Pyramide und Kegel 14

1 6 1 Falls genau gearbeitet wurde, sollte der Steigungswinkel der Pyramidenseiten 5 betragen. Falls dem so ist, ist das Modell ähnlich zum Original und der Verkleinerungsmassstab kann eindeutig bestimmt werden. ndernfalls wurden die Grundkantenlänge und die Länge der Dreiecksschenkel nicht um den gleichen Faktor verkürzt oder es wurde ungenau gearbeitet. Ein Steckbrief eines Modells könnte folgendermassen lauten: Modell im Massstab 1 : 000 Grundfläche: Quadrat mit s = 11,5 cm Körperhöhe: 7, cm Kantenlänge (Ecke Grundfläche bis zur Körperspitze): 11 cm Volumen: 000 -mal kleiner als das Original (zirka 00 cm ) Steigungswinkel der Pyramidenseiten: 5 Mögliche : Die ussage kann durchaus stimmen, wenn mit 0 Millionen «Mannarbeitstagen» die «Mann-Tage» gemeint sind, also das Produkt aus der nzahl Männer (die jeweils gleichzeitig an der rbeit waren) und der nzahl Tage, während denen die beteiligten rbeiter gearbeitet haben. Dann hätten also tatsächlich während 0 Jahren durchschnittlich jeweils etwa 4 500 rbeiter an der Pyramide gearbeitet. Diese ussage stimmt. Der erste Winkel beträgt 90 '". Der zweite Winkel beträgt 90 + '0". Der dritte Winkel beträgt 90 + ". Der vierte Winkel beträgt 90 ". Die ussage stimmt. Ein lock wiegt durchschnittlich 1,1 m,5 t/m,5 t. 10 löcke wiegen etwa 5 t. So viel kann ein grosser Lastwagen laden. D Umfang [Pyramidenzoll] 6 54 Umfang 9 m 1 Pyramidenzoll ist ungefähr,5 cm lang. ls Kopiervorlage freigegeben Schulverlag plus G /Klett und almer Verlag G, 015

6 ei beiden Folgen ist die Höhe gleich der Nummer der Figur (die 5. Figur ist 5 Würfel hoch), die Grundfläche gleich dem Quadrat der Nummer der Figur (die Grundfläche der 5. Figur beträgt 5 Würfelflächen). Man erhält die Würfelbauten der zweiten Folge aus der ersten dadurch, dass man die oberen Schichten etwas verschiebt. Dadurch ändern sich weder das Volumen noch die Oberflächen. Es empfiehlt sich der Einsatz einer Tabellenkalkulation. Die Formeln können wie folgt eingegeben werden: Kantenlänge s nzahl Würfel nzahl Würfel Grundfläche nzahl Würfel im Umwürfel nzahl Würfel in der Pyramide Quotient V(P)/V(U) 1 1 1 1 = /D = + 1 = 4^ = 4^ = D + 4 = 4/D4 = 4 + 1 = 5^ = 5^ = D4 + 5 = 5/D5 = 5 + 1 = 6^ = 6^ = D5 + 6 = 6/D6 = 6 + 1 = 7^ = 7^ = D6 + 7 = 7/D7 = 7 + 1 = 8^ = 8^ = D7 + 8 = 8/D8 = 8 + 1 = 9^ = 9^ = D8 + 9 = 9/D9 = 9 + 1 = 10^ = 10^ = D9 + 10 = 10/D10 = 10 + 1 = 11^ = 11^ = D10 + 11 = 11/D11 = 11 + 1 = 1^ = 1^ = D11 + 1 = 1/D1 = 1 + 1 = 1^ = 1^ = D1 + 1 = 1/D1 = 1 + 1 = 14^ = 14^ = D1 + 14 = 14/D14 = 14 + 1 = 15^ = 15^ = D14 + 15 = 15/D15 = 15 + 1 = 16^ = 16^ = D15 + 16 = 16/D16 = 01 + 1 = 0^ = 0^ = D01 + 0 = 0/D0 = 401 + 1 = 40^ = 40^ = D401 + 40 = 40/D40 = 501 + 1 = 50^ = 50^ = D501 + 50 = 50/D50 = 601 + 1 = 60^ = 60^ = D601 + 60 = 60/D60 = 1001 + 1 = 100^ = 100^ = D1001 + 100 = 100/D100 Stellvertretend sind unten die Werte für die Kantenlängen 17, 18, 19 und 0 angegeben. Zur erechnung der letzten Spalte braucht man die Werte der beiden vorherigen Spalten. Kantenlänge 17 nzahl Würfel Pyramide = 1 496 + 17 = 1 785 Quotient = 17 : 1 785 =,75 Kantenlänge 18 nzahl Würfel Pyramide = 1 785 + 18 = 109 Quotient = 18 : 109 =,765 Kantenlänge 19 nzahl Würfel Pyramide = 109 + 19 = 470 Quotient = 19 : 470 =,777 Kantenlänge 0 nzahl Würfel Pyramide = 470 + 0 = 870 Quotient = 0 : 870 =,787 Kantenlänge 1 000 Quotient 1000 / 8 500 =,996 ls Kopiervorlage freigegeben Schulverlag plus G /Klett und almer Verlag G, 015

