Lehrstuhl für Statstk und emprsche rtschaftsforschung, SS 009 ach: Prüfer: Bachelorprüfung Praxs der emprschen rtschaftsforschung Prof. Regna T. Rphahn, Ph.D. Name, Vorname Matrkelnr. E-Mal Studengang Semester Datum Raum, Platz Unterschrft Vorbemerkungen: Anzahl der Aufgaben: De Klausur besteht aus 6 Aufgaben, de alle bearbetet werden müssen. Bewertung: Erlaubte Hlfsmttel: chtge Hnwese: Es können maxmal 90 Punkte erworben werden. De maxmale Punktzahl st für jede Aufgabe n Klammern angegeben. Se entsprcht der für de Aufgabe empfohlenen Bearbetungszet n Mnuten. ormelsammlung (st der Klausur begefügt) Tabellen der statstschen Vertelungen (snd der Klausur begefügt) Taschenrechner remdwörterbuch Sollte es vorkommen, dass de statstschen Tabellen, de deser Klausur belegen, den exakten ert der rehetsgrade ncht auswesen, machen Se des kenntlch und verwenden Se den nächstgelegenen ert. Sollte es vorkommen, dass be ener Berechnung ene erforderlche Informaton fehlt, machen Se des kenntlch und treffen Se für den fehlenden ert ene plausble Annahme. 1/10
Aufgabe 1: [14 Punkte] De Bldungsrendte wrd auf Bass ener Stchprobe vom Umfang 1045 für männlche Erwerbstätge mt folgenden Regressonsfunktonen emprsch analysert. Modell 1: Modell : Dabe st: wage educ exper IQ IQfather logwage educ exper IQ logwage educ exper IQ IQfather Stundenlohn n US-Dollar Schul- und Berufsausbldung n Jahren Berufserfahrung n Jahren Intellgenzquotent n Punkten Intellgenzquotent des Vaters n Punkten Der Regressonsoutput von SPSS st n folgender Tabelle zusammengefasst. Modell 1 Modell Koeffzent Standardfehler Koeffzent Standardfehler educ 0.078 0.007 0.078 0.007 exper 0.050 0.004 0.050 0.004 IQ 0.008 0.001 0.008 0.006 IQfather -- -- -0.003 0.006 Konstante 4.375 0.19 4.374 0.19 SSE 36.0 36.07 SSR 155.56 155.51 SST 191.58 191.58 a) Interpreteren Se den Effekt enes weteren Jahres Schul- und Berufsausbldung aus Modell 1 nhaltlch, wenn de anderen Varablen m Modell konstant gehalten werden. ( Punkte) Log-level Modell: En weteres Jahr Ausbldung brngt ceters parbus m Durchschntt ene Rendte n Höhe von 7,8%. b) Das angepasste Bestmmthetsmaß für Modell 1 beträgt 0,1857. Berechnen Se für Modell und beurtelen Se, ob de Aufnahme der Varable IQfather den Erklärungsgehalt des Modells verbessert. (4 Punkte) Modell : Adj. R^=1-SSR/SST*(n-1)/(n-k-1)=1-155,51/191,58*(1045-1)/(1045-4-1)=0,1851 Der Erklärungsgehalt erhöht sch durch de Aufnahme der zusätzlchen Varable ncht. c) Der Parameterschätzer für n Modell west enen p-ert von 0,55 auf. Erläutern Se anhand deses ertes de statstsche Sgnfkanz des Effekts. ( Punkte) De H 0 : 0 kann verworfen werden, wenn. Be p=0,55 st der Parameter jedoch auf jedem relevanten Sgnfkanznveau (1%, 5%, 10%) nsgnfkant. d) Erläutern und begründen Se formal, nwefern de Aufnahme der Varable IQfather n das Modell de Präzson der Schätzergebnsse für verschlechtern könnte. erden Ihre Überlegungen durch den Regressonsoutput bestätgt? (6 Punkte) Standardfehler von : - Der Parameter wrd durch de Berückschtgung der rrelevanten Varable IQfather mt zu großer Varanz bzw. zu großem Standardfehler geschätzt. /10
