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Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 4. Differentialrechnung Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2015/16

G. Matthies Grundlagen Mathematik 2/82 Motivation Ziel: Übertragung des Begriffs Steigung von Geraden auf Kurven f (x) m = f (x) f (x 0) x x 0 f (x 0 ) x 0 x m: Anstieg der Geraden

G. Matthies Grundlagen Mathematik 3/82 Differentialrechnung Gesucht: Tangente T (x; x 0 ) an f im Punkt ( x 0, f (x 0 ) ) y f (x) f (x 0 ) T (x; x 0 ) x x 0

G. Matthies Grundlagen Mathematik 4/82 Differentialrechnung Sekante S h (x; x 0 ) durch ( x 0, f (x 0 ) ) und ( x 0 +h, f (x 0 +h) ), h 0 f (x 0 + h) y f (x 0 ) x 0 x 0 + h x

G. Matthies Grundlagen Mathematik 4/82 Differentialrechnung Sekante S h (x; x 0 ) durch ( x 0, f (x 0 ) ) und ( x 0 +h, f (x 0 +h) ), h 0 y f (x 0 + h) f (x 0 ) x 0 x 0 + h x

G. Matthies Grundlagen Mathematik 4/82 Differentialrechnung Sekante S h (x; x 0 ) durch ( x 0, f (x 0 ) ) und ( x 0 +h, f (x 0 +h) ), h 0 y f (x 0 + h) f (x 0 ) x 0 x 0 + h x Der Anstieg der Sekante strebt gegen den Anstieg der Tangente.

Differenzierbarkeit Definition Sei I R ein offenes Intervall und f : I R eine Funktion. Dann heißt f in x 0 I differenzierbar, wenn der Grenzwert f (x) f (x 0 ) lim x x 0 x x 0 existiert. In diesem Fall bezeichnen wir den Grenzwert mit f (x 0 ) und nennen ihn Ableitung oder Differentialquotient von f in x 0. Bemerkung Die Ableitung von f in x 0 kann äquivalent auch in der Form f (x 0 ) = lim h 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) h definiert werden. G. Matthies Grundlagen Mathematik 5/82

G. Matthies Grundlagen Mathematik 6/82 Tangente Satz Die Ableitung f (x 0 ) existiert genau dann, wenn die Tangente T an den Graphen von f in x 0 existiert. In diesem Fall lässt sich die Tangente in der Form schreiben. Bemerkung T (x; x 0 ) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Somit ist f (x 0 ) der Anstieg von f an der Stelle x 0.

G. Matthies Grundlagen Mathematik 7/82 Einige Ableitungen f : R R, f (x) = c = konstant: f f (x) f (x 0 ) c c (x 0 ) = lim = lim = 0. x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 f : R R, f (x) = x n, n R \ {0}: f (x 0 ) = n x n 1 0 f : R [ 1, 1], f (x) = sin(x): f (x 0 ) = cos(x 0 ) f : R [ 1, 1], f (x) = cos(x): f (x 0 ) = sin(x 0 )

G. Matthies Grundlagen Mathematik 8/82 Differenzierbare Funktionen Definition Seien D R offen und f : D R. Die Funktion f heißt auf der offenen Teilmenge A D differenzierbar, falls f in jedem Punkt x 0 A differenzierbar ist. Ist f auf D differenzierbar, so nennen wir f differenzierbare Funktion. Definition Ist f : D R eine differenzierbare Funktion, dann nennen wir die Abbildung f : D R, x f (x) Ableitung von f. Die Schreibweisen f df (x), dx (x), d dx f (x) sind üblich.

G. Matthies Grundlagen Mathematik 9/82 Zusammenhang zur Stetigkeit Satz Sei f : I R in x 0 differenzierbar. Dann ist f in x 0 stetig. Bemerkung Die Umkehrung der obigen Aussage gilt nicht. Dazu können wir die Funktion f : R R, x x in x 0 = 0 betrachten. Die Betragsfunktion ist dort stetig, aber nicht differenzierbar.

G. Matthies Grundlagen Mathematik 10/82 Differentiationsregeln Seien f, g : I R jeweils in x 0 I differenzierbar und λ R beliebig. Dann gelten: (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ) (Additivität) (λf ) (x 0 ) = λf (x 0 ) (fg) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f (x 0 )g (x 0 ) und ( ) falls g(x 0 ) 0 f (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f (x 0 )g (x 0 ) g g 2 (x 0 ) und speziell ( ) 1 (x 0 ) = g (x 0 ) g g 2 (x 0 ) (Homogenität) (Produktregel) (Quotientenregel)

G. Matthies Grundlagen Mathematik 11/82 Kettenregel Satz Seien g : D g W g und f : D f W f mit g(d g ) D f gegeben. Wenn g in x 0 D g und f in z 0 = g(x 0 ) D f differenzierbar sind, dann ist die Verkettung f g : D g W f in x 0 differenzierbar und es gilt (f g) (x 0 ) = f ( g(x 0 ) ) g (x 0 ) = f (z 0 )g (x 0 ), es liegt somit das Produkt der äußeren und der inneren Ableitung vor. Bemerkung Wenn z = f ( g(x) ) = f (y) mit y = g(x) ist, dann gilt dz dx = d dx f ( g(x) ) = dz dy dy dx.

G. Matthies Grundlagen Mathematik 12/82 Ableitung der Umkehrfunktion Satz Sei f : D W bijektiv und streng monoton wachsend oder fallend. Wenn f in x 0 D differenzierbar ist und f (x 0 ) 0 erfüllt ist, dann ist die Umkehrfunktion f 1 : W D in y 0 = f (x 0 ) W differenzierbar und die Beziehung ( f 1 ) (y0 ) = 1 f (x 0 ) = 1 f ( f 1 (y 0 ) ) gilt. Bemerkung Die obige Beziehung lässt sich mittels der Kettenregel herleiten, da (f f 1 )(x) = x und (f f 1 ) (x) = 1 gelten.

