Zufällige Mosaike: Eine Einführung Zhanlong Tao, Tobias Krejci 27.05.2008
Seite 2 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Einführung Inhalt Einführung Deterministische Mosaike Zufällige Mosaike Mathematische Analyse Statistik Schluss
Seite 3 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Einführung Agenda Was ist ein Mosaik bzw. ein zufälliges Mosaik? Wozu braucht man es? Wie kann man es erzeugen? Was sind seine grundlegenden Eigenschaften? Wie kann man Aussagen über diese Eigenschaften treffen? Abbildung: Mosaik
Seite 4 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Einführung Inhalt Einführung Deterministische Mosaike Zufällige Mosaike Mathematische Analyse Statistik Schluss
Seite 5 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Einführung Motivation In den Materialwissenschaften treten folgende Strukturen auf : Bausteine füllen die Ebene vollständig aus sie überlappen sich nicht modellierbar durch zufällige Mosaike Ziel: Aussagen über Eigenschaften der Strukturen Abbildung: Elektronenmikroskopisches Bild einer alkalinen Zink-Nickel Schicht
Seite 6 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Deterministische Mosaike Inhalt Einführung Deterministische Mosaike Zufällige Mosaike Mathematische Analyse Statistik Schluss
Seite 7 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Deterministische Mosaike Mosaik Definition Sei P Menge aller beschränkten offenen konvexen nicht leeren Polygone p im R 2. Eine Teilmenge θ P heißt Mosaik (engl. tessellation), falls gilt: 1. p 1 p 2 =, wenn p 1, p 2 θ und p 1 p 2 2. p = R 2 p θ 3. θ ist lokal endlich, d.h. wenn B R 2 beschränkt, dann ist {p θ : p B } endlich
Seite 8 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Deterministische Mosaike Erinnerung Ein Polygon ist ein Vieleck im R 2 Bezeichnungen Sei θ ein Mosaik im R 2 und p θ: p heißt Zelle die Ecken von p heißen Knoten die Seiten von p heißen Kanten E θ sei Vereinigung aller Kanten von θ
Seite 9 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Deterministische Mosaike Abbildung: Mosaik
Seite 10 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Deterministische Mosaike Verschiedene Typen von Mosaiken Geraden Mosaik Aufteilung des R 2 in konvexe Polygone mittels Geraden Abbildung: Geraden Mosaik
Seite 11 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Deterministische Mosaike Voronoi Mosaik Sei ϕ = {x 1, x 2,...} lokal endliches System von Punkten im R 2 Aufteilung des R 2 in Zellen, die jeweils genau einen Punkt von ϕ im Inneren enthalten nach Nächsten-Nachbarn Prinzip Für x n, x m ϕ, n m betrachte die Halbebene H(x n, x m ) = {x R 2 : x x n x x m } (1) bzw. das Polygon P(x n ) = H(x n, x m ) = {x R 2 : x x n x x m m n} (2) m n falls alle Polygone beschränkt Voronoi Mosaik V (ϕ)
Seite 12 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Deterministische Mosaike Abbildung: Voronoi Mosaik
Seite 13 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Deterministische Mosaike Konstruktion von Voronoi Polygonen Kantenbildung als Mittelsenkrechte auf die Verbindungslinie d zweier Zentren (Nuklei) Schnittpunkte der Mittelsenkrechten bilden Eckpunkte der Voronoi Zelle Abbildung: Konstruktion der Mittelsenkrechten
Seite 14 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Deterministische Mosaike Abbildung: Schnitt der Mittelsenkrechten
Seite 15 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Deterministische Mosaike Anwendung kartographische Darstellung von Messwerten Daten von einigen Messstationen auf gesamte Fläche verallgemeinern z.b. bei der Messung von Niederschlägen Abbildung: Niederschlagsdaten
Seite 16 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Deterministische Mosaike Alternative Interpretation des Voronoi Mosaiks Als Ergebnis eines Wachstumsprozesses Sei wieder ϕ = {x 1, x 2,...} lokal endliches System von Punkten im R 2 Punkte von ϕ sind Keimpunkte Wachstum beginnt in den Keimpunkten gleichzeitig mit gleicher Geschwindigkeit in alle Richtungen berühren sich wachsende Zellen Rand der Zellen (Kanten) interessant zur Modellierung von Mikrostrukturen aus Kristallisationsprozessen
