Modrago Formel Herleitug, Azahl Quadrate ud Differeze 01.doc 1 FormelfürdieAzahlmöglicherQuadrateauf*Spielfelder Mit Erläuteruge zur Ableitug der Formel vo Dr. Volker Bagert Berli, 11.03.010 Ihaltsverzeichis Seite Eileitug 3 1. Azahl der mögliche Quadrate (Formel als Reihe) 3 A: Azahl möglicher gerader Quadrate B: Azahl möglicher schräger Quadrate C: Azahl möglicher diagoaler Quadrate D: Gesamte Azahl möglicher Quadrate. Azahl der mögliche Quadrate (Formel als Kurzformel) 5 A: Azahl möglicher gerader Quadrate B: Azahl möglicher schräger Quadrate C: Azahl möglicher diagoaler Quadrate D: Gesamte Azahl möglicher Quadrate 3. Berechug der Differeze 7 A: Formel für die Erste Differez B: Formel für die Zweite Differez C: Formel für die Dritte Differez 4. Deduktive Formel 9 5. Zusammefassug der Formel 10. Zahlefolge als Tabelle: 11 Azahl möglicher Quadrate für ei Spielbrett mit * Felder ud die Differeze (Zahlewerte) 7. Zahlefolge als Kurve: 1 Azahl möglicher Quadrate für ei Spielbrett mit * Felder
Modrago Formel Herleitug, Azahl Quadrate ud Differeze 01.doc Fragestellug Bei der Fragestellug wird vo * Felder ausgegage, die mit gleiche Abstäde quadratisch ageordet sid. Nebestehed ist ei Beispiel zu sehe mit * 5*5 Felder. Werde vier dieser Felder mit Liie verbude, etsteht ei Viereck. Eiige dieser mögliche Vierecke sid Quadrate. Beispiele sid auf der ächste Seite zu sehe (Eileitug). Die allgemeie Frage ist, wie viele Quadrate sich isgesamt auf eier Aordug vo * Felder ( beliebig) bilde lasse. Dabei ka außerdem uterschiede werde i gerade, diagoale ud schräge Quadrate (siehe Eileitug). Die Frage ach der mögliche Zahl der Quadrate wird beatwortet durch die Herleitug vo Formel, mit dee bei Vorgabe eier beliebige gaze Zahl die Gesamtzahl der mögliche Quadrate ud auch die Azahl der gerade, diagoale bzw. der schräge Quadrate errechet werde ka. Die Fragestellug ist vo allgemeiem mathematischem bzw. geometrischem Iteresse. Ageregt wurde diese Betrachtuge durch das Brettspiel Modrago, dass der Küstler Adria Schacker (Berli) erfude hat (www.modrago.et). Es ist ei Spiel mit zwei Parteie. Es wird auf eiem Spielbrett mit * 5*5 Felder gespielt. Jede Partei hat vier Spielsteie. I ebesteheder Abbildug ist die Afagsstellug der Spielsteie zu sehe. Es wird abwechseld mit eiem der vier Steie gezoge, ud zwar auf ei beliebiges agrezedes Feld (geradeaus oder schräg). Der Spieler, der mit seie vier Steie zuerst ei Quadrat ( Modrago ) bildet, hat gewoe.