G. Matthies Grundlagen Mathematik 13/82 Ableitungen weiterer Funktionen Auf dem jeweiligen Definitionsbereich gelten ( ) sin(x) tan (x) = = sin (x) cos(x) sin(x) cos (x) cos(x) cos 2 (x) cot (x) = = cos2 (x) + sin 2 (x) cos 2 (x) = 1 sin 2 (x) = 1 cot2 (x). 1 cos 2 (x) = 1 + tan2 (x) Für die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen ergeben sich arcsin 1 (x) =, 1 x 2 arccos (x) = 1, x ( 1, 1), 1 x 2 arctan (x) = 1 1 + x 2, arccot (x) = 1 1 + x 2, x R.

G. Matthies Grundlagen Mathematik 14/82 Ableitung der Exponential- und Logarithmusfunktionen Satz Die Exponentialfunktion und der natürliche Logarithmus exp : R R +, x e x ln : R + R, x ln(x) sind differenzierbar und es gelten die Beziehungen d dx ex = e x d, dx ln(x) = 1 x auf dem jeweiligen Definitionsbereich.

G. Matthies Grundlagen Mathematik 15/82 Anwendungen Satz (Logarithmische Ableitung) Die Kettenregel liefert d dx ln ( f (x) ) = f (x) f (x), wenn f in x differenzierbar ist und f (x) 0 gilt. Satz Für die allgemeine Exponentialfunktion f : R R +, x a x ergibt sich ( f (x) = e x ln(a)) = e x ln(a) ( x ln(a) ) = e x ln(a) ln(a) = a x ln(a), da f (x) = a x = e x ln(a) gilt.

Ableitung an Extremalstellen Satz Sei f : (a, b) R differenzierbar und f besitze in x 0 (a, b) ein Extremum (Minimum oder Maximum). Dann ist erfüllt. f (x 0 ) = 0 Sei x 0 eine Maximalstelle. Dann gilt für x n x 0 für n und x n > x 0 für alle n N 0 f (x n) f (x 0 ) x n x 0, was 0 f (x 0 ) bedeutet. Analog erhalten wir für x n x 0 bei n und x n < x 0 für alle n N, dass 0 f (x 0 ) erfüllt sein muss. Somit ist nur f (x 0 ) = 0 möglich. G. Matthies Grundlagen Mathematik 16/82

G. Matthies Grundlagen Mathematik 17/82 Satz von Rolle Satz Sei f : [a, b] R stetig und in (a, b) differenzierbar. Weiterhin sei f (a) = f (b). Dann existiert ein x 0 (a, b) mit f (x 0 ) = 0. Wenn f eine konstante Funktion ist, dann ist die Ableitung an allen Stellen 0 und wir können x 0 = a + b wählen. 2 Wenn f nicht konstant ist, dann gibt es entweder ein x (a, b) mit f (x) > f (a) = f (b) oder f (x) < f (a) = f (b). Wir betrachten den ersten Fall. Da f nach Voraussetzung stetig ist, nimmt f sein Maximum auf [a, b] an (Satz von Weierstraß). Die Maximalstelle x 0 muss aber im offenen Intervall (a, b) liegen, da f (x 0 ) = max f (z) f (x) > f (a) = f (b) z [a,b] ist. Dann liefert der vorige Satz die gewünschte Aussage.

G. Matthies Grundlagen Mathematik 18/82 Mittelwertsatz der Differentialrechnung Satz Sei f : [a, b] R stetig und in (a, b) differenzierbar. Dann existiert ein x 0 (a, b) mit f f (b) f (a) (x 0 ) =, b a d. h., der Anstieg der Tangente in x 0 stimmt mit dem Anstieg der Sekante durch ( a, f (a) ) und ( b, f (b) ) überein. f (b) f (a) Die Hilfsfunktion F (x) = f (x) (x a) f (a) erfüllt b a alle Voraussetzungen des Satzes von Rolle. Damit gibt es ein x 0 (a, b) mit F (x 0 ) = 0. Da F (x) = f f (b) f (a) (x) gilt, ergibt b a sich die Behauptung.

G. Matthies Grundlagen Mathematik 19/82 Illustration zum Mittelwertsatz f (b) f (a) f (b) f (a) b a = f (x 0 ) a x 0 b

G. Matthies Grundlagen Mathematik 20/82 Folgerungen aus dem Mittelwertsatz Folgerung Sei f : (a, b) R differenzierbar. Dann gelten: f ist genau dann konstant, wenn f (x) = 0 für alle x (a, b) gilt. Ist f (x) 0 (f (x) 0) für alle x (a, b), dann ist f monoton wachsend (fallend) auf (a, b). Ist f (x) > 0 (f (x) < 0) für alle x (a, b), dann ist f monoton streng wachsend (fallend) auf (a, b).

G. Matthies Grundlagen Mathematik 21/82 Verallgemeinerter Mittelwertsatz der Differentialrechnung Satz Seien f, g : [a, b] R stetig und in (a, b) differenzierbar. Dann existiert ein x 0 (a, b) mit f (x 0 ) ( g(b) g(a) ) = g (x 0 ) ( f (b) f (a) ). Gilt zusätzlich g (x) 0 in (a, b), dann ist für x 0 die Beziehung erfüllt. f (b) f (a) g(b) g(a) = f (x 0 ) g (x 0 )) Aus g (x) 0 für alle x (a, b) folgt, dass g(a) g(b). Der Satz von Rolle angewendet auf f (b) f (a) ( ) F (x) = f (x) g(x) g(a) g(b) g(a) liefert die Behauptung.

G. Matthies Grundlagen Mathematik 22/82 Regeln von l Hospital I Satz Seien f, g : (a, b) R differenzierbar und x 0 (a, b) mit f (x 0 ) = g(x 0 ) = 0. Weiterhin sei g (x) 0 für x (a, b) \ {x 0 }. Dann gilt: Existiert der Grenzwert f (x) lim x x 0 g (x), dann existiert auch der Grenzwert f (x) lim x x 0 g(x) und beide Grenzwerte sind identisch.

G. Matthies Grundlagen Mathematik 23/82 Regeln von l Hospital II Satz Seien x 0 (a, b) und f, g : (a, b) \ {x 0 } R differenzierbar. Ferner gelte lim f (x) x x 0 =, lim g(x) x x 0 = und g (x) 0 für alle x (a, b) \ {x 0 }. Dann gilt: Existiert der Grenzwert f (x) lim x x 0 g (x), so existiert auch der Grenzwert f (x) lim x x 0 g(x) und beide Grenzwerte sind identisch.

G. Matthies Grundlagen Mathematik 24/82 Weitere Grenzwerte I Soll der Grenzwert lim f (x)g(x) für x x 0 lim f (x) =, lim g(x) = 0 x x 0 x x 0 bestimmt werden, so kann dies mittels Betrachtung der Grenzwerte lim x x 0 f (x) 1 g(x) oder lim x x 0 g(x) 1 f (x) auf schon bekannte Situationen zurückgeführt werden. Im Falle der Existenz der Grenzwerte gilt bzw. lim f (x)g(x) = lim x x 0 x x 0 lim f (x)g(x) = lim x x 0 x x 0 f (x) 1 g(x) g(x) 1 f (x)

G. Matthies Grundlagen Mathematik 25/82 Weitere Grenzwerte II Grenzwerte der Form lim x x 0 f (x) g(x) lassen sich für die Fälle lim f (x) = 1, x x 0 lim g(x) = x x 0 oder lim f (x) = 0, lim g(x) = 0 x x 0 x x 0 durch Logarithmieren und Betrachtung von lim g(x) ln ( f (x) ) x x 0 auf den vorigen Fall zurückführen. Existiert der Grenzwert lim x x 0 g(x) ln ( f (x) ) und hat den Wert G, dann gilt lim x x 0 f (x) g(x) = e G.

Weitere Grenzwerte III Die Regeln von l Hospital lassen sich auch zur Berechnung von Grenzwerten der Form ( ) lim f (x) g(x) x x 0 im Fall lim f (x) = lim g(x) = ( oder = ) x x 0 x x 0 und x 0 R {, + } nutzen. Dazu schreiben wir f (x) g(x) = 1 1 f (x) 1 1 g(x) = 1 g(x) 1 f (x) 1 f (x)g(x) Zähler und Nenner streben nun jeweils gegen 0 für x x 0. Es kann auch sinnvoll sein, den Grenzwert f (x) 2 g(x) 2 lim x x 0 f (x) + g(x) zu betrachten, der sich aus der binomischen Formel ergibt. G. Matthies Grundlagen Mathematik 26/82.

G. Matthies Grundlagen Mathematik 27/82 Extremalstellen Definition Sei f : [a, b] R gegeben. Der Punkt x 0 [a, b] heißt lokale Maximalstelle (Minimalstelle) und f (x 0 ) lokales Maximum (Minimum), wenn ein ε > 0 derart existiert, dass ( f (x 0 ) f (x) f (x0 ) f (x) ) für alle x [x 0 ε, x 0 + ε] [a, b] gilt. Im Falle der strengen Ungleichung sprechen wir von einem echten oder strikten lokalen Maximum (Minumum). Gilt f (x 0 ) f (x) (f (x 0 ) f (x)) für alle x [a, b], so heißt x 0 globale Maximalstelle (Minimalstelle) und f (x 0 ) globales Maximum (Minimum).

Illustration f : [a, b] R a x 0 x 1 x 2 x 3 b a: echte lokale Minimalstelle, b: globale Minimalstelle, x 0 : globale Maximalstelle, x 1 : echte lokale Minimalstelle, x 2 : lokale Maximalstelle, x 3 : lokale Maximalstelle, x [x 2, x 3 ]: lokale Maximalstelle und lokale Minimalstelle G. Matthies Grundlagen Mathematik 28/82

G. Matthies Grundlagen Mathematik 29/82 Lage von Extremalstellen Satz Sei f : [a, b] R differnzierbar und x 0 [a, b] eine lokale Extremstelle. Dann ist entweder x 0 ein Randpunkt von [a, b] oder es gilt f (x 0 ) = 0. Bemerkung Gilt f (x 0 ) = 0 an einer Stelle x 0, so kann nicht auf das Vorliegen einer Extremstelle geschlossen werden. Dazu kann f : [ 1, 1] R, x x 3 betrachtet werden. An der Stelle x 0 = 0 gilt f (x 0 ) = f (0) = 0. Es liegt aber weder Minimalnoch Maximalstelle vor, da f in der Umgebung von x 0 = 0 sowohl positive als auch negative Werte annimmt.

