Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere 28.10. V1 Geometrische Grundbegriffe 04.11. V2 Grundkonstruktionen und Bestimmungslinien 11.11. V3 Dreiecke und ihre Eigenschaften (Winkel, Kongruenzsätze, Linien/Punkte, Typisierung, Symmetrien, Winkelsätze) 18.11. V4 Vierecke und ihre Eigenschaften (Typisierung, besondere Vierecke, Haus der Vierecke, Symmetrien) 25.11. V5 Dreiecke (Flächensätze, Ähnlichkeit) 02.12. V6 Vielecke (Sätze, Winkel, Symmetrien, Beziehungen zum Kreis) 09.12. V7 Kreis (Geraden, Punkte, Typisierung, Symmetrien, Winkelsätze) 16.12. V8 Kongruenzabbildungen - Symmetrie 13.01. V9 Flächeninhalt und Umfang von Vielecken und Kreisen 20.01. V10 Typisierung von Körpern (Quader, Prismen, Spitzkörper, Platonische Körper, Kugel) 27.01. V11 Rauminhalt von Körpern (Rauminhalt von Prismen und Spitzkörpern, Rauminhalt und Oberfläche der Kugel); Streckenverhältnis in ähnlichen Figuren 03.02. V12 Zusammenfassung 12.02. (Freitag) 14-16 Uhr, Klausur (HS 1, HS 2) 1
V12 Rauminhalt von Körpern 1 Rauminhalt von Quadern und Säulen 2 Rauminhalt von Spitzkörpern 3 Rauminhalt und Oberfläche von Kugeln 4 Streckenverhältnis in ähnlichen Figuren 5 Phänomene Quellen: S. Krauter, H. Schwarzte, M. Stein 2
1 Rauminhalt von Quadern und Säulen Rauminhalt des Quaders Würfelzahl in einer Reihe Reihenzahl Schichtenzahl Das Quadervolumen setzt sich zusammen aus Länge Breite Höhe. V = a b c 3
Rauminhalt von Säulen V = G h Das charakteristische Kennzeichen von Säulen ist ihr Aufbau aus gleichen Schichten (s. V10). Man kann sich Stapel von Dreiecken, Vierecken, Vielecken, Kreisen übereinandergeschichtet denken. Man kann sich Säulen auch entstanden denken durch Verschieben der Grundfläche in dazu senkrechter Richtung. Dabei überstreicht die Grundfläche den gesamten Körper im Raum. (s. Abb. Fadenmodell ) Zur Bestimmung des Volumens ermittelt man zunächst die Größe der Grundfläche (Grundschicht). Die Anzahl der Schichten, die zum Ausfüllen des gesamten Körpers benötigt werden, werden durch die Höhe repräsentiert. Daraus ergibt sich die Volumenformel für beliebige Säulen: Der Rauminhalt einer Säule entspricht der Grundfläche Höhe. 4
Prinzip von Cavalieri Haben zwei Körper mit gleichgroßen Grundflächen in jeder zur Grundfläche parallelen Schnittebene jeweils zueinander gleichgroße Schnittflächen, so sind sie volumengleich. Francesco Bonaventura Cavalieri (1598-1647), Mathematiker und Astronom Das Volumen ändert sich nicht, wenn man Schichten nicht mehr senkrecht zur Grundfläche sondern als schräge Säule stapelt, weil auf jeder Höhe jedes Mal dieselbe Schicht existiert. (Auch das Drehen der Schichten wäre möglich.) 5
2 Rauminhalt von Spitzkörpern Spitzkörper (Pyramiden, Kegel) haben nicht mehr auf jeder Höhe dieselbe Querschnittsfläche. Naheliegend ist der Vergleich des Volumens mit einer Säule, die die gleiche Grundfläche und Höhe hat. 6
1. Schnitt 2. Schnitt Experimentell kann man durch Schneiden eines Styroporquaders oder Umfüllversuche zu der Vermutung kommen, dass das Pyramidenvolumen ein Drittel des Volumens der entsprechenden Säule einnimmt. 7
Pyramiden mit gleichgroßer (nicht unbedingt kongruenter) Grundfläche und gleicher Höhe sind volumengleich. V = ⅓ G h Man kann auch zeigen, dass sich ein senkrechtes Dreiecksprisma in drei zueinander (zwar nicht kongruente) doch inhaltsgleiche Pyramiden zerlegen lässt. 8
