Die verallgemeinerte Lognormalverteilung

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1 Univesität Dotmund Fachbeeich Statistik Diplomabeit Die veallgemeinete Lognomalveteilung Stefanie Chistina Scheid Beteue: Pof. D. Walte Käme Dotmund im Novembe 2

2 2 Inhaltsvezeichnis Symbole und Def initionen 3 Einleitung 5 2 Die Spezialfälle 7 2. Die Lognomalveteilung Die Log-Laplace-Veteilung Die veallgemeinete Lognomalveteilung 6 3. Theoetische Heleitung Dichte- und Veteilungsfunktion Eigenschaften de Dichte Momente und Veteilungspaamete Hazadate Entopie Loenzkuve und Ungleichheitsmessung Loenzkuve und Loenzodnung Ungleichheitsmaße Schätzen und Testen de Paamete 4 5. Momentenmethode Maximum-Likelihood-Methode Likelihood-Quotienten-Test Infomationsmatix Scoe-Test

3 INHALTSVERZEICHNIS 3 6 Anwendung de Vefahen Paameteschätzung Güte de Anpassung Testen des Paametes Zusammenfassung 68 Liteatuvezeichnis 7 A Heleitungen 73 A. p-tes Moment µ p A.2 Entopie H A.3 Modifiziete Theilkoeffizient T med A.4 Modifiziete Theilkoeffizient T mod A.5 Theilkoeffizient T A.6 Zweite Theilkoeffizient T A.7 Ableitungen de Gammafunktion A.8 Infomationsmatix mit Schwellenwet B Tafel de veallgemeineten Standadnomalveteilung 85 C Anpassungen an die EVS-Daten 87 D Vewendete SAS-Pogamme 9

4 4 Symbole und Def initionen α 3 Schiefekoeffizient eine Veteilung: α 3 := µ 3 / µ 3/2 2. α 4 Wölbungskoeffizient eine Veteilung: α 4 := µ 4 / µ 2 2. Γ( ) Gammafunktion mit den Eigenschaften: Γ(x) := exp{ t}t x dt fü x >, Γ(x + ) = x Γ(x), Γ(x) Γ( x) = π/ sin(πx) fü x, ±, ±2,..., Γ(n + ) = n! fü n =,, 2,..., Γ(n + /2) = [(2n)! π ] / [n! 2 2n ] fü n =,, 2,..., Γ(/2) = π. F ( ) F ( ) f( ) Veteilungsfunktion eine Zufallsvaiablen. Veteilungsfunktion de esten Momentenveteilung de Zufallsvaiablen X : F (x) := /E[X] x t f(t) dt. Dichtefunktion eine Zufallsvaiablen. Λ(µ, σ 2 ) Lognomalveteilung mit den Paameten µ, σ 2. Λ g (θ, θ 2, ) Veallgemeinete Lognomalveteilung mit den Paameten θ, θ 2,. ln L(ϑ; x,..., x n ) Log-Likelihood-Funktion de Beobachtungen {x,..., x n } de unabhängig und identisch veteilten Zufallsvaiablen (X,..., X n ) mit Veteilungsfunktion abhängig vom Paametevekto ϑ, Abküzung: ln L.

5 SYMBOLE UND DEFINITIONEN 5 µ p p-tes Moment de Zufallsvaiablen X : µ p := E [X p ]. µ p p-tes Zentalmoment de Zufallsvaiablen X: µ p := E [(X µ ) p ]. µ p p-tes zentales Absolutmoment de Zufallsvaiablen X: µ p := E [ X µ p ]. N(µ, σ 2 ) Nomalveteilung mit Ewatungswet µ und Vaianz σ 2. N g (θ, θ 2, ) Veallgemeinete Nomalveteilung mit den Paameten θ, θ 2,. Φ( ) Φ ( ) Veteilungsfunktion de Standadnomalveteilung. Veteilungsfunktion de veallgemeineten Standadnomalveteilung de Odnung. Ψ( ) Digammafunktion: Ψ(x) := ln Γ(x). x Ψ ( ) Tigammafunktion: Ψ (x) := x Ψ(x). IR Menge de eellen Zahlen. IR + Menge de positiven eellen Zahlen. IR + Menge de positiven eellen Zahlen und. falls x > sign( ) Signumfunktion: sign(x) = falls x = falls x <. ϑ Wahe Wet des unbekannten Paametevektos ϑ. ˆϑ Schätze fü den unbekannten Paametevekto ϑ. x med Median de Veteilung de Zufallsvaiablen X. x mod Modalwet de Veteilung de Zufallsvaiablen X.

6 6 Kapitel Einleitung In vielen Beeichen de statistischen Anwendungen stößt man auf Daten, die zwa eingipflig, abe stak asymmetisch veteilt sind, was die beliebte Annahme de Nomalveteilung vehindet. In diesem Dilemma hat die Lognomalveteilung ihen Uspung: Wendet man auf positive, echtsschief veteilte Daten die natüliche Logaithmusfunktion an, so lassen die tansfomieten Wete häufig die Annahme de Nomalveteilung zu. Dahe liegt es nahe, bei den uspünglichen Daten von eine Lognomalveteilung zu spechen und diese nähe zu chaakteisieen. Duch den einfachen Tansfomationszusammenhang lassen sich ihe Eigenschaften in de Regel auf die Eigenschaften de Nomalveteilung zuückfühen. Die Paxis zeigt jedoch, dass auch die Lognomalveteilung nicht imme angemessen ist und die Daten ungenügend anpasst. Hie stellt sich die Fage nach eine allgemeineen Vaiante de Lognomalveteilung, die weitehin die Eigenschaft de positiven, eingipflig und echtsschief veteilten Mekmalsauspägungen besitzt, die jedoch duch einen zusätzlichen Fompaamete bessee Anpassungen liefet. Tatsächlich lässt sich eine solche Veallgemeineung finden. Sie leitet sich von de veallgemeineten Nomalveteilung ab, die ebenfalls übe einen zusätzlichen Paamete vefügt. Neben de einfachen Lognomalveteilung enthält die Veallgemeineung die Log-Laplace-Veteilung als Spezialfall. Letztee egibt sich aus de exponentiellen Tansfomation eine Laplace-veteilten Zufallsvaiablen. Die Eigenschaften de veallgemeineten Lognomalveteilung lassen sich im Pinzip aus den Eigenschaften de veallgemeineten Nomalveteilung gewinnen. Übe letztee existiet alledings kaum Liteatu. Dahe weden die meisten Ei-

7 KAPITEL. EINLEITUNG 7 genschaften de veallgemeineten Lognomalveteilung diekt hegeleitet. Auch die vohandene Liteatu lässt einige Fagen offen. So finden sich beispielsweise keine Quellen zu Paameteschätzung pe Maximum-Likelihood-Methode. Ich möchte mit diese Abeit einen Übeblick geben übe beeits beschiebene Chaakteistika de veallgemeineten Lognomalveteilung und diese um weitee Eigenschaften egänzen. Dahe folgt auf die kuze Bescheibung de Lognomalund de Log-Laplace-Veteilung (Kapitel 2) die theoetische Heleitung de veallgemeineten Lognomalveteilung sowie einige ihe gundlegenden Eigenschaften (Kapitel 3). Da sie auch im Beeich de Ökonometie angewandt wid, widmet sich Kapitel 4 den Loenzkuven und de Konzentationsmessung bei veallgemeinet lognomalveteilten Zufallsvaiablen. In Kapitel 5 weden Schätzvefahen nach de Momenten- und de Maximum-Likelihood-Methode betachtet. Da de zusätzliche Fompaamete eine zentale Rolle spielt, stellt sich im Zusammenhang mit de Paameteschätzung die Fage, ob die veallgemeinete de einfachen Lognomalveteilung vozuziehen wäe. Als Testvefahen weden de Likelihood- Quotienten- sowie de Scoe-Test vogestellt, wobei fü letzteen zunächst die Infomationsmatix bestimmt weden muss (ebenfalls in Kapitel 5). Kapitel 6 schließlich wendet die beschiebenen Schätz- und Testvefahen auf Daten aus de Einkommens- und Vebauchsstichpobe des Statistischen Bundesamtes aus dem Jah 993 an. Als Tennungszeichen de Dezimalstellen wid im Folgenden ein Punkt anstelle des Kommas benutzt, um bessee Lesbakeit und vo allem Kontinuität in Text und Abbildung zu gewähleisten.

