Kapitel 4. Folgen 4.1. Körper der reellen Zahlen Wir kennen schon den Körper Q der rationalen Zahlen: Q = { a b : a, b Z, b 0}. Die natürliche Ordnung auf Q ist eine totale Ordnung. Überdies gilt folgendes für alle x, y, z Q: x y x y, 0 z x + z y + z xz yz Man sagt, dass (Q, ) ein geordneter Körper ist. 1
Für die Zwecke der Analysis ist Q nicht geeignet. Bekanntlich bezeichnet x = 2 eine positive Zahl mit x 2 = 2. Allerdings kann x nicht rational sein! Satz. (ca. 500 v. Chr., Hippasus von Metapontum, Schüler von Pythagoras) Es gibt keine rationale Zahl x mit x 2 = 2. Es scheint, dass Q lückenhaft ist. Durch Übergang von Q nach R kann dieser Mangel behoben werden. 2
Wir charakterisieren den Körper R axiomatisch. (I) Angeordneter Körper: (R, ) ist ein angeordneter Körper, der (Q, ) als Teilkörper enthält. Dies bedeutet: Q R Die arithmetischen Operationen +,,, / von R, eingeschränkt auf Q, ergeben die arithmetischen Operationen von Q. Die Ordnung von R, eingeschränkt auf Q, ergibt die Ordnung von Q. 3
(II) Archimedisches Axiom: Für alle x R existiert n N mit x n. Um das entscheidende Vollständigkeitsaxiom zu formulieren, benötigen wir einige Begriffe. Seien a, b R mit a b. Das abgeschlossene Intervall [a, b] ist definiert durch [a, b]: = {x R: a x, x b}. 4
Eine Intervallschachtelung ist eine unendliche Folge von nichtleeren abgeschlossenen Intervallen I n = [a n, b n ] mit I 0 I 1 I 2... sodass die Länge von I n gegen Null konvergiert. Das bedeutet a n, b n R mit a n b n, a n a n+1, b n+1 b n für alle n N und lim (b n a n ) = 0. n Letzterer Grenzwertbegriff wird in Abschnitt 4.3 genau erklärt. 5
(III) Axiom von Cantor und Dedekind (19. Jh.): Zu jeder Intervallschachtelung (I n ) gibt es genau eine reelle Zahl x R, die in allen Intervallen I n liegt. Mit Hilfe dieses Axioms kann man z.b. zeigen, dass es für alle a R, a 0 ein eindeutiges x R mit x 2 = a gibt. Schreibweise x = a. Man kann damit auch zeigen, dass jede reelle Zahl beliebig gut durch rationale Zahlen approximiert werden kann. Später mehr dazu. Man kann zeigen, dass (R, ) durch die Axiome (I), (II), (III) im wesentlichen eindeutig charakterisiert ist. Man kann (R, ) auch explizit konstruieren und damit seine Existenz beweisen. Wir wollen das hier allerdings unterlassen. Veranschaulichung von R durch die reelle Zahlengerade. 6
Definition. (Absolutbetrag) Der Absolutbetrag von x R ist definiert als x falls x 0 x : = x sonst. Lemma. Für x, y R gilt (1) x 0. Es gilt x = 0 x = 0. (2) xy = x y, x y = x y falls y 0 (3) (Dreiecksungleichung) x + y x + y (4) x y x y 7
4.2. Körper der komplexen Zahlen Der Körper R hat noch einen Mangel. Nicht jede Polynomgleichung hat eine Lösung in R, z.b. x R x 2 = 1 Grund: x R x 2 0 (gilt in jedem geordneten Körper) Wir erweitern deshalb R zu einem Körper C, der diesen Mangel nicht mehr hat. Allerdings müssen wir dabei auf eine Anordnung verzichten. 8
Axiomatische Charakterisierung C ist ein Körper, der R als Teilkörper enthält C enthält eine imaginäre Einheit i C mit der Eigenschaft i 2 = 1 Jedes Element z C läßt sich schreiben als mit eindeutig bestimmten x, y R. x = Re(z) heißt Realteil von z, y = Im(z) heißt Imaginärteil von z. z = x + i y 9
Aus den Axiomen folgen die Rechenregeln: (x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 ) (x 1 + iy 1 ) (x 2 + iy 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) für x 1, x 2, y 1, y 2 R. "Gausssche Zahlenebene": Veranschaulichung der komplexen Zahl z = x + iy als Punkt der Ebene mit den kartesischen Koordinaten (x, y). Die Addition komplexer Zahlen entspricht der Vektoraddition. Geometrische Interpretation der Multiplikation später. 10
