Signale & Systeme 2 - Formelsammlung (Revision : 996 - powered by LATEX Seite von 6 Frequenzverhalten Revision : 996 Logarithmische Darstellungen Lrel (db Lrel (NP P2/P A2/A 00000 53 0 0 0 5 90000 0362 0 9 3622777 80000 920 0 8 0 4 70000 8059 0 7 362278 60000 6908 0 6 0 3 50000 5756 0 5 36228 40000 4605 0 4 0 2 30000 3454 0 3 3623 20000 2303 0 2 0000 9085 297 8000 9000 9000 287 79433 893 8062 2079 64000 8000 8000 2072 63096 7943 7000 957 509 7079 6902 946 49000 7000 6000 842 398 630 5563 792 36000 6000 5000 727 3623 5623 4000 62 259 502 3979 609 25000 5000 3000 497 9953 4467 204 386 6000 4000 2000 382 5849 398 000 266 2589 3548 0000 5 0000 362 9542 099 9000 3000 9000 036 7943 288 8000 092 630 252 7000 0806 502 2239 602 0693 4000 2000 6000 069 398 995 5000 0576 362 778 4000 046 252 585 300 0347 2000 44 3000 0345 995 43 2000 0230 585 259 000 05 259 22 0000 0000 000 000-000 -05 0794 089-2000 -0230 063 0794-3000 -0345 050 0708-4000 -046 0398 063-5000 -0576 036 0562-6000 -069 025 050-7000 -0806 0200 0447-8000 -092 058 0398-9000 -036 026 0355-0000 -5 000 036-5000 -727 0032 078-20000 -2303 0 2 000-30000 -3454 0 3 0032-40000 -4605 0 4 000-50000 -5756 0 5 0003-60000 -6908 0 6 000-70000 -8059 0 7 0000-80000 -920 0 8 0 4-90000 -0362 0 9 362 0 5-00000 -53 0 0 0 5 Verstärkungsmass L in Dezibel (db: L P = 0 log L A = 20 log ( P 2 P ( A 2 A Dezibel L zu linear: P 2 = P 0 L P 0 A 2 = A 0 L A 20 Verstärkungsmass L in Neper (Np: ( L P = 2 ln P 2 ( A L A = ln 2 A P Neper zu linear: P 2 = P e 2L P A 2 = A e L A Die Umrechnung zwischen db und Np ist linear: db = ln(0 20 Np = 05 Np Np = 20 log(e db = 8686 db X 2 Anstatt X für Verstärkungsmasse (L können auch Dämpfungsmasse (a verwendet werden! (P für Leistungen, A für Amplituden Hilfen zur Berechnung xdb L P = P 2/P L A = A 2/A xdb /L P /L A x + 3dB L P 2 L A 2 L A 44 x + 0dB L P 0 L A 0 L A 362 Relative & absolute Pegel Relativer Pegel: Pegel relativ zu definiertem Wert Absoluter Pegel: Pegel an Normgenerator (R i = 600Ω, mw Leistung am Widerstand db abs dbu Spannungspegel bezogen auf 7746 mv an 600 Ω dbm Leistungspegel bezogen auf mw an 600 Ω dbv Spannungspegel bezogen auf V dbµv Spannungspegel bezogen auf µv dbf Leistungspegel bezogen auf 0 5 W db rel dbw Leistungspegel bezogen auf W dbk Leistungspegel bezogen auf kw dbr relativer Pegel db0 Pegel auf 0 db bezogen X X 2 für
Signale & Systeme 2 - Formelsammlung (Revision : 996 - powered by LATEX Seite 2 von 6 2 Minimal- und nicht-minimalphasige Systeme 2 Allpass-Systeme Allpässe werden vor allem als Laufzeitkorrekturglieder und als Verzögerungselemente verwendet Der Amplitudengang ist konstant ( H(jw = const 0 und die Pol- bzw Nullstellen haben in Paaren auftretende Null- und Polstellen, die symmetrisch zu jω-achse liegen Dabei liegen die Nullstellen auf der RHE UTF: T A (s = K Q( s Q(s 22 Minimalphasennetzwerk Ein Minimalphasennetzwerk hat keine Nullstellen in der rechten Halbebene (RHE, darf jedoch Nullstellen auf der imaginären Achse haben 