Seite 17 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Deterministische Mosaike Abbildung: Wachstumsprozess der Voronoizellen
Seite 18 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Deterministische Mosaike Delaunay Mosaik Sei ϕ = {x 1, x 2,...} lokal endliches System von Punkten im R 2 Erstelle aus ϕ ein Dreiecksnetz, so dass kein weiterer Punkt aus ϕ innerhalb eines Umkreises um 3 Punkte aus ϕ, die ein Dreieck bilden Dreiecke bilden ein Mosaik Abbildung: Umkreisbedingung der Delaunay Dreiecke
Seite 19 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Deterministische Mosaike Abbildung: Delaunay Mosaik
Seite 20 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Deterministische Mosaike Eigenschaften des Delaunay Mosaiks interpretierbar als dualer Graph eines Voronoi Mosaiks falls von jedem Knoten im Voronoi Mosaik 3 Kanten ausgehen, gilt: Die Zellen zu 2 Keimpunkten haben gemeinsame Kante im Voronoi Mosaik Die 2 Keimpunkte sind verbunden im Delaunay Mosaik Abbildung: Dualer Graph
Seite 21 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Zufällige Mosaike Inhalt Einführung Deterministische Mosaike Zufällige Mosaike Mathematische Analyse Statistik Schluss
Seite 22 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Zufällige Mosaike Zufällige Mosaike 2 verschiedene Sichtweisen: 1. zufällige abgeschlossene Mengen 2. Punktprozess konvexer Polygone
Seite 23 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Zufällige Mosaike Zufälliges Mosaik Definition Sei (Ω, A, P) Wahrscheinlichkeitsraum T Klasse aller Mosaike im R 2 θk = {θ T : E θ K } für K R 2 kompakt T = σ({θk, K R 2 kompakt}) Eine messbare Abbildung Θ : Ω T vom Messraum (Ω, A) in den Messraum (T, T ) heißt dann zufälliges Mosaik Θ induziert Wahrscheinlichkeitsmaß P(A) = P(Θ A), wobei A T
Seite 24 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Zufällige Mosaike Stationarität und Isotropie Definition Sei Θ ein zufälliges Mosaik im R 2. Θ heißt stationär, falls x R 2 gilt Θ + x = {p + x : p Θ} d = Θ Θ heißt isotrop, falls seine Verteilung invariant gegenüber Drehungen um den Ursprung ist Θ heißt bewegungsinvariant, wenn es stationär und isotrop ist
Seite 25 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Zufällige Mosaike Zufälliger Punktprozess Definition Seien S 1, S 2,... : Ω R 2 { } ZV über (Ω, A, P), dann heißt {S n } zufälliger Punktprozess, falls: #{n : S n B} < B B 0 ( R 2 ) (3) wenn außerdem mit Wahrscheinlichkeit 1, S i S j i, j 0 mit i j (4) dann heißt {S n } einfacher zufälliger Punktprozess. N B = #{n : S n B} B B ( R 2) (5) ist zufälliges Zählmaß
Seite 26 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Zufällige Mosaike Anschaulich Abbildung: Zufälliger Punktprozess
Seite 27 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Zufällige Mosaike Homogener Poisson Prozess Definition {N B, B B(R 2 )} heißt homogener Poisson Prozess im R 2 mit Intensität λ (0, ), falls 1. N B1, N B2,... unabhängig B i B 0 (R 2 ), B j B k =, j k 2. N B Poi(λν 2 (B)) B B 0 (R 2 )
Seite 28 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Zufällige Mosaike Geraden Mosaike Anschaulich Werfe zufällig Geraden in die Ebene Mosaik Genauer Geraden-Prozess Ψ im R 2 E θ sei Vereinigung aller Geraden von Ψ E θ ist Kantenmenge eines zufälligen Mosaiks Θ
Seite 29 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Zufällige Mosaike Geraden Prozess Ordne jeder Geraden g im R 2 Parameter α [0, π) und q R zu Abbildung: Parametrisierung einer Geraden
Seite 30 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Zufällige Mosaike Geraden Prozess Definition Sei Φ ein Punktprozess im Parameterraum C = [0, π) x R g(α,q) sei Gerade mit Parametern α und q die zufällige Geradenmenge Ψ = {g(α,q) : (α,q) Φ} heißt ebener Geraden-Prozess falls Ψ stationär Intensität LA = erwartete Gesamtlänge der Geraden pro Einheitsfläche entspr. zufälliges Mosaik stationär
