Kapitel 4 Differetialrecug 4. Ableitug eier differezierbare Fuktio Die Ableitug eier Fuktio ist der zetrale Begriff der Differetialrecug. Diese Teorie wurde uabägig voeiader vo Leibiz ud Newto begrüdet. Ma ka die Ableitug geometrisc, aalytisc ud pysikalisc iterpretiere ud sic auf diesem Weg vielfältige Aweduge sowol i der reie Matematik als auc i de Naturwissescafte erscließe. Defiitio: Sei eie Fuktio f auf eiem offee Itervall I R defiiert ud x 0 I. Die Fuktio f et ma differezierbar oder ableitbar im Pukt x 0 we der sogeate Differezequotiet f(x) x : f(x) f(x 0) f(x 0 + ) f(x 0 ) x x 0 für x x 0 bzw. 0 eie (edlice!) Grezwert at, welcer da mit f (x 0 ) bezeicet wird. Ist f i alle Pukte aus I differezierbar, wird die Zuordug x f (x) die Ableitug vo f geat. Alterative Bezeicuge für die Ableitug f (x) sid f(x), df(x) dx ud d dx f(x). De Ker dieser Defiitio ka ma i der folgede Formel zusammefasse: f (x) df(x) dx d f(x) f(x 0 ) f(x 0 + ) f(x 0 ) f(x) : dx x x 0 x x 0 0 Satz: Ist eie Fuktio f : I R i eie Pukt x 0 I ableitbar, da ist sie auc stetig i x 0. Beweis: Zu zeige ist x x0 f(x) f(x 0 ) oder äquivalet dazu x x0 (f(x) f(x 0 )) 0. Durc Erweiter mit (x x 0 ) ka ma diese zweite Grezwert auf die Ableitug zurückfüre: (f(x) f(x 0 )) x x 0 (f(x) f(x 0 ))(x x 0 ) x x 0 x x 0 (f(x) f(x 0 )) (x x 0 ) x x 0 (x x 0 ) x x 0 f (x 0 ) 0 0 Actug: Stetigkeit ist keie ireicede Voraussetzug für die Differezierbarkeit. Davo ka ma sic leict überzeuge, we ma die Betragsfuktio f(x) x a der Stelle x 0 0 betractet. Offesictlic ist f überall stetig, aber für x 0 0 at der Differezequotiet f(x) f(x 0 ) x x 0 de liksseitige Grezwert ud de rectsseitige Grezwert, es gibt also 49
keie Grezwert ud damit keie Ableitug i diesem Pukt. Die folgede geometrisce Iterpretatio der Ableitug gibt eie etwas ascaulicere Erklärug für dieses Veralte. Geometrisce Deutug der Ableitug Ist eie Fuktio f : I R i eie Pukt x 0 I ableitbar, da ka ma a der Stelle (x 0,f(x 0 )) eideutig eie Tagete a de Fuktiosgrape vo f alege ud die Ableitug f (x 0 ) repräsetiert de Astieg dieser Tagete. Diese Iterpretatio resultiert aus der Tatsace, das für jedes x x 0 der Differezequotiet f(x) de Astieg der Gerade durc die zwei Pukte (x 0,f(x 0 )) ud (x,f(x)) (i der Abbildug gestricelt) bescreibt. Diese Gerade ist eie Sekate des Fuktiosgraps ud durc die Grezwertbildug x x 0 wird die Sekate zur Tagete ud der Differezequotiet get gege die Ableitug f (x 0 ). x f(x) f(x 0) x x 0 f (x) f (x ) 0 x f (x) x 0 x Aalytisce Deutug der Ableitug Ma ka mit Hilfe der Ableitug f (x 0 ) das Veralte der Fuktio i eier (kleie) Umgebug vo x 0 approximiere: f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 )) Diese Approximatio wäre eie Idetität, we ma a Stelle vo f (x 0 ) de Differezequotiete f(x) f(x 0) x x 0 eisetze würde. Da f (x 0 ) der Grezwert des Differezequotiete für x x 0 ist, gilt diese Approximatio i eier Umgebug vo x 0. Pysikalisce Deutug der Ableitug I der Pysik wird die Ableitug eier i der Zeit veräderlice Größe äufig zur Bescreibug eier eue pysikalisce Größe