8 8 Kapitel 2 Die Spezialfälle Die folgenden Abschnitte 2. und 2.2 widmen sich de Lognomal- und de Log- Laplace-Veteilung. Diese stellen die Spezialfälle de im Kapitel 3 hegeleiteten veallgemeineten Lognomalveteilung da. Geade die Lognomalveteilung wid in de Liteatu häufig ewähnt, da sie in vielen Beeichen de Anpassung und Modellieung angewandt wid. Fü die Log-Laplace-Veteilung existiet kaum Liteatu, ihe Eigenschaften weden duch eigene Betachtungen egänzt. Dieses Kapitel soll dazu dienen, die beiden Veteilungen kuz vozustellen und ihe gundlegenden Eigenschaften zu nennen. 2. Die Lognomalveteilung Die Lognomalveteilung steht in engem Zusammenhang zu Nomalveteilung und ist wie folgt definiet: Wenn de natüliche Logaithmus eine Zufallsvaiablen X nomalveteilt ist (also ln X =: Y N(µ, σ 2 )), so heißt X lognomalveteilt (exp Y = X Λ(µ, σ 2 )). Da man also eine lognomalveteilte Zufallsvaiable ehält, indem die Exponentialfunktion auf eine nomalveteilte Zufallsvaiable angewandt wid, spicht man gelegentlich auch von de Antilognomal-Veteilung (vgl. Johnson, Kotz und Balakishnan, 994, S. 28).

9 KAPITEL 2. DIE SPEZIALFÄLLE 9 Die Dichtefunktion f Λ de Lognomalveteilung egibt sich aus dem Tansfomationssatz fü Dichten mit y = ln x aus de Dichte f N de Nomalveteilung und es gilt: f N (y) = σ 2π exp { } (y µ)2 2σ 2 } { f Λ (x) = σ 2π x exp (ln x µ)2 fü x > 2σ 2 sonst. fü < y <, (2.) (2.2) Dabei gelte fü die Paamete µ und σ, dass beide aus den eellen Zahlen und σ zusätzlich göße als sei. Die Tansfomation wikt sich auf die Bedeutung de Paamete aus: Bei de Nomalveteilung ist µ ein Lage- und σ ein Skalenpaamete, bei de Lognomalveteilung ist µ ein Skalen- und σ ein Fompaamete. Die Lognomalveteilung findet bei Daten mit positivem Täge Vewendung, deen eingipflige, abe asymmetische (da echtsschiefe) Veteilung eine zugunde liegende Nomalveteilung ausschließt. Sie eignet sich zu Bescheibung von witschaftlichen Gößen wie zum Beispiel Einkommen, Poduktpeis und Fimengöße. Auch in andeen, meist natuwissenschaftlichen Beeichen findet man Daten, die eine Lognomalveteilung vemuten lassen. Dazu zählen Disziplinen wie die Biologie und die Ökologie (zum Beispiel Wachstum ode natüliches Vokommen bestimmte Spezies), die Geologie (Gesteinsgöße, Minealienvokommen ode Anzahl von Patikeleinschlüssen) sowie die Meteoologie (Göße und Konzentation in de Atmosphäe auftetende Patikel, Niedeschlag und Fluthäufigkeit). Eine ausfühliche Übesicht übe Anwendungen in den ewähnten wissenschaftlichen Beeichen bieten Cow und Shimizu (988). Neben de zweipaametigen Lognomalveteilung Λ(µ, σ 2 ) existiet noch eine deipaametige Vaiante Λ(µ, σ 2, λ). Zusätzlich zum Skalenpaamete µ und zum Fompaamete σ titt de Lagepaamete λ hinzu, und man spicht von eine deipaametig lognomalveteilten Zufallsvaiablen X, wenn die Zufallsvaiable Y = ln(x λ) nomalveteilt ist gemäß N(µ, σ 2 ). Da die Zufallsvaiable X nu Wete göße als λ annehmen kann, nennt man λ auch Schwellenwet. Die zweipaametige Vesion ist ein Spezialfall de deipaametigen (mit λ = ). Chen (995) diskutiet eine weitee deipaametige Vaiante, die e Veallgemeinete Lognomalveteilung nennt. Diese daf jedoch nicht vewechselt weden mit de in den nächsten Kapiteln beschiebenen Veallgemeineung.

10 KAPITEL 2. DIE SPEZIALFÄLLE Die folgenden Eigenschaften sind beschänkt auf die zweipaametige Lognomalveteilung Λ(µ, σ 2 ) und sind im Wesentlichen Cow und Shimizu (988, Kapitel ) entnommen. Das p-te Moment µ p de Zufallsvaiablen X Λ(µ, σ 2 ) lautet: µ p := E[X p ] = exp {pµ + 2 } p2 σ 2, (2.3) woaus de Ewatungswet und die Vaianz als zweites Zentalmoment folgen: E[X] = µ = exp {µ + 2 } σ2, (2.4) V a(x) = µ 2 = exp{2µ + σ 2 }(exp{σ 2 } ). (2.5) Die Veteilung wid jedoch nicht eindeutig duch die Momente bestimmt. De Median liegt bei exp µ, was aus de logaithmischen Tansfomation folgt (µ ist geade de Median de Nomalveteilung). De Modalwet liegt bei exp{µ σ 2 }. Aus de Relation Ewatungswet > Median > Modalwet folgt die Rechtsschiefe de Lognomalveteilung. Nähet sich de Wet des Paametes σ dem Wet, so ist die koespondieende Zufallsvaiable X Λ(µ, σ 2 ) appoximativ nomalveteilt gemäß N(µ, σ 2 ). Abbildung 2. gibt Dichten deie Lognomalveteilungen mit festem Skalenpaamete µ = und veschiedenen Fompaameten σ wiede. Dabei zeigt sich, dass die Dichtefunktionen mit fallendem σ an Symmetie zunehmen. Fü den Schiefekoeffizienten α 3 und den Wölbungskoeffizienten α 4 gilt mit ω := exp{σ 2 }: α 3 = ω (ω + 2) und α 4 = ω 4 + 2ω 3 + 3ω 2 3. (2.6) Die Veteilungsfunktion de Lognomalveteilung kann zuückgefüht weden auf die Veteilungsfunktion Φ de Standadnomalveteilung. Dahe gilt fü die Veteilungsfunktion F de lognomalveteilten Zufallsvaiablen X: ( ) ln x µ X Λ(µ, σ 2 ) F (x) = Φ. (2.7) σ Ebenso ehält man die Invese de Veteilungsfunktion (und damit die Pezentilfunktion x α ) mit Hilfe de Pezentile u α de Standadnomalveteilung: F (α) := x α = exp{µ + u α σ} (2.8) (vgl. Cow und Shimizu, 988, S. ).

11 KAPITEL 2. DIE SPEZIALFÄLLE Abbildung 2.: Dichtefunktionen de Lognomalveteilung Λ(, σ 2 ) fü σ =.5, und.5 Eine wichtige Eigenschaft de Nomalveteilung ist die Stabilität unte Addition, das heißt, die Summe unabhängige nomalveteilte Zufallsvaiablen ist wiede nomalveteilt. Speziell gilt fü n unabhängig und identisch nomalveteilte Zufallsvaiablen Y i N(µ, σ 2 ), dass ih aithmetisches Mittel Y wiedeum nomalveteilt ist mit gleichem Ewatungswet µ und neue Vaianz σ 2 /n. Liegen nun n unabhängig und identisch nomalveteilte Zufallsvaiablen Y i vo mit Y i = ln X i N(µ, σ 2 ), so ist ih aithmetisches Mittel Y gleich dem Logaithmus des geometischen Mittels X g de lognomalveteilten Zufallsvaiablen X i : Y = n ln Xi = n ln ( Xi ) [ ( ) ] /n = ln Xi = ln ( ) X g. (2.9) Die Lognomalveteilung zeichnet sich analog zu Additivität de Nomalveteilung duch ihe Stabilität unte Multiplikation aus: Das Podukt unabhängige lognomalveteilte Zufallsvaiablen ist ebenfalls lognomalveteilt. Speziell gilt jetzt fü n unabhängig und identisch lognomalveteilte Zufallsvaiablen X i Λ(µ, σ 2 ), dass ih geometisches Mittel X g wiedeum lognomalveteilt ist mit gleichem Ewatungswet µ und neue Vaianz σ 2 /n (vgl. Rinne, 997, S. 366).