Anwendung der Differentialrechnung Gesucht: maximaler Umfang u eines Rechtecks, das in die Ellipse mit den Halbachsen a und b einbeschrieben ist x 2 a 2 + y 2 y b 2 = 1 c 2 a 2 + d 2 b 2 = 1 d b a (c, d) x c u = 4c + 4d G. Matthies Grundlagen Mathematik 30/82

G. Matthies Grundlagen Mathematik 31/82 Höhere Ableitungen Definition Sei f : [a, b] R eine Funktion, die auf (a, b) differenzierbar ist. Dann wird die Ableitung von f als zweite Ableitung von f bezeichnet. Allgemein ist die n-te Ableitung einer Funktion genau als die Ableitung der (n 1)-ten Ableitung definiert. Ableitungen bis zur Ordnung 3 werden in der Regel durch Ableitungsstriche gekennzeichnet: f, f, f. Bei höheren Ableitungen benutzen wir einen geklammerten Index, also steht f (5) für die fünfte Ableitung von f. Zusätzlich vereinbaren wir f (0) = f. In der obigen Definition wird natürlich davon ausgegangen, dass alle auftretenden Ableitungen auch existieren.

G. Matthies Grundlagen Mathematik 32/82 Extremwertbestimmung I Satz Sei f : [a, b] R zweimal stetig differenzierbar, d. h., f existiert und ist stetig. Weiterhin sei f (x 0 ) = 0 für ein x 0 (a, b). Dann gilt: Ist f (x 0 ) < 0, dann ist f (x 0 ) ein echtes lokales Maximum und x 0 eine echte lokale Maximalstelle. Ist f (x 0 ) > 0, dann ist f (x 0 ) ein echtes lokales Minimum und x 0 eine echte lokale Minimalstelle. Im Fall f (x 0 ) = 0 lässt sich so keine Aussage treffen.

G. Matthies Grundlagen Mathematik 33/82 Wendepunkte Definition Sei f : [a, b] R eine differenzierbare Funktion. Besitzt die Ableitung f in x 0 (a, b) ein lokales Minimum oder Maximum, dann nennen wir x 0 Wendepunkt von f. Ein Wendepunkt mit f (x 0 ) = 0 wird Sattelpunkt genannt.

G. Matthies Grundlagen Mathematik 34/82 Extremwertbestimmung II Im Folgenden sei n N. Satz Sei f : (a, b) R eine (2n)-mal stetig differenzierbare Funktion und es gelte für ein x 0 (a, b) f (k) (x 0 ) = 0, k = 1,..., 2n 1, und f (2n) (x 0 ) < 0 ( f (2n) (x 0 ) > 0 ). Dann hat f in x 0 ein lokales Maximum (Minumum). Sei f : (a, b) R eine (2n + 1)-mal stetig differenzierbare Funktion und es gelte für ein x 0 (a, b) f (k) (x 0 ) = 0, k = 1,..., 2n, und f (2n+1) (x 0 ) 0. Dann liegt in x 0 ein Wendepunkt vor.

G. Matthies Grundlagen Mathematik 35/82 Konvexität Definition Seien I ein Intervall und f : I R eine Funktion. Dann heißt f konvex (konkav), wenn f ( (1 λ)x + λy ) (1 λ)f (x) + λf (y) ( f ( (1 λ)x + λy ) ) (1 λ)f (x) + λf (y) für alle x, y I und alle λ (0, 1) erfüllt ist. Gilt sogar die strenge Ungleichung, dann nennen wir f streng konvex (konkav).

G. Matthies Grundlagen Mathematik 36/82 Konvexität und Ableitungen Satz Seien I ein Intervall und f : I R eine stetig differenzierbare konvexe Funktion. Dann liegt die Funktion f für jedes x 0 I oberhalb der dortigen Tangente. Satz Seien I ein Intervall und f : I R eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Dann sind die Zusammenhänge f (x) 0 für alle x I f ist konvex, f (x) 0 für alle x I f ist konkav, f (x) > 0 für alle x I f ist streng konvex, f (x) < 0 für alle x I f ist streng konkav gegeben.

G. Matthies Grundlagen Mathematik 37/82 Veranschaulichung einer konvexen Funktion x z y λ (0, 1), z = (1 λ)x + λy, f (z) (1 λ)f (x) + λf (y) = f (x) + λ ( f (y) f (x) ) { unterhalb ihrer Sekante Die konvexe Funktion f liegt oberhalb ihrer Tangente

Kurvendiskussion Bestandteile der Kurvendiskussion 1. Bestimmung des maximalen Definitionsbereiches 2. Bestimmung des Bildes 3. Untersuchung der Symmetrie bzw. Parität 4. Berechnung aller Nullstellen 5. Bestimmung voin Extremstellen und Wendepunkten 6. Verhalten an Definitionslücken 7. Verhalten im Unendlichen, Bestimmug von Asymptoten 8. Anfertigung einer Skizze G. Matthies Grundlagen Mathematik 38/82

G. Matthies Grundlagen Mathematik 39/82 Kurvendiskussion Asymptote h(x) = 1 1 Maximum Wendepunkt 0.5 4 2 2 4 6 Nullstelle hebbare Definitionslücke 0.5 1 f (x) = x 3 3x + 2 x 3 x 2

G. Matthies Grundlagen Mathematik 40/82 Fehlerrechnung I Gegeben: f : (a, b) R differenzierbar Fragestellung: Wie ändert sich der Wert der Funktion f, wenn sich x 0 zu x 0 + x ändert? Mittelwertsatz: Es gibt eine Stelle ξ zwischen x 0 und x 0 + x mit f x = f (x 0 + x) f (x 0 ) = f (ξ). (x 0 + x) x 0 Wenn f (z) M für alle z (a, b) erfüllt ist, dann folgt als Abschätzung des Fehlers. f M x Falls f stetig und x klein, so gilt f (ξ) f (x 0 ) und f f (x 0 ) x

