In diesem Kapitel wird das zentrale Instrument der Analysis auf Funktionen mehrerer Veränderlicher erweitert Die Differentialrechnung (engl: calculus) ist auch das wichtigste Handwerkzeug der Wirtschaftswissenschaften 101 Partielle Ableitungen In diesem Abschnitt wird die Ableitung reellwertiger Funktionen mit mehreren Veränderlichen behandelt Eine Funktion mehrerer Veränderlicher kann wie wir bei den graphischen Darstellungen von Funktionen gelernt haben auf verschiedene Art und Weise als Funktion einer Variablen interpretiert werden Die einfachste Art ist, alle Variablen außer einer konstant zu halten Die Ableitung jeder dieser so gebildeten Funktionen einer Variablen (deren Graphen die projezierten Schnittlinien sind) heißen partielle Ableitungen Definition 101 (Partielle Differenzierbarkeit und Ableitung) Eine Funktion f : X Y mit X R n, Y R heißt für i {1,,n} partiell differenzierbar (engl: partially differentiable) nach x i an der Stelle x X, wenn der Grenzwert f( x 1,,x i,, x n ) f( x) f( x 1,, x i + x i,, x n ) f( x) lim = lim x i x i x i x i x i 0 x i existiert Dieser Grenzwert heißt dann erste partielle Ableitung (engl: first-order partial derivative) von f nach x i an der Stelle x und wird geschrieben als ( x) oder D i f( x) oder verkürzt f i ( x) Ist f an jeder Stelle x X partiell differenzierbar nach x i,soheißtf partiell differenzierbar nach x i Die Funktion, die jedem x X die partielle Ableitung von f nach x i an der Stelle x zuordnet, heißt dann partielle Ableitung von f nach x i und wird bezeichnet mit oder D i f oder verkürzt als f i 87
Ist f partiell differenzierbar nach x i für alle i {1,,n}, soheißtf partiell differenzierbar Sind außerdem alle partiellen Ableitungen von f stetig, so nennt man fc 1 -Funktion Beispiel 101: (i) Sei f(x 1,x 2 )=a 1 x 1 + a 2 x 2 + b eine lineare Funktion von R 2 nach R Dann sind sind die partiellen Ableitungen konstant, also x 1 (x 1,x 2 )=a 1 und x 2 (x 1,x 2 )=a 2 (ii) Sei f y : R R eine parametrisierte Funktionenschar mit f y (x) =2x 2 y und y R als Parameter Dann ist für alle x, y R die Ableitung df y (x) =4xy dx Sei nun g : R 2 R eine Funktion mit g(x, y) =2x 2 ydannist g ( x, ȳ) =4 xȳ x die partielle Ableitung von g nach x an einer Stelle ( x, ȳ) R 2, wie die folgende Grenzwertbetrachtung erbringt: lim x 0 g( x+ x,ȳ) g( x,ȳ) x = lim x 0 2( x+ x) 2 ȳ 2 x 2 ȳ x = lim x 0 4 xȳ x+2ȳ( x) 2 x =4 xȳ Graphisch kann man die partielle Ableitung ( x) einer Funktion f : X Y mit X R n, Y R darstellen als Steigung derjenigen Tangente an den Graphen von f im Punkt (x, f(x)), die parallel zur (x i,f(x))-ebene verläuft (vgl Abbildung 101) 102 Richtungsableitung, Kettenregel, Satz von Euler Mit Hilfe der partiellen Ableitungen definieren wir allgemeiner die Richtungsableitung, die die lokale Veränderung des Funktionswertes in einer beliebigen Richtung (also nicht unbedingt entlang einer der Koordinatenachsen) beschreibt Definition 102 (Richtungsableitung) Die Richtungsableitung der Funktion f : X Y mit X R n, Y R an der Stelle x in Richtung r R n mit r =1 ist definiert durch f( x + h r) f( x) Df( x; r) = lim h 0 h 88
