Eletron-Bindungsenergien und -Orbits im Atom und Ion Die Bindungs-Energie B ( Z, K ) des Ions mit Z Protonen und K ( Z ) Eletronen und die lassischen Eletronen-Orbits im Ion werden mit von Z unabhängigen Abschirm-Zahlen δ 1s (K), δ s (K), δ p (K) beschrieben Die Abschirmzahlen wiederum werden mit von K und Z unabhängigen Wechselwirungs- Zahlen α, β, β, γ, γ, γ beschrieben Diese Zahlen gewinnt man aus den Ionisations-Energien I ( Z, K ) = B ( Z, K ) B( Z, K 1 )(Datensatz aus wiipediaorg) Umgeehrt lassen sich die Bindungs- und Ionisations-Energien von Ionen mit K Z 10 mit wenigen Wechselwirungs-Zahlen berechnen Das Sommerfeld Atommodell Wir untersuchen ein Ion mit Z Protonen und K ( Z) Eletronen Natürliche Einheiten: αc = ħ = m e = Ry = 1 Idee: die Wechselwirung zwischen den Eletronen wird mit einer Kernabschirmung beschrieben: ein Eletron sieht die abgeschirmte Kernladung Z δ und bewegt sich im abgeschirmten Coulomb- Potential E pot =(Zδ)/r Die Abschirmzahl δ eines Eletrons auf seiner Bahn ist eigentlich abhängig vom Bahn-Radius, aber wir behandeln sie als eine Konstante Dann bewegt sich das Eletron (iassischer Sichtweise) auf einem Kepler-Orbit mit der grossen Halbachse a und der Exzentrizität ε Die Bindungs- Energie des Eletrons ist B=E pot E in Gemäss Virialsatz ist E pot =E in =a 1 Somit ist B=(Zδ)/a Die gesamte eletronische Bindungs-Energie ist B(Z,K)= 1 K B = 1 K Zδ a (1) Wäre dieses Bild widerspruchsfrei, so müsste auch gelten: B(Z,K)= =1 K ( Z a 1 ) () Der Vergleich der beiden Bindungsenergie-Formeln ergibt δ = a Für zwei Eletronen und l führen wir die Wechselwirungs-Zahl δ,l ein: δ l =δ l = max(a, ) (3) So wird δ =( ]+ >a ]a ) δ l () Hier ist [Aussage] eine Boole'sche Variable mit Wert 0 (falsch) oder 1 (wahr) Nun quantisieren wir die Orbits des -ten Eletrons gemäss Sommerfeld mit seinen Quantenzahlen n, l, m, s Es ist ε= 1(l/n) (5), und a=n /(Zδ n,l (K)) (6), d h die Orbits hängen von Z, K, n & l ab (Zδ Dann ist B= ) n (7), oder B= n a (8) Unser Problem lautet jetzt: wie findet man die Abschirm-Zahlen δ oder die Halbachsen a? Dazu muss man alle Wechselwirungs-Zahlen δ,l berechnen Man önnte versuchen, die aus den Orbitalparametern a, ε,, ε l (oder den entsprechenden Quantenzahlen n, l, m, s) der Eletronen und l zu berechnen Das wäre allerdings rechnerisch aum machbar 1
Der einfachere Weg ist, die δ l empirisch aus den gemessenen und tabellierten Ionisationsenergien I (Z,K)=B(Z,K)B(Z,K1) zu bestimmen Das ist machbar, vor allem wenn man annimmt: die Wechselwirungs-Zahlen δ l =δ l hängen nicht von Z ab, und sie hängen ausser für Abschirmung innerhalb der äussersten n-l-schale während dem Auffüllen auch nicht von K ab! Diese Annahmen werden durch Ausrechnen der δ l gut bestätigt, siehe weiter unten Wir wollen nun die Halbachsen a durch die Wechselwirungs-Zahlen ausdrücen: Eqn (5) 0= n a a Zδ = n Auflösen von (*) nach a gibt a = (Z ) n a a Z (1+ 1 n 1 >a ( Z ) + >a (*) 1 [a ) l l >a n Hier ist jede Halbachsen durch die Wechselwirungs-Zahlen δ l und die grösseren Halbachsen ausgedrüct Taylor von a bis zu O(Z 0 ) : a (Z ) n n >a ] δ l +( >a ) In die Bindungs-Energie einsetzen, in der mittleren Doppel-Summe und l vertauschen: B= 1 ) [a <a ]δ l l l + n ( )) l n a [a >a l n a ( (Z Auflösen von (*) nach a 1 gibt a 1 = Z n und somit δ 1 = Z+ Taylor von a 1 bis zu O (1): a 1 Z n + ( Z ) l n [a >a ]δ a 1 l l l ( Z ]δ ) l 1 n >a [a >a ]δ a 1 l l l Z Z und somit δ + >a ] n n δ l Vergleiche mit (*)! l In die Bindungs-Energie einsetzen: n n >a ] δ l B(Z,K) ( Z3 <a =a )( Z ) n +
