Von der Augenlinse zur Auftragssteuerung: einige praktische Anwendungsbeispiele

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1 Vo der Augelise zur Auftragssteuerug: eiige praktische Awedugsbeispiele Prosemiar Evolutiosstrategie August 00 Roy Pappert

2 Ihalt. Optimierug vo Strukture 3.. Optimierug vo Fachwerk 3.. Neuroales Netz 6.3. Optimierug eies Widparks 7. Optimierug vo Abläufe 8.. Das Perplex System 8 3. Verschiedee Optimieruge Evolutio des Steiwurfes Magisches Quadrat 3.3. Liseevolutio 3 4. Literatur 4 - -

3 . Optimierug vo Strukture.. Optimierug vo Fachwerk ach [RECH-94] We ma vo Optimierug vo Strukture spricht, sollte ma zuerst kläre, was sich hiter dem Begriff der Struktur verbirgt. Nach Immauel Kat, ist eie Struktur: Lage ud Verbiduge der Teile eies ach eiem eiheitliche Zweck sich bildede Orgaismus Heißt: Ei Gebilde besteht aus verschiedeste Eizelteile. Diese Teile verbide sich i eier Art, die dazu führt, dass das Gebilde seie Zweck erfülle ka. Zum Beispiel die Orgae des Mesche sid so verbude ud orgaisiert, dass der Mesch lebe ka. Im Zusammehag mit Evolutiosstrategie (ES) wurde die Struktur zum erste Mal i de 70er Jahre diskutiert. Als Beispiel soll hier ei Fachwerk diee. Hierbei hadelt es sich um ei Stabtragewerk, welches aus Stäbe besteht, die a Kote miteiader verbude sid. Das Tragwerk soll so kostruiert sei, dass es miimales Gewicht bei maximaler Tragkraft erreicht. Bild -: vo 70 Verbidugstopologie eies ebee Krageträgers [RECH-94] Gesucht ist ebe de Koordiate der Kote die güstigste Verbidugstopologie. Dies führt zu Arte vo Variable. Das Koteproblem besitzt eie Satz dieser Variable, die hier mit g bezeichet sei solle. Das Topologieproblem besitzt seierseits eie Variablesatz s. Das Problem hierbei ist das s ud g vo uterschiedlichem Typ sid. Währed die Variable g kotiuierlich verstellt werde köe (Gleitvariable), sid die s Variable Sprugvariable. Das heißt, ma ka g Skaliere, was sich für Evolutiosstrategie als Vorteil erweist, jedoch glückt dies bei s icht. Meist hadelt es sich dabei um 0 - Größe. Das Problem der diskret kotiuierliche Optimierug tritt icht ur bei Stabtragewerke auf soder bei viele der Strukturoptimierugsprobleme

