TECHNIKEN ZUR BERECHNUNG DER DIMENSION

TECHNIKEN ZUR BERECHNUNG DER DIMENSION KATHARINA KIESEL Zuammenfaung Im Folgenden werden Tehniken zur Berehnung der Dimenion von Fraktalen aufgezeigt E wird unter anderem definiert wa eine Mae-Verteilung it und wie mit dem Mae-Verteilung-Prinzip die Dimenion abgehätzt werden kann E folgen zwei Beipiele, eine zur Cantor-Menge und eine zur modifizierten Cantor-Menge, dabei wird da Mae-Verteilung- Prinzip angewendet Im letzten Teil wird die Potential-theoretihe Methode vorgetellt Einleitung Für die Berehnung der Dimenion von Fraktalen wird unter anderem mit der Haudorff und der Box-Dimenion gearbeitet Im Folgenden werden dafür notwendige Definitionen gegeben Definition U ei eine niht-leere Teilmenge de R n Der Durhmeer U ei definiert al U = up { x y : x, y U} U i it eine δ-überdekung von F, fall U i eine abzählbare Anzahl von Mengen it, mit größtem Durhmeer δ, die F überdeken Sei F eine Teilmenge de R n und ei eine niht-negative Zahl, für jede δ > 0 definieren wir Hδ (F ) = {inf i= U i : U i δ Überdekung von F} H (F ) = lim δ 0, Hδ (F ) it da -dimenionale Haudorff-Maß von F Al Haudorff-Dimenion wird Folgende bezeihnet: dim H F = inf { : H (F ) = 0} = up { : H (F ) = } Bemerkung: Die Haudorff-Dimenion it der Wert für an dem H (F ) von nah 0 pringt Definition 2 F ei eine niht-leere behränkte Teilmenge de R n, N δ (F ) ei die kleinte Anzahl der Mengen, die höhten den Durhmeer δ > 0 haben und F überdeken Die obere Box-Dimenion wird definiert al: dim B (F ) = lim inf Die untere Box-Dimenion wird definiert al: dim B (F ) = lim up log N δ (F ) log δ log N δ (F ) log δ

2 KATHARINA KIESEL 2 Mae-Verteilung-Prinzip Theorem 2 Angenommen F kann von n k Mengen mit maximalen Durhmeer δ k > 0, wobei δ k 0 für k, überdekt werden Dann gilt: dim H (F ) dim B (F ) lim inf log(n k ) log(δ k ) Gilt zuätzlih δ k+ δ k k N mit einem (0, ), o folgt: dim B (F ) lim up log(n k ) log(δ k ) Gilt zuätzlih lim up n k δk <, o it H (F ) < Bewei Die erte Ungleihung folgt au den Definitionen Wir werden nur die zweite Ungleihung bewieen log(n δ (F )) dim B (F ) := lim up δ log(δ) Für alle δ gibt e eine Folge a n, die gegen Null geht Zu jedem a n wähle ein k n mit dim B (F ) := lim log(n a n (F )) log(a n ) δ kn+ a n δ kn Hiermit folgt: δ kn δ kn+ a n δ k log(δ k ) log(a n ) dim B (F ) = lim log(n an (F )) log(a n ) lim up lim up = lim up = lim up lim up log(n δk +(F )) log(δ kn ) log(n δk +(F )) log log(δ kn+) log(n δk +(F )) log(δ kn+ ) log + log(δ kn+ ) log(n δk +(F )) log(δ kn+) log(n δk (F )) log(δ k )

TECHNIKEN ZUR BERECHNUNG DER DIMENSION 3 Im Folgenden werden wir den Begriff Mae-Verteilung benutzen, welhe eine wihtige Rolle pielen wird Definition 22 Sei F R n eine behränkte Menge und µ ein äußere Borel- Maß auf R n It upp(µ) F und gilt 0 < µ(r n ) <, o wird µ al Mae- Verteilung auf F bezeihnet OBdA können wir µ(r n ) = wählen indem wir µ durh µ(r n ) µ eretzen Theorem 23 Mae-Verteilung-Prinzip (MVP) Sei µ eine Mae-Verteilung auf F Wir nehmen an, da e für ein > 0 Kontanten = () > 0 und δ 0 = δ 0 () > 0 gibt, o da für alle Mengen U mit Durhmeer U δ gilt: µ(u) U Dann folgt darau, da H (F ) µ(f ) und dim H (F ) dim B (F ) dim B (F ) Bewei U i ollen Überdekungen von F ein 0 < µ(f ) = µ( i U i ) i µ(u i ) U i µ(f ) H δ(f ) E wird nun auf beiden Seiten da Infimum angewendet 2 Beipiel zur Cantor-Menge E folgt nun ein Beipiel zur Cantor - Menge, in dem die untere Grenze für die Haudorff-Dimenion berehnet wird Da MVP ermögliht e hnell eine untere Grenze für die Haudorff-Dimenion zu finden Sei µ(f ) die natürlihe Maen-Verteilung auf F, o da für jede k die Intervalle I von E k, der Länge 3 k, die Mae µ(i) = 2 k haben Die Geamtmae von E k wird bei jedem Shritt geteilt und gleihmäßig auf die E k+ Unterintervalle verteilt k Anzahl Intervalle Intervall-Länge Mae 2 /3 /2 2 4 /9 /4 k 2 k 3 k 2 k i Sei U eine Menge mit Durhmeer U < /3 und ei k N o da 3 (k+) U < 3 k