f(x 1, x 2 ) t G f x 1 x 1 x 2 x 2 Abbildung 101: Geometrische Interpretation der partiellen Ableitung In dieser Definition wird die Richtung, in der die Funktion f abgeleitet wird, auf die Länge 1 normiert, da in diesem Fall die Richtungsableitung in Richtung des i-ten Einheitsvektors e i =(0,,0, 1, 0,,0) (nur 1 bei der i-ten Koordinate, sonst 0) mit der jeweiligen partiellen Ableitung übereinstimmt, also Es gilt die Rechenregel Df( x; e i )= ( x) Df( x; r) = n i=1 ( x) r i Beispiel 102: Die Richtungsableitung ( der ) Funktion f(x 1,x 2 )=2x 1 x 3 2 1 Stelle x =(2, 1) in Richtung r = 1 2, 2 ist Df ( ( 1 (2, 1); 2, 1 2 )) =2 1 2 +12 1 2 an der Die Kettenregel für Funktionen mehrerer Veränderlicher ist eine unmittelbare Verallgemeinerung der uns bekannten Kettenregel für Funktionen einer Veränderlicher Da bei der Hintereinanderausführung von Funktionen gleichzeitig alle Zwischenvariablen verändert werden können durch Veränderung einer Variablen in 89
der Urbildmenge ergibt sich die Veränderung der zusammengesetzten Funktion wie bei der Richtungsableitung durch die Summe der Veränderungen der Zwischenvariablen Satz 101 (Kettenregel) Sei f : X 1 X n Y mit X 1,,X n R, Y R eine partiell differenzierbare Funktion Seien außerdem g i : T X i mit T R k und k N für alle i {1,,n} partiell differenzierbare Funktionen Dann ist die zusammengesetzte Funktion h : T Y mit h(t) =f (g 1 (t),,g n (t)) differenzierbar für alle j {1,,k} und es gilt h t j (t) = n i=1 (g 1 (t),,g n (t)) g i t j (t) Beispiel 103: (i) Seien insbesondere g i : T X i mit T R differenzierbare Funktionen einer Variablen Dann ist die zusammengesetzte Funktion h : T Y eine differenzierbare Funktion einer Variablen mit h(t) =f (g 1 (t),,g n (t)) für alle t T : dh dt (t) = n i=1 (g 1 (t),,g n (t)) dg i dt (t) (ii) Sei f : R 2 R mit f(x 1,x 2 )=x 2 1(x 2 +1), g 1 : R R mit g 1 (t) =sint und g 2 : R R mit g 2 (t) =t 2 Dann ist die Ableitung der Funktion h : R R mit gemäß des vorhergehenden Beispiels dh dt h(t) =f (g 1 (t),g 2 (t)) (t)= x 1 (g 1 (t),g 2 (t)) dg 1 dt =2(sint)(t 2 +1) cos t +(sint) 2 2t (t)+ x 2 (g 1 (t),g 2 (t)) dg 2 dt (t) (iii) Sei f : R 2 R mit f(x 1,x 2 )=x 2 sin x 1, g 1 : R 2 R mit g 1 (t) =t 1 t 2 und g 2 : R 2 R mit g 2 (t) =t 2 Dann ist die partielle Ableitung der Funktion h : R 2 R mit h(t) =f (g 1 (t),g 2 (t)) 90
nach t 2 gemäß Satz 101 h t 2 (t)= x 1 (g 1 (t),g 2 (t)) g 1 t 2 (t)+ x 2 (g 1 (t),g 2 (t)) g 2 t 2 (t) = t 2 (cos t 1 t 2 ) t 1 +(sint 1 t 2 ) 1 Wir erinnern uns, daß Wirtschaftswissenschaftler gerne homogene Funktionen benutzen Daher wird hier ein wichtiger Satz über homogene Funktionen angeführt Der Beweis und die weitere Vertiefung wird als Übungsaufgabe behandelt Satz 102 (Satz von Euler) Sei f :[0, ) n R eine vom Grad r R homogene C 1 -Funktion Dann gilt für alle x [0, ) n : n i=1 ( x) x i = rf( x) 103 Gradient, totales Differential Die partiellen Ableitungen einer C 1 -Funktion werden häufig zu einem Vektor dem sogenannten Gradient oder auch zu einer sogenannten Jakobi-Matrix zusammengefaßt: Definition 103 (Gradient) Sei f : X Y mit X R n, Y R eine C 1 - Funktion Dann heißt der Vektor ( gradf( x) = f( x) = ( x),, ) ( x) x 1 x n Gradient (engl: gradient vector) von f an der Stelle x X 1 Beispiel 104: Sei f : R 2 R mit f(x, y) =3x 2 y x Dannist f(x, y) = ( 6xy 1, 3x 2) Der Gradient f(x) besitzt Eigenschaften, die ihn sehr anschaulich und leicht interpretierbar machen: 1 Das Symbol wird Nabla genannt 91