G. Matthies Grundlagen Mathematik 41/82 Fehlerrechnung II Definition Sei f : (a, b) R differenzierbar. Dann heißt df := f (x 0 )dx (totales) Differential von f an der Stelle x 0. Beispiel Gesucht: Näherungswert für sin(α) für betragskleine α f : R R, f (x) = sin(x), x 0 = 0 sin(α) sin(0) + df = 0 + f (0)(α 0) = cos(0)α = α

G. Matthies Grundlagen Mathematik 42/82 Interpolation und Ausgleichsprobleme Gegeben sind Datenpunkte (x i, y i ), i = 0,..., n, und eine Klasse von Funktionen, die sich durch eine Anzahl von Parametern (z. B. Koeffizienten) beschreiben lassen. Interpolation Gesucht wird eine Funktion p, beschrieben durch n + 1 Parameter, mit p(x i ) = y i, i = 0,..., n. Ausgleichsproblem Gesucht wird eine Funktion q, beschrieben durch m Parameter, m < n + 1, derart, dass der Abstand zwischen den Daten und der Funktion q möglichst klein wird. Dabei hängt es von der konkreten Problemstellung ab, was als Abstand gewählt wird.

G. Matthies Grundlagen Mathematik 43/82 Illustration zur Interpolation 4 y 2 2 1.5 1 0.5 0.5 1 1.5 2 2 x 4 4 Datenpunkte und Interpolation durch Polynom dritten Grades

G. Matthies Grundlagen Mathematik 44/82 Illustration zu Ausgleichsproblemen 1 y 2 1.5 1 0.5 0.5 1 1.5 2 1 x 2 3 6 Datenpunkte und Ausgleich mit einer linearen Funktion Interpolation durch Polynom fünften Grades

G. Matthies Grundlagen Mathematik 45/82 Lagrangesches Interpolationsproblem Definition (Lagrangesches Interpolationsproblem) Gegeben: Intervall [a, b] R, (n + 1) Knoten x i, i = 0,..., n, mit a x 0 < x 1 < < x n 1 < x n b, Gesucht: Daten f i, i = 0,..., n. Polynom p mit Grad kleiner oder gleich n, das p(x i ) = f i, i = 0,..., n. erfüllt

G. Matthies Grundlagen Mathematik 46/82 Einfacher Zugang Polynom n-ten Grades n p(x) = a j x j = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 j=0 Interpolationsbedingungen f 0 = p(x 0 ) = a n x n 0 + a n 1 x n 1 0 + + a 1 x 0 + a 0, f 1 = p(x 1 ) = a n x n 1 + a n 1 x n 1 1 + + a 1 x 1 + a 0,.. f n = p(x n ) = a n x n n + a n 1 x n 1 n + + a 1 x n + a 0.. vollbesetztes lineares Gleichungssystem mit n + 1 Gleichungen und n + 1 Unbekannten a 0,..., a n

G. Matthies Grundlagen Mathematik 47/82 Lagrangesche Interpolationsformel Definition (Lagrangesche Basispolynome) L i (x) = (x x 0) (x i x 0 )... (x x i 1) (x x i+1 ) (x i x i 1 ) (x i x i+1 )... (x x n) (x i x n ) n x x j =, i = 0,..., n x i x j j=0 j i { 1, i = j, Es gilt für i, j = 0,..., n: L i (x j ) = δ ij = 0, i j. δ ij wird als Kronecker-Symbol bezeichnet. Definition (Lagrangesche Interpolationsformel) n p(x) := f i L i (x) i=0

G. Matthies Grundlagen Mathematik 48/82 Newtonsche Interpolationsformel bisher: Hinzufügen von Daten erfordert komplette Neurechnung Liegt das Interpolationspolynom p aber in der Form n i 1 p(x) = b i (x x j ) i=0 j=0 = b 0 +b 1 (x x 0 )+b 2 (x x 0 )(x x 1 ) +...+b n (x x 0 )(x x 1 )... (x x n 1 ) = b 0 +(x x 0 ) [b 1 +(x x 1 ) [... [b n 1 +(x x n 1 )b n ]... ]] vor, dann lassen sich weitere Daten berücksichtigen, indem weitere Summanden hinzugefügt werden. Die Auswertung von p an einer Stelle x erfolgt durch Rechnung von innen nach außen.

G. Matthies Grundlagen Mathematik 49/82 Berechnung der Koeffizienten Interpolationsbedingungen f 0 = p(x 0 ) = b 0, f 1 = p(x 1 ) = b 0 + b 1 (x 1 x 0 ), f 2 = p(x 2 ) = b 0 + b 1 (x 2 x 0 ) + b 2 (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ),.. f n = p(x n ) = b 0 +b 1 (x n x 0 )+b 2 (x n x 0 )(x n x 1 ). +...+b n (x n x 0 )(x n x 1 )... (x n x n 1 ) gestaffeltes lineares Gleichungssystem in Dreiecksform mit n + 1 Gleichungen und n + 1 Unbekannten b 0,..., b n.

