KAPITEL 8 Wichtige statistische Veteilungen In diesem Kapitel weden wi die wichtigsten statistischen Veteilungsfamilien einfühen Zu diesen zählen neben de Nomalveteilung die folgenden Veteilungsfamilien: () Gammaveteilung (Spezialfälle: χ Veteilung und Elang Veteilung); () Student t Veteilung; (3) Fishe Snedeco F Veteilung Diese Veteilungen weden wi späte fü die Konstuktion von Konfidenzintevallen und statistischen Tests benötigen 8 Gammafunktion und Gammaveteilung Definition 8 Die Gammafunktion ist gegeben duch Γ(α) = t α e t dt, α > Abbildung De Gaph de Gammafunktion Folgende Eigenschaften de Gammafunktion weden oft benutzt: () Γ(α + ) = αγ(α) () Γ(n) = (n )!, falls n N (3) Γ( ) = π Die letzte Eigenschaft kann man wie folgt beweisen: Mit t = w und dt = wdw gilt ( ) Γ = t e t w dt = w e wdw = e w dw = π,
denn e w dw = π Definition 8 Eine Zufallsvaiable X ist Gammaveteilt mit Paameten α > und λ >, falls fü die Dichte von X gilt f X (x) = Notation 83 X Gamma(α, λ) Aufgabe 84 Zeigen Sie, dass λα Γ(α) xα e λx, x > λ α Γ(α) xα e λx dx = Bemekung 8 Die Gammaveteilung mit Paameten α = und λ > hat Dichte λe λt, t >, und stimmt somit mit de Exponentialveteilung mit Paamete λ übeein 4 4 4 8 8 8 6 6 6 4 4 4 Abbildung Dichten de Gammaveteilungen mit veschiedenen Weten des Paametes α Links: α < Mitte: α = (Exponentialveteilung) Rechts: α > Satz 86 Sei X Gamma(α, λ) eine Gammaveteilte Zufallsvaiable Dann sind die Laplace Tansfomiete m X (t) := Ee tx und die chaakteistische Funktion ϕ X (t) := Ee itx gegeben duch m X (t) = ( ) t α (fü t < λ), ϕ X (t) = λ Beweis Fü die Laplace Tansfomiete egibt sich m X (t) = e tx λα Γ(α) xα e λx dx = λα Γ(α) ( ) it α (fü t R) λ x α e (λ t)x dx Dieses Integal ist fü t < λ konvegent Indem wi nun w = (λ t)x einsetzen, ehalten wi, dass ( ) α m X (t) = λα w w dw e Γ(α) λ t λ t = λα w α e w dw = Γ(α) (λ t) α ( t λ )α Wenn man nun komplexe Wete von t zulässt, dann sind die obigen Integale in de Halbebene Re t < λ konvegent Somit stellt m X (t) eine analytische Funktion in de Halbebene Re t < λ da und ist fü eelle Wete von t gleich /( t λ )α Nach dem Pinzip de analytischen Fotsetzung (Funktionentheoie) muss diese Fomel in de ganzen Halbebene gelten Indem wi nun die Fomel fü Zahlen de Fom t = is benutzen (die in de Halbebene fü alle s R liegen), ehalten wi, dass ϕ X (s) = m X (is) = ( is λ )α
Somit ist die Fomel fü die chaakteistische Funktion bewiesen Aufgabe 87 Zeigen Sie, dass fü X Gamma(α, λ) gilt EX = α λ, Va X = α λ De nächste Satz heißt die Faltungseigenschaft de Gammaveteilung Satz 88 Sind die Zufallsvaiablen X Gamma(α, λ) und Y Gamma(β, λ) unabhängig, dann gilt fü die Summe X + Y Gamma(α + β, λ) Beweis Fü die chaakteistische Funktion von X + Y gilt wegen de Unabhängigkeit ϕ X+Y (t) = ϕ X (t) ϕ Y (t) = ( it λ )α ( it = λ )β ( it λ )α+β Dies ist die chaakteistische Funktion eine Gamma(α + β, λ) Veteilung Da die chaakteistische Funktion die Veteilung eindeutig bestimmt, muss X + Y Gamma(α + β, λ) gelten 8 χ Veteilung Definition 8 Seien X,, X n N(, ) unabhängige und standadnomalveteilte Zufallsvaiablen Dann heißt die Veteilung von X + + Xn die χ Veteilung mit n Feiheitsgaden Notation 8 X + + Xn χ n 4 3 Abbildung 3 Dichten de χ Veteilungen mit n =,, Feiheitsgaden Wi weden nun zeigen, dass die χ Veteilung ein Spezialfall de Gammaveteilung ist Zuest betachten wi die χ Veteilung mit einem Feiheitsgad 3