Seite 31 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Zufällige Mosaike Poisson Geraden Prozess Punktprozess Φ ist Poisson Prozess auf [0, π) x R Abbildung: Poisson Geraden Mosaik
Seite 32 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Zufällige Mosaike Voronoi Mosaik Konstruktion Sei Φ Punktprozess im R 2 erzeuge wie im determ. Fall Voronoi-Mosaik V(Φ) falls Φ stationär mit Intensität λ (0, ) fast sicher alle entstehenden Polygone beschränkt V (Φ) Voronoi-Mosaik Φ stationär bzw. isotrop V(Φ) stationär bzw. isotrop Abbildung: Voronoi Mosaik
Seite 33 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Zufällige Mosaike Delaunay Mosaik Konstruktion Betrachte zufälliges Voronoi Mosaik V(Φ) Wenn in V(Φ) fast sicher jeder Knoten von genau 3 Zellen berührt wird eindeutiges Delaunay Mosaik D(Φ) Abbildung: Delaunay Mosaik
Seite 34 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Zufällige Mosaike Crack Mosaik Abbildung: Crack Mosaik
Seite 35 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Mathematische Analyse Inhalt Einführung Deterministische Mosaike Zufällige Mosaike Mathematische Analyse Statistik Schluss
Seite 36 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Mathematische Analyse Parameterbeschreibung Das ebene Mosaik Θ analysieren wir durch die Kantenmenge E Θ mit Intensität L A und drei Punktprozesse : Punktprozess der Ecken α 0 (Θ) mit Intensität λ 0 Punktprozess der Kantenmittelpunke α 1 (Θ) mit Intensität λ 1 Punktprozess der Zellschwerpunkte α 2 (Θ) mit Intensität λ 2 α k (Θ) kann auf unterschiedliche Weise markiert werden
Seite 37 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Mathematische Analyse Markierter Punktprozess Definition Zusätzliche Informationen im Punkt S n : Folge {L n } von ZV L n : Ω R über (Ω, A, P), (R, B (R)) messbar Die Folge {(S n, L n )} heißt dann ein zufälliger markierter Punktprozess L n Marke
Seite 38 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Mathematische Analyse Marken der Ecken Marken für x α 0 (Θ) n 02 (x) := #{p Θ : x p} Anzahl von Polygonen die x berühren oder der Kanten ausgehend von x l 0 (x) die gesamte Kantenlänge aus x Abbildung: Markierung der Ecken
Seite 39 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Mathematische Analyse Marken der Kantenmittelpunkte Marke für x α 1 (Θ) l 1 (x) Länge der Kante durch x Abbildung: Markierung der Kantenmittelpunkte
Seite 40 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Mathematische Analyse Marken der Zellenschwerpunkte Marken für x α 2 (Θ) n 20 (x) Anzahl der Knoten, die x umfassen l 2 (x) := ν 1 ( p) die gesamte Kantenlänge des Polygons p, das x umfasst a 2 := ν 2 (p) die Fläche der Zelle p, die x umfasst Abbildung: Markierung des Zellenschwerpunkts
Seite 41 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Mathematische Analyse Palm-Marken-Verteilung und typische Marke Palm-Marken-Verteilung Sei {(S n, L n )} stationärer markierter Punktprozess mit Intensität λ P (L) = E# { i : S i [0, 1] 2, L i L } = E# { i : S i [0, 1] 2, L i L } E# {i : S i [0, 1] 2 } ist Palm-Marken-Verteilung von L λ L B(R) (6) Eine Zufallsvariable L mit Verteilung P heißt typische Marke
Seite 42 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Mathematische Analyse Ergodizität Definition Sei (N, N ) messbarer Raum, wobei : N ist Familie aller lokal endlicher einfacher ϕ R 2 ein ϕ N kann man als Maß auf R 2 ansehen, so dass: ϕ(b) = # Punkte von ϕ in B, B B(R 2 ) N sei dann die kleinste σ-algebra auf N, für die alle Abb. ϕ ϕ(b) messbar sind B B 0 (R 2 )
Seite 43 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Mathematische Analyse Ergodizität Definition Ein Y N heißt invariant, falls P (Y \ Y x Y x \ Y ) = 0 x R 2 (7) wobei Y x = Y + x Eine stationäre Verteilung P auf (N, N ) heißt dann ergodisch falls, P(Y ) {0, 1} invarianten Y N (8) Beispiel: Ein stationärer Poisson Prozess ist ergodisch
