mentor Lernhilfe: Mathematik 9. Klasse Geometrie: Zentrische Streckung, Satz des Pythagoras, Kreis- und Körerberechnungen von Rolf aumann 1. uflage mentor Lernhilfe: Mathematik 9. Klasse aumann schnell und ortofrei erhältlich bei beck-sho.de DIE FHUHHNDLUNG Mentor 2008 Verlag.H. eck im Internet: www.beck.de ISN 978 3 580 65635 5
Inhalt Vorwort........................................................................................... 5 Die Einstiegstests............................................................................ 6 Zentrische Streckung und Strahlensätze...................................... 7 Einstiegstest............................................................................... 7 1. Die zentrische Streckung....................................................... 9 1.1 Streckungsfaktoren......................................................... 11 1.2 bbildungseigenschaften................................................ 14 1.3 Zweifachstreckungen...................................................... 19 1.4 Umkehrabbildung........................................................... 21 1.5 Ähnlichkeitssätze............................................................ 23 2. Strahlensätze........................................................................ 24 2.1 Der 1. Strahlensatz.......................................................... 24 2.2 Der 2. Strahlensatz......................................................... 27 3. nwendungen der Strahlensätze............................................ 28 3.1 Streckenteilung............................................................... 28 3.2 Harmonische Teilung....................................................... 29 3.3 Längenberechnungen...................................................... 35 3.4 nwendungen in der Physik............................................ 39 4. Streckenverhältnisse am Kreis............................................... 40 4.1 Sehnensatz..................................................................... 40 4.2 Sekantensatz.................................................................. 41 4.3 Sekanten-Tangenten-Satz................................................ 42 5. Einbeschreibungsaufgaben.................................................... 44 6. Dreieckskonstruktionen......................................................... 47 Satzgrue des PYTHGORS......................................................... 48 Einstiegstest............................................................................... 48 1. Kathetensätze........................................................................ 50 2. Satz des PYTHGORS............................................................... 52 3. Höhensatz............................................................................. 58 4. PYTHGORS zum Zweiten......................................................... 58 5. lgebraische nwendungen................................................... 61 6. Konstruktion des 10-Ecks....................................................... 66 7. Längenberechnungen bei Körern.......................................... 69 Kreis......................................................................................... 72 Einstiegstest............................................................................... 72 1. Kreisumfang.......................................................................... 73 2. Kreisflächeninhalt.................................................................. 77 3. Kreisbogen und Kreissektor................................................... 79 4. Kreissegment......................................................................... 84 3
D Körerberechnungen................................................................ 86 Einstiegstest............................................................................. 86 1. Prismen und Zylinder........................................................... 88 1.1 Prismen- und Zylindervolumen...................................... 90 2. Pyramiden und Kegel........................................................... 92 2.1 Pyramiden- und Kegelvolumen...................................... 95 3. Pyramidenstumf und Kegelstumf...................................... 101 4. Rotationskörer................................................................... 107 5. Kugel.................................................................................. 112 5.1 Kugelvolumen............................................................... 112 5.2 Kugeloberfläche............................................................ 