verwedet. Betractet ma beispielsweise de vo eiem fallede Gegestad zurückgelegte Weg s(t) als eie vo der Fallzeit t abägige Größe, da bescreibt der Differezequotiete s(t) s(t 0) t t 0 die Durcscittsgescwidigkeit zwisce de Zeitpukte t 0 ud t ud folglic carakterisiert die Ableitug f (t) ds(t) dt die Mometagescwidigkeit zum Zeitpukt t. Beispiele: Die Ableituge eiiger Stadardfuktioe köe direkt a Had der Defiitio bestimmt werde: ) Die Ableitug eier kostate Fuktio f(x) c ist f (x) 0 ud die Ableitug der idetisce Fuktio g(x) x ist g (x). c c (x + ) x 0 ud 0 0 0 50
2) Die Ableitug der Fuktio f(x) x ist f (x) x. Ma ka das mit Iduktio über ud der Produktregel (äcster Satz) beweise, aber auc mit dem folgede direkte Argumet uter Verwedug des Biomisce Satzes: (x + ) x 0 0 ( ( i0 i ) x i i) x i2 (x + x + 0 [ ( x + 0 i i2 x + 0 x ( ) i x i i x )x i i 2 ] 3) Die Ableitug der Wurzelfuktio f(x) x ist f (x) 2 x. x + x (x + ) x 0 0 ( x + + x) 0 x + + x 2 x 4) Zur Ableitug der Siusfuktio verwedet ma das Additiosteorem sowie die Grezwerte x 0 x si x cos x ud x 0 x 0 (kleie Übug): si si (x + ) six si x cos + si cos x six x 0 0 si x cos + cos x si 0 0 (si x) 0 + cos x cos x Um die Ableituge vo weitere Fuktioe zu bestimme, verwedet ma vor allem die folgede zwei Sätze. Satz (Differetiatiosregel): Sei I ei offees Iteravll, f, g : I R differezierbar auf I ud c R, da sid auc die folgede Verküpfuge vo f ud g differezierbar ud es gilt: [f(x) + g(x)] f (x) + g (x) [c f(x)] c f (x) [f(x) g(x)] f (x) g(x) + f(x) g (x) [ ] f(x) f (x) g(x) f(x) g (x) g(x) (g(x)) 2 für alle x I mit g(x) 0 Beweis: Die Herleitug der erste zwei Regel ist trivial, für die Produktregel reict ei eifacer Trick, mit de eie additive Null eigescobe wird, ud die Nutzug der Stetigkeit vo g: [f(x) g(x)] 0 f(x + )g(x + ) f(x)g(x) f(x + )g(x + ) f(x)g(x + ) + f(x)g(x + ) f(x)g(x) 0 f(x + ) f(x) g(x + ) g(x) g(x + ) + f(x) 0 0 f (x) g(x) + f(x) g (x) 5
[ ] Zum Beweis der Quotieteregel beweist ma g(x) g (x) durc: (g(x)) 2 0 g(x+) g(x) 0 g(x) g(x + ) g(x + ) g(x) 0 ud wedet da die Produktregel auf [ f(x) g(x)] a. g(x) g(x + ) 0 g(x + ) g(x) g (x) (g(x)) 2 Satz (Ketteregel): Seie g : I R ud f : I R Fuktioe, so dass g i x 0 I ud f i g(x 0 ) I differezierbar sid, da ist die verkettete Fuktio fg(x) f(g(x)) differezierbar i x 0 ud es gilt (fg) (x 0 ) f (g(x 0 )) g (x 0 ). Beweis: Die alterative Formulierug dieses Satzes lautet df dx df dz dz wobei ma z g(x) setzt. dx Dari ist bereits die Beweisidee etalte: Ei eifaces Kürze des Differetials dz - wie diese Formel suggeriert - ist ict korrekt, aber we ma diese Idde des Kürzes auf die Differezequotiete überträgt ud die Stetigkeit der Fuktio g beactet, ergibt sic ei Beweis des Satzes. fg(x 0 + ) fg(x 0 ) (fg(x 0 + ) fg(x 0 )) (g(x 0 + ) g(x 0 )) 0 0 (g(x 0 + ) g(x 0 )) f (g(x 0 ))g (x) Aweduge: ) Die Ableitug der Fuktio f(x) x 3 2 x x ka ma mit der Produktregel bestimme: f (x) x + x 3 x x 2 2) Die Ableitug der Cosiusfuktio ka ma mit Hilfe der Ketteregel auf die Ableitug der Siusfuktio zurückfüre. Wege cos x si x + π 2 