4 Gemischt gazzahlige Optimierug Als Beispiel diet hier folgede kostruierte, kugelähliche Fuktio: {( x s ) + ( x s + s s } Q = mi + ) Die Variable x seie kotiuierlich verstellbar, das heißt, sie sid Gleitvariable. Die s köe higege ur Sprüge ausführe, z.b. ur gaze Zahle aehme. Für jede gazzahlige Voreistellug vo s liegt das Miimum bei x = s ud x = s. Das globale Miimum fidet sich bei x = s = 0 ud x = s = 0. Die Fuktio lässt sich jedoch schell auf Dimesioe erweiter, was die Bestimmug des Miimums mittels heuristischer Suchverfahre sehr schwierig macht. Der Fortschritt wird durch die Sprugvariable verhidert, da sie icht i kleiere Eiheite als der gaze Zahl sprige ka. Die Idee ist u, dass s eimalig modifiziert wird ud bei festem s da die x optimiert werde. Das bedeutet, ma sucht sich Teillösuge zu jedem s heraus ud vergleicht diese miteiader. Das Optimum ist u das Beste aller Optima der Partialprobleme. Zweigeteilte Optimierug Bei dieser Art der Optimierug köte ma vo eier Optimierug i der Optimierug spreche. Der Prozess ist im folgede Bild dargestellt. Bild : Optimierug i der Optimierug Optimisatore beobachte je die Qualität Q ud agiere a g ud s so das Q extremal wird. [RECH-94] Der äußere Dämo (Optimisator) modifiziert die s-werte ud erhält die Qualität Q. Im Iere wird mit dem s Wert da die g Variable optimiert, ohe das der äußere Dämo davo etwas merkt. Je ach euem Q ka u s eu eigestellt werde. Das bedeutet, ma muss icht mehr alle s durchprobiere soder ka die Sprugvariable aufgrud vo Q(s) gezielt modifiziere. Ma miimiert also f(s,g) partiell ach g ud da partiell ach s. Q = mi s { mi [ f ( s, g) ]} Bleibt ur och die Frage, mit welche Startwerte der Iedämo die Optimierug eu startet, we vo auße s eu eigestellt wurde. Dies köte, wie i Evolutiosstrategie üblich, per Zufall geschehe oder ma utzt die Elter- Nachkomme-Methode ud erzeugt aus vorherige g - Werte eue g

5 Optimierug eier Fachwerkbrücke Ei Fachwerk ist eie Tragstruktur, die aus Stäbe besteht, welche a Kote gelekig miteiader verbude sid. Mit Hilfe des Rittersche - Schitt - Verfahres lässt sich das Gewicht eier solche Struktur ermittel. Gesucht ist u die Lösug, die miimales Gewicht hat. Das heißt, das Schittverfahre liefert die Qualität eier Brücke. Die Variable sid die verschiebbare x-y- Koordiate der Kote. Dabei ist zu beachte, dass es je Auflagekote gibt, die die Spaweite der Brücke bestimme ud damit fest sid. Des Weitere gibt es m Kote, die auf der Fahrbah verteilt sid, was wiederum bedeutet, dass diese icht i y- Richtug verschobe werde köe, da sost die Fahrbah Welle bekomme würde. Als Drittes gibt es och eie Mege vo Kote, die Obergurtkote, die auf beide Achse verschiebbar sid. Bild 3: Evolutiosstrategische Etwicklug eier Bogebrücke Uter der Geeratioezahl ist das Gewicht aufgeführt (i Klammer) [RECH-94] - 5 -

6 .. Neuroales Netz ach [RECH-94] Ei Neuroales Netz besteht aus Koteprozessore, de Neuroe. Diese sid miteiader verbude. Die Verbiduge köe gewichtet sei, das heißt, ma ka vorher festlege welche Leituge öfter geutzt werde bei der Kommuikatio mit de adere Neuroe ud welche icht. Das Ziel eies solche Netzes ist ei bestimmtes logisches Verhalte zu realisiere. Die Gewichte lasse sich hierbei beliebig justiere ud etspreche de Gleitvariable. Die Verbiduge sid icht beliebig wählbar ud sid damit Sprugvariable. Die Evolutio eies solche Netzes lässt sich mit der EVASIONs Methode realisiere. EVASION kommt vo Evakurierug aus der Dimesio. Ma versucht gezielt Seke i das Qualitätsgebirge zu kostruiere um de Verlauf der Evolutiosstrategie i Richtug Optimum zu leite. We also die ES i eiem lokale Miimum festgefahre ist, köte ma i eie der Räder eie Seke so kostruiere, dass es der ES möglich ist, über de Berg zu komme ud i Richtug des globale Miimums weiter zu verlaufe. Hier soll u ei TAL - UND PAR Netz als Beispiel diee. Bild 4: Soll-Verhaltesweise (liks) ud Afagstruktur (rechts) eies euroale Netzes [RECH-94] Das Netz soll die im Bild liks stehede Verhaltesweise aufweise. Dabei ist am Afag jeder Kote mit jedem adere verbude. Gesucht sid u die ötige Verbiduge ud Gewichte dieser. Die TAL Fuktio etspricht der 3. Bitstelle der Eigagsbitfolge, das heißt, diese ka eifach durchgeschaltet werde. Im Bild 5 ist der Vergleich zwische ormaler ES ud ES mit der Evasiosmethode zu sehe. Die Evasio führt geau die vorausgesagte Optimierug aus. Der eizige Uterschied ist ei Rudimet, welches och bereiigt werde muss