23 Nicht-Minimalphasennetzwerk Ein Nicht-Minimalphasennetzwerk kann durch Kaskadierung eines Allpasses und eine Minimalphasennetzwerk realisiert werden: Nicht-Minimalphasennetzwerk (links = Minimalphasennetzwerk (Mitte Allpass (rechts 3 Stabilitätsbestimmung am Pol-/Nullstellendiagramm asymptotisch stabil = alle Polstellen in der linken Halbebene (LHE grenzstabil=polstellen in der LHE und/oder auf der imaginären Achse 4 Bode-Diagramm (Matlab: bode 4 Definition Das Bodediagramm besteht aus zwei Graphen, einer zeigt die Amplitude in doppelt-logarithmischer Form, der zweite zeigt die Phase in Grad und in linearer Form in Abhängigkeit der Frequenz dar 42 Stabilitätsbestimmung (Skript S 20 (Matlab: margin, allmargin Der Amplitudenrand ist der Abstand des Amplitudenganges zur 0 db-linie bei der Kreisfrequenz ω, wo die Phase gleich π (-80 Grad ist Der Phasenrand ist der Abstand das Phasenganges zur -π-linie bei der Kreisfrequenz ω, wo die Amplitude gleich 0 db ist Damit eine System stabil ist, müssen Phasen- und Amplitudenrand > 0 sein Je grösser der Phasen- und Amplitudenrand ist, desto stabiler ist das System
Signale & Systeme 2 - Formelsammlung (Revision : 996 - powered by LATEX Seite 3 von 6 43 Approximation des Bode-Diagramms (Skript S 93 UTF H(s Amplitude H(s Phase (H(s Konstanter Faktor αe jβ Konst 20 log α Konst β 2 Pol im Ursprung α s 3 Nullstelle im Ursprung αs 4a Reeller Pol s+α 4b Reeller Pol α s+α 5a Reelle Nullstelle s + α 5b Reelle Nullstelle s+α α 6a Konjugiert-komplexe Pole s 2 +s ωp qp +ω2 p 6b Konjugiert-komplexe Pole ω 2 p s 2 +s ωp qp +ω2 p 7 Konjugiert-komplexe Nullstellen s 2 + s ωz q z + ωz 2 bzw s 2 +s ωz qz +ω2 z ωz 2 Lin Steigung 20db/Dek 0dB bei ω = α Lin Steigung +20db/Dek 0dB bei ω = α Konst 20 log α für ω < α dann Steigung 20dB/Dek Konst 0dB für ω < α dann Steigung 20dB/Dek Konst 20 log α für ω < α dann Steigung +20dB/Dek Konst 0dB für ω < α dann Steigung +20dB/Dek Konst 40 log ω p für ω < ω p dann Steigung 40dB/Dek für ω > ω p ; 40 log ω p Überhöhung zwischen ωp 2, ω p & 2ω p Max 20 log qp ω 2 p bei ω = ω p Konst 0dB für ω < ω p dann Steigung 40dB/Dek für ω > ω p ; 0dB Überhöhung zwischen ωp 2, ω p & 2ω p, Max 20 log q p bei ω = ω p Analog zu 6a, 6b (jedoch Spiegelung an der 0dB-Linie Konst π 2 Konst + π 2 Konst 0 für ω < α 0 Konst π 2 für ω > 0α Konst 0 für ω < α 0 Konst π 2 für ω > 0α Konst 0 für ω < α 0 Konst + π 2 für ω > 0α Konst 0 für ω < α 0 Konst + π 2 für ω > 0α Konst 0 für ω < ωp 0 2qp Konst π für ω > ω p 0 2qp π 2 bei ω = ω p Konst 0 für ω < ωp 0 2qp Konst π für ω > ω p 0 2qp Bei ω = ω p genau π 2 Analog zu 6a, 6b (jedoch Spiegelung an der 0 Grad-Linie 8 Serieschaltung von Systemen erfolgt durch Superposition der einzelnen Bode-Diagramme (Multiplikation von UTFs entspricht Addition im db-bereich Werte für q p bzw q z q 0 2qp q 0 2qp q 0 2qp q 0 2qp q 0 2qp 0 2qp 0 2qp 0 2qp 0 2qp 0 2qp 362 036 5 259 0794 9 36 0880 3 093 095 7 070 0935 2 778 0562 6 22 0825 0 22 089 4 086 092 8 066 0938 3 468 068 7 79 0848 0 090 5 080 0926 9 062 094 4 334 0750 8 55 0866 2 0 0909 6 075 093 20 059 0944