6 Mögliche : In der 1. Spalte ist die Kantenlänge des Umwürfels angegeben. Den Wert in der. Spalte erhält man aus der Kantenlänge durch Quadrieren. Die. Spalte enthält die nzahl Würfel des «Umwürfels». Man berechnet sie als «Kantenlänge hoch drei». Die 4. Spalte enthält die nzahl Würfel der Pyramide. Man kann sie berechnen, indem man die Würfel aller Schichten (alle Quadratzahlen) zusammenzählt, zur vorherigen nzahl wird die neue Grundflächen-nzahl (die nächste Quadratzahl) addiert. Zusatzbemerkung: Es gibt eine Formel für die Summe der ersten n Quadratzahlen: s n = 1 + + + + n = (n : ) + (n : ) + (n : 6) In der 5. Spalte ist der Quotient «Umwürfelvolumen durch Pyramidenvolumen» angegeben. Die Zahl in der 4. Spalte wird durch die Zahl in der. Spalte dividiert. D E ei zunehmender Grösse der Kantenlänge nähert sich der Quotient immer mehr der Zahl. V p = G h 4 Die Seitenlängen d und k können mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden. d = s + s = s = s 5,66 cm k = d + s = s = s 6,9 cm Individuelle Die drei Pyramiden so drehen, dass die drei Pyramidenspitzen oben sind und die längsten Seitenkanten senkrecht verlaufen. Jetzt die Pyramiden entlang der längsten Seitenkanten zusammenfügen. 5 Werden in einen Umwürfel mit konstantem Volumen Pyramiden aus immer kleineren Würfeln gebaut, werden die Seitenflächen immer «glatter», die Würfelbauten also immer pyramidenähnlicher. us ufgabe ergibt sich, dass im Grenzfall das Volumen des Umwürfels dreimal so gross ist wie das Volumen der Pyramide, also ist das Volumen der Pyramide ein Drittel des Würfelvolumens. Erkenntnisse aus ufgabe 5: Weil drei Pyramiden zu einem Würfel zusammen - gesetzt werden können, beträgt das Pyramidenvolumen ein Drittel des Würfelvolumens. Daraus ergibt sich wieder die gleiche Formel. G h V Pyramide = V Prisma = G h S Pyramide = s + 4 s s + (0,5s) = s + s s 1,5 = s (1 + 5 ),4s = s + 0,5s + s s + (0,5s) = s + s s 1,5 = s ( + 5 ) 4,4s S Prisma ls Kopiervorlage freigegeben Schulverlag plus G /Klett und almer Verlag G, 015

4 6 6 Die Umformung der Gleichung besteht darin, dass der uchstabe G (Grundfläche) durch den Term π r (Kreisfläche) ersetzt wird. Der Kegel wird als Pyramide mit einer kreisförmigen Grundfläche betrachtet. 7 Ergebnisse in cm, gerundet auf ganze cm : h = 10 cm h = 0 cm h = 0 cm h = 40 cm r = 10 cm 1 047 094 14 4 189 r = 0 cm 4 189 8 78 1 566 16 755 r = 0 cm 9 45 18 850 8 74 7 699 r = 40 cm 16 755 510 50 65 67 01 8 Das Herleiten einer Formel, mit der man bei gegebenem Zentriwinkel α des Kreis sektors und gegebenem Radius (r = 10) das Volumen des Kegels berechnen kann, ist schwierig. Die Formel sei hier dennoch wiedergegeben. V = ( α ) s π s ( α ) s s π ( α = ) 1 ( α ) Unten stehend ist das Kegelvolumen für einige Kreissektoren und s = 10 cm berechnet. Überlappunfl.gel) Zentriwinkel s (Kreis) r (Grund- Höhe (Ke- V MF 15 45 10.0 9.58.86 74.7 01.1 0 0 9.17 4.00 51.7 88.0 45 15 8.75 4.84 88.1 74.9 60 00 8. 5.5 40.0 61.8 65 95 8.19 5.7 40.0 57.4 70 90 8.06 5.9 40.6 5.1 75 85 7.9 6.11 401.0 48.7 80 80 7.78 6.9 98. 44. 90 70 7.50 6.61 89.6 5.6 100 60 7. 6.9 77.8 6.9 10 40 6.67 7.45 46.9 09.4 15 5 6.5 7.81 19. 196. 150 10 5.8 8.1 89.4 18. 180 180 5.00 8.66 6.7 157.1 Eine Schätzung ist schwierig, da das Volumen erst mit Kreissektoren unter 00 sichtbar abnimmt. r = α 10 G = ( α ) s π s wird zur Linie auf der Mantelfläche (Länge von der Kegelspitze zum Kreissektor). Der ogen b wird zum Umfang der Grundfläche des Kegels. ls Kopiervorlage freigegeben Schulverlag plus G /Klett und almer Verlag G, 015