- ormale Begründung: Es glt se /SST 1. Dabe st das Bestmmthetsmaß ener Regresson von IQ auf alle anderen erklärenden Varablen. Da IQ und IQfather wohl hoch mtenander korreleren, dürfte n Modell deutlch größer sen als n Modell 1. olglch wrd der Standardfehler größer geschätzt. - Der Regressonsoutput bestätgt des: Der Standardfehler des Parameterschätzers der Varable IQ wrd n Modell sechs mal so groß geschätzt. Aufgabe : [1 Punkte] Se nteresseren sch für de Determnanten des Geburtsgewchts von Säuglngen. ür Ihre Analyse stehen Ihnen folgende Informatonen für 1388 Neugeborene zur Verfügung: bweght Gewcht enes Kndes be der Geburt n Pfund cgs Anzahl der von der Mutter während der Schwangerschaft durchschnttlch gerauchten Zgaretten pro Tag feduc Schulausbldung des Vaters n Jahren meduc Schulausbldung der Mutter n Jahren male = 1 wenn männlch, = 0 sonst east = 1 wenn Eltern aus den neuen Bundesländern stammen, = 0 sonst ür de Grundgesamthet wrd folgendes Modell unterstellt: bweght = β0 1cgs feduc 3meduc 4male 5east + u Ene Schätzung n SPSS ergbt: Modell R R-Quadrat Modellzusammenfassung Korrgertes R- Quadrat Standardfehler des Schätzers 1,15 a,046,04 1,3195 a. Enflußvarablen : (Konstante), cgs, male, feduc, meduc, east Koeffzenten a Modell Ncht standardserte Koeffzenten Standardserte Koeffzenten Regressonskoeffz entb Standardfehler Beta 1 (Konstante) 7,013,7 30,83,000 cgs -,037,007 -,159-5,459,000 feduc,03,017,070 1,866,06 meduc -,01,019 -,040-1,06,88 male,8,07,090 3,183,001 east,303,099,087 3,061,00 a. Abhängge Varable: bweght T Sg. a) Interpreteren Se nhaltlch und bestmmen Se das zugehörge 99% Konfdenzntervall. (5 Punkte) Raucht de Mutter durchschnttlch ene Zgarette mehr am Tag während der Schwangerschaft, reduzert sch c.p. das erwartete Geburtsgewcht hres Kndes um 0,037 Pfund. KI = [ ˆ β ( ˆ 1 tα /, n k 1 se β1); ˆ β ( ˆ 1 + tα /, n k 1 se β1)] KI = [ 0.037,576 0,007; 0,037 +,576 0,007] = [ 0,055; 0,019] b) as versteht man unter dem sogenannten Dummy Varable Trap? Zegen Se anhand der Varanzformel für den KQ-Schätzer, welche olge für de Schätzung der Koeffzenten zu erwarten st. (4 Punkte) 3/10
Entsteht, wenn be ener abschleßenden Anzahl von Kategoren für en Merkmal für jede Kategore en Dummy n das Modell aufgenommen wrd und sch zusätzlch ene Konstante m Modell befndet. 1 n Varanzformel der Dummykoeffzenten wrd 1 (perfekte Multkollneartät). Schätzer snd ncht mehr zu dentfzeren, da Varanz gegen unendlch geht. c) e könnten Se durch das Enfügen ener zusätzlchen Varable testen, ob Jungs, deren Eltern aus Ostdeutschland stammen sgnfkant schwerer snd als Jungs, deren Eltern aus estdeutschland stammen? ( Punkte) Interaktonsterm male*east enfügen und statstsche Sgnfkanz des Koeffzenten überprüfen. d) Snd de beden Varablen feduc und meduc jewels am 5% Nveau sgnfkant? Begründen Se kurz. arum st es snnvoll, de beden Varablen n enem -Test gemensam zu testen? (4 Punkte) Nen, da de p-erte beder Varablen größer 0,05 snd. Schulausbldung der Mutter und Schulausbldung des Vaters u. U. korrelert. Des wrd bem t-test ncht berückschtgt. e) ühren Se für de beden Varablen feduc und meduc den -Test am 5% Sgnfkanznveau durch. Verwenden Se herfür zusätzlch untenstehenden Output. Es