Steht G für die Größe des Grundflächeninhaltes einer geraden Pyramide oder eines geraden Kegels und h für die Länge der Höhe der Pyramide oder des Kegels, so gilt für die Größe V ihres Volumens: V = G h 3 9
3 Rauminhalt und Oberflächengröße von Kugeln 10
Kugelvolumen halbes Würfelvolumen = ½ a 3 Kugeloberfläche halbe Würfeloberfläche = 3 a 2 Kugelvolumen ⅔ Zylindervolumen Kugeloberfläche ⅔ Zylinderoberfläche K O = K V = Auch zum Bestimmen des Rauminhaltes einer Kugel kann man zunächst Vergleiche mit naheliegenden Körpern anstellen: umbeschriebener Würfel und umbeschriebener Zylinder. Umfüllversuche führen zu der Vermutung, dass das Kugelvolumen etwa halb so groß ist wie das des umbeschriebenen Würfels. Der Vergleich mit dem umbeschriebenen Zylinder lässt vermuten, dass das Volumen der Kugel etwa ⅔ des Zylinders beträgt. Entsprechende Vermutungen werden für die Oberfläche abgeleitet. 11
Die exakte Bestimmung des Kugelvolumens geht zurück auf eine von Archimedes benutzte Methode. Archimedes hat eine Halbkugel verglichen mit einem Kegel und einem Zylinder von gleicher Höhe r und gleicher Grundfläche r² wie die Halbkugel. Er stellte ein Volumenverhältnis von 1 : 2 : 3 experimentell (Umfüll- und Wiegeexperimente) fest. Das führte Archimedes zu der Vermutung, dass man aus dem Zylinder den Kegel ausbohren könnte und dann das Volumen der Halbkugel übrigbleiben müsste. Die Volumina von Kegel, Kugel und Zylinder verhalten sich wie 1:2:3, wenn die Körper Durchmesser und Höhen von jeweils gleicher Länge haben. 12
V = So konnte die Beziehung zum umbeschriebenen Zylinder bestätigt werden. 13
4 Streckenverhältnisse in ähnlichen Figuren 14
Zeichnungen und Figuren lassen sich in einem bestimmten Verhältnis zu einem ähnlichen Bild vergrößern oder verkleinern. Man bezeichnet das Verhältnis von Original zu Bild als Maßstab. Der Maßstab repräsentiert das Verhältnis zweier Streckenlängen. Was bedeutet Maßstab 1 : 100 000? 15
Beim maßstäblichen Vergrößern sind schon viele wesentliche Grundgedanken der Ähnlichkeitslehre enthalten. Auf Karorasterpapier wird zunächst ein Quadrat von der Größe eines Rasterkaros gezeichnet. Schrittweise wird das Quadrat mit den Maßstabsfaktoren k = 2, 3, 4, 5 vergrößert. Wie verändern sich im Vergleich zum Ausgangsquadrat die Winkelgrößen, die Seitenlängen, die Umfänge und die Flächeninhalte? 16
Grund- und Förderschule : Maßstäbliche Vergrößerung und Verkleinerung auf Gitterpapier Große Zahl vorn: Vergrößerte Darstellung des Originals Kleine Zahl vorn: Verkleinerte Darstellung des Originals 17
Besondere Streckenverhältnisse Seitenverhältnis : 1 = 1,414 : 1 2 DIN-Formate Die DIN-Formate wurden von dem Berliner Ingenieur Walter Porstmann entwickelt (1922). Eine Idee: Alle DIN-Formate sollten ähnlich aussehen, also das Verhältnis von langer zu kurzer Seite sollte immer gleich sein. Eine zweite Idee: Ein kleineres Format geht aus einem größeren hervor, indem man es in der Mitte faltet. Quelle: Beutelspacher, 2011 18
Ein weiteres besonderes Streckenverhältnis ist der Goldene Schnitt. 19
Ist T so gewählt, dass AB : AT = AT : TB gilt, so heißt die Strecke AB nach dem Goldenen Schnitt geteilt. 20
Man nennt das Verhältnis φ auch das Verhältnis der stetigen Teilung. Teilt man eine Strecke AB im Punkt C im Verhältnis des Goldenen Schnitts, so entstehen zwei Teilstrecken AC und CB. Trägt man auf der längeren nun wieder die kürzere ab, so wird die längere dadurch genau wieder im Verhältnis des Goldenen Schnitts geteilt. 21