4 KATHARINA KIESEL U kann höhten ein der Intervalle von E k hneiden U hat höhten die Länge eine Teilintervall, die Lüken ind gleih groß wie die Intervalle oder größer µ(u) 2 k = e k log 2 = e 3 U log(2) U log(2) k log(2) log(2) k = e Au dem MVP folgt: H log(2) (F ) > 0 dimh F log(2) = (3 k ) log(2) 22 Modifizierte Cantor-Menge E folgt nun ein weitere Beipiel mit einer modifizierten Cantor-Menge Im Allgemeinen gilt: R n R m hat die Dimenion n + m E wird gezeigt, da diee Auage im folgenden Beipiel gilt Sei F = F [0, ] R 2 : Produkt der Cantor-Menge mit dem Einheit- Intervall Dann oll dim H F = + log(2) H (F ) < Zunäht wird gezeigt, wie man = + log(2) erhält Additivität de Maße: Für ein Intervall gilt: Skalierung-Eigenhaft: H (F ) = H (F L ) + H (F R ) 3H (F ) = H (3F L ) H (λh) = λ H (H) H (3F L ) = 3 H (F L ) H (F L ) = 3 H (F ) Damit folgt für beide Intervalle: It H (0, ), dann folgt: H (F ) = 2 3 H (F ) = 2 3 /2 = 3 e log(2) ( ) = e = log(2) + Ao it = log(2) + it ein Kandidat für die Haudorff-Dimenion E folgt nun die Berehnung: Für jede k wird F von 2 k Intervallen der Länge 3 k überdekt Ein Rehtek betehend au 3 k Quadraten mit Seitenlänge 3 k (Durhmeer

TECHNIKEN ZUR BERECHNUNG DER DIMENSION 5 3 k 2) überdekt den Teil von F über jedem Intervall Wenn man alle Rehteke zuammen nimmt, dann wird F von 2 k 3 k Quadraten mit Seitenlänge 3 k überdekt H 3 k 2 (F ) 3 k 2 k (3 k 2) H (F ) 2 2 und dim H (F ) = 3 k k 2 k 2 2 = 3 k k 2 k 2 2 = e k( ) e k log(2) 2 2 log(2) k( ( = e +) e k log(2) 2 2 log(2) k = e +k log(2) 2 2 = e k log(2)+k log(2) 2 2 = e 0 2 2 = 2 2 Wir wollen nun zeigen, da H > 0 it Berehnung: Sei µ eine Maeverteilung U it ein Rehtek mit Seiten parallel zu den Koordinatenahen und Höhe h µ(u) = h 2 k Jede Menge U kann von einem Quadrat mit Länge U überdekt werden Wenn 3 (k+) U < 3 k, dann überdekt U höhten ein Bai-Intervall von F mit Seitenlänge 3 k µ(u) U 2 k log(2) k U 3 U (3 U ) log(2) 3 log(2) U mit dem Mae-Verteilung-Prinzip folgt: H (F ) > 0 3 Theorem 3 3 Theorem 3 Theorem 3 Sei F eine Borel-Menge de R n mit H (F ) =, dann gibt e eine kompakte Teilmenge E von F, o da 0 < H (E) < Bewei Für den Bewei iehe Seite 62 de Buhe Mathematial foundation and appliation von K Faloner

6 KATHARINA KIESEL 32 Anwendungen de Theorem 3 Man extrahiert ih au der Menge F eine Untermenge mit poitiver, endliher Mae und haut ih die Eigenhaften dieer Menge an Anhließend veruht man von diee Eigenhaften im Zuammenhang mit der größeren Menge F zu interpretieren Eine Menge F mit der Haudorff-Dimenion t > 0 hat H (F ) =, fall 0 < < t und beinhaltet omit eine -dimenionale Menge 4 Potential-theoretihe Methode 4 Korollare Die Folgenden zwei Propoitionen werden für den Bewei de Theorem 4 benötigt Corollary 4 Sei µ eine Mae-Verteilung im R n und ei F eine Teilmenge de R n ; ei eine Kontante, mit 0 < < B r (x) ei die Kugel um x mit Radiu r > 0 Dann gilt: B Wenn lim up r(x) r 0 < 0 für alle x F dann it H (F ) µ(f ) r B Wenn lim up r(x) r 0 > 0 für alle x F dann it H (F ) 2 µ(r n ) r Corollary 42 F ei eine Borel-Menge de R n mit H (F ) = Dann gibt e eine kompakte Menge E F, o da 0 < H (E) < ; für eine Kontante b gilt: H (E B r (x)) br 42 Potential-theoretihe Methode Die Potential-theoretihe Methode it ein Hilfmittel um die Haudorff-Dimenion zu berehnen Seither muten wir dazu eine große Anzahl an kleinen Mengen abhätzen Die wird nun durh da Unteruhen eine betimmten Integral auf Konvergenz eretzt Wer ih etwa mit Gravitation oder Elektrotatik aukennt, der hat hon mal etwa von Potentialen und Energie gehört Definition 43 Für 0 it da -Potential an einem Punkt x im R n aufgrund der Mae-Verteilung µ im R n definiert al ϕ (x) = ( ) x y dµ(y) = y µ (x) Bemerkung: Wenn wir un im R 3 befinden und =, dann erhalten wir da Newton he Gravitationpotential

TECHNIKEN ZUR BERECHNUNG DER DIMENSION 7 Definition 44 Die -Energie einer Mae-Verteilung µ auf R n it I (µ) = ϕ (x)dµ(x) = x y dµ(x)dµ(y) Theorem 45 Sei F ein Unterraum de R n () Fall e eine Mae-Verteilung µ auf F mit I (µ) < gibt, dann it H (F ) = und dim H (F ) (2) Fall F eine Borel-Menge mit H (F ) > 0 it, dann exiiert eine Mae- Verteilung µ auf F mit I t (µ) < für alle t < Bewei Bewei zu Teilauage : µ ei eine Mae-Verteilung mit Support in F µ(b Definiere nun F mit F := (x F : lim up r(x)) r 0 > 0) wobei B r r (x) eine gehloene Kugel um x mit Radiu r it Wenn x F, dann finden wir eine Folge von Zahlen r i die gegen 0 trebt, o da µ(b r (x)) ɛrr µ(b(x, r)) µ(x) = 0 r 0 ObdA ei µ(x) = 0 (Wenn µ(x) > 0, dann it klar, da I (µ) = 0 it) E folgt wegen der Stetigkeit von µ mit 0 < q i < r i und q i klein genung: mit A i = B ri (x) B qi (x) µ(a i ) 4 ɛr i (i N) µ(a i ) = µ(b ri (x)) µ(b qi (x)) Wir nehmen an, da r i+ < q i für alle i, o da A i dijunkte Ringe mit Mittelpunkt x ind φ (x) = x y dµ(y) A i x y dµ(y) i= i= 4 ɛr i = da x y r i Aber I (µ) = φ dµ(x) <, o da φ (x) < für µ-fat alle x µ(f ) = 0 lim(f ) = 0 lim r 0 µ(b r (x)) r = 0, fallx F/F Mit dem Corollary 4 und > 0 folgt: H (F ) H (F/F ) µ(f/f ) µ(f ) µ(f ) = µ(f ) H (F ) =

8 KATHARINA KIESEL Bewei der Teilauage 2: Angenommen H (F ) > 0 H wird benutzt um eine Mae-Verteilung µ auf F mit I(µ) < für alle t < zu kontruieren Mit dem Corollary 42 folgt: E gibt ein E F mit 0 < H (E) <, o da H (E B r (x)) br, wobei b eine Kontante ei µ ei eine Einhränkung von H auf E, da heißt: µ(a) := H (E A) µ it Mae-Verteilung auf F mit 0 < µ(f ) < Sei x R fet: mit 0 t folgt: φ t (x) = ( ) : m(r) := µ(b r (x)) = H (E B r (x)) br x y x y > 0 x y dµ(y) + t x y > x y dµ(y) t dµ(y) dµ(y) = µ(r n ) R n r t dm(r) + µ(r n ) mit partieller Integration und der Gleihung (*) folgt: [r t m(r)] 0 + t b 0 + bt 0 b( + 0 r (t+) m(r)dr + µ(r n ) r t dr + µ(r n ) t t ) + H (F ) o da: I t (µ) = φ t (x) t, φ t dµ(x) dµ µ(r n ) < 43 Verwendung Theorem 4 Theorem 4 tellt eine Verbindung zwihen der Haudorff-Dimenion und der Potential-Theorie her Wenn e eine Mae- Verteilung µ auf der Menge F gibt, die eine endlihe -Energie hat, dann hat F wenigten die Dimenion

TECHNIKEN ZUR BERECHNUNG DER DIMENSION 9 44 Anwendungen Anwendungen folgen vor allem noh in päteren Vorträgen (zb beim Bewei de Projektion-Theorem) Anwendung de Satze 4 vor allem auh bei Fraktalen F φ, die von einem Parameter abhängen E gibt einen natürlihen Weg eine Maeverteilung µ φ auf F φ für alle φ zu definieren, wenn wir zeigen können, da für ein Folgende gilt: I (µ φ )dφ = x y dµ φ (x)dµ φ (y)dφ <, dann it I (µ φ ) < und dim H (F φ ) für fat alle φ Literatur [] K Faloner: Fratal geometry Mathematial foundation and appliation 2nd ed, Wiley, 2003 E-mail addre: katharinakieel@uni-ulmde