Definition. Sei z = x + iy C, x, y R. Der (Absolut)betrag von z ist definiert als z : = x 2 + y 2 Die zu z konjugiert komplexe Zahl ist definiert als z : = x iy. Bemerkung. z = z 11
Proposition. Die komplexe Konjugation C C, z z ist ein Ringhomomorphismus, d.h. (i) z 1 + z 2 = z 1 + z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2 für z 1, z 2 C. (ii) Es gilt z = z für z R. (iii) z 2 = z z. 12
Formel für Inverse? Sei z C \ {0}. Dann z 2 = z z, also Also z 1 = Ausführlich: z z 2. z (x + iy) 1 = z z 2 = 1. x x 2 + y 2 i y x 2 + y 2. Beispiel. 1 + i = 2, (1 + i) 1 = 1 2 i 1 2 = 1 i 2. 13
Lemma. (1) z 0. Es gilt z = 0 z = 0. (2) z 1 z 2 = z 1 z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2 falls z 2 0 (3) (Dreiecksungleichung) z 1 + z 2 z 1 + z 2 14
Bemerkung. Man kann C aus R konstruieren, indem man setzt C: = R 2 und die Ringoperationen so definiert (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) :=(x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) :=(x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ) Man kann dann nachrechnen, dass so tatsächlich ein Körper definiert wird. Satz. (Existenz der Quadratwurzel) Für alle z C existiert w C mit w 2 = z 15
4.3. Begriff des Grenzwerts Definition. Unter einer Folge komplexer Zahlen versteht man eine Abbildung N C, n a n von der Menge der natürlichen Zahlen N in die Menge der komplexen Zahlen C. Verschiedene Schreibweisen sind in Gebrauch: (a n ) n N, (a n ), oder a 0, a 1, a 2,.... Man nennt a n das Folgenglied zum Index n oder ntes Folgenglied. Manchmal beginnt die Folge mit dem Index 1 statt 0. 16
Betrachte die Zahlenfolge a 1 = 1, a 2 = 1 2, a 3 = 1 3,..., a n = 1 n,.... Keines der Folgenglieder a n ist Null, aber mit wachsendem Index n kommen die Folgenglieder a n immer näher an die Null heran. Man sagt: die Zahlen a n konvergieren (oder streben) mit wachsendem n gegen 0 und schreibt lim a n = 0 oder a n 0 (n ). n Wir müssen diesem einen präzisen Sinn geben! 17
Folgendes stellen wir fest: In jedes noch so kleine Intervall um 0 fallen alle Folgenglieder a n mit Ausnahme endlich vieler hinein. Tatsächlich gilt für jede Toleranz ɛ > 0, dass sobald n > 1 ɛ. a n < ɛ, Somit existiert für jede Toleranz ɛ > 0 eine Schwelle n ɛ (nämlich n ɛ = 1/ɛ ), so dass für jeden Index n n ɛ gilt, dass a n < ɛ. Dieser Sachverhalt lässt sich mittels Quantoren folgendermassen knapp aufschreiben: ɛ > 0 n ɛ n n ɛ a n < ɛ. 18
Definition. Eine Folge reeller (oder komplexer) Zahlen a n konvergiert gegen die Zahl a, falls ɛ > 0 n ɛ n n ɛ a n a < ɛ. Die Zahl a heisst Grenzwert der Folge, und man schreibt a = lim n a n. Folgen, die einen Grenzwert haben, heissen konvergent, andernfalls divergent. Bemerkung. Der Grenzwert einer Folge ist eindeutig bestimmt, falls er existiert. 19
Beispiel. 1. a n = ( 1) n ist divergent. 2. lim n ( 1) n /n = 0 (Oszillation) 3. Konstante Folgen sind konvergent. 20
Beispiel. (Geometrische Folge) Sei q C, q < 1. Dann gilt lim n qn = 0. Der Beweis beruht auf der sogenannten Bernoullischen Ungleichung Für h R, h > 1 und n N gilt: (1 + h) n 1 + nh. (Beweis mit Induktion nach n.) 21