Die Grundkonstruktion zum Goldenen Schnitt 1. Errichte auf der Strecke AB im Punkt B eine Senkrechte der halben Länge von AB (Punkt C). 2. Verbinde C mit A. 3. Schlage einen Kreis um C mit dem Radius CB (Punkt D). 4. Schlage einen Kreis um A mit dem Radius AD. Damit ist die Strecke AB im Verhältnis des Goldenen Schnitts geteilt. 22
Das folgende Konstruktionsverfahren wurde erst 1982 von dem amerikanischen Künstler George Odom entdeckt. 1. Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck. 2. Konstruiere den Umkreis. 3. Halbiere zwei Seiten des Dreiecks. (Punkte A, S) 4. Verlängere die Strecke AS an einer Seite bis zum Kreis. (Punkt B) Die Strecke AB ist im Verhältnis des goldenen Schnitts geteilt. 23
Quelle: Beutelspacher/Wagner 2008 Das Längenverhältnis Goldener Schnitt kann man im regelmäßigen Fünfeck entdecken. Zwei Längen stehen im Goldenen Schnitt zueinander, wenn die längere etwa 1,618-mal so lang ist wie die kürzere. (φ = 1,618) 24
Der genaue Wert für φ ist 5. 1 2 Anders ausgedrückt: Zwei Strecken stehen im Verhältnis des Goldenen Schnitts, wenn sich die größere zur kleineren verhält wie die Summe aus beiden zur größeren. a = b a b a Das Verhältnis 1 : 1,618 erhält man aus dieser Bedingung. 25
Im regelmäßigen Fünfeck begegnen uns auch die goldenen Dreiecke. Goldene Dreiecke Es gibt zwei Dreiecke, deren Seitenlängen das Verhältnis des goldenen Schnitts aufweisen. 26
Teilt man die Seiten eines Quadrates im Verhältnis des Goldenen Schnitts (1 : 1,618 ), so ergeben die 4 Punkte die Eckpunkte eines Goldenen Rechtecks. 27
Ein Rechteck mit den Seiten a und b entspricht genau dann dem Goldenen Schnitt, wenn das auch für das Rechteck mit den Seiten a + b und a der Fall ist. Ein goldenes Rechteck lässt sich stets in ein kleineres, ebenfalls goldenes und ein Quadrat zerlegen. Durch wiederholte Teilung des Goldenen Rechtecks erhält man eine Figur, in die sich eine Spirale einzeichnen lässt (Folge von Viertelkreisen). 28
Goldene Rechtecke im Ikosaeder Die zwölf Ecken des Ikosaeders bilden die Ecken von drei gleich großen, senkrecht aufeinander stehenden Rechtecken mit gemeinsamem Mittelpunkt und den Seitenverhältnissen des Goldenen Schnitts. Die Anordnung heißt auch Goldener Schnitt-Stuhl. 29
Der goldene Schnitt ist ein Längenverhältnis, das als besonders schön und harmonisch wahrgenommen wird. Dieses Verhältnis taucht an verschiedenen Stellen in der Natur und Architektur auf, auch beim Menschen. Der Bauchnabel teilt die Körpergröße in zwei Abschnitte: einen größeren von den Füßen bis zum Bauchnabel und einen kleineren vom Bauchnabel bis zum Kopf. Das Verhältnis entspricht bei den meisten Menschen etwa dem Goldenen Schnitt. Proportionszeichung von A. Dürer Goldener Schnitt im Efeublatt 30
Altes Leipziger Rathaus Die Unterbrechung der Fassade des alten Rathauses in Leipzig durch einen Turm im Verhältnis des Goldenen Schnitts 31
5 Phänomene 32
Das Möbiusband eine Fläche mit nur einer Seite 33
Experimente mit dem Möbiusband Schneide von einem DIN A 4- Blatt (Längsseite) drei Papierstreifen (ca. 2-3 cm breit) ab. 2 Drehe einen Streifen einmal und klebe ihn zu einem Ring zusammen. 1 Klebe einen Streifen zu einem Ring zusammen. 3 Drehe einen Streifen zweimal und klebe ihn zu einem Ring zusammen. 4 Schneide alle drei Streifen der Länge nach durch. Vermute vorher, was geschieht. 34
Aufgabenstellung zur Übung Woche vom 01. -05. 02. 2015 Leiten Sie mit Hilfe von Skizzen das Volumen der Kugel her. Entwerfen Sie eine Grafik, die das Maßverhältnis Goldener Schnitt berücksichtigt. 35