Seite 44 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Mathematische Analyse Gesuchte Charakteristika n 02 Erwartungswert der Anzahl der Kanten, die von den typischen Ecken ausgehen l0 Erwartungswert der gesamten Kantenlänge durch die typischen Ecken l 1 Erwartungswert der Länge der n 20, l 2, ā 2 analog typischen Kanten
Seite 45 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Mathematische Analyse Erwartungswerte Allgemein Sei {(S n, L n )} ergodisch, dann gilt: E (L ) = lim n 1 # {i : S i W n } 1 {Si W n}l i f.s. (9) wobei L die typische Marke von {(S n, L n )} ist und W n = B(0, n) Beispiel i=1 ā 2 = Eν 2 (Ξ ) = lim n 1 #{i : Ξ i W n } 1 {Ξi W n}ν 2 (Ξ i ) f.s (10) i=1 wobei Ξ die typische Zelle und ν 2 (Ξ ) die Fläche der typischen Zelle ist
Seite 46 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Mathematische Analyse Theorem 1 n 02 = 2 + 2λ 2 λ 0 (11) n 20 = 2 + 2λ 0 λ 2 (12) l0 = 2L A λ 0 (13) l2 = 2L A λ 2 (14) ā 2 = 1 λ 2 (15) l1 = L A λ 0 + λ 2 = L A λ 1 (16)
Seite 47 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Mathematische Analyse Korollar 1 1 + 1 = 1 n 02 n 20 2 l0 = n 02 l1 l2 = n 20 l1 n 02 3 n 20 6 (17) (18) (19) Erklärung Jede Ecke liegt in mindestens 3 Zellen, jede Zelle hat mindestens 3 Ecken = n 02 3 = n 02 3 = (17) n 20 6
Seite 48 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Mathematische Analyse Bemerkung Alle uns interessierenden Erwartungswerte können durch die 3 Parameter λ 0, λ 2 und L A berechnet werden.
Seite 49 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Mathematische Analyse Poisson Geraden Mosaik (Crofton Mosaik) Abbildung: Poisson Geraden Mosaik
Seite 50 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Mathematische Analyse Poisson Geraden Mosaik (Crofton Mosaik) Ψ bewegungsinvarianter Poisson Geraden Prozess mit Intensität L A g ein feste (Test-)Gerade in Ψ ρ Intensität des Punktprozesses der Schnittpunkte von g und Ψ = Mit Wkt.1 gibt es durch jeden Schnittpunkt nur 2 Geraden, d.h. n 02 4 f.s. Poisson Gerade Mosaike mit Testgerade
Seite 51 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Mathematische Analyse Poisson Geraden Mosaik (Crofton Mosaik) Man kann zeigen: ρ = 2L A π und l 1 = 1 ρ (20) n 02 4 f.s. Theorem 1 = λ 0 = λ 2 = πρ2 4 (21) d.h. alle Parameter hängen nur von ρ ab somit hängen auch alle Mittelwerte nur von ρ ab, z.b. ā 2 = 4 πρ 2 l 2 = 4 ρ (22)
Seite 52 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Mathematische Analyse Poisson Voronoi Mosaik Φ stationärer Poisson Prozess mit Intensität τ V (Φ) zugeh. Voronoi Mosaik = Mit Wkt. 1 ist V (Φ) im gewöhnlichen Gleichgewichtszustand, d.h. n 02 3 f.s Abbildung: Poisson-Voronoi-Mosaik
Seite 53 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Mathematische Analyse Poisson Voronoi Mosaik n 02 3 f.s Theorem 1 = λ 1 = 3λ 0 2, λ 2 = λ 0 2 (23) Nach Konstruktion des Voronoi Mosaiks: λ 2 = τ = λ 0 = 2τ, λ 1 = 3τ (24) Außerdem kann man zeigen: L A = 2 τ (25) d.h. alle Parameter(und Mittelwerte) hängen nur von τ ab z.b. ā 2 = 1 τ, l2 = 4 τ (26)
Seite 54 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Statistik Inhalt Einführung Deterministische Mosaike Zufällige Mosaike Mathematische Analyse Statistik Schluss
Seite 55 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Statistik Statistik Betrachte stationäres zufälliges Mosaik Θ Betrachte Beobachtungsfenster W mit Flächeninhalt A(W) die Mittelwerte der typischen Zelle können durch die 3 Parameter λ 0, λ 2 und L A bestimmt werden Ziel Finde Schätzer für diese Parameter
Seite 56 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Statistik Schätzer für λ 0 Erinnerung: λ 0 ist Intensität des Punkt Prozesses der Knoten, d.h. erwartete Anzahl von Knoten pro Einheits-Fläche verwende den unverzerrten Schätzer: ˆλ 0 = # Knoten in W A(W )
Seite 57 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Statistik Schätzer für λ 2 Erinnerung: λ 2 ist Intensität des Punkt Prozesses der Schwerpunkte der Zellen d.h. erwartete Anzahl von Zellschwerpunkten pro Einheitsfläche Problem: Zellen die nicht ganz im Beobachtungsfenster W liegen = liegen Zellschwerpunkte in W oder nicht?