y 3 f(05, 2) = (2, 05) T 2 f(1, 1) = (1, 1) T 1 f 1 ({1}) 0 0 05 1 2 3 4 x Abbildung 102: Eigenschaften des Gradienten am Beispiel von f(x, y) = xy f(x) zeigt an jeder Stelle x X in die Richtung des steilsten Anstiegs des Funktionswerts f(x) steht für alle x X senkrecht auf der Isohöhenlinie von f zum Niveau f(x) Man erinnere sich in diesem Zusammenhang, daß die Isohöhenlinie in derjenigen Richtung verläuft, in der die Funktion einen konstanten Funktionswert besitzt, sich also gar nicht verändert Beispiel 105: Abbildung 102 veranschaulicht diese Eigenschaften des Gradienten an der Funktion f :[0, ) 2 R mit f(x, y) =xy Abgebildet sind die Isohöhenlinie von f zum Niveau 1 und die Gradienten f(x, y) =(y, x) vonf für (x, y) =(1, 1) und (x, y) = ( 1 2, 2) Die Ableitung einer Funktion f : X Y mit X, Y R an einer Stelle x X kann, wie wir wissen, als Steigung der Tangente t an den Graphen von f im Punkt ( x, f( x)) interpretiert werden (vgl Abbildung 103 (a)) Die Geradengleichung dieser Tangente in x R und y R ist y = f ( x)(x x)+f( x) Mit ȳ = f( x), dx = x x und dy = y ȳ ergibt sich daraus formal dy = f ( x)dx 92
y z E t t G f G f x x y x (a) (b) Abbildung 103: Geometrische Interpretation des totalen Differentials Die Tangente ist der Graph der linearen Funktion, die die Funktion f im Punkt x am besten approximiert Entsprechend kann mit Hilfe der partiellen Ableitungen einer C 1 -Funktion f : X Y mit X R 2 und Y R an einer Stelle ( x, ȳ) X die Gleichung einer Tangentialebene E t an den Graphen von f in einem Punkt ( x, ȳ, f( x, ȳ)) angegeben werden (vgl Abbildung 103 (b)) Sie lautet in x R, y R und z R: z = ( x, ȳ)(x x)+ ( x, ȳ)(y ȳ)+f( x, ȳ) x y Mit z = f( x, ȳ), dx = x x, dy = y ȳ und dz = z z ergibt sich daraus dz = ( x, ȳ)dx + ( x, ȳ)dy x y Wie zuvor ist die Tangentialebene der Graph der linearen Funktion von R 2 nach R, die die Funktion f im Punkt ( x, ȳ) am besten approximiert Die Erweiterung dieses Konzeptes auf den allgemeinen Fall von Funktionen mit n N Veränderlichen führt zum Begriff des totalen Differentials Definition 104 (Totales Differential) Sei f : X Y mit X R n, Y R eine C 1 -Funktion Das totale Differential Df( x) an der Stelle x ist die lineare Funktion Df( x) :R n R mit dx Df( x)(dx) =Df( x; dx) = n i=1 ( x) dx i = f( x) dx, 93
wobei f( x) dx für das Vektorprodukt des Gradienten mit dx =(dx 1,,dx n ) R n, einem beliebiger Vektor des R n steht Eine andere verkürzte Schreibweise dafür ist n df = ( x)dx i i=1 Die Schreibweise Df( x; dx) verdeutlicht, daß das totale Differential als verallgemeinerte Richtungsableitung aufgefaßt werden kann Im Gegensatz zur Richtungsableitung wird die Länge des Vektors dx aber nicht normiert, kann also beliebig sein Der Graph des totale Differential ist wie wir in den Dimensionen n =1, 2 gesehen haben der Tangentialraum oder die Tangetialhyperebene 2 an den Graphen der Funktion f Beispiel 106: Sei f : R 2 R mit f(x, y) = x 2 + y 2 Dann ist das totale Differential von f an einer Stelle ( x, ȳ) R 2 und für ( x, ȳ) =(1, 1) df =2 x dx +2ȳ dy df =2dx +2dy Der Vergleich zwischen dem totalen Differential von