snd Null- und Alternatvhypothese, Teststatstk, krtscher ert, rehetsgrade und Testentschedung anzugeben. (6 Punkte) Modell R R-Quadrat Modellzusammenfassung Korrgertes R- Quadrat Standardfehler des Schätzers 1,09 a,044,04 1,453 a. Enflußvarablen : (Konstante), east, cgs, male b. Abhängge Varable: bweght - Hypothesen: : 0 : - Teststatstk: / =,,/ =1,45 /,/ - Krtscher ert: ;,,;, 3,00 - Verglech Teststatstk mt krtschem ert: 1,45<3,00 Testentschedung: De Nullhypothese kann am 5% Sgnfkanznveau ncht verworfen werden. De Parameter snd auch gemensam ncht sgnfkant von Null verscheden. Aufgabe 3: [8 Punkte] Das Engelsche Gesetz besagt, dass de Ausgaben für Ernährung vom Haushaltsenkommen abhängen. Se versuchen, dese ökonomsche Hypothese n enem Modell darzustellen. Ihr Datensatz enthält folgende Varablen für 58 Haushalte: consum wöchentlche Ausgaben für Ernährung (n ) wage wöchentlches Enkommen (n ) wage quadrertes wöchentlches Enkommen Se schätzen das Modell und erhalten folgenden SPSS-Output: 4/10
Modell Koeffzenten a Ncht standardserte Koeffzenten Standardserte Koeffzenten Regressonskoeff zentb Standardfehler Beta 1 (Intercept) 50,87 14,81 3,395,001 wage 1,393,096,5 14,566,000 wage -0,0014,000-1,98-8,495,000 a. Abhängge Varable: consum a) Be welchem Enkommen snd de durchschnttlchen Ernährungsausgaben maxmal? (3 Punkte) 0,, 569,04 De durchschnttlchen Ernährungsausgaben errechen hr Maxmum be enem wöchentlchen Enkommen von 569,04. b) Bestmmen Se de margnalen Effekte für Enkommen von 70 und 500 und nterpreteren Se dese. (3 Punkte) 1,393 0,0014 70 0,73 Ene Erhöhung des wöchentlchen Enkommens um enen auf enem Enkommensnveau von 70 pro oche erhöht c.p. de durchschnttlchen wöchentlchen Ausgaben für Ernährung um 0,73. 1,393 0,0014 500 0,169 Ene Erhöhung des wöchentlchen Enkommens um enen auf enem Enkommensnveau von 500 pro oche erhöht c.p. de durchschnttlchen wöchentlchen Ausgaben für Ernährung um 0,169. c) ormuleren Se das Modell um, sodass Ihnen der geschätzte Lohn-Koeffzent ene Elastztät angbt. ( Punkte) T Sg. Aufgabe 4: [1 Punkte] De USA mportert ene Chemkale aus 31 verschedenen Ländern. Ene Gruppe von 6 Ländern hat enen Zoll auf den Chemkalenexport. Der Datensatz beschrebt de Handelsbezehung der USA zu jedem der 31 Länder und benhaltet folgende Varablen: vol Importvolumen der Chemkale aus Land n Tonnen prod Volumen der Produkton der Chemkale m Land n Tonnen dst Dstanz zwschen den USA und dem Land n km wk echselkurs (Dollar gegenüber ährung n Land ) zoll Dummy-Varable; 1 = Land verlangt Zoll, 0 = sonst Se schätzen zunächst das Modell log( vol) = β0 1log( prod) log( dst) 3log( wk) + u und erhalten folgenden Output: Modell: n=31; SSR=44,74; SST=63,534; R =0,304 5/10
Koeffzenten a RegressonkoeffzentB Standardfehler T Sg. log(prod) 3,107,474 6,56 0,000 log(dst) -,14,897-0,4 0,81 log(wk),993,37,68 0,008 Konstante -18,01 0,834-0,87 0,384 a. Abhängge Varable: log(vol) a) Interpreteren Se das Schätzergebns für β statstsch und nhaltlch. ( Punkte) 1% größere Entfernung zwschen den beden Ländern st ceters parbus korrelert mt enem Importrückgang von 0,14%. Der Parameterschätzer st statstsch ncht sgnfkant von null verscheden. b) Um zu prüfen, ob sch de Handelsbezehungen für Länder mt und ohne Zoll unterscheden, führen Se enen Chow-Test durch. Dazu schätzen Se nach dem gepoolten Modell zwe wetere Modelle, welche Ihnen folgende Informaton lefern: Modell für zoll=1: n=6; SSR=0,69; SST=,50; R =0,71 Modell für zoll=0: n=5; SSE=19,19; SST=61,84; R =0,313 ühren Se enen Chow-Test durch. Geben Se Nullhypothese, Teststatstk, rehetsgrade, den krtschen ert und Ihre Testentschedung an. (7 Punkte) H0 : β jzoll, = 0 = β jzoll, = 1 j = 0,...,3 H1: H0 falsch [ SSRP ( SSR1 + SSR)]/( k + 1) = ( SSR + SSR )/[ n ( k + 1)] 1 : 61,84 19.19 4,09,,,/,,/ ;;%,80, 0,090, H 0 kann ncht verworfen werden, da < c. c) Geben Se ene alternatve Vorgehenswese für den Chow-Test an, um mt nur enem Modell Unterschede n den Importdetermnanten für Länder mt und ohne Zoll untersuchen und testen zu können. Stellen Se de unrestrngerte Schätzglechung dar. (3 Punkte) -vollständg nteragertes Modell mt Zoll und -Test auf gemensame Sgnfkanz der Interaktonsterme. -Schätzglechung: log( vol) = β0 1log( prod) log( dst) 3log( wk) + zoll zoll log( prod) zoll log( dst) zoll log( wk) + u 4 5 6 7 6/10
Aufgabe 5: [1 Punkte] ahr oder falsch? Tragen Se für jede der folgenden Aussagen en w für wahr oder en f für falsch en. ür jede rchtge Antwort gbt es 0,5 Punkte, für jede falsche Antwort werden 0,5 Punkte abgezogen. De Gesamtpunktzahl kann ncht negatv werden. Mttelwerte snd stärker von Ausreßern beenflusst als Medanwerte. De Normalvertelung mt enem Erwartungswert von 1 bezechnet man als Standardnormalvertelung. Der LM-Test kann zum Testen mehrerer lnearer Restrktonen genutzt werden. Ist de Annahme MLR6 verletzt, glt de BLUE-Egenschaft ncht mehr. Der mt der KQ-Methode geschätzte Parameter st ene Zufallsvarable. Be Regressonen durch den Ursprung hat der Stegungsparameter den ert ens. De Annahme E(u x)=0 mplzert Cov(x,u)=0. De Standardabwechung ener Konstanten st 1. En Schätzer st konsstent, wenn mt zunehmender Stchprobengröße de Varanz des Schätzers stegt. Egenschaften des KQ-Schätzers, de nur für ene große Stchprobe (n ) defnert snd, nennt man asymptotsche Egenschaften. De χ²-vertelung nmmt nur postve erte an und st ncht symmetrsch. Zufallsvarablen snd..d., wenn se statstsch unabhängg und mt der glechen Dchtefunkton vertelt snd. De Nullhypothese : kann mttels t-test getestet werden. En von ens bedeutet, dass de Resduen alle den ert null annehmen. Durch Umskalerung ener der erklärenden Varablen können de Effekte der anderen Varablen verzerrt werden. De Resduen ener Regresson berechnen sch als Dfferenz zwschen tatsächlchen und vorhergesagten erten für de abhängge Varable. Be perfekter Multkollneartät geht de Störtermvaranz gegen unendlch. Ändern sch de Koeffzenten ener KQ-Schätzung be Aufnahme ener zusätzlchen Varablen waren de Schätzer m Ausgangsmodell unter Umständen verzerrt. De Aufnahme rrelevanter Varablen verzerrt de Koeffzenten der anderen Regressoren. Das Gauss-Markov Theorem besagt, dass der KQ-Schätzer be Gültgket der Annahmen MLR1-MLR5 unter allen lnearen, unverzerrten Schätzverfahren de klenste Varanz hat. Be ener Regresson durch den Ursprung verläuft de Regressonsgerade stets