Satz 83 Sei X N(, ) Dann ist X Gamma(, ) Symbolisch: χ d = Gamma(, ) Beweis Wi bestimmen die Laplace Tansfomiete von X : ( ) m X (t) = Ee tx = e tx e x dx = π π R R e t x dx = t Das gilt fü komplexe t mit Re t < Insbesondee ehalten wi mit t = is, dass fü die chaakteistische Funktion von X gilt ϕ X (s) = is, s R Dies entspicht de chaakteistischen Funktion eine Gammaveteilung mit Paameten α = / und λ = / Da die chaakteistische Funktion die Veteilung eindeutig festlegt, ehalten wi, dass X Gamma(, ) Satz 84 Seien X,, X n N(, ) unabhängige Zufallsvaiablen Dann gilt ( n X + + Xn Gamma, ) Symbolisch: χ n d = Gamma( n, ) Beweis Wi haben beeits gezeigt, dass X,, Xn Gamma(, ) Außedem sind die Zufallsvaiablen X,, Xn unabhängig De Satz folgt aus de Faltungseigenschaft de Gam- maveteilung Bemekung 8 Die Dichte eine χ n Veteilung ist somit gegeben duch f(x) = n Γ( n e x, x > )xn Beispiel 86 Seien X, X N(, ) unabhängige Zufallsvaiablen Dann gilt ( X + X Gamma, ) ( ) Exp Symbolisch: χ d = Exp( ) 83 Poisson Pozess und die Elang Veteilung Um den Poisson Pozess einzufühen, betachten wi folgendes Modell Ein Geät, das zum Zeitpunkt installiet wid, habe eine Lebensdaue W Sobald dieses Geät kaputt geht, wid es duch ein neues baugleiches Geät esetzt, das eine Lebensdaue W hat Sobald dieses Geät kaputt geht, wid ein neues Geät installiet, und so weite Die Lebensdaue des i ten Geätes sei mit W i bezeichnet Die Zeitpunkte S n = W + + W n, n N, 4
bezeichnet man als Eneueungszeiten, denn zu diesen Zeiten wid ein neues Geät installiet Folgende Annahmen übe W, W, escheinen plausibel Wi nehmen an, dass W, W, Zufallsvaiablen sind Da ein Geät nichts von de Lebensdaue eines andeen mitbekommen kann, nehmen wi an, dass die Zufallsvaiablen W, W, unabhängig sind Da alle Geäte die gleiche Bauat haben, nehmen wi an, dass W, W, identisch veteilt sind Welche Veteilung soll es nun sein? Es escheint plausibel, dass diese Veteilung gedächtnislos sein muss, also weden wi annehmen, dass W, W, exponentialveteilt sind Definition 83 Seien W, W, unabhängige und mit Paamete λ > exponentialveteilte Zufallsvaiablen Dann heißt die Folge S, S, mit S n = W + + W n ein Poisson Pozess mit Intensität λ Abbildung 4 Eine Realisieung des Poisson Pozesses Wie ist nun die n te Eneueungszeit S n veteilt? Da W i Exp(λ) Gamma(, λ) ist, egibt sich aus de Faltungseigenschaft de Gammaveteilung, dass S n Gamma(n, λ) Diese Veteilung (also die Gamma(n, λ) Veteilung, wobei n eine natüliche Zahl ist), nennt man auch die Elang Veteilung Aufgabe 83 Zeigen Sie, dass ES n = n λ und Va S n = n λ Wi weden nun kuz auf die Bezeichnung Poisson Pozess eingehen Betachte ein Intevall I = [a, b] [, ) de Länge l := b a Sei N(I) eine Zufallsvaiable, die die Anzahl de Eneueungen im Intevall I zählt, dh: N(I) = Sk I Satz 833 Es gilt N(I) Poi(λl) k= Beweisidee Betachte ein seh kleines Intevall [t, t + δ], wobei δ Dann gilt aufgund de Gedächtnislosigkeit de Exponentialveteilung P[ Eneueung im Intevall [t, t + δ]] = P[ Eneueung im Intevall [, δ]] Die Wahscheinlichkeit, dass es mindestens eine Eneueung im Intevall [, δ] gibt, lässt sich abe folgendemaßen beechnen: P[ Eneueung im Intevall [, δ]] = P[W < δ] = e λδ λδ Wi können nun ein beliebiges Intevall I de Länge l in l/δ kleine disjunkte Intevalle de Länge δ zelegen Fü jedes kleine Intevall de Länge δ ist die Wahscheinlichkeit, dass es in diesem Intevall mindestens eine Eneueung gibt, λδ Außedem sind veschiedene kleine Intevalle wegen de Gedächtnislosigkeit de Exponentialveteilung unabhängig voneinende Somit gilt fü die Anzahl de Eneueungen N(I) in einem Intevall I de Länge l ( ) l N(I) Bin δ, λδ Poi(λl),