setzt ma g(x) x+ π 2 ud f(y) si y: cos x (si (x + π 2 )) cos (x + π 2 ) si x 3) Mit der Quotieteregel ka ma jetzt die Ableituge vo Tages ud Cotages ausrecee: ta x ud aalog cot (x) si 2 x. Höere Ableituge cos cos six ( cos x) cos 2 x cos2 x + si 2 x cos 2 x cos 2 x Ist eie Fuktio f : I R differezierbar über I, da ka ma auc die Ableitug f : I R auf Differezierbarkeit utersuce. We die Ableitug der Ableitug existiert, et ma das die zweite Ableitug vo f ud ka diese Prozess so lage wiederole, wie die Ableitug der k-te Ableitug existiert. Für diese öere Ableituge werde die folgede Notatioe verwedet: f (0) (x) : f(x) f () (x) f (x) : d dx f(x) f (2) (x) f (x) : d dx f (x) d2 dx 2f(x) f (k) (x) : d dx f(k ) (x) dk dx k f(x) 52
4.2 Mittelwertsatz der Differetialrecug Defiitio: Sie f : D R eie Fuktio, die auf eiem Bereic D R defiiert ist. f at im Pukt x 0 D ei globales Maximum (bzw. globales Miimum), falls für alle x D die Ugleicug f(x) f(x 0 ) (bzw. f(x) f(x 0 )) erfüllt ist. f at im Pukt x 0 D ei lokales Maximum (bzw. lokales Miimum), falls ei ε > 0 existiert, so dass für alle x D mit x x 0 ε die Ugleicug f(x) f(x 0 ) (bzw. f(x) f(x 0 )) erfüllt ist. Ma verwedet de Begriff Extremstelle als Oberbegriff für lokales Miimum ud lokales Maximum. Satz: Sei f eie auf eiem offee Itervall I differezierbare Fuktio, ud x 0 I eie lokale Extremstelle, da ist f (x 0 ) 0. Beweis: Ageomme, f at i x 0 ei lokales Maximum ud f(x 0 ) f(x) für alle x I mit x x 0 < ε. Da ist f(x 0 + ) f(x 0 ) 0 für alle < ε. Da f i x 0 differezierbar ist, existiert der Grezwert des Differezequotiete f(x 0+) f(x 0 ) für 0. Da der Zäler des Differezequotiete für kleie Werte vo ict positiv werde ka, etstee bei der Betractug des liksseitige bzw. rectsseitige Grezwerts ( 0 bzw. 0+ ) immer Werte 0 (bzw. 0). Da aber liks- ud rectsseitiger Grezwert gleic sei müsse, ergibt sic 0 0 f(x 0 + ) f(x 0 ) 0+ f(x 0 + ) f(x 0 ) 0 f (x 0 ) 0 Der Beweis für lokale Miima ist aalog, mit dem eizige Uterscied, dass der Zäler des Differezequotiete für kleie Werte vo ict egativ werde ka. Mittelwertsatz: Sei f : [ab] R eie Fuktio, die stetig auf [a,b] ud differezierbar auf (a,b) ist, da gibt es ei x 0 (a,b), so dass der Astieg der Tagete i (x 0,f(x 0 )) mit dem durcscittlice Astieg der Fuktio im Iterval [a,b] übereistimmt, d.. f (x 0 ) b a f(b) f(a) a x b 0 Beweis: Wir beweise zuerst eie Spezialfall - auc als Satz vo Rolle bekat - bei dem f(a) f(b) vorausgesetzt wird. I diesem Fall ist 0 ud folglic muss ei x 0 (a,b) mit f (x 0 ) 0 gefude werde. Als stetige Fuktio auf [a,b] muss die Fuktio f ei globales Maximum M ud ei globales Miimum m aeme. Es reict aus zu wisse, dass eie dieser Extremstelle im Iere des Itervalls liegt. Dazu betracte wir die folgede drei Situatioe: 53