7 Bild 5: Traiig ud Evasio des TAL - Netzes mit (,00)-ES ( Elter, 00 Nachkomme) Dicke der Liie etspricht dem Gewicht [RECH-94] Bei der UND Optimierug stellt ma fest, dass es geügt die 5 Eigagsbits eifach durchzuschalte. Auch hier liefert die Evolutiosstrategie mit Evasio das richtige Ergebis. Das PAR Netz wird aalog optimiert..3. Optimierug eies Widparks ach [BEYE-96] Ei Widpark muss so geplat werde, dass Abschattuge zwische eizele Koverter miimal werde. Der Eergieertrag eies Widparks hägt vo der Azahl der Koverter ud ihrer Aufstellug ab. Der Gewi der erzielt werde soll, ist eie Fuktio aus Ivestitioskoste ud Eergieertrag. Um de Eergieertrag maximal werde zu lasse, müsse also viele Wideergiekoverter (WEK) mit möglichst weig Verlust durch Abschattug aufgestellt werde. Die Vorgehesweise köte wie folgt sei. Auf eiem Grudstück fester Größe ud gegebeer Azahl vo WEK werde die optimale Stadorte berechet, die de maximale Gewi brige. Mit eier Evolutiosstrategie wird dies u für verschiedee Azahle N a Koverter geta ud am Ede die beste Kofiguratio eies Parks ausgewählt. Um u sowohl die x-y- Koordiate der WEK als auch dere Azahl variiere zu köe, greift ma auf eie geetische Algorithmus zurück. Dabei bekommt jede Parkkofiguratio eie Satz biärer Variable, jede dieser Variable ist a ei Paar x-y Koordiate ierhalb der Begrezug des Parks gebude. Die Azahl der Variable ud die dazugehörige Koordiate hägt vo der Fläche des Parks ud dem darauf gelegte Gitter ab. Sid die Gitterpukte weiter auseiader gibt es weiger Variable, da weiger x-y Paare vorhade sid. Die Biärgröße köe de Wert 0 oder aehme, was soviel heißt wie bei 0 wird kei WEK gesetzt, bei wird ei WEK gesetzt. Die Optimierug startet mit µ zufällig erstellte Kofiguratioe. Für jede wird die Fitess bestimmt (ach dem Gewi). Daach werde die beste Parks i die ächste Geeratio überomme