Modrago Formel Herleitug, Azahl Quadrate ud Differeze 01.doc 3 FormelfürdieAzahlmöglicherQuadrate auf eiem Modrago-Spielbrett mit *Spielfelder Eileitug Auf eiem Modrago-Spielbrett mit * Felder köe drei Arte vo Quadrate gebildet werde: Gerade, schräge ud diagoale Quadrate. (Hier das Beispiel * 5*5): m (gesamt) ist die Gesamtzahl der mögliche Quadrate auf eiem Spielbrett mit * Felder. m (gesamt) ist die Summe der gerade, schräge ud diagoale Quadrate: m (gesamt) m (gerade) + m (schräg) +m (diagoal) Durch Auszähle der Azahl der mögliche Quadrate für das Spielbrett mit * 5*5 Felder (5) ergebe sich isgesamt 50 mögliche Quadrate: m (gesamt) 50, wobei m (gerade) 30 m (schräg) 10 m (diagoal) 10. Es solle u Formel gefude werde, mit dee die Azahl der mögliche Quadrate durch Eisetze vo i die Formel bestimmt wird, ud icht durch Auszähle der Quadrate. We diese Formel ermittelt sid, ka jedes beliebige eigesetzt werde, um die Azahl möglicher Quadrate für ei Spielfeld mit * Spielfelder ( beliebig) zu bereche. 1. Azahl der mögliche Quadrate (Formel als Reihe) Bestimmug der Formel als Reihe Eie Reihe ist eie Summe aus aufeiader folgede Glieder. A: Azahl möglicher gerader Quadrate auf eiem Spielbrett mit * Spielfelder: Beispiel: * 5*5, also 5 gaz kleie Quadrate kleie Quadrate große Quadrate Gaz große Quadrate 4*4 (-1) 3*3 (-) * (-3) 1*1 (-4) m 5 (gerade) (-1) + (-) +(-3) + (-4) für 5 Allgemei: m (gerade) (-1) + (-) +(-3) + (-4) + (-(-1)) für beliebiges
Modrago Formel Herleitug, Azahl Quadrate ud Differeze 01.doc 4 B: Azahl möglicher schräger Quadrate auf eiem Spielbrett mit * Spielfelder: Beispiel: * *, also kleie rechts gerichtet kleie liks gerichtet große rechts gerichtet große liks gerichtet 3*3 (-3) 3*3 (-3) * (-4) * (-4) m (schräg) (-3) + (-3) + (-4) + (-4) für *(-3) + *(-4) Allgemei: m (schräg) *(-3) + *(-4) + *(-5) +.*(-(-1)) für beliebiges C: Azahl möglicher diagoaler Quadrate auf eiem Spielbrett mit * Spielfelder: Fall C1: ist ugerade Beispiel: * 7*7, also 7 gaz kleie Quadrate kleie Quadrate große Quadrate 5*5 (-) 3*3 (-4) 1*1 (-) m 7 (diagoal für ugerades ) (-) + (-4) + (-) für 7 Allgemei: m (diagoal für ugerades ) (-) + (-4) +(-) + (-(-1)) für beliebiges Fall C: ist gerade Beispiel: * 8*8, also 8 gaz kleie Quadrate kleie Quadrate große Quadrate * (-) 4*4 (-4) * (-) m 8 (diagoal für gerades ) (-) + (-4) + (-) für 8 Allgemei: m (diagoal für gerades ) (-) + (-4) +(-) + (-(-)) für beliebiges
Modrago Formel Herleitug, Azahl Quadrate ud Differeze 01.doc 5 D: Gesamte Azahl möglicher Quadrate auf eiem Spielbrett mit * Spielfelder: m (gesamt) m (gerade) + m (schräg) +m (diagoal) m (gesamt für ugerades ) 1*(-1) + *(-) +3*(-3) + 4*(-4) + 3*(-5) +4*(-) + 3*(-7) +4*(-8) + 4*(-(-1)) m (gesamt für gerades ) 1*(-1) + *(-) +3*(-3) + 4*(-4) + 3*(-5) +4*(-) + 3*(-7) +4*(-8) + 3*(-(-1)) Erläuteruge zum Abbruchglied (Beispiele): Das Abbruchglied bei m (diagoal für ugerades ) ist (-(-1)) 1. Das gilt für beliebiges, de (-(-1)) (-+1) 1 1. Das Abbruchglied bei m (diagoal für gerades ) ist (-(-)) 4. Das gilt für beliebiges, de (-(-)) (-+) 4.. Azahl der mögliche Quadrate (Formel als Kurzformel) Bestimmug der Formel als kurze Ausdrücke durch Awedug vo Formel für Reihe Für Reihe, die ja Summe mehrerer Glieder sid, gibt es