Seite 58 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Statistik Fall 1 Sei W ein Rechteck und die Kanten einer Zelle schneiden W an je höchstens 2 Stellen. Betrachte: z(w) = # Zellen die komplett in W liegen w(w) = # Zellen die Seiten von W aber nicht seine Ecken schneiden u(w) = # Zellen die Ecken von W enthalten Dann ist ˆλ (1) 2 = z(w )+ 1 2 w(w )+ 1 4 u(w ) A(W ) ein unverzerrter Schätzer für λ 2
Seite 59 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Statistik Interpretation Ebene sei vollständig mit Beobachtungsfenstern der selben Art bedeckt Zellen, die eine Seite des Fensters aber keine Ecke schneiden werden in 2 Fenstern gezählt Faktor 1 2 w(w ) die Zellen, die die Ecken des Fensters schneiden werden in 4 Fenstern gezählt Faktor 1 4 u(w )
Seite 60 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Statistik Abbildung: Interpretation des Schätzers ˆλ (1) 2
Seite 61 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Statistik Fall 2 Θ sei im gewöhnlichen Gleichgewichtszustand d.h. von jedem Eckpunkt gehen drei Kanten aus nach Theorem 1 gilt dann: 2λ 2 = λ 0 Dann ist ˆλ (2) 2 = ˆλ 0 2 ein unverzerrter Schätzer für λ 2 Hier gilt: (1) (2) ˆλ 2 = ˆλ 2
Seite 62 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Statistik Schätzer für L A Erinnerung: L A ist erwartete gesamte Kantenlänge pro Einheitsfläche Sei L(E θ W ) gesamte Kantenlänge von Θ im Fenster W messbar durch Bildanalyse Dann ist ˆL A = L(E θ W ) A(W ) unverzerrter Schätzer für L A
Seite 63 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Statistik Beispiel: Austenit Kern Grenzen in Stahl Betrachte ebenen Schnitt durch Stahlprobe u. zugehöriges Mosaik Abbildung: Beispiel Austenit Kern Grenzen
Seite 64 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Statistik Daten # Knoten in W = 124 L(E Θ W ) = totale Kantenlänge in W = 172,2 A(W ) = 179, 71 Schätzer Damit kann man nun die verschiedenen Schätzer bestimmen: ˆλ0 = 124 179,71 = 0, 69 da n 02 = 3 : ˆλ 2 = ˆλ 0 2 = 0, 345 ˆLA = 172,2 179,71 = 0, 96 = z.b. ˆ l 1 = ˆL A ˆλ 0 +ˆλ 2 = 0, 93
Seite 65 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Schluss Inhalt Einführung Deterministische Mosaike Zufällige Mosaike Mathematische Analyse Statistik Schluss
Seite 66 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Schluss Ausblick Vertiefende Vorträge Iterierte Mosaike Voronoi-und Johnson-Mehl Mosaike Crack-STIT Mosaike
Seite 67 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Schluss Quellen Literatur Stochastic Geometry and its Applications; D.Stoyan,W.S.Kendell,J.Mecke Statistical Analysis of Microstructures in Material Sciences; Joachim Ohser, Frank Mücklich Geometrische Wahrscheinlichkeiten und Stochastische Geometrie; R.V.Ambartzumjan,J.Mecke,D.Stoyan Skript Räumliche Statistik; V.Schmidt
Seite 68 Zufällige Mosaike 27.05.2008 Zhanlong Tao, Tobias Krejci Schluss Quellen Bilder Minkowski Funktionale für konvexe Mengen und Kenngrößen für zufällige Mosaike; V.Weiß Haggett et al. 1977: Locational Analysis in Human Geography http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7a/thiessen- Polygon.png http//www.geovista.psu.edu/sites/geocomp99/gc99/023/gc023_3f.gif http://www.geoinformatik.uni-rostock.de/einzel.asp?id=477 http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/08/ Coloured_Voronoi_2D.png