12 KAPITEL 2. DIE SPEZIALFÄLLE 2 Die Paameteschätze de Lognomalveteilung sind geade die Maximum-Likelihood-Schätze de Nomalveteilung mit logaithmieten Weten. Liegen also n unabhängig und identisch lognomalveteilte Zufallsvaiablen X i Λ(µ, σ 2 ) mit den Beobachtungen x,..., x n vo, so lauten die Paameteschätze fü µ und σ: ˆµ = n ln x i und ˆσ = n (ln x i ˆµ) n n 2 (2.) i= (vgl. Johnson, Kotz und Balakishnan, 994, Abschnitt 4.). Eine Schwieigkeit stellt die Schätzung des Lagepaametes λ de deipaametigen Lognomalveteilung da. In de Liteatu finden sich zu Lösung dieses Poblems zahleiche Voschläge. Umfassende und weitefühende Infomationen zu Theoie und Anwendung de Lognomalveteilungen finden sich in Aitchison und Bown (969), Cow und Shimizu (988) sowie Johnson, Kotz und Balakishnan (994). De Schätzung des ditten Paametes widmen sich außedem Cohen und Whitten (988). i= 2.2 Die Log-Laplace-Veteilung Die Log-Laplace-Veteilung ist analog zu Lognomalveteilung definiet: Wenn de natüliche Logaithmus eine Zufallsvaiablen X Laplace-veteilt ist (also ln X =: Y Lp(µ, σ)), so heißt X log-laplace-veteilt (exp Y = X LLp(µ, σ)). Die Dichtefunktionen f Lp und f LLp de Laplace- bzw. de Log-Laplace-Veteilung lauten: f Lp (y) = 2σ exp { } y µ σ fü < y <, (2.) { } f LLp (x) = 2σ x exp ln x µ fü x > σ sonst. (2.2) Dabei gilt fü die Paamete, dass beide aus den eellen Zahlen und σ zusätzlich göße als sei.

13 KAPITEL 2. DIE SPEZIALFÄLLE 3 Abbildung 2.2: Dichtefunktionen de Log-Laplace-Veteilung LLp(, σ) fü σ =.5, und.5 Übe die Log-Laplace-Veteilung existiet wenig Liteatu. Uppului (98) ewähnt ihe Vewendung in de Medizin, wenn das Vehalten von Dosis-Antwot- Kuven fü niedige Dosen extapoliet weden soll (da diese Kuven aufgund de niedigen Konzentationen nicht aus Labovesuchen gewonnen weden können). Zwei inteessante Eigenschaften de Log-Laplace-Veteilung sind die ungewöhnliche Fom ihe Dichte und die eingeschänkte Existenz ihe Momente. Die Abbildungen 2.2 und 2.3 stellen Dichtefunktionen de Log-Laplace-Veteilung LLp(µ, σ) mit jeweils µ = und veschiedenen Weten des Paametes σ da. Dabei zeigt sich, dass sich die Dichtefunktionen fü kleine Wete x nicht imme dem Wet nähen und in Fom und Kümmung seh unteschiedlich sind. Die Dichte de Log-Laplace-Veteilung ist wie die Dichte de Laplace-Veteilung gespitzt, jedoch veschwindet diese Spitze mit göße wedendem Paamete σ zunehmend. Außedem ist die Dichte nicht fü alle Paametekombinationen eingipflig, de Modalwet ist dann entwede nicht eindeutig (zum Beispiel fü die Kombination (µ, σ) = (, )) ode nicht existent (vgl. Abbildungen 2.2 und 2.3). De Median liegt, bedingt duch die logaithmische Tansfomation, bei exp µ.

14 KAPITEL 2. DIE SPEZIALFÄLLE 4 Abbildung 2.3: Dichtefunktionen de Log-Laplace-Veteilung LLp(, σ) fü σ =.2,.7 und.2 Die Untesuchung de Dichte eine log-laplace-veteilten Zufallsvaiablen egibt, dass sich die Dichtefunktionen in dei Guppen aufteilen lassen. Dies geschieht bezüglich des Paametes σ und zwa fü σ <, σ = und σ >. Die Betagsfunktionen bedingen dabei eine zusätzliche Falluntescheidung in Bezug auf den Median und so folgt fü die Dichte f im Fall σ = : fü < x exp µ 2 exp µ f(x) = exp µ fü x > exp µ. 2x 2 (2.3) Fü σ = veläuft die Dichtefunktion also bis zum Median hin konstant (und nähet sich danach dem Wet, vgl. Abbildung 2.2). Die este Ableitung und damit die Steigung de Dichtefunktion ist negativ fü alle Wete x, die göße als de Median sind. An de Stelle x = exp µ hat die links- wie die echtsseitige Ableitung den Wet. Fü < x < exp µ gilt: > σ < f (x) = fü σ = (2.4) < σ >.

15 KAPITEL 2. DIE SPEZIALFÄLLE 5 Daaus folgt, dass die Dichtefunktion nu fü den Fall σ < einen eindeutigen Hochpunkt besitzt und de Modalwet somit gleich dem Median ist. Im Fall σ = ist de Modalwet nicht eindeutig, sonden gleich /(2 exp µ) fü alle Wete x im Intevall (, exp µ]. Ist σ göße als, so existiet de Modalwet nicht und es gilt: lim +. x + Fü das p-te Moment µ p de Log-Laplace-Veteilung gilt: µ p = E[X p ] = 2σ = exp{ µ/σ} 2σ exp µ { x p exp } ln x µ σ x p +/σ dx + exp{µ/σ} 2σ dx exp µ Letztees Integal konvegiet dann und nu dann, wenn gilt: x p /σ dx. (2.5) p σ < p σ <. (2.6) Ist diese Bedingung nicht efüllt, so divegiet das Integal (vgl. Bonstein [et al.], 997, S. 43). Mit p σ < lässt sich das p-te Moment beechnen als: µ p = exp{pµ} (pσ) 2. (2.7) Im Fall p σ existiet das p-te Moment nicht. Da p aus den natülichen Zahlen stammt, schließen die Fälle σ > und σ = die Existenz de Momente pinzipiell aus, fü σ < existiet wenigstens de Ewatungswet und es gilt de Zusammenhang: Ewatungswet > Median = Modalwet. Die Veteilungsfunktion F de Log-Laplace-Veteilung lässt sich geschlossen dastellen und es gilt analog zu Laplace-Veteilung (vgl. Rinne, 997, S. 45): { 2 exp µ ln x } fü x exp µ σ F (x) = (2.8) { 2 exp ln x µ } fü x exp µ. σ Daaus folgt die Invese de Veteilungsfunktion als: exp {µ + σ ln(2α)} fü < α.5 F (α) = x α = exp {µ σ ln [2( α)]} fü.5 α <. (2.9)

16 KAPITEL 2. DIE SPEZIALFÄLLE 6 Nach diese kuzen Übesicht beschäftigen sich die folgenden Kapitel mit de veallgemeineten Lognomalveteilung, deen Definition die Lognomal- und die Log-Laplace-Veteilung als Spezialfälle zulässt. Dabei weden die Eigenschaften diese beiden Veteilungen an geeignete Stelle um weitee Chaakteistiken egänzt. So zum Beispiel im Kapitel 4, das sich den Loenzkuven und den Ungleichheitsmaßen de veallgemeineten Lognomalveteilung widmet.