f an der Stelle ( x, ȳ) =(1, 1) und der tatsächlichen Veränderung des Funktionswerts z bei einer Änderung der Komponenten des Arguments um dx und dy ausgehend von ( x, ȳ) =(1, 1) für verschiedene Werte von dx und dy ergibt die folgende Tabelle: (dx, dy) f df (001, 001) 00402 004 (01, 001) 02301 022 (1, 1) 6 4 (10, 10) 240 40 104 Höhere Ableitungen Wir verallgemeinern nun den Begriff der höheren Ableitung auf Funktionen mit mehreren Veränderlichen 2 Das hyper im Wort Tangentialhyperebene bezieht sich auf den Umstand daß deren Dimension nicht unbedingt 2 sein muß wie das Wort Ebene suggerieren mag 94
Definition 105 (Ableitungen höherer Ordnung) Ist für i {1,,n} die erste partielle Ableitung einer nach x i partiell differenzierbaren Funktion f : X Y mit X R n, Y R für ein j {1,,n} partiell differenzierbar nach x j, dann heißt die erste partielle Ableitung von nach x j zweite partielle Ableitung (engl: second-order partial derivative) von f nach x i und x j Diese Ableitung wird bezeichnet mit x j oder verkürzt f ji bzw für i = j mit x 2 i Die Fortschreibung dieser Definition führt zur partiellen Ableitung k-ter Ordnung mit k N, diemit k f k 1 für i 1,,i k {1,,n} bezeichnet wird Beispiel 107: Sei f : R 2 R mit f(x, y) =x 2 y + xy 3 Die ersten partiellen Ableitungen sind Dann sind und x (x, y) =2xy + y3 und y (x, y) =x2 +3xy 2 x (x, y) =2y und 2 f (x, y) =6xy 2 y2 (x, y) =2x +3y2 und x y y x (x, y) =2x +3y2 In diesem Beispiel fällt auf, daß die beiden gemischten Ableitungen 2 f und 2 f x y y x übereinstimmen Diese Aussage gilt allgemein für zweimal stetig differenzierbare Funktionen, so genannte C 2 -Funktionen Definition 106 (C 2 -Funktion) Existieren zu einer Funktion f : X Y mit X R n, Y R alle zweiten partiellen Ableitungen und sind diese Ableitungen stetig, so heißt fc 2 -Funktion Satz 103 Sei f : X Y mit X R n, Y R eine C 2 -Funktion Dann gilt für alle i, j {1,,n} und für alle x X x j (x) = 2 f x j (x) 95
Alle zweiten partiellen Ableitungen einer C 2 -Funktion werden zur sogenannten Hesse-Matrix, deren Definition nachfolgend angegeben ist, zusammengefasst Wie die zweite Ableitung bei Funktionen von R nach R enthält die Hesse-Matrix an einer Stelle x Informationen über die lokalen Krümmungseigenschaften wie zb Konkavität oder Konvexität einer Funktion an dieser Stelle Definition 107 (Hesse-Matrix) Sei f : X Y mit X R n, Y R eine zweimal partiell differenzierbare Funktion Dann heißt die Matrix D 2 f( x) = ( x) x 2 1 x 1 x 2 ( x) x 1 x n ( x) x 2 x 1 ( x) x n x 1 ( x) ( x) x 2 2 x n x 2 ( x) x 2 x n ( x) 2 f ( x) x 2 n Hesse-Matrix (engl: Hessian) von f an der Stelle x X Offensichtlich ist die Hesse-Matrix einer C 2 -Funktion nach Satz 103 symmetrisch 3 Beispiel 108: (i) Sei f : R 2 R mit f(x, y) =3x 2 y 5y 3 Dannist D 2 f(x, y) = ( (x, y) x 2 (x, y) x y y x (x, y) 2 f y 2 (x, y) ) ( 6y 6x = 6x 30y ) (ii) Sei f : R 3 R mit f(x, y, z) =x 2 yz y 3 z 2 Dannist D 2 f(x, y, z)= = (x, y, z) x 2 (x, y, z) y x 2 f (x, y, z) x y (x, y, z) y 2 (x, y, z) 2 f (x, y, z) x z y z 2yz 2xz 2xy 2xz 6yz 2 x 2 6y 2 z 2xy x 2 6y 2 z 2y 3 2 f z x z y 2 f (x, y, z) (x, y, z) (x, y, z) z 2 3 Eine Matrix A = (a ij ) n n mit n N heißt symmetrisch, falls a ij = a ji für alle i, j {1,,n} 96
