3 Differentialgeometrische Eigenschaften von Kurven und Flächen Ziel dieses Abschnittes ist es, eine kurze Einführung in die Anfangsgründe der mathematischen Theorie der Raumkurven und Flächen zu geben. Die Resultate werden wir später bei verschiedensten konstruktiven Anwendungen benötigen. Bezüglich einer genaueren Behandlung sei vor allem auf Brauner, Konstruktive Geometrie, Kapitel 7 bzw. Bohne/Klix, Geometrie, Kapitel verwiesen. 3. Raumkurven Eine Kurve c heißt eine Raumkurve, wenn sie nicht ganz in einer Ebene liegt. Beispiele solcher Raumkurven haben wir bei den Schnittkurven zweier Flächen kennengelernt. Zur mathematischen Darstellung benutzt man zweckmäßig eine Parameterdarstellung, die man oft vektoriell schreibt: Ein Beispiel für eine Raumkurve ist: ~x = ~x(t) :::fx = x(t);y = y(t);z = z(t); t I ρ Rg () ~x(t) =fx =3t t 3 ;y =3t ;z =3t + t 3 g () Diese Raumkurve wird unsere Beispielskurve in diesem Kapitel sein. Sie ist in den Abb. -3 in 8 8 8 8 8 Abbildung : Grundriss Abbildung : Aufriss Abbildung 3: Kreuzriss Grundriss, Aufriss und Kreuzriss dargestellt. Abbildung zeigt eine axonometrische Darstellung der Kurve. 3.. Tangenten an Raumkurven: Denition: Eine Tangente t durch einen Punkt P eines Kurvenstückes k ist die Grenzlage von Sehnengeraden PP, wenn P auf k gegen P läuft (Abb. 5). In der Darstellung ist der Richtungsvektor der Tangente der erste Ableitungsvektor, also fracd~xdt := _ ~x. Damit lautet die Vektordarstellung der Tangente in Punkte P (t ) k: ~y = ~x(t )+ _ ~x(t ) (3) Wenden wir dieses konkret an Beispiel an und zwar für t =. Wir erhalten: ~x(t ) = = f; 3; g, ~x(t) _ =f _x =3 3t ; _y =t; _z =3+3t g und ~x(t _ )=f_x =; _y =; _z =g und damit insgesamt: ~y = @ 3A + @ A ()
5 5 5 Abbildung : Raumkurve Abbildung 5: Tangente t existiert nur dann, wenn _ ~x(t ) = ist. Ein Punkt mit f _x; _y; _zg = f; ; g heißt ein regulärer Punkt der Raumkurve k. Ein Punkt P (t ) mit _ ~x(t )=~ heißt ein singulärer Punkt der Raumkurve k. Ein singulärer Punkt ist z.b. der Doppelpunkt der Durchdringungskurve von Abb. 5.8.
3.. Schmiegebene: Denition: Eine Ebene ff durch eine Tangente t in einem Punkt P eines nicht geradlinigen Kurvenstücks k heißt Schmiegebene von k in P zur Tangente t, wenn sie Grenzlage von Ebenen tp ist und P auf k gegen P läuft, so dass t = lim P!P PP gilt (Abb.). Man kann zeigen, Abbildung : Schmiegebene dass ff existiert, wenn ~x(t) mindestens zweimal stetig differenzierbar und ausserdem P kein Wendepunkt ist d.h. wenn _ ~x ~x = ~ in P (t ) gilt. Die Schmiegebene hat die Darstellung ff::: ( X ~ ~x(t ); ~x(t _ ); ~x(t )) = (5) Für die Beispielskurve bedeutet dies: ~x = fẍ = t; ÿ = ; z = tg. Rechnen wir die Schmiegebene für t =aus, dann ergibt sich: X Y 3 = () Ausrechnen liefert: Z Y =. Z 3..3 Begleitendes Dreibein der Raumkurve Durch einen Punkt P der Raumkurve gibt es ein ganzes Stahlbüschel von Normalen auf die Tangente t. Unter diesen Normalen ist jene ausgezeichnet, die in der Schmiegebene ff liegt: sie heißt Hauptnormale h. Ergänzt man nun t und h durch eine weitere Normale b auf t so, dass ft; h; bg Achsen eines kartesischen Rechtskoordinatensystems sind, so bezeichnet man ft; n; bg 3
als begleitendes Dreibein der Raumkurve c (Abb.7). Die Gerade b heißt die Binormale von c in P. Die Basisvektoren des begleitenden Dreibeins erhält man durch: ~t _~x ~e = = j~t j j ~xj _ ~e = ~e 3 ~e (7) _~x ~x ~e 3 = j ~x _ ~xj Abbildung 7: Begleitendes Dreibein 3.. Krümmungskreis: Wir denken uns in der Ebene ff einen Kreis c gezeichnet, der k in P berührt und durch P geht; c ist durch einen Punkt P samt Tangente t und einen weiteren Punkt P eindeutig bestimmt (Abb. 8) Der Grenzkreis lim P!P c =: c Λ heißt der Krümmungskreis von k in P. Der Krümmungskreis c Λ liegt in der Schmiegebene ff; sein Mittelpunkt M Λ liegt auf der Hauptnormalen n. M Λ wird als Krümmungsmittelpunkt (Krümmungsmitte) bezeichnet. Den Radius von c Λ, also ρ Λ := M Λ P, nennt man den Krümmungsradius. Der Reziprokwert ρ Λ =:» Λ heißt die Krümmung von c in P.» Λ kann nach der Formel» Λ = j ~x _ ~xj j ~xj _ (8) 3 berechnet werden. Wir berechnen als Beispiel die Krümmung der Kurve () im Punkt P, der