17 7 Kapitel 3 Die veallgemeinete Lognomalveteilung Die veallgemeinete Lognomalveteilung egibt sich aus de veallgemeineten Nomalveteilung. De folgende Abschnitt 3. eläutet dahe die theoetische Heleitung de veallgemeineten Nomalveteilung. Die anschließenden Abschnitte beschäftigen sich mit den gundlegenden Eigenschaften de veallgemeineten Lognomalveteilung. Die Inhalte dieses Kapitels sind im Wesentlichen de vohandenen Liteatu entnommen und um eigene Betachtungen egänzt woden. So findet sich im Abschnitt 3.2 die Heleitung de veallgemeineten Standadnomalveteilung und ihe Veteilungsfunktion. Hieaus lässt sich die Veteilungsfunktion de veallgemeineten Lognomalveteilung ableiten. Die Betachtungen zu Hazadate (Abschnitt 3.5) und zu Entopie (Abschnitt 3.6) entstammen ebenfalls nicht de vohandenen Liteatu. 3. Theoetische Heleitung Die Übegänge nomal/lognomal und Laplace/log-Laplace egeben sich duch die Anwendung de Exponentialfunktion bzw. des natülichen Logaithmus auf die jeweiligen Zufallsvaiablen. Die Veallgemeineung de Lognomalveteilung ehält man nun nach demselben Pinzip. Die dazu benötigte veallgemeinete

18 KAPITEL 3. DIE VERALLGEMEINERTE LOGNORMALVERTEILUNG 8 Nomalveteilung N g wid in de Liteatu selten ewähnt. Ihe theoetische Heleitung findet sich bei Vianelli (963) und Lunetta (963). Es bezeichne N g die veallgemeinete (genealisiete) Nomalveteilung. Als Ansatz fü ihe Dichtefunktion wid eine Funktion f Ng gewählt, fü die gilt: f Ng (y) = a exp{ b y c } fü < y <, (3.) wobei die unbekannten Paamete a, b, c und aus den eellen Zahlen seien und zusätzlich gelte: a und b seien göße als und göße gleich. Damit die Dichte (3.) wohldefiniet ist, muss gelten: a = exp{ b y c } dy = b / 2 Γ ( + ), (3.2) wobei Γ( ) die Gammafunktion bezeichne. Man ehält dahe als Dichtefunktion zunächst: f Ng (y) = b / 2 Γ ( + ) exp { b y c }. (3.3) Lunetta (963) zeigt, dass de Paamete c geade de Ewatungswet µ eine veallgemeinet nomalveteilten Zufallsvaiablen Y ist und dass fü das p-te zentale Absolutmoment µ p gilt: µ p := E[ Y µ p ] = b p/ Γ( ) p+ Γ ( ). (3.4) Setzt man in obige Gleichung nun p =, so folgt fü den Paamete b: b =. µ (3.5) Die Dichtefunktion de veallgemeineten Nomalveteilung ehält man schließlich als: f Ng (y) = 2( µ ) / Γ ( + } y µ ) exp { µ fü < y <. (3.6) Fü die Paametewahl = folgt die Dichte eine Laplace-veteilten und fü = 2 die Dichte eine nomalveteilten Zufallsvaiablen. Wendet man die Exponentialfunktion auf eine veallgemeinet nomalveteilte Zufallsvaiable Y an, so ist die daaus esultieende neue Zufallsvaiable X = exp Y veallgemeinet

19 KAPITEL 3. DIE VERALLGEMEINERTE LOGNORMALVERTEILUNG 9 lognomalveteilt. Die veallgemeinete Lognomalveteilung sei mit Λ g gekennzeichnet. Fü die Dichtefunktion f Λg eine veallgemeinet lognomalveteilten Zufallsvaiablen gilt analog zu den Fällen Lognomal- und Log-Laplace-Veteilung des vohegehenden Kapitels: } f Λg (x) = 2( µ ) / Γ ( ln x µ ) exp { fü x > + x µ sonst, (3.7) wobei de Paamete µ den Ewatungswet E[ln X] und µ das -te zentale Absolutmoment de Zufallsvaiablen ln X bezeichnen. Die beiden Paamete entspechen also denen aus obige Gleichung (3.6), da die Zufallsvaiable Y = ln X geade veallgemeinet nomalveteilt ist. Löst man die Dastellung de veallgemeineten Lognomalveteilung von de etwas umständlichen Notation de veallgemeineten Nomalveteilung, so bietet es sich an, das Tipel (µ, µ, ) duch das Tipel (θ, θ 2, ) mit θ := µ und θ 2 := µ zu esetzen. Fü die Paametewahl = ehält man die Dichte de Log-Laplaceund fü = 2 die Dichte de Lognomalveteilung. 3.2 Dichte- und Veteilungsfunktion Die Dichte f(x θ, θ 2, ) (ode im Folgenden kuz: f(x)) eine Zufallsvaiablen X aus de veallgemeineten Lognomalveteilung Λ g mit dem Paametetipel (θ, θ 2, ) sei analog zum vohegehenden Abschnitt definiet als: { c f(x θ, θ 2, ) := θ 2 x exp ln x θ } θ 2 x > sonst. (3.8) De Täge de Dichte ist auf die positiven eellen Zahlen beschänkt. Fü die Paamete gilt, dass alle aus den eellen Zahlen stammen und zusätzlich θ 2 positiv und göße gleich ist. De Fakto c hängt nu vom Paamete ab und wid de einfacheen Scheibweise wegen vewendet. Es gilt: c := 2 Γ ( + ) > fü alle. (3.9) Die Paamete θ 2 und sind Fompaamete und θ Skalenpaamete de Veteilung de Zufallsvaiablen X. Duch den Zusammenhang veallgemeinet nomal-

20 KAPITEL 3. DIE VERALLGEMEINERTE LOGNORMALVERTEILUNG 2 Abbildung 3.: Dichtefunktionen f(x,, ) fü =,.5 und 2 und lognomalveteilte Zufallsvaiablen übe die Exponentialfunktion bzw. den natülichen Logaithmus folgt, dass exp θ geade de Median de Veteilung de Zufallsvaiablen X ist. Diese sei im Folgenden mit x med bezeichnet. Inteessant ist die veallgemeinete Lognomalveteilung besondes duch den zusätzlichen Fompaamete. Duch seine Hinzunahme entsteht eine Fülle mögliche Vaiationen fü eingipflige, echtsschiefe Veteilungen mit positiven Weten. Dies stellt im Hinblick auf die Anpassung eine theoetischen Veteilung an gegebene Daten eine sinnvolle Eweiteung de einfachen Lognomalveteilung da. Die Abbildungen 3. und 3.2 geben Dichtefunktionen de veallgemeineten Lognomalveteilung Λ g (,, ) fü veschiedene Wete von wiede. Es handelt sich dabei nicht um die Standadlognomalveteilung, da Λ g (,, ) wede Ewatungswet noch Vaianz hat. Abbildung 3. beinhaltet noch einmal die Log-Laplace- und die Lognomalveteilung. Die gespitzte Fom de Dichte titt nu fü = auf und ist hie chaakteistisch fü die Log-Laplace-Veteilung, wähend sich die einfache Lognomalveteilung de Fom nach in die veallgemeineten Lognomalveteilungen mit < < eineiht. Mit zunehmendem weden die Dichtefunktionen steile und schmale, außedem zeigen sie im Beeich

21 KAPITEL 3. DIE VERALLGEMEINERTE LOGNORMALVERTEILUNG 2 Abbildung 3.2: Dichtefunktionen f(x,, ) fü = 3, 6 und 9 nach ihem Extemum Unteschiede im Kümmungsvehalten fü veschiedene Wete des Paametes (vgl. Abbildung 3.2). Auf diese Besondeheit wid im Abschnitt 3.3 nähe eingegangen. Im Hinblick auf die im Kapitel 6 beschiebene Anwendung de veschiedenen Vefahen auf eine Einkommensstichpobe kann an diese Stelle gesagt weden, dass die fü Einkommensveteilungen inteessanten Wete von im Beeich < < 3 liegen düften. Daübe hinaus weden die Veteilungen zu schmal. Wie im Falle de Nomalveteilung existiet fü die veallgemeinete Lognomalveteilung keine geschlossene Fom de Veteilungsfunktion F. Pollasti (987) liefet ihe fomale Dastellung als: Γ (, B(x)) 2 Γ ( ) fü x < exp θ F (x) = fü x = exp θ γ (, M(x)) 2 Γ ( ) fü x > exp θ mit B(x) = ( θ ln x θ 2 ), M(x) = (3.) ( ) ln x θ (3.) θ 2

22 KAPITEL 3. DIE VERALLGEMEINERTE LOGNORMALVERTEILUNG 22 sowie den unvollständigen Gammafunktionen Γ(v, y) = exp{ t}t v dt und γ(v, y) = y y exp{ t}t v dt. (3.2) Im Abschnitt 2. wude de Zusammenhang de Veteilungsfunktion eine lognomalveteilten Zufallsvaiablen mit de Veteilungsfunktion Φ de Standadnomalveteilung beschieben. Die veallgemeinete Lognomalveteilung lässt sich duch den zusätzlichen Paamete abe nicht auf die Standadnomalveteilung zuückfühen. Möchte man das System beibehalten, so ist eine veallgemeinete Standadnomalveteilung nötig, die man duch die im Folgenden beschiebene Standadisieung ehält. Fü die Dichte f eine veallgemeinet nomalveteilten Zufallsvaiablen Y gilt: f(y) = c { exp y θ } θ 2 θ 2 (3.3) mit c wie in (3.9). Daaus folgt als Ewatungswet E[Y ] = θ. Fü die Vaianz bzw. die Standadabweichung gilt jedoch: Γ ( ) 3 σ Y = Γ ( ) θ 2 =: A θ 2 (3.4) (vgl. Lunetta, 963). Setzt man θ 2 =, so hängt die Standadabweichung weitehin von ab und ist ungleich (auße natülich im Fall = 2). Die Veteilung N g (,, ) stellt also im allgemeinen Fall nicht die veallgemeinete Standadnomalveteilung da. Nach Standadisieung und Temumfomungen egibt sich als Dichtefunktion φ de Zufallsvaiablen U := Y θ : A θ 2 φ (u) = c A exp { } A u = 2 Γ ( Γ ( ) [ 3 ( ) Γ 3 ) + Γ ( ) exp Γ ( ) ] 2 u. (3.5)

