Abbildungen Rechnen Matrizen Rechnen Vektoren Äquivalenzrelation Addition: Skalarmultiplikation: Skalarprodukt: Länge eines Vektors: Vektorprodukt (im ): i ii i ii v) gilt (Cauchy-Schwarz-Ungleichung): Winkel zwischen zwei Vektoren : - schreibt man auch. - Es en Addition: Skalarmultiplikation: i ii (quadratische Matrizen) gilt zu beachten: möglich, obwohl Matrixmultiplikation: Sind i Ist invertierbar, so, so ist Die Abbildung heißt: Eine Relation auf heißt Äquivalenzrelation, wenn für alle injektiv, wenn: surjektiv, wenn: bijektiv, wenn injektiv surjektiv ist. Ä1) Reflexivität: Ä2) Symmetrie: Ä3) Transitivität:
Vektorraum Körper Ring Gruppe Untergruppe Untervektorraum (G, *) ist Gruppe, wenn: G ist Untergruppe von (G, *), wenn: G1) * assoziativ UG1) G2) (neutrales Element) UG2) G3) (inverses Element) UG3) Eine Gruppe heißt abelsch, wenn sie kommutativ ist. (R, +, ) ist Ring, wenn: R1) (R, +) ist abelsche Gruppe R2) ist assoziativ R3) (Distributivgesetz) Ein Ring heißt Ring 1, wenn:, sodass (neutrales Element bzgl. ) Neutrales Element von (R, +) heißt 0 es Im Allg. gibt es in Ringen kein Inverses bezüglich, da die 0 kein Inverses hat ( Ein Ring heißt kommutativ, wenn kommutativ ist. (K, +, ) ist Körper, wenn: In einem Körper K1) (K, +) ist abelsche Gruppe K2) (K\{0}, ) ist abelsche Gruppe (neutrales Element: 1) K3) (Distributivgesetz) Körper K Menge V Dann ist (V, +, ) ein Vektorraum, wenn: V1) (V, +) ist abelsche Gruppe V2) Die Skalarmultiplikation ist der Addition verträglich, d. h. : i (Assoziativität) ii ist Untervektorraum vom Vektorraum V, wenn: U1) U2) U3) Oder wenn (äquivalente Definition): i In einem Vektorraum i ii Wenn Untervektorraum ist, dann ist U Untergruppe von (V, +).
Lineare Abbildung Spalten-/Zeilen-/Nullraum Basis Ähnlichkeit Darstellende Matrix Eine Familie von Vektoren B1) (B ist Erzeugendensystem von V) B2) B ist linear unabhängig. ist Basis von einem Vektorraum V wenn: Die Mächtigkeit von heißt Länge der Basis. Die Länge der Basis eines Vektorraums V entspricht der Dimension von V. Zwei Matrizen heißen ähnlich, wenn es ein gibt. Ähnlichkeit ist eine Äquivalenzrelation. Zwei Matrizen sind genau dann ähnlich, wenn es eine lineare Abbildung zwei Basen von gibt, s. d. ; d.h. beschreiben dieselbe lin. Abb., nur in unterschiedlichen Basen. j-te Spalte :, i-te Zeile : Eine Matrix c, wobei: heißt darstellende Matrix von F bzgl. der Basen b Spaltenraum: Die i-te Spalte von enthält, also den Koordinatenvektor von zur Basis. Zeilenraum: Nullraum: B Zeilen-Stufen-Form von A, dann Mit darstellenden Matrizen kann man: Mit, also zwei gleichen Basen (insb. einfach ), die Abbildung auf anwenden, wobei Matrix oder Vektor (passender Dimension) sein kann. Mit die Basis wechseln von nach. i Die Zeilen von B führender Eins bilden Basis von. ii Ist B in red. ZSF so erhält man durch Parametrisierung eine Basis von. Die Dimension entspricht der Anzahl der Spalten führender Eins. ii Diejenigen Spalten von A, in denen B eine führende Eins hat, bilden eine Basis von. Mit die Abbildung auf anwenden gleichzeitig die Basis wechseln. Außerdem ist invertierbar i Die Multiplikation von darstellenden Matrizen entspricht der Matrixmultiplikation, wobei die inneren Basen verschmelzen : Eine Abbildung L1) L2) heißt linear, wenn: lineare Abbildungen i ii Sind Unterräume, so auch Ist f linear, so linear abhängig linear abhängig. i linear unabhängig linear unabhängig. Die Komposition zweier linearer Abbildungen ist linear. Dimensionsformel:
Diverse Folgerungen Eigenvektor/-wert Determinante Charakterist. Polynom Bestimmen der Determinante einer Matrix durch Entwicklung nach der 1. Zeile: ist: D1) in jeder Spalte linear:, en a) b) c) d) e) Die Determinante einer Familie von lin. abh. Vektoren ist 0. Ist Dreiecksmatrix, so ist. D2) alternierend: für D3) normiert: Aus diesen drei Eigenschaften folgt die Eindeutigkeit der Determinante. Cramersche Regel:. heißt Koplementärmatrix von. Es linear. Dann heißt Eigenvektor von, falls. heißt Eigenwert von F, wenn es einen Eigenvektor gibt. ist dann ein Eigenvektor zum Eigenwert. linear i darst. Matrix von. Dann sind äquivalent: 1) ist Eigenwert von f 2) 3) 4) Das charakteristische Polynom einer Matrix erhält man durch Ausrechnen von. Die Nullstellen dieses Polynoms sind genau die Eigenwerte von. Hat man so die Eigenwerte gefen, berechnet man die zugehörigen Eigenvektoren zu jedem durch Lösen von, d.h. sie spannen den Nullraum der Matrix auf. Manchmal nützlich beim Umformen des Polynoms ist der Satz von Vieta:. Dann gilt für die Elementarmatrizen: (Zeilen i j vertauschen) i (Multiplikation von Zeile i ) ii (Addition des -fachen von Zeile i zu Zeile j). Dann sind äquivalent: A ist invertierbar. i ii A ist Produkt von Elementarmatrizen (elem. Zeilenumformung). linear, Basis von ist Basis aus Eigenvektoren ist Diagonalmatrix red. ZSF von ist kein Eigenwert von A ist invertierbar.
Polynome Winkelfunktionen Komplexe Zahlen Häufig benutzte Werte Argument:, d.h. Normalform Polarform Betrag: Da ist: (Komplex) Konjugierte: Polarform Normalform: Normalform Polarform: Wertetabelle Der Grad eines Polynoms ist die höchste vorkommende Potenz von, oder, falls. Polynomdivision: Sind, so gibt es eindeutig bestimmte. Schreibweise: Ist Nullstelle von, dann gibt es genau ein. Körper. Ein Polynom besitzt höchstens Nullstellen. Famentalsatz der Algebra: Jedes Polynom hat mindestens eine Nullstelle. Jedes Polynom zerfällt in Linearfaktoren. D.h. es gibt, wobei so, dass. Mitternachtsformel: