4 ZU V5"4 Er wart ungsnut zenhyp ot hese Dogmenhistorische Ausgangslage, analytische Voraussetzungen und moderne Entwicklungen
Vorwort 15 1.1 Zufall und die Erwartungsnutzentheorie 16 1.2 Inhalt und Fortgang der Arbeit 19 Formale und inhaltliche Grundlagen: Präferenzen, Ordnungen, Repräsentation 23 2.1 Einleitung 23 2.2 Die inhaltlichen und formalen Grundüberlegungen 26 2.2.1 Präferenzen: Messen, Abbilden und numerische Repräsentation.. 27 2.2.2 Präferenzen im Kontext von Relationen und Ordnungen 29 2.3 Mengen, Relationen und Ordnungen als allgemeine Grundlage einer axiomatischen Darstellung 31 2.3.1 Mengen, geordnete Paare und Identität 32 2.3.2 Eigenschaften von Relationen und Ordnungen 35 2.3.3 Präferenzen als Grundlage der relationalen Struktur 39 2.3.3.1 Indifferenz und Identität 40 2.3.3.2 Die mindestens-so-gut-wie"-relation und die positive versus implizite Definition 41 2.3.3.3 Schwache versus strikte Ordnung bei von Neumann und Morgenstern 43 2.3.4 Die schwache Ordnung als zentrale Ordnungsannahme der Erwartungsnutzentheorie 46 2.3.4.1 Wichtige Eigenschaften einer schwachen Präferenzordnung 47 2.3.4.2 Äquivalente Ordnungsannahmen und relationale Beziehungen 51 2.3.4.3 Die Annahme der Refiexivität 52
2.3.5 Die schwache Ordnung und die Zusammenfassung von indifferenten Elementen zu Äquivalenzklassen 53 2.4 Die Überführung präferenzbasierter Ordnungen in Zahlen - numerische Repräsentation 58 ', 2.4.1 Messen und Skalen 59 2.4.2 Abbildungen 63 2.4.3 Homomorphismen und Isomorphismen 64 2.4.4 Numerische Repräsentation 66 2.5 Die axiomatische Fundierung der numerischen Repräsentation von Präferenzrelationen - Cantor und Debreu 67 2.5.1 Numerische Repräsentation einer endlichen Menge 69 2.5.2 Numerische Repräsentation einer abzählbaren Menge 71 2.5.3 Numerische Repräsentation einer überabzählbaren Menge - die Problematik 76 2.5.3.1 Die lexikographische Ordnung 76 2.5.3.2 Die lexikographische Ordnung als schwache Ordnung.. 78 2.5.3.3 Die lexikographische Ordnung und das Abbildbarkeitsproblem 80 2.5.3.4 Dichte und Ordnungsdichte von Mengen 83 2.5.4 Numerische Repräsentation einer überabzählbaren Menge - das Theorem 88 2.5.4.1 Vorbemerkungen 89 2.5.4.2 Die Notwendigkeit der Annahme 90 2.5.4.3 Die Annahme als hinreichende Bedingung 92 2.6 Die Dimensionalität der numerisch repräsentierenden Zielstruktur K... 95 2.6.1 Archimedisches Axiom, reelle Zahlen und Non-Standard Analysis 96 2.6.2 Archimedisches Axiom als notwendige Bedingung für die numerische Repräsentation 100 2.6.3 Archimedisches Axiom, lexikographische Ordnung und numerische Repräsentation 101 2.6.4 Dimensionalität der numerischen Repräsentation und Archimedisches Axiom 104 2.6.5 Archimedisches Axiom und Ordnungsdichte 106 2.7 Abschließende Bemerkungen 108 2.7.1 Existenz einer stetigen, numerisch repräsentierenden Funktion.. 108
2.7.2 Existenz einer difffirenziorbaren, numerisch repräsentierenden Funktion 111 Die Erwartungsnutzentheorie nach von Neumann und Morgenstern: Historie, Abgrenzung, Inhalt und Erweiterungen 113 3.1 Einleitung 113 3.1.1 Die Abwesenheit von Sicherheit 114 3.1.2 Fortgang des Kapitels 117 3.2 Historischer Überblick 122 3.2.1 Zufall, Bernoulli, Cramer und das St. Petersburg-Spiel 123 3.2.2 St. Petersburg-Spiel, Grenzwertbetrachtung und Weber/Fechner. 132 3.2.3 St. Petersburg-Spiel und Erwartungswert 134 3.2.4 St. Petersburg-Spiel und Konvergenz 136 3.2.5 Vom St. Petersburg-Spiel zur axiomatischen Fundierung der Erwartungsnutzentheorie 137 3.2.6 Entscheidungen unter Unsicherheit oder unter Risiko und objektive oder subjektive Wahrscheinlichkeiten 140 3.2.7 Die Erwartungsnutzentheorie nach Bernoulli/Cramer versus von Neumann und Morgenstern 148 3.3 Von Neumann und Morgenstern Erwartungsnutzentheorie - Grundlagen, Axiomatik und Abgrenzung 156 3.3.1 Die Grundlagen der von Neumann- und Morgensternschen Ergebnisse 156 3.3.1.1 Von Neumann und Morgensterns zentrale Überlegung.. 