23 KAPITEL 3. DIE VERALLGEMEINERTE LOGNORMALVERTEILUNG 23 Die Zufallsvaiable U ist dahe veallgemeinet standadnomalveteilt in Abhängigkeit von. Ihe Veteilungsfunktion Φ lässt sich beechnen übe das Integal: Φ (u) := u φ (t) dt. (3.6) Eine veallgemeinet lognomalveteilte Zufallsvaiable X Λ g (θ, θ 2, ) impliziet nun: Γ ( ) 3 E[ln X] = θ und σ ln X = Γ ( ) θ 2. (3.7) Die Veteilungsfunktion de Zufallsvaiablen X lässt sich somit zuückfühen auf die Veteilungsfunktion de veallgemeineten Standadnomalveteilung de Odnung und es gilt de Zusammenhang: X Λ g (θ, θ 2, ) F (x) = Φ ( ln x θ θ 2 ). (3.8) Um die Veteilungsfunktion Φ zu ehalten, muss das Integal (3.6) numeisch beechnet weden. Von den möglichen Standadvefahen de numeischen Integation liefet die Tangentenegel die besten Resultate (vgl. Ewe, 962, S. 5). Zu Beechnung des Integals b g(x) dx wid das Intevall [a, b] in m gleiche Teile a de Beite h = (b a)/m geteilt, wobei m geade und positiv ist. Mit x i = a + ih und y i = g(x i ) gilt: b a g(x) dx 2h(y + y 3 + y y m ). (3.9) Als Beispiel befindet sich die Tafel de veallgemeineten Standadnomalveteilung fü = 3 im Anhang B. Vegleicht man diese mit de in den meisten statistischen Lehbüchen vetafelten Standadnomalveteilung ( = 2), so ekennt man, dass sich die Wete fü = 3 schnelle dem Wet nähen als fü = 2. Wie oben gezeigt, ist es möglich, die Veteilungsfunktion de veallgemeineten Standadnomalveteilung analog zu Veteilungsfunktion de einfachen Standadnomalveteilung einzufühen. Estee Veteilungsfunktion wüde im Folgenden benötigt, um zum Beispiel Abbildungen de Veteilungsfunktion de veallgemeineten Lognomalveteilung zu ezeugen. De Rechenaufwand ist jedoch

24 KAPITEL 3. DIE VERALLGEMEINERTE LOGNORMALVERTEILUNG 24 Abbildung 3.3: Veteilungsfunktionen F (x,, ) fü = 2, 5, geinge, wenn die jeweilige Veteilungsfunktion duch Integation übe die Dichte (3.8) diekt (und nicht übe den Umweg Φ ) numeisch beechnet wid. Dies geschieht wiedeum mit de Tangentenegel. Dabei betägt die Anzahl de Teilintevalle jeweils m = 2. Abbildung 3.3 zeigt dei Veteilungsfunktionen von Λ g (,, ) fü = 2, 5 und im Intevall [, 4]. Mit zunehmendem steigen die Veteilungsfunktionen späte und dafü schnelle an (mit dem gemeinsamen Schnittpunkt im Median). Dieses Vehalten wa zu ewaten, da die Dichten mit zunehmendem imme schmale und steile weden (vgl. Abbildung 3.2) und in ihen Ränden dahe wenige Wahscheinlichkeitsmasse aufweisen. 3.3 Eigenschaften de Dichte Bunazzo und Pollasti (986) haben sich eingehend mit de Dichte de veallgemeineten Lognomalveteilung beschäftigt. Die Egebnisse ihe Untesuchungen weden in diesem und im folgenden Abschnitt 3.4 vogestellt.

25 KAPITEL 3. DIE VERALLGEMEINERTE LOGNORMALVERTEILUNG 25 De Modalwet eine Veteilung ist definiet als globales Maximum de entspechenden Dichtefunktion. Die Existenz des Modalwetes de Log-Laplace-Veteilung wude im Abschnitt 2.2 diskutiet. Beschänkt man sich auf den Fall >, so lauten die esten und zweiten Ableitungen de Dichtefunktion eine veallgemeinet lognomalveteilten Zufallsvaiablen: f (x) = f(x) x [ ] ln x θ θ2, (3.2) f (x) = f(x) x 2 + f(x) x 2 [ + ] 2 ln x θ θ2 + ( + ln x θ θ2 ) ln x θ θ2 2. (3.2) Die in den Gleichungen (3.2) und (3.2) enthaltenen Betagsfunktionen bedingen eine Falluntescheidung bezüglich des Medians. Es gilt: < x < exp θ : lim f (x) =, (3.22) x + lim f c (x) = x (exp θ ) θ 2 exp(2θ ), (3.23) x > exp θ : lim f c (x) = x (exp θ ) + θ 2 exp(2θ ), (3.24) f (x) < x > exp θ. (3.25) Somit ist die Dichtefunktion f(x) diffeenzieba im gesamten Definitionsbeeich IR +. Nullsetzen de esten Ableitung fü < x < exp θ liefet den Extemwet in: x mod = exp {θ θ 2 }. (3.26) Die zweite Ableitung an de Stelle x mod ist negativ, es liegt also ein Hochpunkt vo. Die Dichtefunktion ist somit eingipflig und echtsschief, da gilt: } x mod = exp {θ θ < exp θ = x med. (3.27) 2 Mit festem Paamete θ vehält sich de Modalwet folgendemaßen: Mit konstantem und göße wedendem θ 2 veinget sich sein Wet. Hält man dagegen θ 2 konstant, so veinget e sich mit steigendem im Falle θ 2 <, bleibt konstant fü θ 2 = und steigt fü θ 2 >.

26 KAPITEL 3. DIE VERALLGEMEINERTE LOGNORMALVERTEILUNG 26 Tabelle 3.: Anzahl de Wendepunkte de Dichtefunktion > 2 < x < x mod x mod < x < x med x > x med θ 2 < θ 2 2 θ 2 θ 2 < < 2 < x < x mod x mod < x < x med x > x med θ 2 θ 2 θ 2 > θ 2 2 θ 2 = 2 (3( ) 8( ) 2 + ) (3 8( ) ) und θ 2 = θ 2 Eine weitee Chaakteisieung de Dichtefunktion wid möglich duch die Suche nach Wendepunkten und duch die Bescheibung des Kümmungsvehaltens de Kuve. Dazu wid die zweite Ableitung duch die Diffeenz zweie Funktionen beschieben und das Vozeichenvehalten diese Diffeenz untesucht. Da dies Falluntescheidungen nach, θ 2 und x efodet, sollen hie nu die Egebnisse vogestellt weden (vgl. Tabelle 3.). Fü die Heleitung sei auf Bunazzo und Pollasti (986) vewiesen. Als Beispiel eine Dichtefunktion mit meheen Wendepunkten betachte man die Abbildung 3.4. Es liegt de Gaph eine Dichtefunktion mit den Paameten θ =, θ 2 =.4 und = 8 vo. Fü = 8 folgt θ 2.45 >.4 = θ 2, dahe sind vie Wendepunkte zu ewaten (vgl. Tabelle 3.). Tatsächlich ändet die Dichtefunktion viemal ihe Kümmung (vgl. Abbildung } 3.4). Die dei Refeenzlinien geben den Modalwet x mod = exp {θ θ = exp {.4 8/7}.74, den Median x med = exp θ = exp = sowie den Ewatungswet E[X].43 eine veallgemeinet lognomalveteilten Zufallsvaiablen mit obigen Paameten an. De Ewatungswet ist dem folgenden Abschnitt voweggenommen. 2

