Projektive Geometrie

Projektive Geometrie

Einleitung Was ist projektive Geometrie? eine alternative algebraische Repräsentation von geometrischen Objekten (Punkt, Gerade,...) und Transformationen (Translation, Rotation,...) Wozu projektive Geometrie? die projektive Geometrie ist zur Beschreibung der Zentralprojektion besser geeignet als die euklidische Geometrie, die Gleichungen werden wesentlich vereinfacht Bemerkungen die geometrischen Verhältnisse ändern sich nicht durch die Wahl der Repräsentation, nur das Formelwerk ist praktischer alle Berechnungen sind auch in euklidischer Darstellung möglich (und wurden in der Photogrammetrie lange so durchgeführt) die übersichtliche Notation hat wichtige Fortschritte ermöglicht

Einführung Geschichtliche Entwicklung ca. 340: erste Erwähnung projektiver Zusammenhänge durch Pappus von Alexandria ca. 600: Johannes Kepler und Gerard Desargues entwicklen unabhängig die Idee des Fernpunkts 83: Jean-Victor Poncelet erarbeitet erstmals systematisch die fundamentale Theorie 965: in der Computergrafik nutzt Larry Roberts die projektive Schreibweise für die Perspektivprojektion 97: in der Photogrammetrie beschreiben Y. I. Abdel- Aziz und H. M. Karara die projektive Abbildung zwischen Bild- und Objektkoordinaten 98: in der Computer Vision entwickelt Christopher Longuet-Higgins die relative Orientierung in projektiver Notation ~000: in der Photogrammetrie beginnt sich die projektive Darstellung allgemein zu verbreiten

Homogene Koordinaten Definition Die Repräsentation q eines geometrischen Objekts ist homogen, wenn q und λq dasselbe Objekt darstellen (wobei λ 0). D Punkt D Gerade 3 3 u wx x = 4v 5 = 4wy5 w w l = 3 a 4b5 ax + by + c =0 c

Homogene Koordinaten Euklidische Normalisierung apple x y = apple u/w v/w apple nx n y = p a + b apple a b, d = c p a + b

Geometrische Operationen Rechnen mit homogenen Objekten Punkt auf einer Geraden Schnitt zweier Geraden x > l = l > x = x l =0 au + bv + cw = w(ax + by + c) =0 x = l m Gerade durch zwei Punkte l = x y

Geometrische Operationen Rechnen mit homogenen Objekten Schnitt zweier Geraden - Probe x = l m y ax + by = c x + y =5 x y = x l = 4 3 5 5 m = 4 3 5 x = 4 3 6 95 = 3 3 3 435

Homogene Koordinaten Unendlich entfernte Objekte homogene Koordinaten erlauben die explizite Darstellung von unendlich fernen Objekten 3 3 x = direktes Rechnen im Unendlichen alle Fernpunkte liegen auf der Ferngeraden Schnitt paralleler Geraden u 4v5 l = 0 x > l =0 3 3 a a bd 4b5 4b5 = 4ac c d ab 0 405 3 3 bc u ad5 = 4v5 ab 0

Homogene Koordinaten Varianzfortpflanzung Übergang euklidisch homogen: der projektive Massstab (Länge des Vektors) hat keine Unsicherheit 3 3 µ x = Übergang homogen euklidisch: lineare Fehlerfortpflanzung apple µu /µ µ xx = J > x = w (µ x ) xx J(µ x ) µ v /µ w 4 µ x µ y 5 xx = 4 x xy 0 xy y 0 5 0 0 0 J > (x) = x x = w apple w 0 u 0 w v eine entsprechende Konstruktion ist auch für andere geometrische Objekte möglich

Homogene Koordinaten Interpretation der Varianzen nur euklidische Kovarianzmatrizen sind als Ergebnisse sinnvoll (der projektive Raum ist nicht metrisch) homogene Kovarianzmatrizen entstehen bei Berechnungen mit homogenen Koordinaten - sie sind beliebig skaliert - sie enthalten die Varianz der Skalierung, die keine geometrische Bedeutung hat (d.h. sie haben vollen Rang)

