Exponentialreihe von Matrizen

Exponentialreihe von Matrizen Seminar zur Vorlesung "Geometrie für Lehramt" Sommersemester 20 Dozent: Prof. Dr. Lorenz Schwachhöfer Fakultät für Mathematik der Technischen Universität Dortmund Name: Kerstin Greifenberg Studiengang: BfP Datum: 0.06.20

Inhaltsverzeichnis Einleitung 3 2 Die Exponentialreihe von Matrizen 5 3 Literatur 5 2

Einleitung Bei diesem Vortrag handelt es sich um den ersten Teil des Themas Exponentialreihe und Logarithmus von Matrizen. Hierbei wird die Exponentialreihe von Matrizen thematisiert. Es wird im Folgenden von der aus der Analysis bekannten e Funktion ausgegangen. Das bedeutet, dass die Eigenschaften der e Funktion auf die Eigenschaften der Exponentialfunktion von Matrizen übertragen und die notwendigen Zusatzbedingungen berücksichtigt werden. Die gewöhnliche Exponentialfunktion oder e Funktion e x in der Analysis ist durch jede der folgenden drei Eigenschaften charakterisiert:. Als Lösung der Dierentialgleichung y y mit der Anfangsbedingung y(0). 2. Als (überall konvergente) Potenzreihe exp x n 0 n! xn. 3. Als Grenzfunktion des stetigen Wachstums exp x lim k ( + x k )k. Begründung: Zu. Für die gesuchte Lösung y y(x) (für y(x) 0) ist die Dierentialgleichung (log(y)) y y äquivalent zu log(y(x)) x + C, mit einer Integrationskonstanten C. Mit der Anfangsbedingung y(0) folgt log(y(0)) log() 0 d.h. C 0. Also gilt log(y(x)) x und somit y(x) e x. Zu 2. Löse diese DGL mit dem Potenzreihenansatz y(x) n 0 a nx n, ( a n x n n 0 n 0 a n x n) n na n x n n 0 (n + )a n+ x n. Ein Koezientenvergleich liefert a n (n + )a n+, was zusammen mit der Anfangsbedingung a 0 die folgende rekursive Formel für alle Koezienten a n ergibt a n n a n n n a n 2 n! a 0 n!. 3

Also folgt y(x) n 0 n! xn. Die Konvergenz dieser Reihe für beliebiges x folgt aus dem Quotientenkriterium. Quotientenkriterium: Sei n0 a n eine Reihe mit a n 0. q < fest, sodass a n+ a n q ab einem Index n 0, dann ist n0 a n absolut konvergent. Insbesondere gilt dies, wenn der Grenzwert lim n a n+ a n existiert und < ist. Für diese Reihe bedeutet das, a n+ a n x n+ (n+)! x n n! x 0 für n n + d.h. der Grenzwert existiert und ist <. Auch für formale Potenzreihen ergibt sich das selbe Resultat, da der Identitätssatz für Potenzreihen und das formale Dierenzieren per Denition gelten. Die Exponentialreihe ist die einzige formale Potenzreihe in einer Variablen mit a 0, die die formale Dierentialgleichung y y erfüllt. Analoges gilt für die Dierentialgleichung y ay mit der Lösung y(x) e ax. Zu 3. Die Eulersche Zahl e 2, 7828... ist als der Grenzwert e lim n ( + n )n deniert. D.h. für festes ganzzahliges x 0 folgt ( ( e x lim + ) n x ( lim + n n) nx ( lim + n n) x ) k, k k wobei k nx gesetzt wird. Für den Fall x 0 folgt e 0. Durch Grenzübergang gilt das dann auch für rationales und schlieÿlich für reelles x. Aus der Theorie der gewöhnlichen Dierentialgleichungen ist bekannt, dass die vektorielle DGL Y AY für eine konstante Matrix A durch den Exponentialreihenansatz Y (x) n 0 x n n! An gelöst werden kann. Es gilt durch gliedweises Dierenzieren nach dem reellen / komplexen Parameter x ( Y x n ) (x) n! An ( n xn A n x n ) A n! (n )! An AY (x). n 0 n n Die Reihe erfüllt die DGL und die Anfangsbedingung Y (0) E. 4