Abbildung 8: Krümmungskreis zum Parameterwert t =gehört. Wir erhalten @» Λ (t )= @ woraus sich als Krümmungsradius ergibt. 3A 3 A 3 = ; (9) 3. Flächen Wir erinnern zunächst die für eine mathematische Behandlung notwendigen Darstellungsformen von Flächen die im vorigen Abschnitt eingeführt worden sind:. Explizite Form: z = f (xy) Beispiel: z = sin x cos y. Implizite Form: F (x; y; z) = Beispiel: (x + y z ) z = 3. Parameterdarstellung:fx = f (u; v)y = g(u; v)z = h(y; v)g Beispiel (Möbiusband) : x = cos v u cos v cos v y = sin v u sin v sin v z = u sin v 5
.5.5.5.5.5.5.5.5 Abbildung 9: Moebiusband Denition: Eine Kurve c, die ganz auf einer Fläche Φ liegt, heißt eine Flächenkurve. Eine Flächenkurve läßt sich darstellen, indem man u und v in der Parameterdarstellung als Funktionen eines Parameters vorschreibt. Damit folgt aus ~x = ~x(u(t);v(t)) = ~x(t), und dies ist eine Kurve, die ganz auf der Fläche Φ liegt. Als Beispiel nehmen wir die Flächengleichung (x = sin u( + cos v); y = cos u( + cos v); z =sinv) und setzen u = t und v =8t. Wir erhalten die Parameterdarstellung: 8 >< ~x(t) ::: >: x = sin t( + cos 8t) y = cos t( + cos 8t) z = sin 8t Abbildung zeigt einen Plot dieser Kurve, die ganz offensichtlich auf einem Torus liegt. ()
Abbildung : Kurve auf einem Torus Wir betrachten jetzt die Tangenten an alle Flächenkurven, die durch einen festen Punkt P (u ;v ) Φ hindurchgehen. Für den Richtungsvektor einer solchen Tangente ndet man _~x = d~x dt = ~x du u dt + ~x dv v dt () wobei die Vektoren ~x u = d~x, ~x du v = d~x an der Stelle (u dv ;v ) zu nehmen sind und du und dv dt dt für t = t zu berechnen sind. Für verschiedene Kurven durch P (u ;v ) durchlaufen somit ( du ; dv ) eine Menge reeller Zahlenpaare, d.h. ~x _ liegt stets in der von ~x dt dt u (u ;v ) und ~x v (u ;v ) aufgespannten Ebene, falls ~x u und ~x v linear unabhängig sind. Flächenpunkte P (u ;v ), für die ~x u (u ;v ) und ~x v (u ;v ) linear unabhängig sind, heißen reguläre Flächenpunkte. Flächenpunkte P (u ;v ) mit ~x u (u ;v ) ~x v (u ;v )=~ heißen singuläre Flächenpunkte. Dann gilt der Satz 3. Die Tangenten an sämtliche Flächenkurven,die durch einen regulären Flächenpunkt P hindurchgehen, liegen in einer Ebene, der Tangentialebene des Flächenpunktes P. Denition: Die Gerade n, die durch P läuft und zur Tangentialebene (P ) orthogonal ist, heißt Flächennormale des Punktes P. Jede Gerade g, die Tangente einer Flächenkurve ist, heißt Flächentangente. Für die implizite Flächendarstellung lautet die Gleichung der Tangentialebene im Punkt P (x ;y ;z ) z z = f x (x ;y )(x x )+f y (x ;y )(y y ) () Für die implizite Form der Flächendarstellung wurde die Tangentialebene bereits im Kapitel 5 mit @x (P )(x x )+ @y (P )(y y )+ @z (P )(z z )= (3) angegeben. Für die Parameterdarstellung erhalten wir die Vektordarstellung von im Punkt P (u ;v ): :::~y = ~x(u ;v )+ ~x u + μ~x v () 7
Ein singulärer Punkt P einer Fläche mit der Darstellung F (x; y; z) = liegt vor, wenn gilt (P ) = (P ) = (P ) =. Von den drei obigen Beispielen hat nur die durch die implizite Gleichung gegebene Fläche einen singulären Punkt. Wir erhalten ihn durch Lösen des @x @y @z Gleichungssystems =; =; =;F =. Konkret ergibt sich: @x @x @x @x :x(x + y z ) = @y :y(x + y z ) = (5) @z : (x + y z +)= Lösung des Systems 5 und F = ist der Punkt (; ; ), in ihm existiert keine eindeutig bestimmte Tangentialebene an die Fläche. In Abb. sieht man den Punkt als den Knoten auf der Fläche. 3 Abbildung : Singulärer Punkt auf einer Fläche 3.3 Übersichtsfragen. Was ist eine Raumkurve, wie sieht die Parameterdarstellung einer Raumkurve aus?. Wie ist eine Tangente an eine Raumkurve deniert? 3. Was versteht man unter der Schmiegebene in einem Kurvenpunkt einer Raumkurve?. Was ist ein begleitendes Dreibein einer Raumkurve? 5. Wie ist der Krümmungskreis in einem Punkt einer Raumkurve deniert? Wie hängen Krümmungsradius und Krümmung zusammen? 8
. Welche mathematischen Darstellungformen gibt es für Flächen? Welche Darstellungsform ist für die Computergraphik am geeignetsten? 7. Was versteht man unter einer Flächenkurve? Wie kommt man von der Parameterdarstellung einer Fläche zur Parameterdarstellung einer Kurve auf dieser Fläche? 8. Wann liegt ein singulärer Punkt auf einer Fläche vor? (Beispiel?) 9