157 3.3.1.2 Präferenzen und Nutzen 158 3.3.1.3 Präferenzdifferenzen und Nutzendifferenzen 160 3.3.1.4 Annahmen zum Entscheidungsverhalten, formale Anforderungen und die Notation von Neumann und Morgensterns 165 3.3.2 Die Axiomatik nach von Neumann und Morgenstern 169 3.3.2.1 Die implizite Unabhängigkeitsannahme in der Axiomatik nach von Neumann und Morgenstern 179 3.3.2.2 Die Forderung der numerischen Repräsentation der Präferenzen 183 3.3.2.3 Die Forderung der Linearität in a 184 3.3.3 Die Eigenschaften und Bedeutung der zugrundeliegenden Menge. 186
3.3.3.1 Analyse und Abgrenzung der formalen Konzepte: Mixture Set, Wahrscheinlichkeitsmaß, konvexe Menge - das nullte Axiom 187 3.3.3.2 Das formale Entscheidungskonzept als Wahl aus einer Menge von Lotterien, Wahrscheinlichkeitsmaßen und Mixture Sets 189 3.3.3.3 Konvexe Mengen 191 3.3.3.4 Mixture Sets 192 3.3.3.5 Mixture Set-Identität 193 3.3.3.6 Mixture Set-Indifferenz 194 3.3.3.7 Mixture Set-Identität versus Mixture Set-Indifferenz.. 195 3.3.3.8 Wahrscheinlichkeitsmaße 196 3.3.4 Eine vergleichende Abgrenzung der verschiedenen Konzepte zur Modellierung einer Alternativenmenge 202 3.3.4.1 Mixture Set und konvexe Menge 202 3.3.4.2 Compound Lotteries 206 3.3.4.3 Wahrscheinlichkeitsmaße und konvexe Menge 207 3.3.4.4 Ein anschauliches Beispiel konvexer Kombinationen von Wahrscheinlichkeitsmaßen 208 3.3.4.4.1 Einfache konvexe Kombinationen von Wahrscheinlichkeitsmaßen 210 3.3.4.4.2 Abzählbare konvexe Kombinationen von Wahrscheinlichkeitsmaßen 211 3.3.4.5 Die zugrundeliegende Ergebnismenge 212 3.3.5 Abschließende Bemerkung 214 3.4 Von Neumann und Morgenstern Erwartungsnutzentheorie - Analyse der Axiome und Beweise 215 3.4.1 Das zentrale Theorem der Erwartungsnutzentheorie und die einzelnen Axiome 215 3.4.1.1 Eine erste Betrachtung des zentralen Theorems der Erwartungsnutzentheorie 218 3.4.1.2 Alternative Axiomatiken der numerischen Repräsentation 218 3.4.2 Die Ordnungsannahmen 220 3.4.2.1 Konnexität von Präferenzen 222 3.4.2.2 Transitivität von Präferenzen 224 3.4.3 Die Archimedische Annahme 227
3.4.4 Die Unabhängigkeitsannahme 231 3.4.4.1 Historie und Fehlinterpretation 232 3.4.4.2 Ellsbergs und Allais Kritik 234 3.4.5 Die zugrundeliegenden Mengen und eine alternative Formulierung 241 3.4.6 Die Herleitung der Erwartungsnutzenfunktion 243 3.4.6.1 Einige zentrale Zwischenergebnisse 245 3.4.6.2 Die Nutzenfunktion unter Unsicherheit 255 3.4.6.3 Existenz einer eindeutigen reellen Zahl u(p) 256 3.4.6.4 Numerische Repräsentation 257 3.4.6.5 Die Erwartungsnutzeneigenschaft - Linearität 257 3.4.6.5.1 Linearität über eine abgeschlossene Menge... 257 3.4.6.5.2 Linearität bei Erweiterung einer abgeschlossenen Menge 258 3.4.6.6 Positive affine Transformation und Kardinalität 260 3.4.6.7 Linearität bei positiver affiner Transformation 261 3.4.6.8 Numerische Repräsentation der Trägermenge und Erwartungsnutzeneigenschaft 262 3.4.6.9 Numerische Repräsentation durch beste und schlechteste Lotterien bei endlicher Menge 264 3.4.7 Abschließende Bemerkungen zu diesem Kapitel 264 3.5 Beschränktheit und Erwartungsnutzenform über die Ergebnismenge... 265 4 Schlusswort 275 A Anhang 277 A.l St. Petersburg-Spiel : Nullfolge und Konvergenzkriterien 277 A.2 Beschränktheit, notwendige und hinreichende Bedingung 280 B Literaturverzeichnis 283