wobei wi im letzten Schitt den Poisson Genzwetsatz benutzt haben 84 Empiische Ewatungswet und empiische Vaianz eine nomalveteilten Stichpobe De nächste Satz bescheibt die gemeinsame Veteilung des empiischen Ewatungswets X n und de empiischen Vaianz S n eine nomalveteilten Stichpobe Satz 84 Seien X,, X n unabhängige und nomalveteilte Zufallsvaiablen mit Paameten µ R und σ > Definiee X n = X + + X n, Sn = n n (X i X n ) i= Dann gelten folgende dei Aussagen: () X n N(µ, σ ) n () (n )S n χ σ n (3) Die Zufallsvaiablen X n und (n )S n σ sind unabhängig Bemekung 84 Teil 3 kann man auch wie folgt fomulieen: Die Zufallsvaiablen X n und S n sind unabhängig Beweis von Teil Nach Voaussetzung sind X,, X n nomalveteilt mit Paameten (µ, σ ) und unabhängig Aus de Faltungseigenschaft de Nomalveteilung folgt, dass die Summe X + +X n nomalveteilt mit Paameten (nµ, nσ ) ist Somit ist X n nomalveteilt mit Paameten (µ, σ ) n Die folgende Übelegung veeinfacht die Notation im Rest des Beweises Betachte die standadisieten Zufallsvaiablen X i = X i µ N(, ) σ Es seien X n de empiische Mittelwet und S n die empiische Vaianz diese Zufallsvaiablen Dann gilt X n = n i= (σx i + µ) = σ X n + µ, S n = σ n i= (X i X n) = σ S n Um die Unabhängigkeit von X n und Sn zu zeigen, eicht es, die Unabhängigkeit von X n und zu zeigen Außedem ist S n (n )S n σ = 6 (n )S n
Fü den Rest des Beweises können wi also annehmen, dass X,, X n standadnomalveteilt sind, ansonsten kann man stattdessen X,, X n betachten Seien also X,, X n N(, ) Wi zeigen, dass X n und S n un- Beweis von Teil 3 abhängig sind Schitt Wi können Sn als eine Funktion von X X n,, X n X n auffassen, denn wegen n i= (X i X n ) = gilt ( (n )Sn = (X i X n )) + (X i X n ) = ρ(x X n,, X n X n ), wobei i= i= ( ) ρ(x,, x n ) = x i + i= x i Somit genügt es zu zeigen, dass die Zufallsvaiable X n und de Zufallsvekto (X X n,, X n X n ) unabhängig sind Schitt Dazu beechnen wi die gemeinsame Dichte von ( X n, X X n,, X n X n ) Die gemeinsame Dichte von (X,, X n ) ist nach Voaussetzung ( ) ( ) n f(x,, x n ) = exp x i π Betachte nun die Funktion ψ : R n R n mit ψ = (ψ,, ψ n ), wobei ψ (x,, x n ) = x n, ψ (x,, x n ) = x x n,, ψ n (x,, x n ) = x n x n Die Umkehfunktion φ = ψ ist somit gegeben duch φ = (φ,, φ n ) mit φ (y,, y n ) = y y i, φ (y,, y n ) = y + y,, φ n (y,, y n ) = y + y n i= Die Jacobi Deteminante von φ ist konstant (und gleich n, wobei diese Wet eigentlich nicht benötigt wid) Schitt 3 Fü die Dichte von ( X n, X X n,, X n X n ) = ψ(x,, X n ) gilt mit dem Dichtetansfomationssatz g(y,, y n ) = nf(x,, x n ) ( = n exp y (π) n = n (π) n ( ) exp ny exp 7 i= i= ) y i i= i= (y + y i ) i= ( ) yi y i i=