Signale & Systeme 2 - Formelsammlung (Revision : 996 - powered by LATEX Seite 4 von 6 5 Ortskurve (Nyquist-Diagramm (Skript S 98 (Matlab: nyquist 5 Definition Im Gegensatz zum Bode-Diagramm wird beim Nyquist-Diagramm Betrag und Phase in einem einzigen Diagramm dargestellt, nämlich indem man den Real- und Imaginärteil des Ausgabewertes direkt in die komplexe Zahlenebene zeichnet 52 Stabilitätsbestimmung Ist der offene Regelkreis H(s asymptotisch stabil, so ist der geschlossene Regelkreis + H(s = D(s + N(s asymptotisch stabil, wenn die Ortskurve des offenen Regelkreises den kritischen Punkt (-,j0 weder umkreist noch durchläuft 6 Nichols-Diagramm (Skript S 203 (Matlab: nichols 6 Definition Das Nichols Diagramm (auch Amplituden-Phasen-Diagramm ist die Darstellung des Absolutbetrages (Verstärkung, logarithmisch in Abhängigkeit der Phase Das Nichols Diagramm ist zur Bestimmung der Stabilität in rückgekoppelten Systemen verwendbar
Signale & Systeme 2 - Formelsammlung (Revision : 996 - powered by LATEX Seite 5 von 6 2 Signalflussdiagramm (Skript S 27 Revision : 998 Graphische Lösung linearer Gleichungen Graphische Darstellung von LTI-Systemen Änderung der Topologie ohne UTF zu ändern 2 Transformationsregeln (Skript S 223ff 22 Mason s Regel (Skript S 230 P k k k T ij = UTF von x i nach x j, wobei x i eine Quelle, x j jedoch nicht zwingend eine Senke sein muss P k Vorwärtspfad k k Kofaktor de k-ten Pfades Netzwerkdeterminante = - (Summe aller Schleifen + (Summe aller Produkte zweier Schleifen, die sich nicht berühren - (Summe aller Produkte dreier Schleifen, die sich nicht berühren + k = - (Summe aller Schleifen die P k nicht berühren + (Summe aller Produkte zweier Schleifen, die P k und sich selbst nicht berühren-(summe aller Produkte dreier Schleifen, die P k und sich selbst nicht berühren + Falls die UTF eines SFD von einem beliebigen Knoten (keiner Quelle gesucht wird, kann Mason s Regel nicht direkt angewandt werden Abhilfe: T ij = xj x i = xj x q x q x i = Tqj T qi Wobei x q eine Quelle sei Schlussendlich kürzt sich die Netzwerkdeterminante heraus 23 Beispiel eines SFD (Skript S 235 a Die UTF zwischen X und X 4 ist (mit Mason s Regel: H 4 = X 4 aeh + abc( g = X ef g b Das folgende Gleichungssystem beschreibt das SFD X 2 = a X + f X 3 X 3 = e X 2 + g X 3 X 4 = h X 3 + c X 6 X 5 = d X 4 X 6 = b X 2 Nach Umformung der Gleichungen erhalten wir: X 4 = h X 3 + bc e ( g X 3 & X 3 g e = a X + f X3 Somit ist X 4 = h+ bc e ( g g ae f a X = aeh+abc( g g ef X 24 Fundamentales SFD (Skript S 236 Ordnung eines SFD = Anzahl der fundamentalen Knoten: Knoten, welche entfernt werden müssen, um alle Schleifen aufzubrechen