Formel, mit dee der Wert eier Reihe (die Summe) auf verkürzte Art ud Weise berechet werde ka. A: Azahl möglicher gerader Quadrate auf eiem Spielbrett mit * Spielfelder: m (gerade) (-1) + (-) +(-3) + (-(-3)) + (-(-)) + (-(-1)) (-(-1)) + (-(-)) + (-(-3)).... +(-3) + (-) + (-1) 1 + + 3 + (-1) Formel 1: k 1 + + 3 + ( + 1)( + 1) k 1 Mit Hilfe der Formel 1 ergibt sich aus der Reihe-Formel für gerade Quadrate: 1) m (gerade) B: Azahl möglicher schräger Quadrate auf eiem Spielbrett mit * Spielfelder: m (schräg) *(-3) + *(-4) + *(-5) +.*(-(-1)) *[(-3) + (-4) + (-5) +.(-(-1)) ] *[1 + +3 +4.+ (-5) + (-4) + (-3) ] Formel 1: k 1 + + 3 + ( + 1)( + 1) k 1 Mit Hilfe der Formel 1 ergibt sich aus der Reihe-Formel für schräge Quadrate: ( )( 3)( 5) m (schräg) 3 C: Azahl möglicher diagoaler Quadrate auf eiem Spielbrett mit * Spielfelder: m (diagoal für ugerades ) (-) + (-4) +(-). + (-(-3)) + (-(-1)) 1 + 3 + 5. + (-) + (-4) +(-)
Modrago Formel Herleitug, Azahl Quadrate ud Differeze 01.doc 1 Formel : (k 1) 1 + 3 + 5 + 7.. + (-) + (-4) + (-) ( ugerade) k 1 ) Mit Hilfe der Formel ergibt sich aus der Reihe-Formel für diagoale Quadrate: ) m (diagoal für ugerades ) m (diagoal für gerades ) (-) + (-4) +(-) + (-(-4)) + (-(-)) + 4 + + 8 + (-) + (-4) + (-) Formel 3: (k ) + 4 + + 8.... + (-) + (-4).+ (-) ( gerade) k 1 ) Mit Hilfe der Formel 3 ergibt sich aus der Reihe-Formel für diagoale Quadrate: ) m (diagoal für gerades ) Die so errechete Formel für m (diagoal für ugerades ) ud für m (diagoal für gerades ) sid gleich. Deshalb gilt geerell m (diagoal) ) für beliebiges. D: Gesamte Azahl möglicher Quadrate auf eiem Spielbrett mit * Spielfelder: m (gesamt) m (gerade) + m (schräg) +m (diagoal) 1) + ( )( 3)( 5) 3 + ) m (gesamt) 7( + 11) - -10 Die Azahl m der mögliche gerade, schräge ud diagoale Quadrate bzw. aller mögliche Quadrate (gesamt) ergibt mit aufsteigedem vier Folge vo Zahle, die i Kapitel i eier Tabelle aufgelistet sid (Siehe auch Modrago Zahlefolge gerade schräg diagoal gesamt Tabelle.doc ). Für jede der vier Zahlefolge wird u die Differez d der aufeiader folgede Zahle gebildet (d m - m -1 ). Daraus ergebe sich vier eue Zahlefolge ( Erste Differez ). Wird für jede der vier Zahlefolge wieder die Differez aufeiader folgeder Zahle gebildet ( Zweite Differez, dd d - d -1 ), ud vo de sich so ergebede Zahlereihe wieder die Differez aufeiader folgeder Zahle (ddd dd - dd -1 ), so ergibt sich, dass ddd bei alle vier Zahlefolge eie kostate Zahl ist (, 4, 1 bzw. 7).
Modrago Formel Herleitug, Azahl Quadrate ud Differeze 01.doc 7 3. Berechug der Differeze A: Formel für die Erste Differez d [Azahl möglicher Quadrate auf eiem Spielbrett mit * Spielfelder] mius [Azahl möglicher Quadrate auf eiem Spielbrett mit (-1)*(-1) Spielfelder] Diese Differez wird als Erste Differez bezeichet. d m - m -1 Gerade Quadrate: d (gerade) m (gerade) - m -1 (gerade) 1) - ( 1)(( 1) 1)(( 1) 1) d (gerade) (-1) Schräge Quadrate: d (schräg) m (schräg) - m -1 (schräg) ( )( 3)( 5) 3 - (( 1) )(( 1) 3)(( 1) 5) 3 d (schräg) *(-3) Diagoale Quadrate: d (diagoal) m (diagoal) - m -1 (diagoal) ) - ( 1)(( 1) 1)(( 1) ) d (diagoal) ( 1)( ) Alle Quadrate: d (gesamt) m (gesamt) - m -1 (gesamt) 7( + 11) - 7( 1)(( 1) -10 [ + 11) - (-1) -10 ] d (gesamt) ( 7 31) + 0 B: Formel für die Zweite Differez dd d - d -1 ist die Differez der aufeiader folgede Erste Differeze ud wird Zweite Differez geat. Gerade Quadrate: dd (gerade) d (gerade) - d -1 (gerade) dd (gerade) - 3 (-1) ((-1) -1)