Homogene Koordinaten 3D Punkt X = 6 4 Ebene 3 3 A N x A = 6B 7 4C5 = D 6N y 7 S 4N z 5 D S 3D Gerade (Plücker-Koordinaten) U V W T 3 7 5 = T 3 X 6Y 7 4Z 5 AX + BY + CZ + D =0 L 6 = apple Xh Y 0 Y h X 0 X 0 Y 0 mit X = apple X0 X h

Homogene Koordinaten Unendlich entfernte Objekte Fernpunkte (Raumrichtungen) 3 U V X = Fernebene A = 6 4 W 0 7 5 3 0 60 7 405

Transformationen Eine projektive Transformation (Projektivität, Homographie) ist eine umkehrbare lineare Abbildung x 0 n = M n n x n Hauptsatz der projektiven Geometrie: jede eindeutige geradentreue Abbildung eines projektiven Raums P n auf sich apple n< selbst ist eine Projektivität, für Folge: alle eindeutigen geradentreuen Transformationen sind in homogenen Koordinaten linear Anmerkung: wie die projektiven Objekte können auch die Transformationsmatrizen beliebig skaliert werden x 0 =( M)x = M( x) x 0 ' x 0

Transformationen Wichtige Tranformationen Beispiel: Transformationen in P 3 (analog in P ) allgemeine projektive Abbildung Translation 3 Parameter Rotation 3 Parameter X 0 = M 4 4 X M = M = apple I T 0 > apple R 0 0 > I 3 3 = 0 3 = 0 3 0 40 05 0 0 3 0 405 0

Wiederholung - 3D Rotation Orthonormale Matrix mit positiver Determinante Zeilen/Spalten normiert und untereinander orthogonal R x ()= 4 R > R = I R = R > det(r) =...Rotation, det(r) =...Rotation und Spiegelung Aufbau aus 3 Rotationen um Koordinatenachsen cos sin sin cos 3 5 R y ( )= 4 cos sin sin cos 3 5 cos apple R z (apple)= 4sin apple sin apple cos apple 3 5 R = R z (apple)r y ( )R x ()

Transformationen Ähnlichkeitstransformation 7 Parameter (3 Translation, 3 Rotation, Massstab) apple mr T M = 0 > Affintransformation Parameter (3 Translation, 3 Rotation, 3 Massstab, 3 Scherung) M = apple A T 0 >

Transformationen Kombination von Transformationen Verkettung erfolgt durch Matrizenmultiplikation nicht kommutativ - Reihenfolge beachten Inversion X A = AX X AB = BX A X AB = BAX die umgekehrte Transformation (falls existent) ergibt sich durch Inversion der Transformationsmatrix X A = AX X = A X A

Transformationen Projektive (geradentreue) Transformationen in D

Homogene Gleichungen Parameterschätzung in homogenen Koordinaten Schätzung führt meist auf Gleichungssysteme oder ohne Redundanz Ay = 0 beide Versionen haben die triviale Lösung min y (w > w), w = Ay y = 0 um diese auszuschliessen muss der projektive Massstab festgelegt werden (beliebig 0) dazu fügt man eine Bedingungsgleichung hinzu kyk =

Homogene Gleichungen Lösung eines homogenen Systems min(y > A > Ay) y s.t. kyk = Kochrezept Singulärwertzerlegung (SVD) von A A m n = USV >, s s... s n der Lösungsvektor ist die letzte Spalte von V y = V :,n Bemerkung: aufgrund der Eigenschaften der SVD numerisch sehr stabil

Homogene Gleichungen Beweis Singulärwertzerlegung von A A m n = U m n S n n V > n n = wobei U > U = V > V = I n n daher nx > s i u i v i i= y > A > Ay = y > VSU > USV > y = y > VS V > y = y > vi sind orthogonal zueinander, daher minimal bei ŷ = v n, ŷ > A > Aŷ = s n S = diag(s,s,...,s n ) n X i= s i v i v i > y