G. Matthies Grundlagen Mathematik 50/82 Verhalten zwischen den Knoten Sinus-Funktion quadratisches Interpolationspolynom zu den Knoten 0, π 4 und π 2 1 0.5 π 4 π 2

G. Matthies Grundlagen Mathematik 51/82 Fehler zwischen den Knoten Fehler zwischen Funktion und Interpolationspolynom 0.04 0.02-0.02 π 4 π 2

G. Matthies Grundlagen Mathematik 52/82 Fehleranalyse für Polynominterpolation Seien die Daten f i = f (x i ), i = 0,..., n, gewählt. Wie gut approximiert p die Funktion f zwischen den Stützstellen? Satz Seien f : [a, b] R eine (n + 1)-mal stetig differenzierbare Funktion, x 0,..., x n mit a x 0 < x 1 < < x n b paarweise verschiedene Stützstellen und p das zugehörige Interpolationspolynom vom Grad kleiner oder gleich n. Dann gilt für jede Stelle x [a, b] die Fehlerdarstellung f (x ) p(x ) = ω(x )f (n+1) (ξ ) (n + 1)! mit einer Zwischenstelle ξ = ξ (x ) [a, b] und dem Knotenpolynom ω(x) = (x x 0 ) (x x n ).

G. Matthies Grundlagen Mathematik 53/82 Maximaler Fehler Folgerung Für den maximalen Interpolationsfehler ergeben sich (b a)n+1 max f (x) p(x) max f (n+1) (ξ) a x b (n + 1)! a ξ b und max f (x) p(x) a x b hn+1 max a ξ b f (n+1) (ξ) mit h = max ( x 0 a, max (x ) i x i 1 ), b x n i=1,...,n als Fehlerschranken. In der Regel liefert die zweite Ungleichung eine kleinere obere Schranke.

G. Matthies Grundlagen Mathematik 54/82 Runge-Beispiel f : [ 5, 5] R, x 1 1 + x 2 n + 1 äquidistante Stützstellen: x 0 = 5,..., x n = 5 Ausschnitt um x = 0 1 0.5 Funktion Grad 6 Grad 10 Grad 20 1 0.5 0.5 1

G. Matthies Grundlagen Mathematik 54/82 Runge-Beispiel f : [ 5, 5] R, x 1 1 + x 2 n + 1 äquidistante Stützstellen: x 0 = 5,..., x n = 5 4 2 2 4 20 40 60 Funktion Grad 6 Grad 10 Grad 20

Aussagen zur Polynom-Interpolation Satz (Faber) Zu jeder Folge von Stützstellen ( {x (n) 0,..., x n (n) } ) auf [a, b] n N gibt es eine stetige Funktion f : [a, b] R derart, dass für die Folge (p n ) n N der zugehörigen Interpolationspolynome p n mit Grad kleiner oder gleich n die Aussage lim max f (x) p n (x) = n x [a,b] gilt. Satz (Marcinkiewicz) Zu jeder stetigen Funktion f : [a, b] R gibt es eine Folge von Stützstellen ( {x (n) 0,..., x n (n) } ) auf [a, b] derart, dass für die n N Folge der zugehörigen Interpolationspolynome p n mit Grad kleiner oder gleich n lim max f (x) p n (x) = 0 n x [a,b] erfüllt ist. G. Matthies Grundlagen Mathematik 55/82

G. Matthies Grundlagen Mathematik 56/82 Verbesserung Satz von Faber: Erhöhung des Polynomgrades muss Approximation nicht verbessern Praxis: Polynomgrad höchstens 3 5 Fehlerabschätzung: Kürzere Intervall reduzieren Fehler Idee: Polynominterpolation auf Teilintervallen benutzen, Problem: Differenzierbarkeit an Intervallgrenzen Lösung: Suche geeignet oft differenzierbare Funktion, die stückweise Polynome sind

G. Matthies Grundlagen Mathematik 57/82 Splines Knoten: a = x 0 < x 1 < < x n = b, Teilintervalle: I k := [x k 1, x k ], k = 1,..., n, Länge der Teilintervalle: h k = x k x k 1, k = 1,..., n, maximale Länge der Teilintervalle: h := max 1 k n h k Definition (Spline der Ordnung k) Mit S k bezeichnen wir die Menge aller (k 1)-mal stetig differenzierbarer Funktionen auf dem Intervall [a, b], die eingeschränkt auf jedes Teilintervall I k, k = 1,..., n, ein Polynom vom Grad kleiner oder gleich k sind. Ein Spline s S k heißt interpolierender Spline zu den Daten (x 0, f 0 ),..., (x n, f n ) bzw. zur Funktion f, wenn gilt. S 1 : lineare Splines S 3 : kubische Splines s(x i ) = f i bzw. s(x i ) = f (x i ), i = 0,..., n,

Lineare Splines Gegeben: Stützpunkte (x 0, f 0 ),..., (x n, f n ) Gesucht: interpolierender linearer Spline y Lösung: Polygonzug x 0 = a x 1 x 2... x n 1 x n x G. Matthies Grundlagen Mathematik 58/82

G. Matthies Grundlagen Mathematik 59/82 Kubische Splines Gegeben: Stützpunkte (x 0, f 0 ),..., (x n, f n ) Gesucht: interpolierender kubischer Spline Anzahl der zu bestimmenden Parameter: 4 je Teilintervall Anzahl der Bedingungen Interpolation an Beginn und Ende jedes Teilintervalls Stetigkeit der ersten Ableitung Stetigkeit der zweiten Ableitung Gesamt: 4n 2n n 1 n 1 4n 2 Wahl der 2 fehlenden Bedingungen: natürliche Randbedingung: s (a) = s (b) = 0 vollständige Randbedingung: s (a) = f (a), s (b) = f (b)...

