Fachbereich Mathematik Prof Dr K Ritter Dr M Slassi M Fuchssteiner SS 9 9 Mai 9 5 Übungsblatt zur Mathematik II für BI, MaWi, WI(BI, AngGeo und UI Gruppenübung Aufgabe G (a Betrachten Sie die Vektoren v = ( (, v =, w =, w =, w = im R bzw R i Zeigen Sie, dass v, v bzw w, w, w eine Basis des R bzw des R ist ii Durch ϕ(v = w und ϕ(v ( = w wird eine lineare Abbildung ϕ : R R definiert Berechnen Sie ϕ iii Geben Sie die Abbildungsmatrix von ϕ bezüglich der Basen v, v des R und w, w, w des R an iv Geben Sie die Abbildungsmatrix von ϕ bezüglich der natürlichen Basen an (b Es sei V ein Vektorraum, a V und λ R Welche der folgenden Abbildungen ϕ i : V V, i =,, sind linear? Lösung: ϕ (v = v + a ϕ (v = λv ϕ (v = a ϕ (v = v + v Bestimmen Sie gegebenenfalls für den Fall V = R n die Abbildungsmatrizen bezüglich der natürlichen Basis des R n
(a i Die Vektoren v und v sind offensichtlich linear unabhängig, da v = λv für kein λ R gelten kann Für w, w, w bestimmen wir den Rang der Matrix, die diese Vektoren als Spalten enthält Wir berechnen durch Spaltenumformungen Da der Rang dieser Matrix gleich ist, folgt die lineare Unabhängigkeit ( ( ii Da = v + v gilt, folgt wegen der Linearität von ϕ, dass ϕ = ϕ(v + v = ϕ(v + ϕ(v = ϕ(v + ϕ(v = w + w gilt Also ( ϕ = 5 5 iii Die Abbildungsmatrix von ϕ bezüglich der Basis {v, v } des R und der Basis {w, w, w } des R ist gegeben durch iv Für die natürliche Basis {e, e } gilt e = v v und e = v v Daher folgt wegen der Linearität von ϕ, dass ϕ(e = ϕ(v ϕ(v = w w = = und ϕ(e = w w = Damit ergibt sich die Abbildungsmatrix von ϕ bezüglich der natürlichen Basis in R bzw R zu ϕ(x = x, x R (b ϕ ist linear genau dann, wenn a = gilt Ist a = so ist ϕ die Identität in V also linear Die Abbildungsmatrix ist in diesem Fall daher E n Ist a so ist ϕ wegen ϕ ( = a a = ϕ ( + = ϕ ( + ϕ ( nicht linear
Aufgabe G ϕ ist linear, denn für v, w V und s, t R gilt ϕ (sv + tw = λ(sv + tw = λsv + λtw = sλv + tλw = sϕ (v + tϕ (w Im Fall V = R n sei {e,, e n } die natürliche Basis in R n Dann gilt ϕ (e i = λe i also ist die Abbildungsmatrix von ϕ gegeben durch λe n ϕ ist linear genau dann, wenn a = gilt In diesem Fall ist ϕ (v = für alle v V, also auch = ϕ (sv + tw = sϕ (v + tϕ (w = Die Abbildungsmatrix in R n ist daher auch gegeben durch die Nullmatrix Ist a so ist ϕ auch nicht linear, denn ϕ ( = a ϕ ist linear, da ϕ (v = v, das heißt dies ist ein Spezialfall von ϕ (λ = Es sei eine Ebene E im R durch die Gleichung x x +x = gegeben Wir wollen die Spiegelung an dieser Ebene betrachten Das ist eine lineare Abbildung, die wir mit f bezeichnen (a Zeigen Sie, dass E ein Unterraum des R ist und geben Sie eine Basis v, v von E an (b Was ist f(v und f(v? (c Geben Sie einen Vektor v E an, für den f(v leicht zu bestimmen ist (d Warum sind die gewählten Vektoren v, v, v nun eine Basis des R? Geben Sie die Abbildungsmatrix von f bezüglich dieser Basis an (e Geben Sie die Abbildungsmatrix von f bezüglich der natürlichen Basis des R an Lösung: (a Lösen des LGS x x + x = liefert E = {λ + µ, λ, µ R} = Lin(, Damit ist E offensichtlich ein Unterraum Eine Basis ist zb v :=, v := (b Es gilt f(v = v und f(v = v, da diese Vektoren in der Spiegelungsebene liegen