8 Aus de restliche vo µ verbliebee werde eiige zufällig ausgewählt, wobei Idividue mit bessere Fitesswerte eie höhere Wahrscheilichkeit habe. Diese werde u paarweise miteiader zu eiem eue Park kombiiert, welche da och zusätzlich verädert werde, um da zu de adere Parks i die eue Geeratio überomme zu werde. Der Vorgag wird wiederholt bis die Parkkofiguratio mit maximalem Gewi gefude wurde.. Optimierug vo Abläufe.. Das Perplex System ach [SCHÖ-94] Bei komplexe Plaugs- ud Optimierugsprobleme sid kovetioelle Algorithme meist überfordert. Hier soll u ei Asatz gezeigt werde, der auf Evolutiosstrategie beruht. PERPLEX ist ei periodisches Plaugsexpertesystem welches auf Regel der ES ud der küstliche Itelligez basiert. Es ethält ca. 800 Regel, 70 Objekte mit 550 Attribute ud 00 Requests (Statistike, Datebakabfrage) Aufgabe des Systems Die Aufgabe des Systems besteht dari eie große Azahl vo Aufträge zu plae ud zu termiiere. Dabei wird eie moatsweise Reihefolgeplaug aufgestellt ud abschittsweise freigegebe. Ei solcher Abschitt wird auch als Bauperiode bezeichet. Freigegebee Aufträge werde produziert ud umfasse -5 Tage Produktioszeit. Der Rest der Aufträge ka ierhalb der Reihefolge eu ageordet werde ud eue Aufträge köe hizukomme. Die Reihefolge muss für eie Badproduktio auf 3 Bäder erstellt werde. Vor der eigetliche Plaug dieser, muss jedoch erst die Bauperiode geplat werde. Bei der Bauperiodeplaug werde Aufträge i Gruppe gleicher Taktug zusammegefasst. I eiem Moat ergebe sich so 7- solcher Periode mit 3-6 Taktuge. Bei der Plaug müsse zusätzlich och Termifrage ud die Größe eier Bauperiode beachtet werde. Wird sie zu klei, trete möglicherweise zu viele Taktwechsel auf, was wiederum zu Verluste führt ud sid sie zu lag, köte es sei, dass es Materialprobleme gibt. Die eizele Periode müsse u so ageordet werde, dass Wuschtermie eigehalte ud betriebliche Restriktioe beachtet werde, wie Lagerplatz, Arbeitszeite oder Material. Ierhalb der Bauperiodeplaug kommt außerdem och die Auftragsreihefolgeplaug is Spiel. Diese ist dafür zustädig, dass die Aufträge i der Periode ach Termie ud Restriktioe ageordet werde. Bauperiodebildug mit heuristischer Suche Bei der Plaug der Bauperiode muss eie relativ kleie Azahl dieser Periode i Reihefolge gebracht werde (7-). Die Periode werde als Suchbaum aufgebaut ud ma begit a der Wurzel verschiedee Pfade zu verfolge. Dabei wird vo jeder Teillösug die Fitess (Qualität) ermittelt. We sich die Qualität verschlechtert oder eie Grezwert überschritte hat, wird dieser Pfad verlasse ud eie alte güstigere Teillösug weiter verzweigt

9 Ei wichtiges Verfahre was dieses ermöglicht ist der A *- Algorithmus. Ausgagspukt ist ei Suchbaum, i dem sowohl Afag als auch Ede bekat sid. Gesucht ist der güstigste Weg. Jeder Kote des Baumes ist eie Bauperiode. Die Suche begit am Startkote (Wurzel) ud als erstes werde alle mögliche Wege aalysiert. Verzweigt wird da i de kostegüstigste Zweig. Die bisher aufgelaufee Koste werde aufsummiert ud die Etferug zum Ziel ud ihre Koste abgeschätzt. Eie Bewertugsfuktio etscheidet da, ob dieser Pfad weiter gegage wird oder ob ma i eie adere verzweigt. Auftragsreihefolgeplaug mit Evolutiosstrategie Bei Aufträge pro Motagebad lässt sich die Plaug icht mehr mit vollstädiger Durchmusterug des Suchraumes durchführe, da es bis zu 400! mögliche Wege pro Bad gibt. Dies ist eie größere Zahl, als es Atome im Uiversum gibt. Die Lösug sid Evolutiosstrategie. Die Vorgehesweise ist wie folgt: Ma geeriert eie zufällige Startlösug. Ausgehed vo dieser werde 0 00 Nachkomme erzeugt. Der Nachkomme mit der beste Bewertug wird ausgewählt ud der Rest wird verworfe. Nach dieser Selektio folgt u och die Mutatio, mit der eiige Auftragsgruppe vertauscht ud Aufträge verschobe werde. Aus diesem Nachkomme wird die ächste Geeratio erzeugt usw. Der Vorgag läuft solage ab, bis etweder ei Nachkomme der - te Geeratio ei bestimmtes Gütemaß erreicht hat oder die maximale Geeratioezahl erreicht wurde. Problemrepräsetatio Nach der Erzeugug eier Startlösug wird diese ach Liefertermie sortiert, um eie erste Aäherug a das gewüschte Ziel zu bekomme. Daach folgt die Erzeugug der Nachkomme. Die Nachkomme werde zufällig erzeugt. Das heißt, ierhalb des eue Nachkommes werde Aufträge zufällig umpositioiert. Da die Auftragsreihefolge als Tabelle gespeichert ist, ka ma eie Abstad bereche, der agibt wie weit ei zufällig ausgewählter Auftrag vo seier alte Positio etfert wurde. Dieser Abstad ist das Maß für die Schrittweite. Die Schrittweite ist die Summe aller Abstäde, die durch das Umpositioiere der eizele Aufträge etstade sid. Zu Begi ist diese so gewählt, dass ur 3% der Aufträge eu platziert werde köe. Jeder Nachkomme erhält zusätzlich u also auch eie Schrittweite mit. Dabei ist diese icht i der gesamte Geeratio gleich, soder ergibt sich aus der /3 Regel. Dies bedeutet, ei Drittel der Nachkomme erhält die Schrittweite des Elters, ei weiteres Drittel erhält eie Schrittweite, die ei Drittel größer ist als die des Elters ud ei Drittel bekommt eie Schrittweite, die ei Drittel uter der des Elter liegt. Auf diese Art ud Weise wird die Schrittweite mit optimiert