27 KAPITEL 3. DIE VERALLGEMEINERTE LOGNORMALVERTEILUNG 27 Abbildung 3.4: Dichtefunktion f(x,.4, 8) mit Modalwet.74, Median und Ewatungswet Momente und Veteilungspaamete Bunazzo und Pollasti (986) geben das p-te Moment µ p de veallgemeineten Lognomalveteilung an als: µ p := E[X p ] = exp{pθ } Γ ( ) ( ) (pθ 2 ) 2i (2i)! 2i 2i + Γ i= (zu Heleitung siehe Anhang A.). (3.28) Die Fomel (3.28) lässt sich fü die beiden Spezialfälle veeinfachen und man ehält die Momente de Lognomal- und de Log-Laplace-Veteilung wie in Kapitel 2. Eine kompaktee Dastellung des p-ten Momentes fü Paametewete ungleich ode 2 ist nicht möglich, da sich die Gammafunktion nicht veeinfachen lässt. Im Fall de Log-Laplace-Veteilung bedingt die Konvegenz obige Reihe die beeits bekannte Einschänkung pθ 2 < und es folgt (vgl. Abschnitt 2.2): µ p = exp{pθ } = exp{pθ } (pθ 2 ) 2i Γ(2i + ) (2i)! (pθ 2 ) 2i = exp{pθ } (pθ 2 ). (3.29) 2 i= i=

28 KAPITEL 3. DIE VERALLGEMEINERTE LOGNORMALVERTEILUNG 28 Da also nicht alle Momente de veallgemeineten Lognomalveteilung fü alle Paametekombinationen existieen, kann auch keine momentezeugende Funktion existieen. Fü die chaakteistische Funktion de veallgemeineten Lognomalveteilung konnte bislang keine geschlossene Dastellung gefunden weden. Mit Hilfe de Fomel (3.28) lässt sich de Ewatungswet µ := E[X] = µ de veallgemeineten Lognomalveteilung abhängig von den Paameten θ, θ 2 und angeben. Vegleicht man fü den Fall > } Ewatungswet, Median x med = exp θ und Modalwet x mod = exp {θ θ miteinande, so ehält man fü alle Paametekombinationen (θ, θ 2, > ) die Rechtsschiefe implizieende Beziehung: Ewatungswet > Median > Modalwet. (3.3) Estee Ungleichung folgt aus: a i := i= ( ) ( ) θ2 2i (2i)! 2i 2i + Γ > Γ, (3.3) i= da a = Γ ( ) und ai > fü alle i =,, 2,... und alle Paametekombinationen (θ, θ 2, ) gilt. Zusätzlich zum Ewatungswet lassen sich weitee Veteilungspaamete wie die Vaianz σ 2 := E [(X µ) 2 ] = µ 2 µ 2 bzw. die Standadabweichung σ, de Vaiationskoeffizient vk := σ/µ, de Schiefekoeffizient α 3 sowie de Wölbungskoeffizient α 4 beechnen. Bunazzo und Pollasti (986) untesuchen das Vehalten einige Veteilungspaamete numeisch und halten als Egebnis fest: Vegleicht man die Standadabweichungen σ fü veschiedene Wete de Fompaamete und θ 2 (wobei de Skalenpaamete θ fest sei), so vegößet sich bei konstantem die Vaiabilität mit steigendem θ 2, wähend sie sich im umgekehten Fall vekleinet 2 (θ 2 fest, göße wedend). De gleiche Zusammenhang wude fü den Ewatungswet sowie fü den Vaiationskoeffizienten beobachtet. Die fü weitee Kennzahlen benötigten p-ten Zentalmomente µ p := E [(X µ) p ] lassen sich auf die Momente zuückfühen. Dahe gilt fü den Schiefekoeffizienten α 3 : α 3 := µ 3 σ 3 mit µ 3 = µ 3 3µµ 2 + 2µ 3. (3.32)

29 KAPITEL 3. DIE VERALLGEMEINERTE LOGNORMALVERTEILUNG 29 De numeische Vegleich de Schiefekoeffizienten fü veschiedene Kombinationen de Paamete und θ 2 füht nach Bunazzo und Pollasti (986) zu folgendem Egebnis: De Schiefekoeffizient α 3 veinget sich bei konstantem mit zunehmendem Paamete θ 2 und steigt im umgekehten Fall. De Wölbungskoeffizient α 4 ist definiet als: α 4 := µ 4 σ 4 mit µ 4 = µ 4 4µµ 3 + 6µ 2 µ 2 3µ 4. (3.33) Pollasti (997) untesucht die Kutosis nähe und kommt zu dem Egebnis: Vegleicht man veallgemeinete Lognomalveteilungen mit gleichem Median und gleiche mittlee Abweichung vom Median, so veinget sich die Wölbung mit steigenden Weten de Paamete und θ Hazadate Die Beschänkung des Täges auf die Menge de positiven eellen Zahlen emöglicht es, die veallgemeinete Lognomalveteilung an Daten aus dem Beeich de Lebensdaueanalyse anzupassen. Mit den gleichen numeischen Methoden, wie sie fü die Beechnung de Veteilungsfunktion angewandt wuden (vgl. Abschnitt 3.2), lassen sich hiefü chaakteistische Funktionen wie die Hazadate h bestimmen. Mit F als Veteilungs- und f als Dichtefunktion eine Lebensdaueveteilung ist die Hazadate ode Ausfallate h definiet als: P (x < X x + x) h(x) := lim x x = f(x) F (x). (3.34) Betachtet man ein kleines Zeitintevall x, so gibt h(x) x die Wahscheinlichkeit an, dass de Ausfall eines Objektes im Intevall x nach Eeichen des Altes x stattfindet (vgl. Rinne, 997, S. 337). Abbildung 3.5 gibt dei Hazadaten h(x θ, θ 2, ) de veallgemeineten Lognomalveteilung fü die Paametekombinationen θ =, θ 2 =.5 sowie =, 2 und 3 wiede. Fü die gewählten Paamete nehmen die Hazadaten zunächst ein (lokales) Maximum an und gehen danach langsam gegen. Fü > haben die Hazadaten im Punkt h() den Wet. Im Falle de Log-Laplace-Veteilung

30 KAPITEL 3. DIE VERALLGEMEINERTE LOGNORMALVERTEILUNG 3 Abbildung 3.5: Hazadaten h(x,.5, ) fü =, 2 und 3 ( = ) hängt ih Vehalten von de Wahl des Paametes θ 2 ab. Hie gilt mit θ 2 > : lim h(x) (vgl. Abbildung 3.5 sowie Abschnitt 2.2). x + Es lässt sich beobachten, dass die Hazadaten fü gößees als in Abbildung 3.5 gewähltes nach dem esten lokalen Maximum eneut ansteigen, um nach einem weiteen Maximum auf zu fallen. Aufgund de schlechten gaphischen Auflösung wude auf eine Abbildung vezichtet. 3.6 Entopie Die Realisieung eine Zufallsvaiablen gibt eine Infomation an den Beobachte weite. Dabei ist de Infomationsgehalt umso göße, je wenige die Realisieung vohegesagt weden kann. Beobachtet man also beispielsweise ein Egebnis eines Zufallsexpeimentes, so steigt de Infomationsgehalt des Egebnisses, je nähe die zugunde liegende Veteilung de Gleichveteilung kommt. Ist ein Egebnis mit hohe Wahscheinlichkeit zu ewaten, so gibt dieses wenig Infomation an den Beobachte weite: Sein Infomationsgehalt ist geing.

31 KAPITEL 3. DIE VERALLGEMEINERTE LOGNORMALVERTEILUNG 3 De Infomationsgehalt ist definiet als de natüliche Logaithmus de ezipoken Wahscheinlichkeit eine Realisieung. Die Entopie H bezeichnet den mittleen Infomationsgehalt und ist dahe fü eine stetige Zufallsvaiable X mit Dichtefunktion f definiet übe den Ewatungswet: [ ( )] H := E ln = E [ ln(f(x))], f(x) H [, ) (3.35) (vgl. Petes, 967, Kapitel 4). Fü eine veallgemeinet lognomalveteilte Zufallsvaiable lautet die Entopie: mit c = H = ln c θ 2 + θ (3.36) [ 2 Γ ( + ) ]. Die Heleitung de Entopie findet sich in Anhang A.2. Fü die Spezialfälle folgt: = 2 H = 2 + ln ( 2π θ2 ) + θ, (3.37) = H = + ln(2θ 2 ) + θ. (3.38) Aus Gleichung (3.36) lässt sich ablesen, dass die Entopie H fü göße wedende Wete des Paametes θ 2 logaithmisch steigt, wenn die Paamete und θ fest gewählt sind. Fü feste Paamete θ 2 und θ lässt de Gaph de Entopie ekennen, dass die Entopie mit zunehmenden Weten fällt (vgl. Abbildung 3.6). Nachdem nun einige gundlegende Eigenschaften genannt wuden, sind den gößeen Chaakteistikbeeichen eigene Kapitel gewidmet. Das folgende Kapitel beschäftigt sich gesondet mit Loenzkuven und Ungleichheitsmaßen de veallgemeineten Lognomalveteilung. De Komplex Schätzen und Testen de Paamete findet sich in Kapitel 5.