m [a m >a ] δ m n m ( [a <a ]δ +n l l l [a >a (9) l Die Bindungsenergien sind hier nur noch eine Funtion der unbeannten Wechselwirungs-Zahlen!Diese önnen nun aus den gemessenen Bindungsenergien bestimmt werden ) Lins: Bezeichnung der Wechselwirungs- Zahlen, empirisch gefundene Zahlenwerte δ l 1s s p 1s α 030 β γ s β 039 β 09 γ p γ 05 γ 06 γ 037 Rechts, unten: Abschirm-Zahlen ausgedrüct durch die Wechselwirungs-Zahlen: δ nl H He Li Be B 1s 0 α α+ β/ α+ β/ α+ β/+ γ/ s - - β β+β β+β+ γ p - - - - ( γ+ γ) δ nl C N O Fl Ne 1s α+ β/+ γ/ α+ β/+3 γ/ α+ β/+ γ α+ β/+5 γ/ α+ β/+3 γ/ s β+β+ γ β+β+3 γ β+β+ γ β+β+5 γ β+β+6 γ p ( γ+ γ)+γ ( γ+ γ)+γ ( γ+ γ)+3γ ( γ+ γ)+γ ( γ+ γ)+5γ Berechnung der Wechselwirungs- und Abschirm-Zahlen aus den Ionisations-Energien K = 1: δ 1s =Z und B 1 =I 1 = Z eine Abschirmung Stimmt experimentell K = : δ 1s =α und B =I +I 1 =(Zα) Abschirmzahl α=z I +I 1 030 Ohne Korrelation wäre α=05 Mit Korrelation ist α<05 K = 3: δ 1s und δ s = β und B 3 =(Zα) + (Z β)(z6 β) + β 8 16 1fach-Ionisationsenergie: I 3 =B 3 B = (Z β)(z6 β) + β 8 16 =Z 8 Z β+ 5 β 16 Neue Abschirmzahl β 8 Z 1 Z +00I 3 039 Somit ist δ 1s 039 und δ s 078 5 K = : δ 1s und δ s = β+β und B =(Zα) + (Z ββ)(z6 ββ) + β fach-ionisationsenergie: I +I 3 =B B = (Z ββ)(z6 ββ) + β =(Z ββ) Neue Abschirmzahl β=z β (I +I 3 )+3 β 085 Somit ist δ 1s 050 und δ s 108 K = 5: δ 1s + γ und δ s = β+β+ γ und δ p =( γ+ γ) 3 β und B 5 =(Zα) + (Z6 ββ)( Z ββ) (Z6 γ6 γ)(z γ γ) + + γ 8 ( β+ γ)+ ( β+ γ) 16 3
1fach-Ionisationsenergie: (Z6 γ6 γ)(z γ γ) I 5 =B 5 B = + ( β+ γ) + ( β+ γ) 5 β 8 16 Setze S= γ+ γ I 5 = (Z6 S)(ZS) 8 + ( β+ γ) + ( β+s γ) 5 β 16 0=5 γ +(6 βs) γ+ Z 16S Z+5 S + βs16i 5 Neue Abschirmzahlen γ= S6 β+ D 5, γ= S+6 β D 5 mit D (6 βs) 5(Z 16S Z+5 S + βs16i 5 ) S ann man mit folgendem Tric berechnen I 5 als Polynom in Z geschrieben ist I 5 = Z 8 Z S+3 ) S + β( γ+ γ + γ + γ 16 Z 8 ( Z5 S+101 8 β) 6 S + Die fehlenden Terme sowie β darf man als unabhängig von Z ansehen Nach Z ableiten gibt: di 5 dz = Z ( S Z5 101 β 8 3 ) S ds dz Es folgt S=Z di 5 dz ( Z5 101 β 8 3 ) S ds dz Man fittet I 5 als quadratisches Polynom in Z: I 5 =( 1 8 +ε)z B Z+C Ich erhalte ε = 0001'75 ± 0000'05, B = 0803 ± 0001, C = 116 ± 001 Nun setzt man für S eiineares Polynom in Z an Mit etwas rechnen riegt man S=Bε( 5 8 β+ 101 3 B+Z ) Die Aufspaltung von S= γ+ γ in die beiden Summanden ist numerisch hochempfindlich: Änderungen von S im Promille-Bereich führen zu deutlichen Änderungen von γ und γ Damit die Aufspaltung gelingt ist der Z-Polynom-Fit von S unumgänglich Ich finde γ 06±000Z und γ 05±000Z Somit ist δ 1s 063, δ s 13 und δ p 158 K = 6-10: δ 1s +K γ und δ s = β+β+(k) γ und δ p =( γ+ γ)+(k5)γ und B K =(Zα) + (Z6 ββ)(z ββ) + K (Z6 γ6 γ(k5)γ)(z γ γ(k5)γ)+ 8 γ( β+(k) γ)+ ( β+(k) γ) =B +(K)( K (Z γ γ(k5)γ) 8 (K )-fache Ion-Energie: I ++I K 5 =(Z( γ+ γ)(k5)γ) K 8 16 ( γ+ γ) ) + β( γ+ γ )) +K ( γ + γ ( γ+ γ) ) + β( γ+ γ +K ( γ + γ ) Neue Abschirmzahl γ= K5( 1 Z( γ+ γ) 8 I ++I K 5 K +( γ+ γ) β( γ+ γ) K ( γ + γ ) ) Ich finde γ 0355 für K = 6, 7 und Z > 10, und γ 037 für K = 8-10 und Z > 10 Für K > 10 würde man γ(k=10) 037 verwenden (volle p-schale)