10 Bewertug der Nachkomme Zur Bewertug der Nachkomme wird für jede vorher defiierte Restriktio eie Fuktio erstellt ud agewedet. Diese Werte köe gewichtet sei ud durch eie Plaer eigestellt werde, je ach Firmesituatio. Der Gesamtwert der Fuktioswerte ergibt da die Fitess für diese Nachkomme. Liegt diese über der bisherige beste Fitess, wird dieser eue Nachkomme zum Elter für die ächste Geeratio. Sollte dies icht der Fall sei, wird die zuvor beste Lösug wiederholt zum Erzeuge vo Nachkomme beutzt. Realisierug PERPLEX wurde/wird bei der Produktio vo Dieselmotore eigesetzt. Es gig 99 bei der Klöcker-Humboldt-Deutz AG i Köl i Produktio. Durch de Eisatz dieses Systems kote die Plaugszeit vo auf Matag reduziert werde. 3. Verschiedee Optimieruge 3.. Evolutio des Steiwurfes ach [RECH-94] Der frazösische gelehrte Pierre-Louis Moreau glaubte im Jahre 744 eie Weltpla gefude zu habe. Dieser besagt das die Natur immer maximal sparsam ist. Das würde bedeute, auch ei Stei der Masse m fliegt vo Pukt a ach Pukt b ach diesem Prizip: b a mvds Mi. Durch das Eibide des Eergie Erhaltugsprizips etsteht: b a m / m( E mgy) ds Mi 0 Um die Aufgabe mittels Evolutiosstrategie löse zu köe, wird die Bahkurve durch Polygozüge approximiert. Die x-y Werte der Stützpukte des Bahpolygos ergebe die Variable. Dabei ist auch die x-koordiate frei verschiebbar, was Schleife i der Bah zulässt