Signale & Systeme 2 - Formelsammlung (Revision : 996 - powered by LATEX Seite 6 von 6 24 Fundamentales SFD erster Ordnung (Skript S 237 Durch Reduzieren auf das fundamentale SFD Ordnung, kann die UTF direkt ermittelt werden: E o E i = t io + t ixt xo t xx = t io t io t xx + t ix t xo t xx 25 Einbezug analoger Verstärker (Skript S 240 26 Skalierung(Skript S 245 Um einen oder mehrere Knoten zu ändern, ohne das gesamte System zu ändern (Voraussetzung: Start/Endknoten werden nicht mitmaskiert, kann man diese Knoten skalieren Vorgehen: Skalierungszone festlegen (Trennbündel 2 Alle eingehende Zweige mit λ multiplizieren 3 Alle ausgehende Zweige mit λ multiplizieren Wenn alle maximalen Signalniveaus gleich maximal möglichen Dynamikbereich
Signale & Systeme 2 - Formelsammlung (Revision : 996 - powered by LATEX Seite 7 von 6 3 Zustandsraumdarstellung (Skript S 39 Revision : 999 Darstellung einer Differentialgleichung n Ordnung durch ein Differentialgleichungssystem von n Gleichungen Ordnung 3 Definition (Skript S 40 ẋ(t = Ax(t + Bu(t y(t = Cx(t + Du(t A: Systemmatrix (n x n: Spalten entsprechen Ausgängen der Integratoren, Zeilen Eingänge ; B: Steuer- oder Eingangsmatrix (n x m senkrecht ; C: Beobachtungs- oder Ausgangsmatrix (k x n waagrecht ; D: Übergangs- oder Durchgangsmatrix (k x m wobei m der Anzahl Eingangssignale, k der Anzahl Ausgangssignale & n der Anzahl Zustandsgrössen (Integratoren, Ordnung entsprechen 32 ZRD im Zeitbereich (Skript S 43 33 ZRD im Frequenzbereich (Skript S 47 (Matlab: ss2tf H(s = Y (s U(s = C (si n A B + D Die Grösse der Matrix H(s entspricht der Grösse der Durchgangsmatrix D I n sei die Einheitsmatrix mit Grösse n x n 34 Übertragungsmatrizen (Skript S 49 H(s = Y (s U(s = b ms m + b m s m + + b s + b 0 s n + a n s n + + a s + a 0 Allgemeine Formel für m = Eingang, k = Ausgang, n = 2 Integratoren: H(s = [ ([ ] s 0 C C 2 0 s ] [ A A 2 A 2 A 22 ] [ ] B + D B 2 = B C (s A 22 + B C 2 A 2 + B 2 C A 2 + B 2 C 2 (s A (s A 22 (s A A 2 A 2 + D 35 Stabilität (Skript S 53 Wenn alle Realteile der Eigenwerte λ der Systemmatrix A negativ sind, ist ein LTI-System asymptotisch stabil, jedoch nicht umgekehrt: λi A = 0 λ R{λ} < 0
Signale & Systeme 2 - Formelsammlung (Revision : 996 - powered by LATEX Seite 8 von 6 36 Beobachtbar- & Steuerbarkeit (Skript S 54 36 Steuerbarkeit (Matlab: ctrb Gibt es Zustände von x(t die nicht von den Eingängen u(t beeinflusst werden? Wenn ja, dann ist das System nicht steuerbar! Wenn Q Steuerbarkeit = [ B AB A 2 B A n B ] 0, dann ist das System vollständig steuerbar 362 Beobachtbarkeit (Matlab: obsv Gibt es Zustände x(t die keinen Einfluss auf die Ausgänge y(t haben? Wenn ja, kann man aus dem Verhalten von y(t nicht auf die Zustände x(t schliessen! Das System ist nicht beobachtbar! C CA Wenn Q Beobachtbarkeit = CA 2 0, dann ist das System vollständig beobachtbar CA n 363 Regelungsnormalform (Skript S 50 ẋ (t ẋ 2(t ẋ n (t ẋ n(t = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a 0 a a 2 a n y(t = [ ] b 0 a 0b n b a b n b n a n b n x (t x 2(t x n (t x n(t x (t x 2(t x n (t x n(t + 0 0 0 u(t, + [ ] b n u(t 364 Beobachtungsnormalform (Skript S 5 ẋ (t ẋ 2(t ẋ n (t ẋ n(t = 0 0 0 a 0 0 0 a 0 0 a 2 0 0 0 a n y(t = [ 0 0 ] x (t x 2(t x n (t x n(t x (t x 2(t x n (t x n(t + + [ ] b n u(t b 0 a 0b n b a b n b 2 a 2b n b n a n b n u(t,