Somit ist X n unabhängig von (X X n,, X n X n ) Beweis von Teil Es gilt die Identität Z := Xi = (X i X n ) + ( n X n ) =: Z + Z Dabei gilt: i= () Z χ n nach Definition de χ Veteilung () Z χ, denn n X n N(, ) (3) Z und Z sind unabhängig (wegen Teil 3 des Satzes) Damit egibt sich fü die chaakteistische Funktion von Z : i= ϕ Z (t) = ϕ Z(t) ϕ Z (t) = ( it) n ( it) = ( it) (n )/ Somit ist (n )S n = Z Gamma( n, ) d = χ n 8 t Veteilung Definition 8 Seien X N(, ) und U χ unabhängige Zufallsvaiablen, wobei N Die Zufallvaiable V = X U heißt t veteilt mit Feiheitsgaden Notation 8 V t 3 Abbildung Dichten de t Veteilungen mit =,, Feiheitsgaden 8
Satz 83 Die Dichte eine t veteilten Zufallsvaiable V t ist gegeben duch f V (t) = Γ( + ) Γ( ) π( + t ) +, t R Beweis Nach Definition de t Veteilung gilt die Dastellung V = wobei X N(, ) und U χ unabhängig sind Die gemeinsame Dichte von X und U ist gegeben duch f X,U (x, u) = e x u e u, x R, u > π Γ( ) Betachten wi nun die Abbildung (x, u) (v, w) mit v = x u, w = u Die Umkehabbildung ist somit x = v w und u = w Die Jacobi Deteminante de Umkehabbildung ist w Somit gilt fü die gemeinsame Dichte von (V, W ) w f V,W (v, w) = f X,Y (x, y) = ( ) exp v w w e w w π Γ( ) X, U Somit kann die Dichte von V wie folgt beechnet weden: ( ( v f V (v) = f V,W (v, w)dw = π / Γ( ) exp w + )) w + dw Mit de Fomel w α e λw dw = Γ(α) λ α f V (v) = Γ( + π / Γ( ) ( v + ) = + Dies ist genau die gewünschte Fomel beechnet sich das Integal zu ) Γ( + ) Γ( ) π( + v ) + Beispiel 84 Die Dichte de t veteilung ist f V (t) = π Dichte de Cauchy Veteilung übeein und stimmt somit mit de +t Aufgabe 8 Zeigen Sie, dass fü die Dichte de t Veteilung punktweise gegen die Dichte de Standadnomalveteilung konvegiet Satz 86 Seien X,, X n unabhängige und nomalveteilte Zufallsvaiablen mit Paameten (µ, σ ) Dann gilt n Xn µ σ N(, ), 9 n Xn µ S n t n
Beweis Die este Fomel folgt aus de Tatsache, dass X n N(µ, σ ) Wi beweisen die n zweite Fomel Es gilt die Dastellung n Xn µ σ n Xn µ S n = n (n )Sn σ Da nach Satz 84 die Zufallsvaiablen n X n µ N(, ) und (n )S n χ σ σ n unabhängig sind, hat n X n µ S n eine t Veteilung mit n Feiheitsgaden 86 F Veteilung Definition 86 Seien, s N Paamete Seien U χ und U s χ s unabhängige Zufallsvaiablen Dann heißt die Zufallsvaiable W = U / U s /s F -veteilt mit (, s) Feiheitsgaden Notation 86 W F,s 8 6 4 Abbildung 6 Dichte de F Veteilung mit (, 8) Feiheitsgaden Satz 863 Die Dichte eine F veteilten Zufallsvaiable W F,s ist gegeben duch ) t f W (t) = +s Γ( ) ( Γ( )Γ( s) s ( +s + t) s, t > Beweis Wi weden die Dichte nu bis auf die multiplikative Konstante beechnen Die Konstante egibt sich dann aus de Bedingung, dass die Dichte sich zu integiet Wi scheiben f(t) g(t), falls f(t) = Cg(t), wobei C eine Konstante ist Wi haben die Dastellung W = U / U s /s,
wobei U χ und U s χ s unabhängig sind Fü die Dichten von U und U s gilt f U (x) x e x/, f Us (x) x s e x/, x > Somit folgt fü die Dichten von U / und U s /s, dass f U/(x) x e x/, f Us/s(x) x s e sx/, x > Fü die Dichte von W gilt die Faltungsfomel: f W (t) = y f U/(yt)f Us/s(y)dy Indem wi nun die Dichten von U / und U s /s einsetzen, ehalten wi, dass ( f W (t) y(yt) e yt s y e sy dy t + y + s exp y Mit de Fomel y α e λy dy = Γ(α) λ α f W (t) t R beechnet sich das Integal zu (t + s) +s ( + +s t) s Dies ist genau die gewünschte Dichte, bis auf eine multiplikative Konstante t ( t + s )) dy