Modrago Formel Herleitug, Azahl Quadrate ud Differeze 01.doc 8 Schräge Quadrate: dd (schräg) d (schräg) - d -1 (schräg) dd (schräg) *(-7) *(-3) *((-1)-3) Diagoale Quadrate: dd (diagoal) d (diagoal) - d -1 (diagoal) ( 1)( ) - (( 1) 1)(( 1) ) dd (diagoal) - Alle Quadrate: dd (gesamt) d (gesamt) - d -1 (gesamt) ( 7 31) + 0 [ ( 1)(7( 1) 31) + 0 ] dd (gesamt) 7-19 C: Formel für die Dritte Differez ddd dd - dd -1 ist die Differez der aufeiader folgede Zweite Differeze ud wird Dritte Differez geat. Gerade Quadrate: ddd (gerade) dd (gerade) - dd -1 (gerade) (-3) ((-1)-3) ddd (gerade) Schräge Quadrate: ddd (schräg) dd (schräg) - dd -1 (schräg) ddd (schräg) 4 *(-7) *((-1)-7) Diagoale Quadrate: ddd (diagoal) dd (diagoal) - dd -1 (diagoal) ddd (diagoal) 1 - ((-1)-) Alle Quadrate: ddd (gesamt) dd (gesamt) - dd -1 (gesamt) ddd (gesamt) 7 7 19 (7(-1)-19)
Modrago Formel Herleitug, Azahl Quadrate ud Differeze 01.doc 9 4. Deduktive Formel Die Azahl möglicher Quadrate für ei Spielbrett mit * Spielfelder wird direkt errechet durch die Eigabe der Zahl i die Direkte Formel (siehe Kapitel oder 5). Die ute agegebee Deduktive Formel ermögliche die Berechug der Azahl möglicher Quadrate m durch Verwedug des Vorgägers m -1. Wurde die Azahl möglicher Quadrate m -1 für ei Spielbrett mit (-1)*(-1) Felder bereits berechet, so ka die Azahl möglicher Quadrate m für das Spielbrett mit * Felder i scheller Weise deduktiv berechet werde durch Hizuaddiere kurzer Glieder, die durch Eisetze vo bestimmt werde. Die deduktive Formel ergebe sich aus der Gleichug d m - m -1 (siehe Kapitel 3 A, Erste Differez ). De es gilt m m -1 + d, woraus folgt: m (gerade) m -1 (gerade) + (-1) m (schräg) m -1 (schräg) + *(-3) ( 1)( ) m (diagoal) m -1 (diagoal) + ( 7 31) m (gesamt) m -1 (gesamt) + + 0 Außerdem gilt die folgede Formel: m + (schräg) * m (gerade)
Modrago Formel Herleitug, Azahl Quadrate ud Differeze 01.doc 10 5. Zusammefassug der Formel aus Kapitel ud 3 Die Formel auf eie Blick m (gesamt) m (gerade) + m (schräg) +m (diagoal) m (gesamt) 1) ( )( 3)( 5) + 3 7( + 11) - -10 + ) Defiitio: d m - m -1 d (gesamt) d (gerade) + d (schräg) +d (diagoal) (-1) + *(-3) ( 1)( ) + d (gesamt) ( 7 31) + 0 Defiitio: dd d - d -1 dd (gesamt) dd (gerade) + dd (schräg) + dd (diagoal) 3 + *( 7) + dd (gesamt) 7-19 Defiitio: ddd dd - dd -1 ddd (gesamt) ddd (gerade) + ddd (schräg) + ddd (diagoal) + 4 + 1 ddd (gesamt) 7
Modrago Formel Herleitug, Azahl Quadrate ud Differeze 01.doc 11. Zahlefolge als Tabelle: Azahl möglicher Quadrate für ei Spielbrett mit * Felder ud die Differeze (Zahlewerte) Alle Zahlewerte m wurde auf de Spielbretter mit * Felder ausgezählt. Sie stimme mit de Werte überei, die sich aus de Formel ergebe. (Siehe auch Modrago Zahlefolge gerade schräg diagoal gesamt Tabelle.doc ) Es ist auffällig, dass die Erste Differez d (gerade) m (gerade) m -1 (gerade) eie Zahlefolge ist, die aus der Aufeiaderfolge der Quadratzahle besteht: 1, 4, 9, 1, 5, 3, 4, 81, 100, usw. Diese Tatsache ist überrasched, wird jedoch bestätigt durch die Formel d (gerade) (-1).