G. Matthies Grundlagen Mathematik 60/82 Illustration kubischer Spline y x 0 = a x 1 x 2... x n 1 x n x Randbedingung: s (a) = 0, s (b) = 0

G. Matthies Grundlagen Mathematik 61/82 Runge-Beispiel: Interpolation mit kubischen Splines f : [ 5, 5] R, x 1 1 + x 2 n + 1 äquidistante Stützstellen x 0,..., x n 1 0.5 Funktion 6 Intervalle 10 Intervalle 20 Intervalle 4 2 2 4

G. Matthies Grundlagen Mathematik 62/82 Fehleranalyse für Splineinterpolation Wie gut approximiert s die Funktion f zwischen den Stützstellen? Satz Seien f : [a, b] R eine 4-mal stetig differenzierbare Funktion mit f (a) = f (b) = 0 und s der interpolierende kubische Spline mit natürlichen Randbedingungen s (a) = s (b) = 0. Dann gibt es Konstanten C 0, C 1, C 2, C 3 derart, dass für r = 0, 1, 2, 3 max f (r) (x) s (r) (x) Cr h 4 r max f (4) (x) gilt. x [a,b] Bemerkung x [a,b] Neben der Funktion selbst werden also auch die Ableitungen gut approximiert. Die dritte Ableitung des Splines s ist stückweise auf jedem Teilintervall zu verstehen.

G. Matthies Grundlagen Mathematik 63/82 Approximation von Funktionen durch Polynome Polynome leicht handhabbar komplizierte Funktionen durch Polynome annähern y x 0 x Funktion mit konstanter, linearer und quadratischer Annäherung

G. Matthies Grundlagen Mathematik 64/82 Approximationsbedingungen Gegeben: f : (a, b) R, x 0 (a, b) Ansatz: f (x) = a 0 +a 1 (x x 0 )+a 2 (x x 0 ) 2 + +a n (x x 0 ) n +R }{{} n (x) =: T n (x) mit Restglied R n Idee: Wenn für f und T n der Funktionswert und alle Ableitungen bis zur Ordnung n in x 0 übereinstimmen, dann sollten sich f und T n in der Nähe von x 0 auch nur wenig unterscheiden. Bedingungen: f (x 0 ) = T n (x 0 ), f (x 0 ) = T n(x 0 ),..., f (n) (x 0 ) = T (n) (x 0 )

Taylor-Formel Ansatz: T n (x) := a 0 +a 1 (x x 0 )+a 2 (x x 0 ) 2 + +a n (x x 0 ) n Bedingungen: f (x 0 ) = T n (x 0 ), f (x 0 ) = T n(x 0 ),..., f (n) (x 0 ) = T (n) (x 0 ) Ableitungen von T n : T n (x 0 ) = a 0, T n(x 0 ) = a 1, T n (x 0 ) = 2a 2, T n (x 0 ) = 3! a 3, allgemein: T n (k) (x 0 ) = k! a k Ablesen der Koeffizienten: a k = f (k) (x 0 ), k = 0,..., n k! G. Matthies Grundlagen Mathematik 65/82

G. Matthies Grundlagen Mathematik 66/82 Taylor-Polynome Definition Seien f : (a, b) R eine n-mal differenzierbare Funktion und x 0 (a, b). Dann bezeichnen wir T n (x) := f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 +... 2! + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! als das n-te Taylor-Polynom von f an der Stelle x 0. Bemerkung Der Graph des linearen Taylor-Polynoms T 1 ist die Tangente an den Graphen von f an der Stelle x 0.

G. Matthies Grundlagen Mathematik 67/82 Restglieddarstellung Satz Seien f : (a, b) R eine (n + 1)-mal differenzierbare Funktion und x 0 (a, b). Dann gilt für das n-te Taylor-Polynom T n die Darstellung f (x) = T n (x) + R n (x) für alle x (a, b). Das Restglied hat die Darstellung wobei ξ zwischen x 0 und x liegt. R n (x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x x 0) n+1, Bemerkung Die obige Darstellung ist die Restgliedformel nach Lagrange. Es gibt weitere Darstellungen nach Cauchy und Schlömilch.

G. Matthies Grundlagen Mathematik 68/82 Beispiele I f : R R, x e x, x 0 = 0 Bestimmung der Ableitungen f (k) (x): f (x) = f (x) = f (x) = = f (n) (x) = f (n+1) (x) = e x Berechnung der Ableitungen f (k) (0): f (0) = f (0) = f (0) = = f (n) (0) = e 0 = 1 Taylor-Polynom T n : T n (x) = 1 + x + x 2 2 + x 3 6 + + x n n! Restglieddarstellung nach Lagrange: mit ξ zwischen 0 und x R n (x) = e ξ (n + 1)! x n+1

G. Matthies Grundlagen Mathematik 69/82 Taylor-Polynome der Exponential-Funktion 5 y 4 3 2 1 3 2 1 1 2 3 T 1 (x) = 1+x, T 2 (x) = 1+x + x 2 2, T 4(x) = 1+x + x 2 2 + x 3 6 + x 4 24 x

G. Matthies Grundlagen Mathematik 70/82 Beispiele II Gesucht: Taylor-Polynome von sin(x) und cos(x) an x 0 = 0 Zusammenhänge: sin (x) = cos(x) und cos (x) = sin(x) Sinus-Funktion sin(x) = x x 3 3! + x 5 5! x 7 mit dem Restglied R n (x) = sin(n+1) (ξ) x n+1 (n + 1)! Kosinus-Funktion cos(x) = 1 x 2 2! + x 4 4! x 6 mit dem Restglied R n (x) = cos(n+1) (ξ) x n+1 (n + 1)! 7! + + R n(x) 6! + + R n(x)

G. Matthies Grundlagen Mathematik 71/82 Taylor-Polynome der Sinus-Funktion 1 y 0.5 x 3 2 1 1 2 3 0.5 1 T 1 (x) = x, T 3 (x) = x x 3 6, T 5(x) = x x 3 6 + x 5 120

