8 Polynominterpolation Interpolations-Aufgabe: Von einer glatten Kurve seien nur lich viele Punktewerte gegeben. Wähle einen lichdimensionalen Funktionenraum. Konstruiere nun eine Kurve in diesem Funktionenraum durch die gegebenen Punkte. Fragen: (1 Wie berechnet man so eine Kurve? (2 Wie groß ist der Interpolationsfehler? (8.1 Definition (Interpolationsaufgabe von Lagrange Zu Stützstellen t 0 < t 1 < t und Werten f 0, f 1,..., f R bestimme ein Polynom P P mit P(t n f n, n 0,...,. (8.2 Satz Die Interpolationsaufgabe von Lagrange (8.1 ist eindeutig lösbar. Beweis. (1 Eindeutigkeit: Seien P, P zwei Lösungen der Aufgabe (8.1. Definiere Q : P P P. Dann hat Q nach Definition + 1 ullstellen und ist daher das ullpolynom. (2 Existenz: Die Zuordnung eines Polynoms P P auf die Auswertungen in den Stützstellen ist linear, d.h. die Lösung der Interpolationsaufgabe entspricht der Lösung eines Linearen Gleichungssystems in R +1. Da die Lösung eindeutig ist, ist die zugehörige Matrix regulär und somit ist die Aufgabe immer lösbar. Konstruktion des Interpolationspolynoms Zum Lösen der Interpolationsaufgabe muss man im Grunde den Koeffizientenvektor a (a 0,a 1,...,a n T R +1 bestimmen, welcher a 0 + a 1 t n + a 2 t 2 n + + a t n f n für n 0,..., genügt. Dies ist ein lineares Gleichungssystem Ta f mit f ( f 0,..., f T R +1 und der Vandermonde-Matrix 1 t 0 t0 2 t0 T (tn k 1 t 1 t1 2 t 1 n,k0,...,....... R+1,+1. 1 t t 2 t Diese Matrix ist zwar regulär (da die t n paarweise verschieden sind, hat aber in der Regel eine sehr schlechte Kondition. Eine andere Möglichkeit ist die Darstellung über die 69
Lagrange Basispolynome L k P mit L k (t n0 n k t t n t k t n Diese Polynome genügen der Bedingung { 1, k n L k (t n 0, k n. Also ist P(t : f k L k (t k0 Lösung der Interpolationsaufgabe (8.1. Vor- und achteile der Lagrange-Darstellung + Explizite Darstellung der Lösung. + Auswertung von P benötigt O( 2 Operationen, währ das Lösen von Ta f mit der LR-Zerlegung O( 3 Operationen benötigt. Die Lagrange Basis ist stark oszillier, somit ist die Auswertung für große numerisch instabil und führt zur Auslöschung. Wenn ein weiterer Wert hinzugefügt wird, müssen alle Basispolynome neu berechnet werden! (8.3 Definition (Hermitesche Interpolationsaufgabe Zu t 0 t 1 t definiere d n : max{n k : t k t k+1 t n }, und es sei d maxd n. Zu f C d (R bestimme P P mit ( d dn ( d dn P(t n f (t n für n 0,...,. Beispiele (1 Sind die t n paarweise verschieden, dann folgt d n 0 und wir erhalten die Lagrange- Interpolation. (2 Für t 0 t 1 t ergibt sich das Taylor-Polynom P(t n0 ( 1 d n n! (t t 0 n f (t 0. 70
(3 Betrachte die kubische Hermite-Interpolation mit a t 0 t 1 < t 2 t 3 b. Dann gilt d 0 0,d 1 1,d 2 0,d 3 1 und es ergibt sich P(t H ( t a b a für H(t f (ah 00 (t + (b a f (ah 10 (t + f (bh 01 (t + (b a f (bh 11 (t. Dabei sind die Hermite-Polynome gegeben durch H 00 (t 1 3t 2 + 2t 3, H 10 (t t 2t 2 +t 3, H 01 (t 3t 2 2t 3, H 11 (t t 2 +t 3. (8.4 Definition Zu t 0,...,t definiere die ewton-basis von P rekursiv durch ω 0 1, ω k (t (t t k 1 ω k 1 (t, k 1,...,. Bemerkung Es gilt degω k k, und span{ω 0,...,ω k } P k. (8.5 Satz Die Hermitesche Interpolationsaufgabe (8.3 ist eindeutig lösbar. Beweis. Definiere die Linearform µ n : C d [a,b] R mit µ n ( f 1 d n ( d dn f (t n. Suche ein Polynom P P mit µ n (P µ n ( f für n 0,...,. Da µ n linear ist, löst ein Polynom P(t b k ω k (t k0 genau dann (8.3, wenn µ n (ω k b k µ n ( f k0 für n 0,..., gilt. Es bleibt also zu zeigen, dass die Matrix A : (µ n (ω k n,k0,..., R +1,+1 regulär ist. Es gilt µ n (ω k 0 für n < k und µ n (ω n 1. Also ist A eine normierte Dreiecksmatrix und somit regulär. 71