. Ist M m, da ist die Fuktio f kostat auf [a,b] ud damit ist die Ableitug a jeder Stelle gleic 0. 2. Ist M > f(a), da gibt es eie Pukt x 0 (a,b) mit f(x 0 ) M ud folglic f (x 0 ) 0. 3. I alle oc ict gelöste Situatioe ist m < M f(a) f(b), d.. jede Stelle x 0, a der f de Wert m aimmt, liegt im Iere des Itervalls ud f (x 0 ) 0. Zum Abscluss wird der allgemeie Fall auf de gelöste Spezialfall zurückgefürt. Dazu defiiert ma die Hilfsfuktio (x) : f(x) + (x a). b a Offesictlic ist stetig auf [a,b], differezierbar auf (a,b) ud (a) f(a) (b) ud damit existiert ei x 0 (a,b) mit (x 0 ) 0. Die Beauptug für f folgt da aus (x a) durc eifaces Umstelle der Gleicug: 0 (x 0 ) f (x 0 ) b a f (x 0 ) b a Folgerug : Für eie auf eiem offee Itervall differezierbare Fuktio f : I R gelte die folgede Implikatioe: f (x) > 0 auf I f (x) < 0 auf I f (x) 0 auf I f (x) 0 auf I f (x) 0 auf I f ist streg mooto wacsed f ist streg mooto falled f ist mooto wacsed f ist mooto falled f ist kostat Beweis: Alle Beautuge ka ma mit eiem idirekte Asatz aus dem Mittelwertsatz ableite. Für de erste Pukt immt ma a, dass f ict streg mooto wacsed wäre, d.. zwei Werte a,b I mit a < b ud f(a) f(b) existiere. Da gibt es ac Mittelwertsatz ei x 0 (a,b) I mit f (x 0 ) f(b) f(a) b a 0, was eie Widerspruc zur Voraussetzug ist. Alle adere Pukte werde aalog bewiese. Folgerug 2: Für zwei auf eiem offee Itervall differezierbare Fuktioe f,g : I R mit f (x) g (x) auf I gibt es ei c R, so dass f(x) g(x) + c für alle x I. Beweis: [f(x) g(x)] f (x) g (x) 0 auf I f(x) g(x) ist kostat. Statioäre Pukte ud lokale Extrema Defiitio: Nullstelle der erste Ableitug f (x) werde statioäre Pukte vo f geat. Wie bereits bewiese, ist jede lokale Extremstelle auc ei statioärer Pukt. Es stellt sic die Frage, wa a eiem statioäre Pukt ei lokales Extremum liegt. Die acfolgede otwedige ud ireicede Bediguge für lokale Extrema ergebe sic umittelbar aus Folgerug. Notwedige Bedigug für ei lokales Extremum a der Stelle x 0 : f (x 0 ) 0, d.. x 0 ist statioärer Pukt. Hireicede Bedigug für ei lokales Maximum a der Stelle x 0 : f ist streg mooto wacsed i eier Umgebug liks vo x 0 ud streg mooto falled i eier Umgebug rects vo x. Damit ist es ireiced, we liks vo x 0 die Bedigug f (x) > 0 ud rects vo x 0 die Bedigug f (x) < 0 erfüllt ist. 54
Hireicede Bedigug für ei lokales Maximum a der Stelle x 0 : f (x 0 ) 0 ud f (x) < 0 i eier Umgebug vo x 0 Hireicede Bedigug für ei lokales Miimum a der Stelle x 0 : f (x 0 ) 0 ud f (x) > 0 i eier Umgebug vo x 0 Krümmug vo Kurve Defiitio: Die Krümmug der Fuktioskurve eier zweifac differezierbare Fuktio wird durc die zweite Ableitug bescriebe. Die Kurve ist a der Stelle x 0 liksgekrümmt (oder kovex vo ute), we f (x 0 ) > 0, ud sie ist rectsgekrümmt (oder kovex vo obe), we f (x 0 ) < 0. Die Fuktio f at a der Stelle x 0 eie Wedepukt we a dieser Stelle eie Likskrümmug i eie Rectskrümmug überget, oder umgekert. Notwedige Bedigug für eie Wedepukt a der Stelle x 0 : f (x) 0. Hireicede Bedigug für eie Wedepukt a der Stelle x 0 : f (x 0 ) 0 ud f (x 0 ) 0 Satz (Verallgemeierter Mittelwertsatz): Seie f,g : [a,b] R stetig auf [a,b] ud differezierbar auf (a,b) sowie g (x) 0 für alle x (a,b)). Da existiert ei x 0 (a,b) mit f (x 0 ) g (x 0 ) g(b) g(a) Beweis: Wege g (x) 0 ist g etweder streg mooto wacsed oder falled ud folglic g(a) g(b). Wir defiiere