G. Matthies Grundlagen Mathematik 72/82 Taylor-Polynome der Kosinus-Funktion 1 y 0.5 x 3 2 1 1 2 3 0.5 1 T 0 (x) = 1, T 2 (x) = 1 x 2 2, T 4(x) = 1 x 2 2 + x 4 24

G. Matthies Grundlagen Mathematik 73/82 Beispiele III f : ( 1, 1) R, x ln(x), x 0 = 1 Bestimmung der Ableitungen: f (x) = 1 x, f (x) = 1 x 2, f (x) = 2 x 3,..., f (k) (x) = ( 1)k (k 1)! x k = ( 1)k 1 (k 1)! x k+1 Auswertung der Ableitungen an x 0 = 1: Taylor-Polynom T n : T n (x) = x 1 f (k) (1) = ( 1) k+1 (k 1)! (x 1)2 2 + (x 1)3 3 n+1 (x 1)n + ( 1) n Restglied: R n (x) = ( 1)n+2 n!(x 1) n+1 (n + 1)!ξ n+1 = ( 1)n (x 1) n+1 (n + 1)ξ n+1

G. Matthies Grundlagen Mathematik 74/82 Taylor-Polynome von ln(x) 1 y 0.5 0.5 0.5 1 1.5 2 x 1 f (x)= ln(x), T 1 (x) = (x 1), T 2 (x) = (x 1) T 3 (x) = (x 1) (x 1)2 2 + (x 1)3 3 (x 1)2, 2

Beispiel f : R R, x e 1 x 2 ; f (k) (0) = 0 für alle k N 0 1 0.8 0.6 0.4 y 0.2 4 2 2 4 x T n (x) = 0 für alle n N 0 und alle x R G. Matthies Grundlagen Mathematik 75/82

G. Matthies Grundlagen Mathematik 76/82 Bestimmung von Nullstellen Spezielle Funktionen lineare Funktion f (x) = mx + n mit m 0 x 0 = n m quadratische Funktion f (x) = ax 2 + bx + c mit a 0 x 1 = b + b 2 4ac 2a für den Fall b 2 4ac > 0, x 2 = b b 2 4ac 2a Für Polynome dritten und vierten Grades gibt es (komplizierte) Lösungsformeln. Eine exakte Lösungsdarstellung ist für allgemeine Polynome mit Grad größer oder gleich 5 nicht möglich.

G. Matthies Grundlagen Mathematik 77/82 Idee des Newton-Verfahrens Gegeben seien eine differenzierbare Funktion f : I R und eine Näherung x 0 I für eine Nullstelle x von f. Idee: Ersetze f durch die Tangente T im Punkt ( x 0, f (x 0 ) ) und verwende den Schnittpunkt der Tangente mit der x-achse als neue Näherung x 1 an die Nullstelle: x x 1 x 0

G. Matthies Grundlagen Mathematik 77/82 Idee des Newton-Verfahrens Gegeben seien eine differenzierbare Funktion f : I R und eine Näherung x 0 I für eine Nullstelle x von f. Idee: Ersetze f durch die Tangente T im Punkt ( x 0, f (x 0 ) ) und verwende den Schnittpunkt der Tangente mit der x-achse als neue Näherung x 1 an die Nullstelle: Gleichung der Tangente: T (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Gleichung für Schnittpunkt der Tangente mit der x-achse: Bestimmung der Nullstelle 0 = T (x 1 ) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x 1 x 0 ) x 1 = x 0 f (x 0) f (x 0 )

G. Matthies Grundlagen Mathematik 78/82 Newton-Verfahren Gegeben seien eine differenzierbare Funktion f : I R und eine Näherung x 0 I für eine Nullstelle x von f mit f (x 0 ) 0. Definition (Newton-Verfahren) Für n = 0, 1, 2,... berechne x n+1 = x n f (x n) f (x n ), falls f (x n ) 0

G. Matthies Grundlagen Mathematik 79/82 Beispiel f : R R, x x 2 2 zwei Nullstellen: x 1 = 2, x 2 = 2 x i f (x i ) x i x 1-1.0000e-00 4.1421e-01 1.5 2.5000e-01 8.5786e-02 1.41666666666667 6.9444e-03 2.4531e-03 1.41421568627451 6.0073e-06 2.1239e-06 1.41421356237469 4.5106e-12 1.5947e-12 1.41421356237309-4.4409e-16 2.2204e-16-0.5 1.7500e-00 9.1421e-01-2.25 3.0625e-00 8.3578e-01-1.56944444444444 4.6315e-01 1.5523e-01-1.42189036381514 2.1772e-02 7.6768e-03-1.41423428594007 5.8615e-05 2.0723e-05-1.41421356252493 4.2946e-10 1.5183e-10-1.41421356237309-4.4408e-16 2.2204e-16

G. Matthies Grundlagen Mathematik 80/82 Abbruch beim Newton-Verfahren f : R R, x x 3 + 2, x 0 = 1, f (x) = 3x 2 Newton-Verfahren: x n+1 = x n f (x n) f (x n ) = x n x 3 n + 2 3x 2 n x 1 = 0, wegen f (0) = 0 Abbruch 4 T 0 T 1 2 1 x 1 = 0 x 0 = 1

G. Matthies Grundlagen Mathematik 81/82 Zyklus beim Newton-Verfahren x 0 = x 3 x 1 = x 4 x 2 = x 5

G. Matthies Grundlagen Mathematik 82/82 Eigenschaften des Newton-Verfahrens Abbruch wegen f (x n ) = 0 Zyklen-Bildung Divergenz möglich nur lokale Konvergenz + bei Konvergenz: schnelle Reduktion des Fehlers + einfache Anwendbarkeit