Eine gegen Null konvergente Folge nennt man auch eine Nullfolge. Definition. Eine Folge (a n ) heißt beschränkt, falls es eine Schranke M gibt, so dass a n M für alle n gilt. Andernfalls heißt die Folge unbeschränkt. Bemerkung. Konvergente Folgen sind beschränkt. Analog wie oben zeigt man, dass die geometrische Folge (q n ) für q > 1 unbeschränkt ist. Insbesondere ist die geometrische Folge dann nicht konvergent. 22
Beispiel. Es gilt lim n n n = 1. 23
4.4. Rechenregeln für Grenzwerte Der folgende Satz besagt, dass man den Prozess der Grenzwertbildung mit den arithmetischen Grundoperationen vertauschen darf. Satz. Seien (a n ) und (b n ) konvergente Folgen mit den Grenzwerten a bzw. b. Dann gilt: 1. (a n + b n ) ist konvergent mit Grenzwert a + b. 2. (a n b n ) ist konvergent mit Grenzwert a b. 3. (a n /b n ) ist konvergent mit Grenzwert a/b, falls b 0. 24
Grenzwerte sind kompatibel mit der Ordnung der reellen Zahlen, wie der folgende Satz zeigt. Satz. Seien (a n ) und (b n ) konvergente, reelle Zahlenfolgen mit den Grenzwerten a bzw. b. Gilt a n b n für alle bis auf endlich viele n, dann folgt a b. 25
Nützlich sind ferner folgende, leicht zu beweisende Aussagen. Satz. 1. Gilt lim n a n = a, so folgt lim a n = a, n lim a n = a n 2. Gilt lim n a n = 0 und ist (b n ) beschränkt, so folgt lim n a n b n = 0. 3. (Eingabelung) Gilt a n x n b n für alle hinreichend großen n und lim a n = lim b n = x, n n so folgt lim x n = x. n 26
Definition. Eine Folge reeller Zahlen a n heisst uneigentlich konvergent gegen, wenn In Worten: M n M n n M a n > M. Für jede Schranke M gibt es eine Schwelle n M, so dass a n > M für alle Indizes n n M gilt. Man schreibt dann lim n a n =. 27
Beispiel. 1. lim n n =. 2. Die Folge (( 1) n n) ist nicht uneigentlich konvergent. Die Rechenregeln von vorher lassen sich bei geeigneter Festlegung des Rechnens mit dem Symbol auf uneigentlich konvergente Folgen erweitern. Wir gehen darauf nicht im Detail ein. Beispiel. Ist lim n a n = und (b n ) eine beschränkte Folge, so gilt lim n (a n + b n ) =. Wenn nicht ausdrücklich darauf hingewiesen wird, verstehen wir unter Konvergenz immer eigentliche Konvergenz. 28
4.5. Existenzsätze Bei den bisher behandelten Beispielen war der Grenzwert eine uns bereits bekannte Zahl. Die Fruchtbarkeit des Grenzwertbegriffes der Analysis beruht aber wesentlich darauf, dass wir durch Grenzwerte bekannter Größen neue Größen erfassen können. Dazu benötigen wir die einige fundamentale Existenzsätze. 29
Beispiel. Die Folge a n = ( 1) n + 1 n ist divergent. Die Folgenglieder a n häufen sich aber in der Nähe von 1 und 1. Definition. Eine Zahl a heisst Häufungspunkt einer Folge (a n ), wenn jede noch so kleine Umgebung von a unendlich viele Folgenglieder a n enthält. Dabei sagen wir, dass unendlich viele Glieder einer Folge (a n ) eine Eigenschaft E besitzen, wenn es zu jedem N ein n > N gibt, so dass a n die Eigenschaft E hat. 30
Beispiel. 1 und 1 sind die einzigen Häufungspunkte der Folge a n = ( 1) n + 1/n. Satz. Gilt lim n = a, so ist a der einzige Häufungspunkt der Folge (a n ). 31
Zurück zum Axiom für die Vollständigkeit der reellen Zahlen. Eine Intervallschachtelung ist eine Folge nichtleerer, abgeschlossener Intervalle I n = [a n, b n ] mit so dass lim n (b n a n ) = 0. I 0 I 1 I 2..., Wir postulieren das folgende Axiom von Cantor und Dedekind, welches anschaulich gesprochen ausdrückt, dass die reelle Zahlengerade keine Löcher hat. Axiom von Cantor und Dedekind. Zu jeder Intervallschachtelung (I n ) gibt es genau eine reelle Zahl a, die in allen Intervallen I n liegt. 32