32 KAPITEL 3. DIE VERALLGEMEINERTE LOGNORMALVERTEILUNG 32 Abbildung 3.6: Entopie H fü θ =, θ 2 =.5,,.5 und

33 33 Kapitel 4 Loenzkuve und Ungleichheitsmessung Die einfache Lognomalveteilung wid häufig als Einkommensveteilung vewendet. Dahe ist es sinnvoll, die Themen Loenzkuve und Ungleichheitsmessung nun fü die veallgemeinete Lognomalveteilung zu betachten. Die Loenzkuven können hie aufgund de komplizieten Fomeln jedoch nu gaphisch untesucht weden. Bei einigen Ungleichheitsmaßen können geschlossene Dastellungen angegeben weden, wobei die Fomeln fü vie Theil- und einen modifizieten Pietakoeffizienten die vohandene Liteatu egänzen. 4. Loenzkuve und Loenzodnung Die Veallgemeineung de einfachen Lognomalveteilung gündet in de Hoffnung, Veteilungen mit positivem Täge besse anpassen zu können. Inteessant ist dies vo allem fü Einkommensveteilungen, da bei ihnen die einfache Lognomalveteilung häufig nu eine ungenügende Anpassung liefet. In diesem Zusammenhang weden zunächst die Loenzkuven nähe betachtet. Aus ihnen lässt sich das Ausmaß de Ungleichheit auf dem Täge entnehmen. Als empiische Loenzkuve bezeichnet man eine Abbildung L : [, ] [, ], deen Funktionswete L(p) den geschätzten Anteil am Gesamteinkommen angeben, de den p% de Ämsten eine Population zuzuodnen ist. Je weite sich

34 KAPITEL 4. LORENZKURVE UND UNGLEICHHEITSMESSUNG 34 die Loenzkuve von de 45 -Linie entfent, desto göße ist die Ungleichheit. De Goßteil des Einkommens konzentiet sich auf wenige Pesonen aus de Population. Das Ausmaß de Ungleichheit wid duch die Ungleichheitsmaße ausgedückt. Diese weden im Abschnitt 4.2 behandelt. Die theoetische Loenzkuve ist definiet als die Veteilungsfunktion de esten Momentenveteilung eine Zufallsvaiablen, wenn man diese Wete übe de entspechenden Veteilungsfunktion abtägt. Die theoetische Loenzkuve L ist also definiet übe das Wetepaa: [p, L(p)] := [ F (x), F (x) ], x [, ), p [, ], (4.) wobei F die Veteilungsfunktion und F die Veteilungsfunktion de esten Momentenveteilung de Zufallsvaiablen X bezeichnen (vgl. Wilfling, 993, Abschnitt.). Letztee Veteilungsfunktion ist definiet als: F (x) := E[X] x tf(t) dt (4.2) und wid ebenso wie die Veteilungsfunktion numeisch mit Hilfe de Tangentenegel (3.9), S. 22, beechnet. Bei Pollasti (987) findet sich analog zu Dastellung de Veteilungsfunktion (3.), S. 2, auch eine fomale Dastellung de esten Momentenveteilung. Auf ihe Angabe wid hie vezichtet, da es sich nicht um eine geschlossene Fom handelt. Die este Momentenveteilung de einfachen Lognomalveteilung ( = 2) entspicht eine Lognomalveteilung mit tansfomieten Paameten und es gilt de Zusammenhang: X Λ g (x θ, θ 2, 2) F (x) = Λ g (x θ + θ 2 2, θ 2, 2) (4.3) (vgl. Wilfling, 993, Abschnitt 5.2). Fü Lognomalveteilungen höhee Odnung lässt sich ein solche Zusammenhang aufgund de komplexen Dastellung des Ewatungswetes sowie des binomischen Satzes höhee Odnung ( ln x θ ) nicht finden. Tägt man die este Momentenveteilung gegen die Veteilungsfunktion ab, so ehält man die Loenzkuve de zugunde liegenden Zufallsvaiablen. Pollasti (987) kommt nach Betachtung veschiedene Loenzkuven veallgemeinet lognomalveteilte Zufallsvaiablen zu folgendem Egebnis: Bei festem Paamete θ 2

35 KAPITEL 4. LORENZKURVE UND UNGLEICHHEITSMESSUNG 35 Abbildung 4.: Loenzkuven L(p,, ) fü = 3 und = 8 und steigenden Weten nähet sich die Loenzkuve de 45 -Linie, die Ungleichheit nimmt also ab. Im umgekehten Fall mit festem und göße wedendem θ 2 nimmt die Ungleichheit zu, die Loenzkuve steigt zunächst langsame an und entfent sich somit von de 45 -Linie (als Beispiel vgl. Abbildungen 4. und 4.2). Außedem kann vemutet weden, dass sich die Loenzkuven nicht schneiden. Dies wüde bedeuten, dass sich die zugunde liegenden Zufallsvaiablen im Sinne de Loenzodnung anodnen lassen. Die Loenzodnung ist fomal wie folgt definiet: Eine Zufallsvaiable X heißt stäke konzentiet im Sinne de Loenzodnung als eine Zufallsvaiable Y (X L Y ), wenn fü alle p [, ] gilt: L X (p) L Y (p) (4.4) (vgl. Wilfling, 993, Abschnitt.2). Das heißt, die Loenzkuve von X liegt im gesamten Intevall [, ] unte ode auf de Loenzkuve von Y, die Veteilung von X ist dahe stäke konzentiet als die Veteilung von Y (die Ungleichheit von X ist göße als die von Y ). Zum fomalen Nachweis de Loenzodnung stehen einige Theoeme zu Vefügung (vgl. Wilfling, 993, Abschnitt.3). Im Falle de einfachen Lognomalveteilung

36 KAPITEL 4. LORENZKURVE UND UNGLEICHHEITSMESSUNG 36 Abbildung 4.2: Loenzkuven L(p, θ 2, 3) fü θ 2 =.8 und θ 2 =.2 lässt sich beweisen, dass sich die Zufallsvaiablen fü veschiedene Paamete θ 2 im Sinne de Loenzodnung anodnen lassen und dass die Ungleichheit mit göße wedendem θ 2 zunimmt. De Beweis egibt sich aus dem Zusammenhang (4.3) (vgl. Wilfling, 993, Abschnitt 5.2). Diese Nachweis gelingt im allgemeinen Fall nicht ohne weitees. Alledings spechen gaphische Vegleiche dafü, dass sich die Loenzkuven nicht schneiden und sich die zugunde liegenden Zufallsvaiablen dahe im Sinne de Loenzodnung anodnen lassen. 4.2 Ungleichheitsmaße Das Ausmaß de Ungleichheit eine Zufallsvaiablen lässt sich mit Hilfe eines Ungleichheitsmaßes ausdücken: Je höhe sein Wet, desto göße ist die Ungleichheit. Es stehen eine Vielzahl von Ungleichheitsmaßen zu Vefügung, wounte de bekannteste wohl de Gini-Koeffizient G ist. E lässt sich theoetisch beechnen übe die Veteilungsfunktion F und die Veteilungsfunktion de esten Momentenveteilung F eine Zufallsvaiablen X: [ ] x G := E[X] F (x) F (x) f(x) dx (4.5)