105 Eigenschaften von Funktionen und ihre Ableitungen In diesem Abschnitt werden Zusammenhänge zwischen den in den Abschnitten 96 und 97 vorgestellten Monotonie-, Konkavitäts- und Quasikonkavitätseigenschaften von Funktionen und ihren ersten und zweiten Ableitungen behandelt Der nachfolgend angegebene Satz beschreibt den Zusammenhang zwischen den Monotonieeigenschaften einer Funktion und ihren ersten partiellen Ableitungen Satz 104 Sei f : X Y mit X R n, Y R und f :(x 1,,x n ) f(x) eine C 1 -Funktion Dann gilt: i) f steigt genau dann monoton in x i,wennfür alle x X gilt: (x) 0 ii) f steigt streng monoton in x i,wennfür alle x X gilt: (x) > 0 Ersetzt man in i) und ii) die beiden Relationszeichen und > durch bzw <, so erhält man die entsprechenden Aussagen für monoton fallende Funktionen Man beachte, daß der Satz für strenge Monotonie nur eine hinreichende Bedingung nennt, während er für (schwache) Monotonie eine notwendige und hinreichende Bedingung angibt Beispiel 109: (i) Die Funktion f : R 2 R mit f(x, y) =3x+5y 3 steigt wegen (x, y) =3> x 0für alle (x, y) R 2 streng monoton in x Außerdem steigt f wegen (x, y) = y 15y 2 0für alle (x, y) R 2 monoton in y f steigt sogar streng monoton in y Dies kann aber nicht aus Satz 104 geschlossen werden, da wegen (0, 0) = 0 die y hinreichende Bedingung nicht erfüllt ist (ii) Die Funktion f :[0, ) n R mit n f(x) = und a 1,,a n > 0istfür alle i =1,n monoton steigend in x i wegen n (x) =a i x a i 1 i x a j j 0 i=1 x a i i j=1 j i 97
Während die ersten Ableitungen einer Funktion Auskunft über deren Monotonieeigenschaften geben, stehen die zweiten Ableitungen in engem Zusammenhang mit den Konvexitäts- und Konkavitätseigenschaften der Funktion Allgemein kann aus den Vorzeichen der Determinanten geeignet gewählter Teilmatrizen der Hesse-Matrix einer Funktion auf deren Krümmung geschlossen werden Wir beschränken uns im Rahmen diese Skriptums auf die entsprechenden Zusammenhänge für Funktionen mit einer oder zwei reellen Veränderlichen mit den Sätzen 105 bis 107 ohne Beweise 4 Satz 105 Sei f : X Y eine C 2 -Funktion, wobei X R eine offene und konvexe Menge reeller Zahlen ist und Y R Danngilt: i) f ist genau dann konvex, wenn für alle x X gilt: d 2 f dx 2 (x) 0 ii) f ist streng konvex, wenn für alle x X gilt: d 2 f dx 2 (x) > 0 Ersetzt man in i) und ii) die beiden Relationszeichen und > durch bzw <, so erhält man zwei analoge Aussagen für konkave Funktionen Satz 106 Sei f : X Y eine C 2 -Funktion, wobei X R 2 offen und konvex ist und Y R Danngilt: i) f ist genau dann konvex, wenn für alle x X gilt: x 2 1 (x) 0 x 2 2 (x) 0 det (D 2 f(x)) 0 ii) f ist streng konvex, wenn für alle x X gilt: x 2 1 (x) > 0 det (D 2 f(x)) > 0 4 Für weiterführende Aussagen zu diesem Thema sei der interessierte Leser auf Sydsæter et al (1999, S 79ff) verwiesen 98