2 Die Exponentialreihe von Matrizen 2. Denition: Exponentialabbildung Für eine reelle oder komplexe (n, n) Matrix X denieren wir die Exponentialabbildung exp durch exp X : k! Xk E + X + X2 2 + X3 6 + X4 24 +... Diese unendliche Reihe heiÿt Exponentialreihe. Schreibweise: e X, exp X (vgl. e Funktion aus der Analysis). Den Vektorraum aller (n, n) Matrizen über K bezeichnen wir im Folgenden mit gl(n, K) statt mit M n n (K). Dass die Exponentialabbildung exp : gl(n, R) GL(n, R), exp : gl(n, C) GL(n, C) eine wohldenierte Abbildung ist, wird durch den folgenden Satz gezeigt. 2.2 Satz: Eigenschaften der Exponentialabbildung. Die Reihe exp X konvergiert absolut für jede Matrix X im Raum aller quadratischen Matrizen. 2. Die Exponentialabbildung ist verträglich mit der Transposition und der komplexen Konjugation, d.h. es gilt exp(x t ) (exp(x)) t und exp(x) exp X. 3. Die Exponentialabbildung ist verträglich mit der Konjugation von Matrizen, d.h. es gilt exp(p XP ) P (exp(x))p für jede invertierbare Matrix P. 4. Die Zuordnung X exp(x) ist beliebig oft dierenzierbar. 5. Es gilt das Exponentialgesetz exp(x + Y ) exp(x) exp(y ) für je zwei Matrizen X, Y, die kommutieren d.h. XYYX. 6. Für beliebiges X ist exp(x) invertierbar und es gilt (exp(x)) exp( X), exp(kx) (exp(x)) k k Z. 7. det(exp(x)) e spurx für beliebiges X. 5

8. Die Zuordnung t exp(tx) deniert eine dierenzierbare Kurve in GL(n, C) mit 0 E und d dt (exp(tx)) X exp(tx), speziell d exp(tx) X. t0 dt Beweis Ax Wir verwenden hier die Operator Norm A sup x 0 x die euklidische Norm von x sei. Zu.: zu zeigen: der folgende Grenzwert existiert von Matrizen, wobei x lim N N k! Xk } {{ } S N zz. S N ist eine Cauchy-Folge in M n,n (K) K n2. Sei N 2 > N N 2 S N2 S N N 2 kn + k! Xk N k! Xk N2 k! Xk N 2 kn + kn + k! Xk k! X k 0 für N. Für die erste Abschätzung wurde die Dreiecks Ungleichung verwendet und für die zweite Abschätzung die Submultiplikativitätseigenschaft der Operator Norm. Wir wissen, dass e X konvergiert, denn n0 xn n! e x, x R. D.h. n0 k x n konvergiert und ist somit Cauchy Folge. Analog gilt dies für den Betrag, sodass die absolute Konvergenz folgt. Zu 2.: Mit Hilfe der Gleichungen (A T ) n (A n ) T sowie A n A n folgt. exp(x T ) exp(x) k! (XT ) k k! (X)k k! (Xk ) T ( k! Xk ) T (exp(x)) T k! (X)k Zu 3.: Es gilt (P XP ) 2 P XP P XP P X 2 P. Analog gilt für höhere Potenzen d.h. exp(p XP ) n0 n! (P XP ) n (P XP ) n P X n P n0 k! (X)k exp(x) n! P Xn P P ( n! Xn )P P exp(x)p n0 6