11 Die Simulatio zeigt folgede Verlauf: Bild 3 : Steiflugbah- ES Miimierug des Wirkugsitegrales [RECH-94] 3.. Magisches Quadrat ach [RECH-94] Ei magisches Quadrat ist eie Zahlestruktur, bei der gaze Zahle i eier quadratische Matrix ageordet sid. Diese Aordug ist so gestaltet, dass sich auf alle Zeile, Spalte, sowie der Haupt- ud Nebediagoale die gleiche Summe S ergibt. Ei solches Gebilde wird üblicherweise aus aufeiader folgede atürliche Zahle, begied mit, erstellt. Für die ES-Realisierug solcher Quadrate beötigt ma eie Qualitätsfuktio die i der Lage ist, aus Quadrate das bessere ausfidig zu mache. Die magische Summe eies solche Quadrates mit der Seiteläge lässt sich wie folgt bereche: S = ( ) +. Aus der Eigeschaft, dass alle Zeile, Spalte ud Diagoale die gleiche Summe ergebe ud der Tatsache, dass es sich bei eiem magische Quadrat um eie Matrix hadelt, ka ma ableite: 0 = S = S = S i= j= t= i= a, = S a, = S a =... = S i i i,3 i= i= a, j = S a3, j = = S a, j = S... a = S j= j= j= a t, t t, t+. t= a i, a, j - -

12 Daraus ergibt sich eie Fitessfuktio folgeder Gestalt: Q = t= j= t, j ) + ( S at, j ) j= t= ( S a + ( S at, t ) + ( S at, t+ ) Mi. t= Ma berechet also die Summe der Zeile, Spalte ud Diagoale ud zieht diese vo der magische Summe ab. Die daraus resultierede Abweichuge werde addiert ud aschließed och quadriert, um Auslöschuge der Art -3+3 verhider zu köe. Daach werde diese Abweichugsquadrate och addiert ud ergebe die Fitess des Quadrates. Je äher das Ergebis am gewüschte Miimum 0 liegt, desto höher ist die Fitess des Quadrates. Null ist das gewüschte Ergebis, de da sid alle Summe der Zeile, Spalte ud Diagoale gleich der Summe S. Das heißt die Abweichuge sid auch gleich 0 ud die Fuktio Q ebefalls. Ausgehed vo eiem Startquadrat wird ach folgede Regel mutiert: Suche zufällig eie Zahl aus dem Quadrat aus. Ädere sie um eie kleie Betrag ab. Suche die Zahl im Quadrat, die gleich der abgeäderte ist. Vertausche wechselseitig die. Zahl mit der. Zahl. t= Bild 3 : ES etwickeltes magisches 30 x 30 Quadrat mit Summe 355 [RECH-94] - -

13 3.3. Liseevolutio ach [RECH-94] Lichtstrahle werde beim Durchquere eies Glaskörpers uterschiedlich stark gebroche. Stellt ma die Dicke d k richtig ei, werde die Strahle so gebroche, dass sie alle i eiem Pukt p zusammetreffe. Die Abweichug vo diesem Zustad wird als Streuug bezeichet: Strahlestreuug = q Mi Eie Sammellise wäre damit ausgeformt, we die Strahlestreuug = 0 ist. Für die mathematische Darstellug wird der Glaskörper mit dem Brechugsidex e aus Prisme der Höhe h ud Dicke d k zusammegesetzt. k Bild 3 3: Strahlegeometrie a eier Sammellise [RECH-94] Die Raddicke d 0 wird vorgegebe. Mutatioe, die die Streuug verriger sid selektiospositiv, das heißt, bei der Selektio werde vorzugsweise die Idividue gewählt, bei dee die Mutatio zu eier Verrigerug der Streuug geführt hat. Die Berechug erfolgt ach de physikalische Gesetze der Optik. Bild 3 4: Vo der Festerscheibe zur Augelise [RECH-94] - 3 -

14 4. Literatur RECH-94 SCHÖ-94 I. Recheberg Evolutiosstrategie '94. Stuttgart: Fromma-Holzboog 994. E. Schöeburg; F. Heizma; S. Fedderso Geetische Algorithme ud Evolutiosstrategie. Bo, Paris: Addiso-Wesley 994. BEYE-96 H-G. Beyer, u. a. Optimierug der Kofiguratio vo Widparks mit variabler WEK- Azahl. Carl vo Ossietzky Uiversität Oldeburg, Fachbereich Physik