durch den Mttelwert der Daten,. enn de Störtermvaranz ncht konstant st, ergeben sch verzerrte KQ-Schätzer. Messfehler n ener der erklärenden Varablen können dazu führen, dass de Koeffzenten verzerrt snd. De Verwendung von Polynomen höherer Ordnung ener erklärenden Varablen führt zu perfekter Multkollneartät. Der KQ-Schätzer m enfachen lnearen Regressonsmodell entsprcht dem Verhältns der Stchprobenkovaranz zwschen erklärender und abhängger Varable zur Stchprobenvaranz der erklärenden Varablen. Je klener 1-α, desto enger st en Konfdenzntervall. Der p-ert m -Test auf Gesamtsgnfkanz enes Modells beschrebt de ahrschenlchket be ener -vertelten Zufallsvarable enen größeren ert als den der errechneten Teststatstk zu fnden. En Typ ehler wrd begangen, wenn ene falsche H 0 ncht verworfen wrd. In enem Test auf Gesamtsgnfkanz enes Modells werden so vele Restrktonen getestet we sch erklärende Varablen m Modell befnden. Legt der krtsche ert enes zwesetgen t-tests genau am 90. Perzentl der t n-k-1 Vertelung, wurde en Sgnfkanznveau von 90 Prozent gewählt. Der krtsche ert enes zwesetgen t-tests st be glechem Sgnfkanznveau stets größer als der enes ensetgen t- Tests. Je höher das, desto eher trfft de Annahme E(u x) = 0 zu, da de Modellanpassung an de Daten besser st. En Chow-Test kann über getrennte Schätzungen für zwe Gruppen durchgeführt werden. Over-controllng legt vor, wenn zu vele abhängge Varablen n ener Glechung berückschtgt werden. In Regressonsfunktonen können nur quanttatve Varablen analysert werden, da de Mttelwerte von qualtatven Varablen ncht snnvoll nterpretert werden können. 7/10
Mt Interaktonseffekten können für unterschedlche Gruppen verschedene Stegungsparameter bestmmt werden. En lneares ahrschenlchketsmodell kann vorhergesagte erte außerhalb des [0;1] Intervalls genereren. Ene Dummy-Varable wrd n Bezug auf ene Referenzgruppe nterpretert. Ausreßer-Beobachtungen können durch Logarthmerung der betroffenen Varable an Enfluss verleren. Varablen mt Ausprägungen 0 werden n ökonometrschen Modellen häufg logarthmert. De Effekte von standardserten Varablen können ncht drekt mtenander verglchen werden. Interaktonsterme werden stets n zweter Potenz ns Schätzmodell ntegrert. Aufgabe 6: [14 Punkte] elche Antwort st rchtg? Kreuzen Se nur ene Antwort pro Aufgabe an. alls mehrere Aussagen korrekt snd, kreuzen Se nur de entsprechende Antwortkombnaton an. ür jede rchtge Antwort gbt es 1 Punkt. ür falsche Antworten werden kene Punkte abgezogen. 1. En Intervallschätzer a st be sonst glechen Bedngungen für en Sgnfkanznveau von 0,05 breter als für en Sgnfkanznveau von 0,1. b wrd unter Verwendung der geschätzten Varanz des Störterms berechnet. c lefert nur für Querschnttsdaten en nterpreterbares Ergebns. d wrd enger, wenn der zugehörge Punktschätzer snkt. e a und b. f c und d.. Der Effekt enes Regressors m Modell st be negatver Korrelaton mt ener ausgelassenen erklärenden Varable a unterschätzt, wenn de ausgelassene Varable enen postven Effekt auf y hat. b überschätzt, wenn de ausgelassene Varable enen negatven Effekt auf y hat. c unterschätzt, wenn de ausgelassene Varable enen negatven Effekt auf y hat. d a und b. e a und c. f kene der Antworten. Be welchen der folgenden Modelle st aufgrund hrer Spezfkaton mndestens ene der Gauss-Markov Annahmen zum lnearen Regressonsmodell verletzt? 