Signale & Systeme 2 - Formelsammlung (Revision : 996 - powered by LATEX Seite 9 von 6 4 Matrizenrechnung 4 Übersicht Transponierte Matrix: A T = [a T ik ] = [a ki] vertauschen der Zeilen mit Spalten 0 0 Einheitsmatrix: I n = 0 0 0 0 42 Determinante 2x2 Matrix 3x3 Matrix [ ] a a det 2 = a a 2 a a 22 a 2 a 2 22 det a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 = a a 22 a 33 + a 2 a 23 a 3 + a 3 a 2 a 32 a 3 a 22 a 3 a 2 a 2 a 33 a a 23 a 32 a 3 a 32 a 33 Dreiecksmatrix - Alle Elemente entweder ober- oder unterhalt der Hauptdiagonale = 0 det A = a a 22 a nn Die Det ist das Produkt der Hauptdiagonal-Einträge Gilt somit auch für Diagonalmatritzen Null ( A = 0 - Wenn A eine (n,n-matrix ist, so wird A = 0 unter einer der folgenden Bedingungen: Zwei Zeilen/Spalten sind linear abhängig (gleich oder ein Vielfaches der anderen Alle Elemente einer Zeile/Spalte sind Null Allgemein: a a 2 a n AɛM n : det A = a 2 = ( + a D + ( +2 a 2 D 2 + + ( +n a n D n a n a nn 42 Unterdeterminante a 22 a 2n D = a n2 a nn D a 2 a 23 a 2n 2 = a n a n3 a nn D ij die (n- (n--untermatrix von D ist, die durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht Diese Methode ist zu empfehlen, wenn die Matrix in einer Zeile oder Spalte bis auf eine Stelle nur Nullen aufweisst Dies lässt sich meist mit dem Gausverfahren bewerkstelligen 43 Gaussverfahren Durch Addition und Subtraktion einzelner Zeilen (auch von Vielfachen einer Zeile werden einzelne Stellen auf Null gebracht zb: a a 2 a n a a 2 a n a 2 = ka 2 na ka 22 na 2 ka 2n na n a n a nn a n a nn Die n * erste Zeile wurde von der k * zweiten Zeile abgezogen (a 2 = ka 2 na
Signale & Systeme 2 - Formelsammlung (Revision : 996 - powered by LATEX Seite 0 von 6 44 Inverse Matrix (Existiert nur wenn Matrix regulär: det A 0 2x2 Matrix: [ ] [ ] A a b d b = = c d ad bc c a 3x3 Matrix: A = a b c d e f g h i = ei fh ch bi bf ce fg di ai cg cd af det(a dh eg bg ah ae bd Diagonalmatrix (Alle Elemente ausserhalb der Hauptdiagonale = 0, Elemente auf Hauptdiagonale sind Eigenwerte λ i : Alle Elemete elementweise invertieren - Kehrwert Gilt nur wenn alle Elemente auf der Hauptdiagonale 0 sind Allgemein: a a 2 a n A = a 2 a n a nn a a 2 a n A T bestimmen (Zeilen und Spalten vertauschen A T = a 2 a n a nn ( + D ( +n D n 2 Bei A T jedes Element a ij durch Unterdet D ij mit richtigem Vorzeichen ersetzen A = ( n+ D n ( n+n D nn 3 A = A det A 45 Diagonalisierung Eigenwerte λ auschrechnen: det(a I n λ = 0 2 Eigenvektoren v bilden: (A λi n v = 0 3 Transformationsmatrix: T = [ v v n ] 4 T berechnen (Achtung ist A symmetrisch, dh A T = A und oder alle EV senktrecht zueinander, dann T = T T 5 D = λ 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3 6 A n = T D n T