Pyramide und Kegel 14 5 6 9 Individuelle Kreisbogen b: proportional zum Winkel α Mantelfläche M: proportional zum Winkel α Radius der Grundfläche s: proportional zum Winkel α Höhe des Kegels h: mit grösser werdendem α abnehmend: h = r 1 ( α ) Volumen des Kegels V: Nimmt mit wachsendem α bis ca. 67 zu, dann wieder ab. 10 11 Mit dem Satz des Pythagoras. h = s r = s ( α ) s = s 1 ( α ) Ein Kreissektor mit einem kleinen Öffnungswinkel hat nahezu die Form eines (gleichschenkligen) Dreiecks. Die Grundlinie g des Dreiecks entspricht der ogenlänge b des Sektors und die Höhe h des Dreiecks dem Sektorradius s. Weil r = α s und M = α s π s, gilt auch M = π r s. Nun ist r = b. π Damit gilt auch M = π r s = π b s = 1 b s. π Der Radius ist halb so gross, daher ist die Grundfläche 1 der urprünglichen 4 Grundfläche. Die Höhe ist halb so hoch, daher ist das Volumen 1 des ursprünglichen Volumens. 8 Es gibt verschiedene Möglichkeiten, dies zu berechnen. Es muss gelten (R und H sind der Radius und die Höhe des ganzen Kegelmantels aus Papier): R π H = r π h Durch Umformen erhalten wir: R H = r h Da r proportional zu h wächst oder verkleinert wird, gilt: R k = H und r k = h H k = h k h = H = 9,5 cm ls Kopiervorlage freigegeben Schulverlag plus G /Klett und almer Verlag G, 015

6 6 1 eobachtete Zugänge und : Ein Joghurtbecher wird gerollt. Offensichtlich braucht dieser für einen Umlauf mehrere Eigenrotationen. Zerschneidet man den echer, wird deutlich, dass sich die bwicklung des Mantels bei Weitem nicht schliesst. Vermutet wird, dass das Problem gelöst ist, wenn die bwicklung einen halben Kreisring ergibt. Diese Vermutung lässt sich experimentell bestätigen. Das bwickeln des echers zeigt, dass beim «Grenzfall-Zylinder» unendlich viele Eigenrotationen bis zum Schliessen nötig wären und dass ein sehr spitzer Kegel viele Rotationen für einen vollen Umlauf braucht. ei einem sehr gedrungenen Kegel (grosser Öffnungswinkel an der Spitze) könnte vielleicht auch schon eine Eigenrotation genügen. Entsprechende Schnittmuster (Sektoren als Kegelabwicklungen) bestätigen dies qualitativ; dabei wird möglicherweise der Sektorwinkel 180 als Lösung des Problems erkannt. Wer die ufgabe direkt mittels Ergänzungskegel angeht, kann erkennen, dass unendlich viele Kegelstümpfe das Problem lösen können. Dies eröffnet die Suche nach dem halben Öffnungswinkel des Kegels oder dem nstieg einer Mantellinie von Kegel oder Kegelstumpf. Es werden Schnittzeichnungen angefertigt. Dabei taucht der Spezialfall auf, bei dem die beiden Kreisdurchmesser im Verhältnis : 1 stehen und die Mantellinie des Stumpfes gleich lang ist wie der Durchmesser des kleinen Kreises (spezielles gleichschenkliges Trapez). Der nstieg der Mantellinie von 60 (oder der halbe Öffnungswinkel des Ergänzungskegels von 0 ) löst das Problem noch allgemeiner. Es ist auch möglich, nur mit Schnittmustern zu arbeiten. Die ufgabe ist dann gelöst, wenn die Differenz der beiden Kreisdurchmesser gleich gross ist wie die Mantellinie des echers. ls Kopiervorlage freigegeben Schulverlag plus G /Klett und almer Verlag G, 015