Satz 107 Sei f : X Y eine C 2 -Funktion, wobei X R 2 offen und konvex ist und Y R Danngilt: i) f ist genau dann konkav, wenn für alle x X gilt: x 2 1 (x) 0 x 2 2 (x) 0 det (D 2 f(x)) 0 ii) f ist streng konkav, wenn für alle x X gilt: x 2 1 (x) < 0 det (D 2 f(x)) > 0 Wiederum beachte man, daß diese Sätze für strenge Konvexität und Konkavität nur hinreichende Bedingungen angeben, während sie für (schwache) Konvexität und Konkavität notwendige und hinreichende Bedingungen angeben Beispiel 1010: (i) Die Funktion f : R R mit f(x) =x 4 ist wegen d2 f (x) =12x 2 0 dx 2 für alle x R nach Satz 105 i) konvex Ob f streng konvex ist, kann mit Satz 105 hingegen nicht entschieden werden, da die hinreichende Bedingung wegen d 2 f (0) = 0 nicht erfüllt ist dx 2 (ii) Die Funktion f : R 2 R mit f(x, y) =x 2 + y 2 + xy ist wegen 2 f (x, y) = x 2 2 > 0 und det ( D 2 f(x, y) ) ( ) 2 1 =det =3> 0 1 2 für alle (x, y) R 2 nach Satz 106 ii) streng konvex (iii) Die Funktion f : R 2 R mit f(x, y) = x 3y 2 ist wegen 2 f x 2 (x, y) =0 0, 2 f y 2 (x, y) = 6 0 und det ( D 2 f(x, y) ) ( 0 0 =det 0 6 ) =0 0 für alle (x, y) R 2 nach Satz 107 i) konkav Ob f streng konkav ist, kann mit Satz 107 wegen det (D 2 f(x, y)) = 0 wieder nicht entschieden werden Der folgende Satz 108 gibt jeweils eine notwendige und eine hinreichende Bedingung für die Quasikonkavität einer Funktion mit zwei reellen Veränderlichen 99
Satz 108 Sei f : X Y eine C 2 -Funktion, wobei X R eine offene und konvexe Menge reeller Zahlen ist und Y R Sei ferner D(x) =2 (x) ( ) 2 2 ( ) f 2 2 f (x) (x) (x) (x) (x) (x) x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 2 x 2 x 2 1 Dann gilt: i) Wenn f quasikonkav ist, gilt für alle x X: D(x) 0 ii) f ist quasikonkav, wenn für alle x X gilt: ( 2 x 1 (x)) > 0 D(x) > 0 Beispiel 1011: Die Funktion f :(0, ) 2 R mit f(x, y) =x 2 y 3 ist nach Satz 108 ii) wegen ( ) 2 (x, y) = ( 2xy 3)2 > 0 x und D(x, y)=2(2xy 3 3x 2 y 2 6xy 2 ) (2xy 3 ) 2 6x 2 y (3x 2 y 2 ) 2 2y 3 =30x 4 y 7 > 0 für alle (x, y) (0, ) 2 quasikonkav 106 Elastizitäten und deren ökonomische Interpretation Der Begriff der Elastizität, der seinen Ursrung den Wirtschaftswissenschaften verdankt, baut unmittelbar auf den Begriff der Ableitung auf Definition 108 (Elastizität) Sei f : X Y mit X, Y R eine differenzierbare Funktion Dann heißt für ein x X mit f( x) 0 η f ( x) = df dx ( x) x f( x) Elastizität von f an der Stelle x Außerdem heißt f unelastisch an der Stelle x falls η f ( x) < 1 elastisch falls η f ( x) > 1 100
Während die Ableitung df ( x) der Funktion f ein Maß für die absolute Veränderung des Funktionswerts von f im Verhältnis zu einer infinitesimal kleinen abso- dx luten Veränderung des Argument an einer Stelle x ist, ist ihre Elastizität η f ( x) ein Maß für das Verhältnis der relativen Veränderungen von Funktionswert und Argument Die folgende Überlegung verdeutlicht diese Interpretation der Elastizität Sei f : X Y mit X, Y R eine differenzierbare Funktion und x X Dann gibt der Quotient f( x+ x) f( x) f( x) x x das Verhältnis der relativen Veränderung des Funktionswerts f( x+ x) f( x) und f( x) der relativen Veränderung des Arguments x an der Stelle x bei einer absoluten x Veränderung des Arguments um x 0anFür x 0 konvergiert dieser Quotient wegen f( x+ x) f( x) f( x) x x wegen der Differenzierbarkeit von f gegen = f( x + x) f( x) x df dx ( x) x f( x) x f( x) Elastizitäten unterscheiden sich von Ableitungen dadurch, daß sie keine Einheit haben Sie machen also den Grad der der Abhängigkeit des Funktionswerts vom Argument für unterschiedlichste Funktionalzusammenhänge vergleichbar Beispiel 1012: Sei die Nachfrage nach einem