Modrago Formel Herleitug, Azahl Quadrate ud Differeze 01.doc 1 7. Zahlefolge als Kurve: Azahl möglicher Quadrate für ei Spielbrett mit * Felder (Siehe dazu auch Modrago Zahlereihe als Kurve gerade schräg diagoal gesamt.xls ). Der Verlauf der Kurve i Bild 1 bis 4 wird weiter ute erläutert. m Bild 1 m Bild m Bild 3 m Bild 4
Modrago Formel Herleitug, Azahl Quadrate ud Differeze 01.doc 13 Erläuterug zu de Bilder: Bild 3 zeigt, dass das erste gerade Quadrat auf eiem Spielbrett mit * * Spielfelder gebildet werde ka (blaue Kurve,, m 1), ud dass das erste diagoale Quadrat auf eiem Spielbrett mit * 3*3 Felder gebildet werde ka (gelbe Kurve, 3, m 1). Dieser Umstad wird durch die rote wagerechte Liie agezeigt. Die erste zwei schräge Quadrate köe auf eiem Spielbrett mit * 4*4 Spielfelder gebildet werde (lila Kurve, 4, m ). Bild 3 zeigt außerdem, dass sich bei 3 füf gerade Quadrate bilde lasse (blaue Kurve, 3, m 5), ud bei 4 vier diagoale Quadrate (gelbe Kurve, 4, m 4). Bild 1 zeigt, dass es Afags mehr diagoale (lila Kurve) als schräge Quadrate gibt (gelbe Kurve) ud am meiste gerade Quadrate (blaue Kurve). Bei 5 gibt es da geau so viele diagoale wie schräge Quadrate, ämlich 10, ud 30 gerade Quadrate. Vo da a (ab ) gibt es da weiger diagoale als schräge Quadrate, die Kurve scheide sich. Noch überwiegt die Azahl der gerade Quadrate. Bild zeigt, dass ab 11 die meiste Quadrate schräge Quadrate sid. De die gelbe Kurve der schräge Quadrate scheidet (überholt) die blaue Kurve der gerade Quadrate, ud zwar kurz hiter 10. Bild 4 zeigt da, dass es für Spielbretter ab * 11 immer mehr gerade (blaue Kurve) als diagoale Quadrate (lila Kurve) gibt, ud am meiste schräge Quadrate (gelbe Kurve). Bild 5 ud Bild : Kurve für kleier als 3 Ei reales Spielbrett müsste midestes * 4*4 bzw. * 5*5 Spielfelder habe. Bei * 3 gibt es lediglich 5 gerade, 1 diagoales ud och kei schräges Quadrat, das ermöglicht kei Modrago-Spiel, ebeso ist es mit eiem * * Spielfeld. Die Werte 1 bzw 0 ergebe überhaupt kei Spielfeld. Es ist also ur vo akademischem Iteresse, wie die Kurve im Bereich vo 0 ud 3 verlaufe. Um die Kurve i diesem Bereich vo darzustelle, wurde auch Zwischewerte vo i die Formel eigesetzt ( 0,1 0, 0,3 1,1 1, usw.), zu sehe i Bild 5. (Siehe auch Modrago Zahlefolge Kurve ger schr diag Quadr kleier 3.xls ). m Bild 5
Modrago Formel Herleitug, Azahl Quadrate ud Differeze 01.doc 14 Bei Bild wurde egative Werte für i die Formel eigesetzt. Auch dieser Bereich der Kurve ist ur vo akademischem Iteresse, de es existiert kei Spielbrett mit * Spielfelder, bei dem egativ ist. Es ist jedoch vo mathematischem Iteresse, welcher Art die Kurve (Fuktioe) sid, die sich aus de Formel für die Azahl der mögliche Modrago-Quadrate auf eiem *-Spielbrett ergebe. Es sid Fuktioe dritte Grades (jeweils mit eiem 3 -Glied). Bild m Abschließede Bemerkug: Das Modrago-Spielbrett mit * 5*5 Spielfelder ist das hergebrachte MONDRAGO, das sich als herausforderdes Spiel mit echte Aforderuge a die Spieler erwiese hat, wobei der Ausgag der Modrago-Partie vo Afag a offe ist, ud der Gewi der Partie absolut dem Glück ud der Itelligez des Spielers aheim gestellt ist. Es ist auf experimetellem Wege zu ermittel, ob Spielfelder mit * oder 7*7 Felder (oder mehr) spielbar sid, oder ob bei dieser Größe des Spielfeldes der Spieler, der de erste Zug macht, bei folgerichtige Spielzüge das Spiel uaufhaltsam gewie ka. Da wäre Spielfelder dieser Größe icht sivoll.