Aus dem Axiom von Cantor und Dedekind folgern wir ein fundamentales Prinzip. Häufungsstellenprinzip von Bolzano und Weierstrass Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt mindestens einen Häufungspunkt. 33
Definition. Eine Folge reeller Zahlen a n heisst monoton wachsend falls a n a n+1 für alle n gilt. Satz. Jede monotone beschränkte Folge reeller Zahlen konvergiert. 34
Die Eulersche Zahl Als Anwendung für die Erzeugung einer nicht vornherein charakterisierbaren Zahl betrachten wir die Summe S n = 1 + 1 1! + 1 2! +... + 1 n!. Die Folge (S n ) ist offensichtlich monoton wachsend. Ausserdem ist sie beschränkt, denn S n < 1 + 1 + 1 2 + 1 2 2 +... + 1 2 n 1 = 1 + 1 1 1 1 2 2 n = 1 + 2 1 < 3. 2n 1 Gemäss dem vorigen Satz existiert der Grenzwert e := lim n S n. 35
Diese Zahl ( e := lim 1 + 1 n 1! + 1 2! +... + 1 ) n! 2.71828... heisst Eulersche Zahl und ist neben π die wichtigste Zahl in der Mathematik. Wir geben eine andere Charakterisierung der Eulerschen Zahl. Satz. Es gilt e = lim n (1 + 1 n )n. 36
Konvergenzkriterium von Cauchy Das folgende Cauchy-Kriterium garantiert die Konvergenz einer Folge unter Bedingungen, die sich überprüfen lassen, ohne dass man den Grenzwert kennt. Definition. Eine Folge (a n ) heisst Cauchyfolge, wenn ɛ > 0 n ɛ m, n n ɛ a m a n < ɛ. Anschaulich besagt dies, dass sich die Werte der Zahlenfolge nur noch in einem kleinen Spielraum bewegen können, der beliebig klein wird, wenn der Index genügend gross gewählt ist. 37
Das folgende Kriterium ist ein grundlegendes Werkzeug der Analysis. Satz. (Cauchy-Kriterium) Eine Folge (a n ) ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchyfolge ist. 38
4.6. Landausche Symbole Zum Vergleich der Grössenordnung des Wachstums von Folgen verwendet man die folgende Notation. Def. (Gross Oh) Seien f, g : N C. Man schreibt falls N N C R >0 sodass f(n) = O(g(n)) (n ) n N f(n) C g(n) Diese nützliche Schreibweise wird in der theoretischen Informatik häufig verwendet (asymptotischer Vergleich von Rechenzeit, Speicherplatz etc. in Abhängigkeit der Eingabegrösse n). Indem man den Wert der Konstanten C ignoriert, vereinfachen sich Rechnungen oft erheblich. 39
Beisp. 1 2 n(n + 1) = O(n2 ) höchstens quadratisches Wachstum Beisp. Sei f(n) = 3n 3 2n + 7. Es gilt f(n) = O(n 4 ) f(n) = O(n 3 ) aber nicht f(n) = O(n 2 ) 40
Häufig verwendet man auch folgende Schreibweise f(n) = g(n) + O(h(n)) (n ) Dies drückt folgendes aus: es gibt eine Funktion k : N C mit f(n) = g(n) + k(n) für n N und k(n) = O(h(n)) (n ) Beisp. 1 2 n(n + 1) = 1 2 n2 + O(n) 41
Def. (klein Oh) Seien f, g : N C. Die Schreibweise bedeutet lim n f(n) g(n) = 0 f(n) = o(g(n)) (n ) Beisp. n = o(n 2 ) 1 2 n(n + 1) = 1 2 n2 + 1 2 n = 1 2 n2 + o(n 2 ) mit einer ähnlichen Interpretation wie oben n + 3 n = n + o(n) n log n = o(n 2 ) (vgl. später) 42
Die Schreibweise f(n) = O(g(n)) ist eine obere Abschätzung des Wachstums von f. Eine untere Abschätzung wird wie folgt geschrieben. Def. (Gross Omega) Seien f, g : N C. Die Schreibweise f(n) = Ω(g(n)) (n ) bedeutet: N N c R >0 sodass n N f(n) c g(n) Bem. f(n) = Ω(g(n)) ist äquivalent zu g(n) = O(f(n)) 43
Def. (Theta) Seien f, g : N C. Die Schreibweise f(n) = Θ(g(n)) (n ) bedeutet f(n) = O(g(n)) und g(n) = O(f(n)) (n ) Beisp. 1 2 n4 3n 3 + 5n 2 7n 1 = Θ(n 4 ) Es werden später mehr Beispiele folgen (mit Logarithmusfunktion etc.) 44