(8.6 Definition Der eindeutig bestimmte höchste Koeffizient b 1! ( d P(t der Hermiteschen Interpolationsaufgabe (8.3 bzgl. der ewton-basis wird mit b : f [t 0,...,t ] bezeichnet. b heißt -te dividierte Differenz von f an t 0,...,t. Bemerkung 1 Für 0 gilt f (t 0 f [t 0 ]. 2 Falls t 0,...,t nicht sortiert sind, dann definiere f [t 0,...,t ] f [t k0,...,t k ] mit der Sortierung t k0 t k. (8.7 Satz a Das Polynom P (t : f [t 0,...,t k ]ω k (t k0 löst die Interpolationsaufgabe (8.3 zu f an t 0 t. b Für f C +1 (R gilt f (t P (t + f [t 0,...,t,t]ω +1 (t. Beweis. Zu a Wir führen eine Induktion über durch. 0: Es gilt P 0 (t f (t 0 f [t 0 ]. 1 : Sei P P die Interpolation zu f an t 0,...,t. Dann definiere P 1 (t : P (t f [t 0,...,t ]ω (t P 1. Dieses P 1 erfüllt ( d ( d P 1(t P (t 1 ( d ( d P (t ω (t! }{{}! daher ist P 1 P 1. Ferner gilt für n < nach Konstruktion µ n (ω 0. Also erfüllt P 1 für n < die Gleichung µ n (P 1 µ n ( f. Damit löst P 1 (8.3 für t 0,...,t 1 und nach Induktionsvoraussetzung gilt P 1 (t 1 f [t 0,...,t k ]ω k (t. k0 72 0,
Zu b Für festes t definiere das Polynom Q t P +1 mit Q t (s P (s + f [t 0,...,t,t]ω +1 (s. ach a ist Q t die Hermite-Interpolation zu f an den Stellen t 0,...,t,t. Somit gilt insbesondere Q t (t f (t. (8.8 Satz Für den Interpolationsfehler gilt ( 1 d +1 f (t P (t f (τ t ω +1(t ( + 1! mit τ t I : [min{t 0,t},max{t,t }]. Beweis. Sei dazu Q t (s P (s f [t 0,...,t,t]ω +1 (s P +1 die Interpolation zu f an t 0,...,t,t. Also hat f (s Q t (s in I mindestens + 2 ullstellen (mit Vielfachheiten. ach dem Satz von Rolle gilt, dass f (s Q t(s in I mindestens + 1 ullstellen (mit Vielfachheiten hat. Induktiv folgt also, dass ( d ds +1 ( f Q t (s ( d ds +1 f (s f [t 0,...,t,t]( + 1! in I mindestens eine ullstelle τ t I hat. Und damit gilt für diese ullstelle ( d +1 f (τ t f [t 0,...,t,t]( + 1!, ds woraus mit Satz (8.7 die Behauptung folgt. Anwung von (8.8 Es gilt für den Fehler der Lagrange-Interpolation mit t n : a + nh, h : b a ( max f (t P 1 d +1 (t max f (τ t [a,b] t [a,b] t ω +1(t ( + 1! 1 ( d +1 + 1 h+1 max f (τ t, für f C +1 [a,b], denn max ω +1(t t [a,b] max n1,..., n nk t [a,b] max ω +1(t t [t n 1,t n ] (k + 1h ( + 1 kh! h +1. kn+1 Bemerkung Im Allgemeinen ist ( d k f (t unbeschränkt, wenn k immer größer wird. 73
Zur Auswertung der Interpolation verwen wir die folgen Rekursionen. (8.9 Lemma a Für t k < t n gilt b Für t k t n gilt Bemerkung Es gelten f [t k,...,t n ] f [t k+1,...,t n ] f [t k,...,t n 1 ] t n t k. f [t k,...,t n ] f [t] f (t, ( 1 d n k f (t n. (n k! f [t + h] f [t] f [t,t] lim f [t + h,t] lim f (t, h 0 h 0 h f [t,t,t] lim f [t h,t,t + h] a f [t + h,t] f [t h,t] lim h 0 h 0 2h a f [t h] 2 f [t] + f [t + h] lim h 0 2h 2 f (t. Beweis. Zu a Sei P kn P n k die Interpolation zu f an t k,...,t n, d.h. f [t k,...,t n ] ( 1 d n k P nk(t. (n k! Dann definiere zu k < n P(t : 1 ( (t t k P n,k+1 (t + (t n tp n 1,k (t. (4 t n t k Somit gelten P(t n P n,k+1 (t n f (t n und P(t k P n 1,k (t k f (t k und für k < j < n gilt Außerdem folgt P(t j 1 ( f (t i (t j t k + f (t i (t n t j f (t j. t n t k P (t 1 ( P n,k+1 (t P n 1,k (t + (t t k P n,k+1 t n t (t + (t n tp n 1,k, (t k und damit P (t i t 1 n t k ((t i t k P n,k+1 (t i + (t n t i P n 1,k (t i. Daraus lässt sich ablesen, dass P auch für doppelte Stützstellen die Interpolationseigenschaft erfüllt (analog für 74