Gut A in einem Markt in Abhängigkeit vom Preis des Gutes p A R beschrieben durch die Nachfragefunktion x A : R R mit x A (p A )=30 10 6 30p A Dann ist die Preiselastizität der Nachfrage an einer Stelle p A 10 6 η xa ( p A )= 30 p A 30 10 6 30 p A Beträgt der aktuelle Marktpreis für Gut A p A =10 5, dann ist die Preiselastizität gegeben durch η xa ( p A )= 1 9 Sei außerdem die Nachfrage nach einem Gut B in diesem Markt in Abhängigkeit vom Preis des Gutes p B R beschrieben durch die Nachfragefunktion x B : R R mit x B (p B )=30 10 6 10 6 p B 101
Dann ist die Preiselastizität der Nachfrage an einer Stelle p B 30 η xb ( p B )= 10 6 p B 30 10 6 10 6 p B Beträgt der aktuelle Marktpreis für Gut B p B =10 1, dann ist die Preiselastizität gegeben durch η xb ( p B )= 1 299 Wegen η xa ( p A ) = 1 9 > 1 299 = η x B ( p B ) ist es sinnvoll zu sagen, die Nachfrage nach Gut A sei preissensitiver als die nach Gut B, auch wenn der Vergleich der Ableitungen dx A ( p A ) dp A =30< 106 = dx B ( p B ) dp B und damit des Verhältnisses der absoluten Veränderungen umgekehrt ist Die Übertragung von Definition 108 auf reellwertige Funktionen mit mehreren Veränderlichen mit Hilfe partieller Ableitungen führt zum Begriff der partiellen Elastizität, die entsprechend interpretiert wird Definition 109 (Partielle Elastizität) Sei f : X Y mit X R n, Y R eine in x i partiell differenzierbare Funktion Dann heißt η f,xi ( x) = x i ( x) f( x) für ein x X mit f( x) 0partielle Elastizität von f an der Stelle x bezüglich x i Beispiel 1013: Sei die Nachfrage eines Haushaltes nach einem Gut gegeben durch die Funktion x(p, Y, q 1,,q n ),wobeip 0 der Preis des Gutes sei, Y 0 das Haushaltseinkommen und q 1,,q n die Preise anderer für den Haushalt relevanter Güter η x,p heißt Preiselastizität, η x,y Einkommenselastizität und η x,qi für i =1,,n Kreuzpreiselastizität der Nachfrage Ihre Anwendung finden diese Elastizitäten unter anderem bei der Charakterisierung ökonomischer Phänomene, die im Zusammenhang mit dem Nachfrageverhalten von Haushalten zu beobachten sind Die nachfolgende Tabelle gibt hierzu eine Übersicht: 102
Elastizität Vorzeichen Phänomen Preiselastizität η x,p < 0 normales Gut η x,p > 0 Giffen-Gut, Veblen-Effekt η x,y < 0 inferiores Gut Einkommenselastizität η x,y [0, 1] normales Gut η x,y > 1 superiores Gut Kreuzpreiselastizität η x,qi < 0 Komplementarität η x,qi > 0 Substitution 107 Der Satz über implizite Funktionen Der in diesem Abschnitt behandelte Satz über implizite Funktionen ist nicht nur innerhalb der Mathematik sehr bedeutsam Er kommt auch innerhalb der Wirtschaftswissenschaften oft vor, insbesondere im Zusammenhang mit komparativer Statik von Gleichgewichtsmodellen, also bei der Frage, wie eine gefundene Lösung zu einem Optimirungsproblem von den das Problem charakterisierenden Parametern abhängt (in der Makrotheorie zb im so genannten IS-LM-Modell) 5 Im Rahmen dieses Skriptums wird nur die einfachste zweidimensionale Variante behandelt Schon ganz am Anfang des typischen Curriculums des Wirtschaftswissenschaftlers, nämlich bei der Bestimmung der Steigung einer Isohöhenlinie, tritt das folgende Problem auf Ein Zusammenhang zwischen zwei Größen x und y sei gegeben in der Form F (x, y) =c mit F : X R, X R 2 und c R Wir interessieren uns nun für folgende Fragen 1) Definiert F (x, y) =c implizit eine Funktion φ : D R mit geeignet gewähltem Definitionsbereich D R, sodaßfür alle x D gilt? F (x, φ(x)) = c 2) Kann eine Aussage über die Ableitung der impliziten Funktion φ getroffen werden, falls sie existiert? 5 Eine anwendungsbezogene Darstellung der allgemeineren Variante findet sich etwa bei Chiang (1984, S 210ff) oder bei Sydsæter et al (1999, S 35) 103