(c Ist v senkrecht zu E, so gilt f(v = v (Das heißt gerade Spiegelung an der Ebene E! Es gilt ( v = = ( v Wir wählen daher v = und es gilt f(v = v (d Ist v E so gilt für alle λ, µ R, dass λv + µv v, also sind v, v, v linear unabhängig Da v E ist {v, v, v } eine Basis des R Da f(v = v, f(v = v und f(v = v folgt, dass die Abbildungsmatrix von f bzgl der Basis V = {v, v, v } durch gegeben ist A f,v = (e Nach Bemerkung in Kap 5 der Vorlesung ist die Darstellung bzgl der natürlichen Basis E von Koordinatenvektoren in R, die bzgl der Basis V gegeben sind, durch T EV = bestimmt Die Inverse dieser Matrix ist gegeben durch T EV = T V E = 5 5 Die Abbildungsmatrix bzgl der natürlichen Basis ergibt sich nun aus A f,e = T EV A f,v T V E = T EV A f,v T EV = Aufgabe H Hausübung (a Die lineare Abbildung ϕ : R R sei durch ( ( ϕ =, ϕ = und ϕ = ( gegeben Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von ϕ bezüglich der natürlichen Basen
(b Sei ϕ : R R die {( Drehung der Ebene um } π/ mit anschließender Spiegelung x an der Gerade G = R y : x = y Geben Sie die Abbildungsmatrix von ϕ bezüglich der natürlichen Basis des R an Lösung: (a Die Abbildungsmatrix von ϕ bzgl der Basis V = {v, v, v } in R und der natürlichen Basis in R ist gegeben durch ( A ϕ,ev = Die Matrix, die Koordinatenvektoren bzgl V in Koordinatenvektoren bzgl der natürlichen Basis in R überführt, ist gegeben durch (Siehe Kapitel 5, Bemerkung T EV = Die Inverse dieser Matrix ist T V E = T EV = Damit ist die Abbildungsmatrix von ϕ bzgl der natürlichen Basis gegeben durch A ϕ,e = A ϕ,ev T V E = ( 6 8 9 (b Nach Kap 5, Beispiel der Vorlesung ist die Abbildungsmatrix der Spiegelung an der Geraden G gegeben durch ( 5 Nach Kap, Bemerkung der Vorlesung ist die Drehung mit Winkel π gegeben durch ( cos π sin π ( sin π cos π = Damit ist insgesamt die Abbildungsmatrix von ϕ bzgl der natürlichen Basis gegeben durch ( ( = ( 5 5 5
Aufgabe H Es sei eine Gerade G im R gegeben durch G = Lin ( ( T, und es sei f die Drehung um die Achse G mit Winkel π Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von f bezüglich der natürlichen Basis Hinweis: Wie bei Aufgabe G ist es hilfreich, erst eine dem Problem angepasste Basis zu wählen Man überlege sich was f mit Vektoren aus der Ebene, die durch den Ursprung geht und senkrecht zu G ist, anstellt Bestimmen Sie nun noch die Inverse dieser Matrix Hinweis: Man kommt dabei ohne Rechnung aus Lösung: Sei v = ( T Da f eine Drehung um die Gerade G beschreibt gilt f(v = v Wir bestimmen nun linear unabhängige Vektoren v, v, die senkrecht auf G stehen Wir lösen dazu das LGS x + x + x = Dies ergibt etwa die Vektoren v = und v = Da f die Drehung um G mit Winkel π ist gilt f(v = v und f(v = v Damit ist die Abbildungsmatrix von f bzgl der Basis V = {v, v, v } gegeben durch A f,v = Wie bei Aufgabe G bestimmt man T EV = und T EV = T V E = 6 5 Also folgt für die Abbildungsmatrix von f bzgl der natürlichen Basis A f,e = T EV A f,v T EV = Da die zweifache Anwendung von f eine Drehung mit Winkel π ist gilt f = Id Das heißt, dass die Inverse Abbildung zu f wieder f ist also f = f gilt Damit ist die Inverse der Matrix A f,e gegeben durch Aufgabe H A f,e = A f,e = 6
(a Geben Sie ein homogenes Gleichungssytem mit drei Unbekannten und zweidimonsionalem Lösungsraum (b Geben Sie zwei verschiedene Basis des Lösungsraumes Lösung: Gesucht ist eine Matrix A R m,, sodass die Dimension des Lösungsraums des homogenen Gleichungssytemes Ax = zwei ist Nach dem Dimensionssatz gilt rang (A = So kann man A = (,, wählen w = Ker (A = x R : x = λ, w =, bzw w, w + µ ; λ, µ R bilden zwei verschiedenen Basis