eie Hilfsfuktio F(x) : f(x) g(b) g(a) g(x) für die offesictlic F(a) f(a) g(b) f(b) g(a) g(b) g(a) F(b) gilt ud verwede de Mittelwertsatz für F: x 0 (a,b)) F (x 0 ) f (x 0 ) g(b) g(a) g (x) 0 f x 0 g (x 0 ) g(b) g(a) Satz (Regel vo Beroulli-L Hospital): Seie f, g : (a, b) R zwei Fuktioe, welce die folgede Voraussetuge erfülle: f ud g sid differezierbar auf (a,b) ud g (x) 0 auf (a,b) x b f(x) x b g(x) 0 oder x b f(x) x b g(x) x b Da ist: f (x) g (x) c R {± } f(x) x b g(x) c Aaloge Aussage gelte für die rectsseitige Grezwerte mit x a+ bzw. für beidseitige Grezwerte, we eie Stelle i Iere des Itervalls betractet wird. Beweis: Wir bescräke us auf de Fall x b f(x) x b g(x) 0 ud bilde mit f(b) g(b) : 0 eie stetige Erweiterug der Fuktioe auf (a, b]. Nu ka für jedes 55
x (a,b) der verallgemeierte Mittelwertsatz auf f ud g im Itervall [x,b] agewedet werde ud wir eralte: x 0 (x,b) f (x 0 ) g (x 0 ) f(b) f(x) g(b) g(x) f(x) g(x) Da das zu eiem x geörede x 0 immer zwisce x ud b liegt, folgt bei Grezwertebetractuge mit x b auc immer x 0 b ud damit f(x) x b g(x) f (x 0 ) x 0 b g (x 0 ) c Wie das folgede Beispiel zeigt, sid viele Aweduge dieser Regel sid ict gaz offesictlic ud ergebe sic erst ac eiige Umformuge: ( ) x 0+ x cos x f(x) {}}{ cos x x f (x) x 0+ x ( cos x) x 0+ g }{{} (x) g(x) six x 0+ ( cos x) + x si x 4.3 Ableitug vo Umkerfuktioe Wie allgemei über Fuktioe bekat ist, at eie Fuktio f : A B geau da eie Umkerfuktio, we sie bijektiv, also ijektiv ud surjektiv ist. I diesem Fall ist die Umkerfuktio g f : B A eideutig durc die folgede Eigescafte carakterisiert: fg Id B ud gf Id A d.. f(g(x)) x für alle x B ud g(f(x)) x für alle x A Dabei ist die Eigescaft fg Id B äquivalet zur Surjektivität ud die Eigescaft gf Id A äquivalet zur Ijektivität vo f. Ma ka jede Fuktio als surjektive Fuktio auffasse, idem ma de Wertebereic auf das tatsäclice Bild des Defiitiobereics eiscräkt, z.b. de Wertebereic der Siusfuktio vo R auf [,]. Im Gegesatz dazu muss ma, um eie Fuktio ijektiv zu mace, de Defiitiosbereic eiscräke ud verliert dadurc eie ecte Teil der Fuktio. Zum Beispiel müßte ma de Defiitiosbereic eier kostate Fuktio auf eie eizige Pukt eiscräke. Für viele Fuktioe, isbesodere die Wikelfuktioe, sid solce Eiscräkuge des Defiitiosbereics aber ser sivoll ud füre zur Eifürug vo Umkerfuktioe. Defiitio: Sei f : D R eie Fuktio mit Defiitiosbereic D R. Ma et f ist umkerbar auf D D, falls die eigescräkte Fuktio bijektiv ist. f D : D f(d ) Im(f D ) Beispiel: Die Fuktio f(x) x 2 ist auf irem Defiitiosbereic D R ict ijektiv. Diese Fuktio ist aber umkerbar auf R 0 [0, ), de die Fuktio f R 0 : R 0 R 0 ist bijektiv ud at die Umkerfuktio f (x) x. Die Fuktio f(x) x 2 ist aber auc über R 0 (,0] umkerbar, wobei ma die Umkerfuktio durc f (x) x bescreibe ka. 56