113 Lösungen...................................................................................... 116 Zeichnungsvorlagen...................................................................... 153 Mathematische Zeichen und bkürzungen..................................... 163 Stichwortverzeichnis..................................................................... 165 Planfiguren erkennst du in diesem uch an einem P vor der Nummer. eisiel: P39 Erstelle dir rechtzeitig vier Koien der 63 aus den Zeichnungsvorlagen. Dieses leere Koordinatensystem kannst du nämlich auch für die en 38, 68, 69 und 71 gut gebrauchen! Die folgenden uttons helfen dir bei der Orientierung: Näheres zu den Einstiegstests findest du auf Seite 6. Merke klar: Das musst du dir merken! Definition legt fest, was ein egriff bedeutet. Ti gibt dir Hinweise und nleitungen. Regel bringt eine mathematische Gesetzmäßigkeit zum usdruck. chtung! Pass auf, dass du hier keine Fehler machst! 4
Zentrische Streckung und Strahlensätze Liegt T a außerhalb der Strecke [] auf der Geraden, so heißt T a äußerer Teilunkt der Strecke []. T a Das Streckenverhältnis T a T a heißt äußeres Teilverhältnis. In 17a sind die beiden Punkte und nicht nur durch T i und T a, sondern auch noch durch die weiteren Punkte, D und E ergänzt. E T i T a D 17a Da und DE als Parallelen gezeichnet wurden, solltest du die Grundfiguren der Strahlensätze wiedererkennen (vergleiche die en 13a und 12a). 17b 17c E T i T a D 17a wurde so angelegt, dass gilt: DE = D = E = Dann gilt auch: T i ~ T i D und damit T a ~ T a E und damit T i = bzw. T a = bzw. T i T i = bzw. T a T a = 30
Zentrische Streckung und Strahlensätze Versuche die kommenden ufgaben zunächst ohne die jeweils anschließenden Hinweise zu lösen und hole dir die Hilfestellung erst, wenn du nicht weiterkommst. 20 eschreibe in den Halbkreis um M in 41 aus den Zeichnungsvorlagen ein Rechteck D ein, dessen Seiten im Verhältnis a : b = 6 : 4 stehen und dessen Seite a auf dem Durchmesser des Halbkreises liegt. ( 39 kann als Planfigur dienen.) Hinweise: Markiere auf der gestrichelten Geraden die Punkte und mit M = M = 3 cm. Ergänze die Punkte und D und zeichne das Rechteck D mit a = 6 cm und b = 4 cm. Verbinde mit gestrichelten Linien M mit und D und nenne die Schnittunkte mit dem Halbkreis und D. Ergänze und D zum Rechteck D. 21 a) eschreibe in das Dreieck in 42 (Zeichnungsvorlage) ein Quadrat PQRS ein. Hinweise: Mithilfe der Planfigur ( P43a) kannst du dir klarmachen: Zwei der Quadrateckunkte (hier P und Q) liegen auf einer Dreieckseite, die gegenüberliegende Quadratseite verläuft arallel zu dieser Dreieckseite. Zeichne in 42 durch den beliebig gewählten Hilfsunkt S mit gestrichelter Linie die Parallele zu und bezeichne den Schnittunkt mit [] mit R. Ergänze R und S zum Quadrat P Q R S. Zeichne mit gestrichelter Linie die Halbgerade [P und [Q und bezeichne die Schnittunkte mit [] mit P und Q. Ergänze P und Q zum Quadrat PQRS. Das Quadrat P Q R S wurde zentrisch ge- S P S R P Q Q R P43a streckt mit dem Zentrum... eachte: Zu ufgabe 21 gibt es drei verschiedene Lösungen. Da sitzwinklig ist, könnten auch auf [] oder auf [] zwei Quadrateckunkte liegen ( P43b). P43b b) Wie viele Lösungen hat die ufgabe, wenn das Dreieck rechtwinklig bzw. wenn es stumfwinklig ist? 46
Satzgrue des PYTHGORS 1. Dreieck PQR mit: Winkel RQP = 90 ; = 13 cm; = 5 cm erechne die Länge der Seite r =... cm. 10 P. 2. erechne die Länge der Höhe h im gleichseitigen Dreieck mit den Seitenlängen a = b = c = 8 cm: h =... cm 10 P. 3. Im rechtwinkligen Dreieck sind die Hyotenusenabschnitte gegeben, mit = 2 cm, = 8 cm sowie γ = 90. erechne: h c =... cm; a =... cm; b =... cm 20 P. 4. erechne die Länge der Raumdiagonale d eines Quaders mit den Seitenlängen des Grundflächenrechtecks a = 15 m und b = 4 m sowie der Körerhöhe h = 3 m: d =... m 17 P. Summe deiner Punkte:... 5. ei einem geraden Kreiskegel betragen die Mantellinie s = 10 cm und der Grundkreisradius r = 6 cm. erechne die Körerhöhe: h =... cm 15 P. 48
Lösungen Seite 7 Teil Die zentrische Streckung 1. a), b) c) PQR = 3 FE 8 7 y P1 Q 1 R 1 = 12 FE 6 R 1 P2 Q 2 R 2 = 3 FE 5 4 3 R Z 2 1 P P 1 Q 1 Q -8-7 -6-5 Q 2 R 2 P 2-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x -1-2 -3 Seite 8 d) Für den Zusammenhang zwischen Flächeninhalt und Streckungs faktor k 1 = 2 gilt: P1 Q 1 R 1 = PQR 4 e) Für den Zusammenhang zwischen Flächeninhalt und Streckungs faktor k gilt allgemein: P1 Q 1 R 1 = PQR k 2 2. DE : = D : DE = 7 : 5 6 DE = 8,4 cm 3. DE : = E : DE = 2 : 8 7 DE = 1,75 cm 4. b : a = 7 : 6; a : c = 3 : 1 a : b : c = 6 : 7 : 2 mit u = 7 + 6 + 2 = 15 cm 116