3. a log( y ) = β log( x) + log( x ) + u b 0 1 β log( y ) = β 0 1 log( x) [log( x)] + u c y β + x + u = 0 β 1 d y = β 0 1x1 x1 + u e a und c. f a und d. 4. De Varanz des KQ-Schätzers β1 st ceters parbus umso klener, je a größer de Varanz der Störterme st. b größer der Stchprobenumfang n st. c klener de Streuung der erklärenden x Varablen. d größer de Streuung der abhänggen y Varable. e a und c. f kene der genannten Antworten. 8/10
5. Der Zusammenhang zwschen zwe Varablen a wrd mt dem Standardfehler gemessen. b wrd mt dem Korrelatonskoeffzenten als lnearer Zusammenhang gemessen. c wrd nur mt expermentellen Daten verlässlch gemessen. d wrd mt der Standardabwechung gemessen. e a und b. f a und d. En unter den Gauss-Markov Annahmen unverzerrter Schätzer für de Varanz der Störterme u m Modell 6. y = β0 1x + u st a b c E( u u) d e f kene der genannten Antworten. 7. De Annahme ~..., mplzert unter anderem, dass a E( μ ) = 0 b Var( μ) = σ c Var( x) = σ d E( μ ) = x e a und b. f c und d. 8. Bem Umskaleren der abhänggen Varable m Modell y = β 0 1x + u ändern sch a de geschätzten Koeffzenten ncht. b de Standardfehler. c de t-statstken ncht. d de -Statstk. e a und d. f b und c. 9. Der p-ert n enem ensetgen t-test mt H 1 : β 1 > 0 a st das Sgnfkanznveau des Tests, n dem der emprsche t-ert glech dem krtschen ert der t- Vertelung st. b kann ncht größer 1 sen. c gbt de ahrschenlchket an, dass de t-vertelung enen ert annmmt, der größer st als der berechnete t-ert. d a und b. e a, b und c. f kene der Antworten. 10. Das angepasste Bestmmthetsmaß a kann ncht snken, wenn zusätzlche Varablen n das Modell aufgenommen werden. b stegt, sobald der Betrag der t-statstk ener zusätzlch aufgenommenen Varable 1 st. c kann ncht negatv werden. d hat de gleche Interpretaton we das Bestmmthetsmaß. e a und c. f b und d. 9/10
11. Dummy-Varablen a nehmen nur erte zwschen 0 und 1 an. b nehmen typscherwese de Ausprägungen 0 und 1 an. c können mehr als zwe Ausprägungen haben. d snd für qualtatve Informatonen ncht defnert. e a, b, c und d. f kene der Antworten. 1 Der Typ ehler a wrd begangen, wenn ene falsche H 0 ncht verworfen wrd. b wrd begangen, wenn ene wahre H 0 verworfen wrd. c entsprcht der ahrschenlchket 1-α. d entsprcht dem Sgnfkanznveau α. e Antworten a und c snd zutreffend. f Antworten a, b, und d snd zutreffend. De H 13. 0 : β 1 = β = β 3 = 0 n enem -Test auf dem 5% Sgnfkanznveau für en Modell mt Konstante (19 Beobachtungen) a wrd verworfen, wenn de Anzahl der Regressoren seben und = 3,58 beträgt. b wrd verworfen, wenn de Anzahl der Regressoren seben und = 7,0 beträgt. wrd verworfen, wenn de Beobachtungszahl auf 100 stegt, de Anzahl der Regressoren seben und = c,7 beträgt. d a und c. e b und c. f kene der Antworten. 14. Der KQ-Schätzer a mnmert de Summe der quadrerten vertkalen Abwechungen von der Regressonsgeraden. b mnmert de Resduenquadratsumme. c mnmert den unerklärten Tel der Streuung n der abhänggen Varable. d maxmert. e a und b. f Alle Antworten snd zutreffend. 10/10