Signale & Systeme 2 - Formelsammlung (Revision : 996 - powered by LATEX Seite von 6 5 Filtertheorie (Skript S 257 Revision : 996 Man unterscheidet die Filtertypen grundsätzlich zwischen Tief-, Hoch- und Bandpässen sowie Bandsperren 5 Toleranzschema (Skript S 263 Im Durchlassbereich (DB bestimmt der Stempel die maximal zulässige Dämpfung A max ; im Sperrbereich (SB bestimmt die Matrize die minimal nötige Dämpfung A min 52 Realisation analoger Filter 52 Allgemeines Vorgehen Frequenznormierung durchführen 2 Normierten Tiefpass bestimmen (Filter nach Tiefpass transformieren 3 Art der Approximation wählen: Butterworth, Tschebyscheff (I, II, Cauer, Bessel, Gauss, 4 Bestimmung der Ordnung mit Nomogrammen (Skript S 34, Matlab (Matlab: buttord, chebord, cheb2ord, ellipord oder Formeln 5 Normierte TP-UTF aus Tabellen entnehmen & entnormieren 6 Aus Tabelle (Skript S 356 L und C-Werte für Tiefpassherauslesen & entnormieren 7 Filter von Tiefpass zum gesuchten Filter rücktransformieren 522 Frequenznormierung (Skript S 264 Normierung S = s ω r Ω = ω ω r σ = σ ω r Bei Bandpässen & -sperren: ω r = ω B ω B2 = }{{} wenn symmetrisch ωs ω S2 Zur Entnormierung wird ω 3db gebraucht, daher sind diese Formeln dafür nicht geeignet! 523 Filtertransformationen (Skript S 302 Tiefpass-Hochpass (Skript S 302 Tiefpass-Bandpass (Skript S 304 Tiefpass-Bandsperre (Skript S 308 Ordnung: n 2n 2n Ansatz: S S S S2 + B S S B S S 2 + ( UTF: H HP (S = H ( ( S T P S T BP (S = T 2 + T P B S T BS (S = T T P Norm Frequenz: Ω ST P = Ω SHP Ω ST P = Ω S2 Ω S B = Ω S2 Ω S B Ω B2 Ω B Ω ST P = Ω S2 Ω S Bandbreite B = ω B2 ω B ω r B S S 2 + = Ω B2 Ω B Ω S2 Ω S
Signale & Systeme 2 - Formelsammlung (Revision : 996 - powered by LATEX Seite 2 von 6 Direkte Substitution HP-TP T T P (S = K KS b ns n +b n S n ++b S+b 0 T HP (S = n ( BP-TP Ordnung T T P (S = S S+a T BP (S = T 2 + T P B S ( BP-TP 2 Ordnung T T P (S = S 2 +as+b T BP (S = T T P ( BS-TP Ordnung T T P (S = S+a T BS (S = T T P ( BS-TP 2 Ordnung T T P (S = S 2 +as+b T BS (S = T T P 524 Approximationsarten (Skript S 294 b 0S n +b S n ++b n S+b n S 2 + B S B S S 2 + B S S 2 + = = B S S 2 +ab S+ = B 2 S 2 S 4 +abs 3 +(bb 2 +2S 2 +ab S+ = a (S2 + S 2 + B a S+ b (S2 + ( 2 S 4 + ab b S3 + B 2 b +2 S 2 + ab b S+ Butterworth (Skript S 266 Amplitudengang: Gute Approximation ( maximal flach Allpolfilter, Pole liegen auf Kreis mit Abstand π n Gruppenlaufzeit: Leichte Überhöhung bei Grenzfrequenz Tschebyscheff I (Skript S 276 Amplitudengang: Definierte Welligkeit im DB, steiler Übergang Allpolfilter, wobei alle Pole auf einer Ellipse liegen Schlechte Gruppenlaufzeit Cauer (Skript S 284 Amplitudengang: Definierte Welligkeit im SB und DB Steilster Übergang zwischen SB und DB Kritisch gedämpftes (Gauss-Filter (Skript S 273 Keine Überschwinger bei Impuls- & Sprungantwort Kaskadierung von wirkungsfreien RC-Filtern Allpolfilter: Pole nur auf negativer σ-achse Inverser Tschebyscheff / Tscheby II (Skript S 276 Definierte Welligkeit im Durchgangsbereich Flachere Gruppenlaufzeit als Tschebyscheff I Bessel (Skript S 290 Sehr linearer Phasengang fast konstante Gruppenlaufzeit