Ionisationsenergie für K = 1, Wechselwirungs- und Abschirm-Zahlen berechnet mit den obigen Formeln Anhang 1 https://enwiipediaorg/wii/ionization_energies_of_the_elements_(data_page) I= [13598, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 5177, 587, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 15, 75601, 53917, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 17718, 153896, 18111, 9370, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 305, 59375, 379306, 5158, 89803, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 89993, 39087, 6939, 78878, 3833, 1160, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 66706, 5507, 978900, 7770, 790, 9601, 153, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 87110, 73990, 13810, 113899, 7710, 5935, 35117, 13618, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 110311, 953911, 185186, 157165, 113, 8710, 6708, 3971, 173, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 13619, 11958, 39099, 0776, 157930, 161, 9710, 6350, 0963, 1565, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 16870, 1651, 9986, 650, 08500, 1718, 1380, 98910, 7160, 786, 51391, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 19666, 176180, 367500, 38060, 65960, 50, 18676, 117, 1096, 8013, 15035, 766, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 301, 08598, 000, 398750, 330130, 866, 176, 1909, 1538, 11999, 87, 1888, 59858, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 67318, 3763, 530, 76360, 01370, 3511, 3035, 650, 057, 16676, 511, 3393, 1635, 81517, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 30698, 81691, 61170, 560800, 7960, 0, 3713, 30960, 6357, 0, 6505, 51, 3003, 19769, 1087, 0, 0, 0, 0, 0; 3918, 3378, 707010, 6500, 560, 5080, 750, 37955, 3875, 809, 88053, 759, 7, 3790, 3338, 10360, 0, 0, 0, 0; 3969, 36585, 80900, 79760, 656710, 59199, 598, 5563, 0006, 388, 1119, 97030, 67800, 5365, 39610, 381, 1968, 0, 0, 0; 63, 1088, 918030, 85770, 75570, 68610, 6186, 53896, 7869, 5, 136, 13, 91009, 7500, 59810, 070, 7630, 15760, 0, 0; 930, 61080, 10330, 968000, 861100, 78660, 7160, 690, 5670, 50380, 17581, 1588, 11756, 9900, 8660, 60910, 5806, 31630, 307, 0; 56986, 51880, 115780, 108700, 97000, 8950, 81760, 7660, 6570, 59190, 117, 1885, 17, 170, 10878, 8500, 6770, 50913, 11871, 6113]; Eletronen-Orbits: r a = 1ε 1+εcosφ mit a ( n, l ) und ε ( n, l ) aus den Formeln 5 und 6 r ist der Radius Atomern-Eletron, φ ist der Winel Eletron-Kern-Perihel Eletronen-Orbits von den Atomen H, He, Li, Be, B, C, N, O, Cl, Ne auf Seite 6 (Herbert Müller im Juli 016, herbert-muellerinfo) 5
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