Beispiel 1014: (i) Gegeben sei F (x, y) =x 2 5y = c =10 Auflösen dieser Gleichung nach y ergibt y = x2 5 x2 2 Dann gilt F (x, 2) = 5 x 2 5( x2 x2 2) = 10, also existiert eine Funktion φ(x) = 2 mit der geforderten 5 5 Eigenschaft Ihr Definitionsbereich ist D = R und ihre Ableitung dφ(x) = 2x dx 5 (ii) Gegeben sei F (x, y) =x 2 + y 2 = c =1 Auflösung dieser Gleichung nach y ergibt offenbar keine Funktion Es gilt y = ± 1 x 2 mit x [ 1, 1] Das heißt, (i) nicht zu jedem x existiert ein y mit F (x, y) =x 2 + y 2 = 1 und (ii) zu einigen x existiert mehr als ein y mit F (x, y) =x 2 + y 2 =1 Wir stellen uns nun die Frage, ob man trotzdem sinnvolle Antworten auf die oben gestellten Fragen geben kann Dazu wollen wir eine lokale Betrachtung anstellen Sei B ε ( x, ȳ) eineε-umgebung um den Punkt ( x, ȳ) mitf ( x, ȳ) =c Wir stellen erneut die nun lokale Frage, ob Gleichung F (x, y) = c wenigstens innerhalb dieser ε-umgebung (für hinreichend kleines ε>0) eine Funktion mit der geforderten Eigenschaft eindeutig definiert ( ) Dazu betrachte in Beispiel 1014 (ii) ε-umgebungen um die Punkte A = 1 1 2, 2 und B =(1, 0) In einer hinreichend kleinen ε-umgebung um den Punkt A definiert die Gleichung x 2 + y 2 = 1 offenbar eine Funktion φ(x) mitdergeforderten Eigenschaft Sie lautet φ(x) = 1 x 2 Um den Punkt B dagegen existiert auch in einer beliebig kleinen ε-umgebung keine eindeutige Funktion mit der geforderten Eigenschaft Die Frage, unter welchen Bedingungen die Gleichung F (x, y) = c um einen Punkt ( x, ȳ) mitf ( x, ȳ) = c innerhalb einer hinreichend kleinen ε- Umgebung B ε ( x, ȳ) eine Funktion φ mit F (x, φ(x)) = c für alle (x, y) B ε ( x, ȳ) definiert, beantwortet allgemein der nachfolgend angegebene Satz Satz 109 (Satz über implizite Funktionen) Gegeben sei eine C 1 -Funktion F : X R mit X R 2 Sei( x, ȳ) innerer Punkt von X mit F ( x, ȳ) =c und c R Dann definiert die Gleichung F ( x, ȳ) =c in einer hinreichend kleinen ε- Umgebung B ε ( x, ȳ) um ( x, ȳ) eine Funktion φ mit F (x, φ(x)) = c für alle (x, y) B ε ( x, ȳ),wenngilt F( x, ȳ) 0 y Die Ableitung von φ für (x, y) B ε ( x, ȳ) lautet dann φ (x) = dφ(x) dx F(x,y) = x F(x,y) y 104
Der Satz gibt also mit F( x,ȳ) 0 eine Bedingung für die Existenz einer Funktion y φ mit F (x, φ(x)) = c für alle x nahe x Ihre Ableitung ergibt sich direkt aus der Kettenregel df (x,φ(x)) dx dφ(x) dx = F(x,φ(x)) x = F(x,φ(x)) x F(x,φ(x)) y 1+ F(x,φ(x)) y = F(x,y) x F(x,y) y dφ(x) dx =0 Beispiel 1015: Gegeben sei F (x, y) =y 2 x 3 x 2 = 0 Daraus ergibt sich y 2 = x 3 + x 2 = x 2 (x +1), also y = ± x 2 (x +1)=± x x +1mitx 1 Eine Funktion φ wird offenbar nicht definiert um die beiden Punkte (0, 0) und ( 1, 0) In der Tat sind diese auch die einzigen Punkte mit F (x, y) = 0 und F(x, y) y =2y =0 105