Flachster Übergang zw DB und SB im Amplitudengang Pole weit entfernt der jω-achse 525 Bestimmung der minimal nötigen Ordnung (Skript S 34 Mittels Nomogramm Oder mittels Formeln log 0Amin/0 0 n Butterworth Amax/0 n Tschebyscheff(I,II 2 log ( ΩS Ω D Arcosh 0 Amin/0 0 Amax/0 Arcosh(Ω S /Ω D n Cauer K ( ( ( ΩD 2 Ω K 0Amax/0 S 0 A min /0 ( ( ΩD 2 0 K ( Ω K Amax/0 S 0 A min /0, mit K(k = π 2 0 dθ k sin 2 θ Oder mit Matlab butterord, chebord, cheb2ord, ellipord Grundsätzlich gilt (für gleiche Spezifikationen n Butterworth n Tschebyscheff(I,II n Cauer 526 UTF bestimmen & entnormieren Die UTF kann meist aus Tabellen herausgelesen werden und variiert je nach Filtertyp Die Entnormierung erfolgt durch Substitution von S s, wobei auch hier ω 3dB je nach Filtertyp unterschiedlich berechnet wird ω 3dB Butterworth (Skript S 345 Tschebyscheff I (Skript S 349 Kritisch gedämpfte Filter (Skript S 347 ω 3dB = 2n 0 Amax/0 ω D ω 3dB = cosh [( ( n Arcosh ] e ωd ω 3dB = ω D 2 /n Cauer (Skript S 356 Bessel (Skript S 353 Keine Tabelle, (Matlab: ellip, ellipap ω 3dB aus Abb 793 (Skript S 354 0 Amax 0 n
Signale & Systeme 2 - Formelsammlung (Revision : 996 - powered by LATEX Seite 3 von 6 527 LC-Tiefpass bestimmen (Skript S 327, 356 Die Struktur unterscheidet sich nicht zwischen den Filtertypen Es ist zwischen Minimal-C (meistens und Minimal- L-Netzwerken auszuwählen Erläuterungen zu den Tabellen: Die Legende oben beschreibt die Stromquellenstruktur, die untere die Spannungsquellenstruktur Normierung auf R 2 =, folglich R = R Quelle R Last Tabellenindex Butterworth (Skript S 357 Tschebyscheff I (Skript S 360, 36 Kritisch gedämpfte Filter (Skript S 359 Cauer (Skript S 362, 363 Bessel (Skript S 358 Entnormierung Aus den Tabellen gelesene Werte werden im folgenden als C bzw L bezeichnet C C = ω 3dB R Last L = L R Last ω 3dB 528 Bauteiltransformation zum gewünschten Filter (Skript S 324 53 Kaskadierung von Filtern Wenn mehrere Filter kaskadiert werden, ändern sich die Spezifikationen wie in folgendem Beispiel: Tiefpass- Hochpass Tiefpass- Bandpass Tiefpass- Bandsperre
Signale & Systeme 2 - Formelsammlung (Revision : 996 - powered by LATEX Seite 4 von 6 54 Vergleich der Approximationsarten Butterworth-Filter mit UTF H(s = 003e022 s 5 +833e004s 4 +3307e009s 3 +832e03s 2 +29e08s+003e022 Kritisch gedämpftes Filter mit UTF H(s = 2724e 03s 3 +26e 008s 2 +0000945s+
Signale & Systeme 2 - Formelsammlung (Revision : 996 - powered by LATEX Seite 5 von 6 Tschebyscheff-I-Filter mit UTF H(s = 609e023 s 6 +882s 5 +2757e008s 4 +72e02s 3 +924e06s 2 +6589e09s+2026e023 Tschebyscheff-II-Filter mit UTF H(s = 6283s 4 +08e 009s 3 +3969e0s 2 +975s+504e09 s 5 +270e004s 4 +3645e008s 3 +3076e02s 2 +639e06s+504e09
Signale & Systeme 2 - Formelsammlung (Revision : 996 - powered by LATEX Seite 6 von 6 Cauer-Filter mit UTF H(s = 088s4 6596e 00s 3 +2538e00s 2 008009s+29e08 s 5 +4398s 4 +6408e007s 3 +939e0s 2 +9227e04s+29e08 Bessel-Filter mit UTF H(s = 248e0 s 3 +529e004s 2 +9736e007s+248e0