Satz 1 (Zwischenwertsatz). Sei f : [a,b] R stetig, a < b und y R mit f(a) y f(b). Dann existiert x [a,b] mit f(x) = y. Korollar 1. Sei I R ein Intervall und f : I R stetig. Dann ist f(i) auch ein Intervall. 17.3 Monotone Funktionen Definition 3. Monotone/Streng monotone Funktionen. Lemma 1. Sei I R ein Intervall, f : I R streng monoton. Dann ist f : I f(i) bijektiv, d.h. zu jedem y f(i) existiert genau ein x I mit f(x) = y. Satz 2 (Umkehrfunktion, allgemeine metrische Räume). Sei f : K X Y stetig und bijektiv. Dann ist f 1 : Y K stetig. [F] 11 [H] 2.5 Satz 3 (Umkehrfunktion, R R). Sei f : [a,b] [c,d] stetig und bijektiv. Dann ist f 1 : [c,d] [a, b] stetig. 4. Dezember 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi

18 Elementare Funktionen und Grenzwerte I [F] 12-13 [H] 3.4 [K] 8.2-8.4 18.1 Exponentialfunktion und Logarithmus Lemma 1. (i) Die (komplexe) Exponentialfunktion (Vorlesung 14) exp : C C ist stetig. (ii) Die (reelle) Exponentialfunktion (Vorlesug 12) exp : R R ist streng monoton wachsend. Beispiel 1. lim exp(x) =, lim x exp(x) = 0. x Definition 1. Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion von exp : R ]0, [, also log :]0, [ R, log = exp 1. Beispiel 2. log :]0, [ R ist stetig, streng monoton wachsend und log(1) = 0. Lemma 2 (Funktionalgleichung für log). Für alle x,y > 0 gilt log(xy) = log(x) + log(y). Insbesondere log 1 x = logx. Definition 2. Die Exponentialfunktion zu Basis a > 0 ist definiert als Lemma 3. exp a : R R ist stetig und es gilt (i) exp a (x+y) = exp a (x)exp a (y), (ii) exp a (n) = a n für n N, exp a : R R, exp a (x) = exp ( xlog(a) ). (iii) exp a ( p q ) = q a p für p Z, q N mit q 2. Beispiel 3. Für alle a > 0 gilt lim n n a = 1. 18.2 Einige Grenzwerte mit exp und log [F] 12 Beispiel 4. Sei k N. e x lim x x k =, Beispiel 5. Die Funktion f : R R, f(x) = lim x xk e x = 0, lim xց0 x k e 1 x =. { e 1 x x > 0 ist stetig. 0 x 0 Beispiel 6. Beispiel 7. Sei α > 0. Beispiel 8. lim xց0 xα = 0, lim logx =, lim x lim x α =, xց0 logx =. xց0 logx lim x x α = 0, e x 1 lim = 1. x 0 x x 0 lim xց0 xα logx = 0. 7. Dezember 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi

19 Elementare Funktionen und Grenzwerte II [F] 14 [H] 3.5 [K] 8.6 19.1 Trigonometrische Funktionen Definition 1 (vgl. Vorlesung 14). cosx = Re(e ix ), sinx = Im(e ix ) Euler sche Identität: e ix = cosx+isinx. Satz 1. (i) cosx = 1 2 (eix +e ix ), sinx = 1 2i (eix e ix ) (ii) cos( x) = cosx, sin( x) = sinx (iii) cos 2 (x)+sin 2 (x) = 1. Notation: cos 2 (x) = (cosx) 2, sin 2 (x) = (sinx) 2 Satz 2. cos, sin : R R sind stetig. Satz 3 (Additionstheorem). (i) cos(x+y) = cosxcosy sinxsiny (ii) sin(x+y) = sinxcosy sinycosx. Satz 4 (Potenzreihen). cosx = ( 1) k x2k k=0 (2k)!, sinx = ( 1) k x2k+1 k=0 (2k+1)!. sinx Beispiel 1. lim x 0 x = 1. x 0 [F] 14 [K] 8.7 19.2 Die Zahl π Satz 5. Die Funktion cos hat genau eine Nullstelle im Intervall [0, 2] Definition 2. Die (eindeutige) Nullstelle von cos im Intervall [0,2] wird mit π 2 bezeichnet. Satz 6. e iπ 2 = i, e iπ = 1, e i3π 2 = i, e 2iπ = 1. Korollar 1 (Nullstellen von sin und cos). (i) sinx = 0genaudann,wennx = kπ füreink Z; (ii) cosx = 0 genau dann, wenn x = π 2 +kπ für ein k Z. Korollar 2. e ix = 1 genau dann, wenn x = 2kπ für ein k Z. Korollar 3. Sei n 2. Die Gleichung z n = 1 hat genau n komplexe Lösungen e i 2πk n, k = 0,1,...,n 1. Satz 7. Umfang des Einheitskreises in der Ebene = 2π. 11. Dezember 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi

20 Die Funktionen tan, arctan, arcsin und arccos Definition 1. tan : R\{ π 2 +kπ : k Z} R Satz 1. (i) cos : [0,π] [ 1,1] streng monoton fallend und surjektiv; (ii) sin : [ π 2, π 2 ] [ 1,1] streng monoton wachsend und surjektiv; (iii) tan :] π 2, π 2 [ R streng monoton wachsend und surjektiv. Definition 2. arcsin, arccos : [ 1,1] R, arctan : R R Satz 2 (Polarkoordinaten). Zu jeder komplexen Zahl z C existiert r 0 und θ [ π,π] so dass z = re iθ. 21 Differentialrechnung auf R [F] 15 [H] 3.1 [K] 9.1 Im Folgenden betrachten wir Funktionen f : D R C. 21.1 Differenzierbare Funktionen Definition 3. Die Funktion f ist im Punkt a D differenzierbar, falls der Grenzwert existiert. f f(x) f(a) (a) = x a lim x a x a Beispiel 1. Sei n N, n 1 und c C. d dx xn = nx n 1, d dx ecx = ce cx, d dx logx = 1 x, d d sinx = cosx, dx cosx = sinx. dx Satz 3. f ist genau dann differenzierbar in a D, wenn es eine Funktion ϕ : D C existiert so dass (i) ϕ ist stetig im Punkt a; (ii) f(x) f(a) = (x a)ϕ(x) für alle x D. In diesem Fall f (a) = ϕ(a). Korollar 1. Ist f : D R C im Punkt a D differenzierbar, so ist sie auch stetig. Beispiel 2. x x nicht differenzierbar im Punkt x = 0. 14. Dezember 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi

22 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen Im Folgenden betrachten wir Funktionen f : D R C. Satz 1 (Lineare Approximation). f ist genau dann in a D differenzierbar, wenn es eine lineare Funktion L : R C existiert, so dass In diesem Fall gilt: L(h) = f (a)h. f(a+h) f(a) L(h) lim = 0. h 0 h [F] 15 [K] 8.1 [K] 9.2 22.1 Ableitungsregeln Satz 2 (Algebraische Regeln). (i) (f +g) (x) = f (x)+g (x); (ii) (Produktregel) (fg) (x) = f (x)g(x) +f(x)g (x); ( ) (iii) (Quotientenregel) f (x) g = f (x)g(x) f(x)g (x) g 2 (x). Satz 3 (Kettenregel). (g f) (x) = g (f(x))f (x). Satz 4 (Ableitung der Umkehrfunktion). Sei g die Umkehrfunktion von f. Dann g (x) = 1 f (g(x)). [F] 16 [K] 9.3 22.2 Extrema Im Folgenden betrachten wir Funktionen f : D R R. Definition 1. Extrema = lokales Maximum/Minimum einer Funktion. Satz 5. Sei x ein lokales Maximum/Minimum von f und f differenzierbar im Punkt x. Dann f (x) = 0. 18. Dezember 2012 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi

23 Probeklausur 4. Januar 2013 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi

24 Mittelwertsatz und Anwendungen 24.1 Mittelwertsatz Satz 1 (Satz von Rolle). Sei f : [a,b] R stetig und in ]a,b[ differenzierbar, mit f(a) = f(b). Dann existiert ξ ]a,b[ so dass f (ξ) = 0. Satz 2 (Mittelwertsatz). Sei f : [a,b] R stetig und in ]a,b[ differenzierbar. Dann existiert ein ξ ]a,b[ so dass f(b) f(a) = f (ξ). b a Korollar 1. f (x) = 0 für alle x ]a,b[= f ist konstant. 24.2 Regel von de l Hopital Satz 3 (Verallgemeinertes Mittelwertsatz). Seien f, g : [a, b] R stetig und in ]a, b[ differenzierbar. Dann existiert ein ξ ]a,b[ so dass f(b) f(a) g(b) g(a) = f (ξ) g (ξ). Satz 4 (l Hopital sche Regeln). Seien f,g :]a,b[ R differenzierbarund g (x) 0 für alle x ]a,b[. In jedem der beiden Situationen (a) f(x) 0 und g(x) 0 mit x ց a; (b) f(x) und g(x) mit x ց a gilt: Existiert lim f (x) xցa g (x) f(x), so existiert auch lim xցa g(x) und f(x) lim xցa g(x) = lim f (x) xցa g (x). Beispiel 1. logx lim(xlogx) = lim xց0 xց0 1/x l Hopital 1/x = lim xց0 1/x 2 = 0. Beispiel 2. lim xց0 ( 1 sinx 1 x ) = lim xց0 ( ) x sinx l Hopital = lim xsinx xց0 1 cosx xcosx+sinx Eine bessere Lösung ist die Potenzreihe für sinx zu nutzen: so dass, mit sinx = x x3 3! + x5 5! x7 7! +..., F(x) = 1 3! x2 5! x4 7! +... l Hopital sinx = lim xց0 2cosx xsinx = 0. folgt x sinx xsinx = x3 F(x) x 2 x 4 F(x) = xf(x) 1 x 2 F(x). Da F(0) = 1/6, erhalten wir lim ց x sinx xsinx = 0. 8. Januar 2013 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi

25 Extrema, Monotonie 25.1 Kriterium für Extrema Satz 1. Sei f :]a,b[ R differenzierbar und f (x 0 ) = 0. Dann hat f in x 0 ein lokales Minimum, falls ε > 0 so dass f 0 in ]x 0 ε,x 0 [ und f 0 in ]x 0 ε,x 0 [; lokales Maximum, falls ε > 0 so dass f 0 in ]x 0 ε,x 0 [ und f 0 in ]x 0 ε,x 0 [; 25.2 Monotonie Satz 2 (Monotoniekriteria). Ist f : D R differenzierbar, so gilt f > 0 in D f ist streng monoton wachsend, f < 0 in D f ist streng monoton fallend, f 0 in D f ist monoton wachsend, f 0 in D f ist monoton fallend. Beispiel 1. x (1+ 1 x )x ist streng monoton wachsend. Satz 3. Sei f : D R differenzierbar und in x 0 zweimal differenzierbar, mit Dann ist x 0 ein strenges lokales Maximum. f (x 0 ) = 0, f (x 0 ) > 0. 11. Januar 2013 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi

26 Konvexität [F] 16 [K] 9.7-9.8 Definition 1. f : [a,b] R ist konvex, falls für alle x,y [a,b] und alle 0 < λ < 1 gilt: f ( λx+(1 λ)y ) λf(x)+(1 λ)f(y). f ist konkav falls f konvex ist. Satz 1. Sei f :]a, b[ R zweimal differenzierbar. Dann f ist konvex in ]a,b[ f (x) 0 für alle x ]a,b[. 26.1 Anwendungen von Konvexität Lemma 1 (Geometrische/arithmetische Mittel). Sei x,y > 0 und 0 < λ < 1. Dann gilt x λ y 1 λ λx+(1 λ)y. Definition 2 (p-norm). Sei p 1 und z = (z 1,...,z n ) C n. Die p-norm von z ist ( n ) 1/p z p := z k p. Satz 2 (Hölder sche Ungleichung). Sei p,q > 1 so dass 1 p + 1 q = 1. Dann gilt n z k w k z p w q für alle z,w C n. Satz 3. Sei p 1. Dann gilt für alle z,w C n. z +w p z p + w p 15. Januar 2013 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi

27 Das Riemann sche Integral Definition 1. φ : [a,b] R ist eine Treppenfunktion, φ T[a,b], falls eine Unterteilung a = x 0 < x 1 < < x n = b existiert so dass φ ist konstant (= c k ) auf jedem offenem Teilintervall ]x k,x k+1 [. Lemma 1. T[a,b] ist ein Vektorraum. Definition 2 (Integral für Treppenfunktionen). ˆ b n 1 φ(x)dx = c k (x k+1 x k ). a k=0 Satz 1. Das Integral auf T[a,b] ist linear und monoton. Letzteres heißt φ ψ ˆ b φ(x)dx ˆ b a a ψ(x) dx. Definition 3. Sei f : [a, b] R beschränkt. Das Ober-/Unterintegral ist definiert als ˆ b {ˆ } b f(x)dx = inf ψ(x)dx : φ T[a,b], ψ f, a ˆ b a a {ˆ } b f(x)dx = sup φ(x)dx : ψ T[a,b], φ f. b f ist Riemann-integrierbar, f R[a,b] falls a f(x)dx = b a f(x)dx. In diesem Fall ˆ b a a f(x)dx := ˆ b a f(x)dx. 27.1 Charakterisierung von Riemann-integrierbaren Funktionen Satz 2 (Einschliessung zwischen Treppenfunktionen). f R[a, b] genau dann, wenn für alle ε > 0 b es existiert φ,ψ T[a,b] so dass φ f ψ und a (ψ φ)(x)dx ε. Satz 3. Jede stetige Funktion f : [a, b] R ist Riemann-integrierbar. Satz 4. Jede monotone Funktion f : [a, b] R ist Riemann-integrierbar. Satz 5. R[a,b] ist ein Vektorraum und das Riemann Integral ist linear und monoton auf R[a,b]. 18. Januar 2013 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi

28 Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung 28.1 Riemann sche Summen Definition 1. Eine Zerlegung Z = (x k ) k=0...n des Intervalls [a,b] ist eine streng monotone Folge a = x 0 < x 1 < < x n = b, mit Feinheit (Z) = max k (x k x k 1 ). Für beliebige Stützstellen ξ k [x k 1,x k ] und stetige Funktionen f : [a,b] R definieren wir die Riemann sche Summe n S(f,Z) = f(ξ k )(x k x k 1 ). Die Ober-/Untersummen sind definiert als n S (f,z) = max f (x k x k 1 ), S (f,z) = [x k 1,x k ] so dass S (f,z) S(f,Z) S (f,z). Satz 1. Sei f : [a,b] R stetig. Dann n lim f(ξ k )(x k x k 1 ) = (Z) 0 ˆ b a n max f (x k x k 1 ), [x k 1,x k ] f(x)dx. Beispiel 1. ˆ a 0 xdx = a2 2, ˆ a 1 1 dx = loga, a > 1. x Beispiel 2. Beispiel 3. lim n n 1 n+k = log(2). ( 1) k+11 k = log(2). 28.2 Das unbestimmte Integral Satz 2. Sei f : [a,b] R stetig und setze F(x) := ˆ x a f(t)dt Dann ist F differenzierbar in ]a,b[ und d dxf(x) = f(x). x [a,b]. Definition 2 (Stammfunktion). Eine differenzierbare Funktion F :]a, b[ R heißt Stammfunktion von f falls d dxf(x) = f(x). Satz 3. Wenn F,G beide Stammfunktionen von f sind, dann F G =konstant. Satz 4 (Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung). Sei f : [a,b] R stetig und F eine Stammfunktion von f. Dann gilt ˆ b a f(x)dx = F(b) F(a). 22. Januar 2013 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi

29 Integrationsmethoden 29.1 Stammfunktionen ˆ ˆ (i) x s dx = xs+1 1, s 1, (ii) dx = logx s+1 x ˆ ˆ (iii) sinxdx = cosx, (iv) cosxdx = sinx ˆ ˆ (v) e x dx = e x 1, (vi) dx = arcsinx 1 x 2 ˆ ˆ 1 1 (vii) dx = arctanx, (viii) dx = tanx 1+x2 (cosx) 2 29.2 Substitutionsregel Satz 5. Sei f : D R stetig und φ : [a,b] R stetig differenzierbar mit φ([a,b]) D. Dann gilt ˆ b a f(φ(t))φ (t)dt = ˆ φ(b) φ(a) f(x)dx. Beispiel 4. ˆ 1 1 x2 dx = π 2. 1 29.3 Partielle Integration Satz 6. Seien f,g : [a,b] R stetig differenzierbar. Dann ˆ b f(x)g (x)dx = [f(x)g(x)] b a ˆ b a a f (x)g(x)dx. 29.4 Uneigentliche Integrale Definition 3. 1. 2. 3. Beispiel 5. 25. Januar 2013 www.math.uni-leipzig.de/~szekelyhidi