Zu 4.: Betrachte die Gleichungen aus der 5. und 8. Eigenschaft. Zu 5.: Mit XY Y X gilt (X + Y ) 2 (X + Y )(X + Y ) X 2 + XY + Y X + Y 2 X 2 + 2XY + Y 2, Der Binomische Lehrsatz fordert die Kommutativität wie bereits im Fall n 2 gezeigt. (X + Y ) n n ( ) n X k Y n k. k exp(x + Y ) n0 n0 (X + Y )n n! n n! n n0 n0 k+ln ( ( ) n X k Y n k k X k Y n k k!(n k)! X k k! X k Y l k!l! )( l0 Y l ) l! (exp(x)) (exp(y )) Zu 6.: k 0 : exp(0) E k > 0 : Vollständige Induktion: Induktionsvoraussetzung: exp(kx) (exp(x)) k Induktionsanfang: siehe k 0 Induktionsschritt: k k + exp((k+)x) exp(x+kx) 5. (exp(x))(exp(kx)) IV. (exp(x))(exp(x)) k (exp(x)) k+ Somit gilt exp(kx) (exp(x)) k für k 0. k : E exp(0) exp(x X) (exp(x))(exp( X)) d.h. exp( X) (exp(x)) k < 0 : exp( kx) (exp(kx)) (exp(x)) k Zu 7.:.Fall: X ist eine obere Dreiecksmatrix, d.h. auf der Hauptdiagonalen stehen die Elemente e X ii, dann gilt 7

det exp(x) i ex ii e i X ii e spurx. 2.Fall: allgemeiner Fall: Verwende die Jordansche Normalform A P XP. Damit erhält die Matrix die Gestalt einer oberen Dreiecksmatrix. det A det P det J det }{{ P } det J e spurj e spura det P Es bleibt noch zu zeigen, dass: SpurA SpurJ SpurA Spur(P J)P SpurP (P J) SpurJ Zu 8.: Wegen der absoluten Konvergenz kann die Reihe gliedweise dierenziert werden. d dt (exp(tx)) d dt k! tk X k k! k tk X k X k! k tk X k X X X k k k! k tk X k, denn k 0 liefert 0 (k )! (tx)k k! (tx)k X exp(tx) d exp(tx) X exp(0) X dt t0 2.3 Folgerung Sei G eine Untergruppe von GL(n, R), in der Matrizen mit negativer Determinante vorkommen. Dann ist die reelle Exponentialabbildung nicht surjektiv, d.h. das Bild exp(gl(n, R)) überdeckt nicht ganz G. Dies gilt speziell für G GL(n, R) selbst sowie für G O(n). 8

Beweis Nach 2.2 (7) gilt det(exp(x)) e spurx > 0 und ist somit nicht surjektiv. O(n) {A GL(n, R) AA T E} und es gilt det(a) ±, denn AA T E det(aa T ) det(e) det(a) det(a T ) det (det(a)) 2, da det(a) det(a T ) det(a) ±. 2.4 Bemerkung Das Exponentialgesetz exp(x + Y ) (exp(x))(exp(y )) gilt immer dann, wenn X mit Y kommutiert, also wenn XY Y X gilt. Das folgende Beispiel zeigt, dass dies im Allgemeinen nicht der Fall ist. 0 0 0 0 0 0 0 X 0 0 0, Y 0 0, Z 0 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Dann gilt X 2 Y 2 Y X (X + Y ) 3 0, XY (X + Y ) 2 Z, XZ ZX, Y Z ZY. D.h. exp(x + Y ) E + X + Y + 2 Z, aber (exp X)(exp Y ) (E + X)(E + Y ) E + X + Y + Z. 2.5 Satz Für beliebige feste quadratische Matrizen X, Y und kleine Werte von t gelten die folgende Gleichungen (Taylor Entwicklung): (exp(tx))(exp(ty )) exp(t(x + Y )) t2 2 (XY Y X) + O(t3 ) (2.) (exp( tx))(exp( ty ))(exp(tx))(exp(ty )) E + t 2 (XY Y X) + O(t 3 ) (2.2) 9

Beweis Das Landau Symbol O(t 3 ) steht für alle Terme von dritter oder höherer Ordnung in t. Zu (2.): exp(t(x + Y )) E + tx + ty + t2 2 (X2 + XY + Y X + Y 2 ) + O(t 3 ) (exp(tx))(exp(ty )) (E + tx + t2 2 X2 + O(t 3 ))(E + ty + t2 2 Y 2 + O(t 3 )) E + tx + ty + t2 2 (X2 + 2XY + Y 2 ) + O(t 3 ) (exp(tx))(exp(ty )) exp(t(x + Y )) E + tx + ty + t2 2 (X2 + 2XY + Y 2 ) + O(t 3 ) (E + tx + ty + t2 2 (X2 + XY + Y X + Y 2 ) + O(t 3 )) t2 2 (2XY XY Y X) + O(t3 ) t2 2 (XY Y X) + O(t3 ) Zu (2.2): (exp( tx))(exp( ty )) (E + ( tx) + ( t)2 2 X 2 + O(t 3 ))(E + ( ty ) + ( t)2 2 Y 2 + O(t 3 )) E tx ty + t2 2 (X2 + 2XY + Y 2 ) + O(t 3 ) (exp( tx))(exp( ty ))(exp(tx))(exp(ty )) (E tx ty + t2 2 (X2 + 2XY + Y 2 ) + O(t 3 ))(E + tx + ty + t2 2 (X2 + 2XY + Y 2 ) + O(t 3 )) E + t 2 (XY Y X) + O(t 3 ) Der Kommutator XY Y X ergibt sich nach (2.2) wie folgt: XY Y X d ((exp( tx))(exp( txy ))(exp( tx)(exp( ) ty ), dt t0 wobei die rechte Seite stetig dierenzierbar nach t ist für t 0. 0

2.6 Beispiel: Die Exponentialabbildung der dimensionalen Drehgruppe SO(2) SO(n) {A O(n) det(a) } Drehgruppe. Man betrachte die spezielle Matrix R ( ) 0 t t 0. Für die Potenzen folgt: ( ) R 2 t 2 0 0 t 2 t 2 E, R 3 t 2 R, R 4 t 4 E Damit gilt R 2k ( t 2 E) k ( ) k t 2k E, exp(r) (2k + )! R2k+ + R 2k+ RR 2k ( ) k t 2k R (2k)! R2k (2k + )! ( )k t 2k R + (2k)! ( )k t 2k E ( ) 0 sin(t) + cos(t)e 0 ( ) cos(t) sin(t), sin(t) cos(t) d.h. exp(r) ist eine Drehmatrix in der Ebene um den Winkel t. 2.7 Lemma Es gibt oene Umgebungen U von 0 in gl(n, C) und V von E in GL(n, C), so dass exp : U V ein Dieomorphismus ist. Analoges gilt für gl(n, R) und GL(n, R). Beweis Satz über die Umkehrabbildung: Es sei U eine oene Menge des R n und F : U R n eine stetig dierenzierbare Abbildung mit der Eigenschaft, dass die Funktionalmatrix in einem festen Punkt x 0 invertierbar ist. Dann ist in einer gewissen kleineren oenen Umgebung V mit x 0 V U auch die Abbildung F invertierbar, d.h. F v : V f(v ) ist ein Dieomorphismus. Wir fassen eine komplexe (n, n) Matrix als einen reellen Vektor mit 2n 2 Einträgen auf. x,..., x 2n2 bezeichne die entsprechenden kartesischen Koordinaten bzw. reellen Variablen und mit E,..., E 2n 2 werden die entsprechenden Basis Elemente bezeichnet, wobei E j eine an der j ten Stelle und sonst nur Nullen enthält. D.h. wir können