Es ist bekat, dass für umkerbare Fuktioe f die Grape der Fuktio f ud der Umkerfuktio f zueiader gespiegelt sid a der Gerade y x. Für stetige Fuktioe über eiem Itervall ist Umkerbarkeit äquivalet zur Eigescaft streg mooto wacsed oder streg mooto falled zu sei. Der folgede Satz stellt diese Eigescafte i eie Zusammeag mit der Differezierbarkeit der Fuktio f ud irer Umkerfuktio. Satz: Sei f : D R eie Fuktio, die auf eiem Itervall I differezierbar ist, wobei zusätzlic f (x) 0 für alle x I vorausgesetzt wird. Da ist f umkerbar über I. Die Umkerfuktio g f : f(i) I ist i alle x f(i) differezierbar ud es gilt g (x) f (g(x)). Beweis: g stetig, x x, da g(x ) g(x) g ist Umkerfuktio vo f, also fg Id Beispiele: f (g(x)) f(y) f(g(x)) y g(x) y g(x) f(g(x )) f(g(x)) x x g(x ) g(x) x x x x g(x ) g(x) g(x ) g(x) x x x x g (x). f(x) x 3 mit f : R R f (x) 3x 2 0, f ist streg mooto wacsed, also ist f umkerbar. Bekatlic et ma die Umkerfuktio die dritte Wurzel aus x ud durc Awedug des Satzes erält ma die Ableitug dieser Wurzelfuktio: f (x) 3 x f(x /3 ) ( 3 ) x 3( 3 x) 2 3 x 2. Etwas allgemeier köe wir beliebige gazzalige Poteze vo x betracte ud dabei zwei Fälle utersceide: f(x) x, gerade, f ist umkerbar über R + oder f(x) x, ugerade, f ist umkerbar über R 2 3 f (x) ( ) x x x ( x) x + 57
Durc Awedug der Ketteregel ka ma jetzt auc die Ableitug für beliebige ratioale Poteze vo x bilde. Zur Erierug begie wir mit der Defiitio: f α (x) x α mit α m Q, > 0 ( x) m falls m > 0 f α (x) falls m 0 ( falls m < 0 x) m Um die Utersceidug zwisce gerade ud ugerade Wurzel zu vermeide, wird R + als eieitlicer Defiitiosbereic festgelegt. Jetzt ka die Ketteregel agewedet werde: f α (x) m ( x ) m m ( x ) m ( ) m ( x ) m m x m α x α ( x) 3. Wikelfuktioe Die Fuktio si : R [,] ist umkerbar auf [ π 2, π 2], da die Ableitug cos x i diesem Bereic 0 ist (also ist si mooto steiged). Umkerfuktio: arcsi : [,] [ π 2, π 2 ] (0-ter Zweig vo arcsi) Der. Zweig wäre z.b. die Umkerug vo si auf [ π 2, 3π ] 2. Ableitug der Umkerfuktio: Aus arcsi x [ π 2, π 2 ] folgt, dass i diesem Bereic cos(arcsi x) 0 gilt. Desalb ka die Idetität si 2 y + cos 2 y für y [ π 2, π 2 ] i cos y si 2 y aufgelöst werde. Jetzt wird wieder der Satz agewedet: (arcsi x) cos(arcsi x) si 2 (arcsi x) x 2 Aalog ist die Fuktio cos : R [,] umkerbar auf [0,π]. Für die Umkerfuktio: arccos : [,] [0,π] gilt: (arccos x) x 2 Die Fuktio ta : R\{ π 2 +kπ} (,+ ) ist umkerbar auf ( π 2, π 2 ). Die Ableitug 58
der Umkerfuktio arcta : R ( π 2, π 2 ) erält ma auf folgedem Weg: (arcta x) ta (arcta x) si 2 (arcta x)+cos 2 (arcta x) cos 2 (arcta x) ta 2 (arcta x) + x 2 + Aalog ergibt sic für die Umkerfuktio arccot : R (0,π) (arccot x) x 2 + ( 4. Für die Expoetialfuktio exp(x) + x ) e x muss zuerst die Ableitug bestimmt werde. Hier ist die Grudidee dazu: d dx exp(x) d dx d? e x ) ( + x ( + x dx [ ( + x ( ) + x ( + x ) ) ex ) ] Die mit Fragezeice verseee Gleiceit ist kei korrekter Scritt, de allgemei ka ma Grezwertbildug ud Ableitug ict vertausce. Eie geaue Begrüdug dafür, dass die Ableitug vo e x wieder e x ist, erfolgt mit dem Mittelwertsatz. Da die Ableitug der Expoetialfuktio überall positive Werte at, ist die Expoetialfuktio streg mooto wacsed ud folglic umkerbar über R. Es ergibt sic die folgede Ableitug der Umkerfuktio l : R + R l x exp (l x) exp(l x) x 59