37 KAPITEL 4. LORENZKURVE UND UNGLEICHHEITSMESSUNG 37 (vgl. Butle und McDonald, 989). Obige Fomel lässt sich im Falle de veallgemeineten Lognomalveteilung nu numeisch bestimmen, wobei die Beechnung de Doppelintegale mit hohem Rechenaufwand vebunden ist. Pollasti (987) vewendet dahe als Appoximation fü den theoetischen Gini-Koeffizienten G den Ausduck: G = s [F (x i ) F (x i )] [ F (x i ) + F (x i ) ] (4.6) i= mit F (x ) = F (x ) = und s als Anzahl de in die Beechnung eingehenden Wete von x. Da die Anzahl s jedoch nie kleine als 5 sein sollte, um eine gute Appoximation des wahen Gini-Koeffizienten zu gewähleisten, ist auch hie ein ehöhte Rechenaufwand efodelich. Auf die Beechnung des geschätzten Gini- Koeffizienten wid dahe vezichtet. Seine genauee Betachtung wiedeholt die Egebnisse aus dem voheigen Abschnitt: Die Ungleichheit steigt mit zunehmendem θ 2 und festem und nimmt im umgekehten Fall ab. Bei Pollasti (987) finden sich Wete von G fü veschiedene Paametekombinationen im Anhang. Eine einfachee numeische Beechnung im Falle de veallgemeineten Lognomalveteilung bieten die beiden Theilkoeffizienten sowie de Pietakoeffizient (auch Ricci-Schutz-Koeffizient). Die theoetischen esten und zweiten Theilkoeffizienten T und T 2 sind definiet als: [ X T := E E[X] ln [ T 2 := E ln ( E[X] X ( X E[X] )], T [, ), (4.7) )], T 2 [, ) (4.8) (vgl. Theil, 967, Kapitel 4). Fene existieen modifiziete Theilkoeffizienten T mod und T med, bei denen de Modalwet bzw. de Median an de Stelle des Ewatungswetes E[X] steht (vgl. Cow und Shimizu, 988, S. ). Fü eine veallgemeinet lognomalveteilte Zufallsvaiable folgen die Theilkoeffizienten mit A := E[X]/ exp θ und dem Ewatungswet E[X] wie in Gleichung (3.28), S. 26, mit p = als: T = Γ ( θ 2i+2 ( ) 2 ) A (2i + )! 2i+2 2i + 3 Γ ln A, (4.9) i=

38 KAPITEL 4. LORENZKURVE UND UNGLEICHHEITSMESSUNG 38 T med = θ 2 Γ ( ) 2 i= θ 2i+ 2 (2i + )! 2i ( 2i + 3 Γ ), (4.) T mod = Γ ( θ 2 ) exp { θ 2 } i= [ θ2 2i + 2 Γ θ 2i 2 (2i)! 2i ( ) 2i θ 2 Γ ( 2i + )], (4.) T 2 = ln A. (4.2) Zu Heleitung sei auf Anhang A.3 - A.6 vewiesen. Obige Koeffizienten lassen sich fü die Spezialfälle de Lognomalveteilung ( = 2) und de Log-Laplace-Veteilung ( = ) veeinfachen und man ehält: = 2 T = T 2 = 2 θ2 2, (4.3) = und θ 2 < T = ln( θ2) 2 + 2θ2 2, θ2 2 (4.4) T 2 = ln( θ2). 2 (4.5) De Pietakoeffizient P ist definiet als: P := E [ ] X E[X], P [, ] (4.6) 2 E[X] (vgl. Rinne, 997, S. 49). E lässt sich nicht in eine geschlossenen Fom dastellen. Butle und McDonald (989) fühen ihn zuück auf die Veteilungsfunktion und die Veteilungsfunktion de esten Momentenveteilung an de Stelle des Ewatungswetes, so dass gilt: P = F (E[X]) F (E[X]). (4.7) Obige Ausduck kann jedoch fü die veallgemeinete Lognomalveteilung nu numeisch bestimmt weden, da keine geschlossene Fom existiet. Modifiziet man den Pietakoeffizienten, indem statt des esten zentalen Absolutmomentes das este Absolutmoment um den Median beechnet wid, so lautet de veändete Pietakoeffizient P med : P med := E[ X x med ]. (4.8) 2 E[X]

39 KAPITEL 4. LORENZKURVE UND UNGLEICHHEITSMESSUNG 39 Das este Absolutmoment de veallgemeineten Lognomalveteilung um den Median E[ X x med ] leitet sich analog zu den Momenten he (vgl. Anhang A.). Bunazzo und Pollasti (986) geben es an als: E[ X x med ] = exp{θ } Γ ( ) i= (θ 2 ) 2i+ (2i + )! 2i+ Γ ( 2i + 2 ). (4.9) Somit lautet de modifiziete Pietakoeffizient: ( ) (θ 2 ) 2i+ 2i + 2 P med (2i + )! 2i+ Γ = 2 (θ ( ) 2) 2i. (4.2) 2i + (2i)! 2i Γ Im Falle de Log-Laplace-Veteilung mit θ 2 < lässt sich obige Koeffizient veeinfachen zu: P med = 2 θ 2. (4.2) Tägt man nun beispielsweise den Theilkoeffizienten T aus (4.9) fü veschiedene Paametekombinationen ab, so ehält man die beeits ewähnten Zusammenhänge. Abbildung 4.3 zeigt Wete des Theilkoeffizienten abgetagen übe im Intevall [, 2]. Dabei wuden fü den Paamete θ 2 die Wete.7,.8 und.9 gewählt. Man ekennt, dass de Koeffizient T mit steigendem fällt und mit höheem θ 2 höhee Wete annimmt. In Abbildung 4.4 wid das Pinzip umgekeht und T abgetagen übe θ 2 im Intevall (,2]. De Paamete hat die Wete 2, 3 und 4. Mit steigendem θ 2 ehält man steigende Wete von T, wobei de Koeffizient mit kleineem höhee Wete annimmt. Inteessant ist es nun zu betachten, wie sich die Ungleichheit vehält, wenn man beide Fompaamete und θ 2 vaiiet und nicht jeweils einen davon festhält. Es stellt sich die Fage, ob eventuell ein Zusammenhang zwischen den Paameten in Bezug auf die Ungleichheit besteht und ob sich de Paameteaum in Beeiche aufteilen lässt, in denen die Ungleichheit zu- bzw. abnimmt. Dass ein solche Zusammenhang besteht, lässt sich zumindest gaphisch stützen: Fü einen konstanten Wet des Theilkoeffizienten T aus (4.9) weden die Tupel (θ 2, ) gesucht, die zu diesem Wet fühen. Dabei wid zunächst θ 2 gewählt und anschließend iteativ bestimmt. Tägt man nun die Wetepaae ab, so ehält man als Egebnis: Es besteht ein exponentielle Zusammenhang, de Paameteaum wid in zwei

40 KAPITEL 4. LORENZKURVE UND UNGLEICHHEITSMESSUNG 4 Abbildung 4.3: Theilkoeffizient T mit θ 2 =.7,.8,.9 und steigendem Abbildung 4.4: Theilkoeffizient T mit = 2, 3, 4 und steigendem θ 2

41 KAPITEL 4. LORENZKURVE UND UNGLEICHHEITSMESSUNG 4!"#$ %"#& Abbildung 4.5: Wetepaae (θ 2, ) fü T =.3,.5 und.8 Beeiche geteilt, wobei die Ungleichheit obehalb de Kuve ab- und untehalb zunimmt. Abbildung 4.5 vedeutlicht das Pinzip. Fü Abbildung 4.5 weden elativ kleine Wete des Theilkoeffizienten T gewählt. Das Ungleichheitsmaß T kann Wete im Intevall [, ) annehmen. Hie weden aus Günden de besseen gaphischen Dastellung Wete kleine als untesucht (und zwa T =.3,.5 und.8). Die Wete des Paametes θ 2 liegen zwischen.5 und.7, wobei im unteen Beeich in Schitten de Göße. und mit wachsenden Weten des dazugehöenden in Schitten de Göße.5 vogegangen wid. Die abgetagenen und vebundenen Tupel (θ 2, ) egeben Abbildung 4.5. Aus den Kuven lässt sich ein exponentielles Wachstum des Paametes in Abhängigkeit von θ 2 ablesen. Dabei beschleunigt sich das Wachstum zusätzlich, je kleine de betachtete Wet des Theilkoeffizienten T wid. Als Egebnis lässt sich also festhalten: Die Ungleichheit nimmt mit steigendem Paamete θ 2 bzw. fallendem zu. Im umgekehten Fall nimmt sie ab. Vaiiet man beide Fompaamete gleichzeitig, so findet sich ein exponentielle Zusammenhang zwischen und θ 2 bei konstanten Weten des Theilkoeffizienten T. De Paameteaum lässt sich in zwei Beeiche aufteilen, in denen die Ungleichheit bezüglich eines Refeenzwetes von T ab- bzw. zunimmt.