X i xi (X)E i und exp(x) i xi (exp(x))e i schreiben, wobei x i (X) die i te Koordinatenfunktion von X und x i (exp(x)) die i te Koordinatenfunktion von exp(x) beschreibt. Berechnung der Funktionalmatrix Hier gilt x i (exp(x)) x j ( x i (exp(x)) J 0 exp x j ) x0. i,j x0 d dt x i (exp(0 + te j )) t0 ( ) lim x i (exp(0 + te j )) x i (exp 0) t 0 t x i( ) lim t 0 t (exp(te j) (exp 0)) x i( ) d x i (exp(0 + te j ) t0 dt x i (E j ) δ i j. Somit ist die Funktionalmatrix im Element 0 die Einheitsmatrix. Nach dem Satz über die Umkehrabbildung gibt es eine Umgebung U von 0, so dass exp dort ein Dieomorphismus aufs Bild ist. Eine entsprechende Umkehrabbildung heiÿt logarithmische Karte. 2.8 Bemerkung exp ist global betrachtet kein Dieomorphismus. Betrachte den Fall n d.h. die gewöhnliche Exponentialfunktion (e Funktion) exp : C gl(, C) GL(, C) C \ {0} mit z e z, die global nicht invertierbar ist (Problem des komplexen Logarithmus). Darüber hinaus ist auch exp : gl(n, R) GL(n, R) kein globaler Dieomorphismus, da nach Folgerung 2.3 nicht surjektiv. Eigenschaft: Exponentialfunktion ist Grenzwert des stetigen Wachstums. Für die reelle e Funktion ist bekannt: e lim k ( + k )k. In der Gleichung exp x lim k ( + x k )k ist für jedes feste x der Grenzwert bereits durch die Werte + x k Umgebung der bestimmt. in einer beliebig kleinen 2

2.9 Lemma: Das stetige Wachstum für die Multiplikation von Matrizen Es sei c(t) eine C Kurve in GL(n, C) mit c(0) E, c (0) X. Dann gilt t exp(tx) lim k (c( t k ))k, speziell gilt auch exp(tx) lim k (E + t k X)k. Beweis Abbildung 2.:.Fall: t < δ Es sei exp : U V ein Dieomorphismus gemäÿ Lemma 2.7 mit tx U und c(t) V t < δ. Wir setzen dann γ(t) : exp (c(t)). Dann gilt γ(0) 0 (Nullmatrix). exp : gl(n, C) GL(n, C) γ : ( δ, δ) gl(n, C) X c (0) (d exp 0 )(γ (0)) γ (0) }{{} E Es existiert die Taylor Entwicklung von γ in der Form γ(t) 0 + tx + O(t 2 ). Daraus ergibt sich γ( t k ) t t2 k X + O( ) und nach Multiplikation mit k folgt k 2 kγ( t k ) tx + O( t2 k ) für jedes feste t und für k. Nach Denition gilt (c( t k ))k (exp(γ( t k )))k exp(k γ( t k )) exp(tx + O( t2 k )) lim k (c( t k ))k exp(tx) t < δ. 3

2.Fall: t δ Betrachte N N mit t N < δ. lim (c( t k kn ))k exp( t ( N X) ) N lim (c( t k kn ))kn (exp( t N X))N exp(n t N X) exp(tx). }{{} lim k (c( t k ))k Noch zu zeigen: exp(tx) lim k (E + t k X)k d.h. Setze: exp(tx) lim k (c( t k ))k c( t k ) E + t k X c(t) E + tx Dann folgt: c(0) E, c (0) X und somit gilt: exp(tx) lim k (E + t k X)k. Beispiel Im Spezialfall G GL(, R) (R \ {0}, ) mit gl(, R) (R, +) ist die Exponentialfunktion die gewöhnliche e Funktion exp(x) e x mit exp(0). Als Kurve gemäÿ dem vorangegangenen Lemma kann man c(t) : + t mit c (0) wählen. Daraus folgt exp(t ) e t lim k ( + t k )k. 4

3 Literatur W. Kühnel: Matrizen und Liegruppen, Vieweg und Teubner 5