weitere Ableitungen. Also ist P P n k Interpolation zu f an t k,...,t n. Mittels Koeffizientenvergleichs von ( d n 1 P folgt dann die Behauptung: f [t k,...,t n ] ( 1 d n k P(t (n k! ( d n k ( tp 1 (t tp 0 (t 1 1 (n k! t n t k 1 ( f [t k+1,...,t n ] f [t k,...,t n 1 ] t n t k. Zu b Das Taylor-Polynom P(t n k ( 1 d j f (t k (t t k j j0 j! interpoliert f an t k t n, d.h. es gilt Damit folgt P(t n k f [t k,...,t k+ j ](t t k j j0 ( 1 d n k ( 1 d n k P(t f [t k,...,t n ] f (t k. (n k! (n k! 75
Algorithmus 5 Polynom-Interpolation mit dem eville-schema. function y eval_neville(t,f,x length(t; for k1:-1 for n:(-1:k+1 if t(n ~ t(n-k f(n ((x-t(n-k*f(n + (t(n-x*f(n-1 / (t(n - t(n-k; y f(; return function f koeffizienten_neville(t,f length(t; for k1:-1 for n:(-1:k+1 if t(n ~ t(n-k f(n (f(n - f(n-1 / (t(n - t(n-k; return function y eval_poylnom(t,b,x length(t; y b(1; p 1; for n2: p p * (x - t(n-1; y y + b(n * p; return 76
Beispiel Mit Hilfe des vorhergehen Lemmas lässt sich nun relativ einfach das Interpolationspolynom berechnen (also die Koeffizienten bezüglich der ewton-basis. Ferner kann man das Interpolationspolynom auswerten, ohne das Polynom explizit berechnen zu müssen. Wir werden dies hier an einem Beispiel illustrieren. Das Schema, mit dem man die Auswertung vornimmt, nennt man eville-schema. Betrachte dazu die Stützstellen t n n für n 0,...,3. Die Funktionswerte seien f (0 1, f (1 2, f (2 0 und f (3 1. Dann lautet das eville-schema: t n f [t n ] 0 1 1 2 f [0,1] 1 2 0 f [1,2] 2 3 1 f [2,3] 1 f [0,1,2] 2 3 f [1,2,3] 3 2 f [0,1,2,3] 1 Die gesuchten Koeffizienten stehen dann auf der Hauptdiagonalen, also ist P 3 (t 1 + 1(t 0 3 (t 0(t 1 + 1(t 0(t 1(t 2 2 t 3 9 2 t2 + 9 2 t + 1. Mit Gleichung (4 funktioniert die Auswertung an einer bestimmten Stelle. Wir wählen t 4 und berechnen t n f [t n ] 0 1 1 2 2 0 3 1 4 0 1 0 2 + 1 4 1 0 1 5 4 1 2 1 0 + 2 4 2 4 2 1 13 4 2 3 2 1 + 3 4 3 2 0 2 5 11 P 3(4 Für die Auswertung des Interpolationspolynoms bzw. der Berechnung der Koeffizienten werden O( 2 Operationen benötigt. (8.10 Satz (Hermite-Genocchi-Formel Es sei Σ der Standard -Simplex (Dreieck für 2, Tetraeder für 3, d.h. 0 Σ s. s mit s 0 1 (s 1 + + s. Dann gilt f [t 0,...,t ] R +1 : Σ n0 s n 1,s n 0 ( ( d f n t n ds. n0s 77
Es gilt für die Integration im Standardsimplex Σ g(sds n1 s n 1 s n 0 1 0 1 s 1 0 ( g 1 1 s 1 s 2 0 n1 s n,s 1,...,s ds 1 s 1... s 1 0 ( g 1 s n n1 } {{ } s 0 Beweis. Falls t 0... t so gilt t 0 +1 n1 s nt n für s Σ, also f [t 0,...,t ] 1! ( d f (t 0 Σ Für 0 haben wir f [t 0 ] f (t 0. + 1: Ohne Einschränkung gelte t 0 t +1. Σ +1 ( ( d +1 +1 f n1 s n 1 s n 0 n1 s n 1 s n 0 1 t +1 t 0 I.V. s n t n ds n0 1 n0 s n 0 1 t +1 t 0 n1 s n 1 s n 0 ( d ( d f ( +1 n1 s n 1 s n 0 +1 f ( ( ( d f [ ( ( d f t 0 + n1 t 0 + t 0 +,s 1,...,s ds ds 1. ( d f (t 0 ds. ( ( d +1 +1 f t 0 + n1 n1 t +1 + n1 s n (t n t 0 s n (t n t 0 + s +1 (t +1 t 0 s n (t n t 0 + s +1 (t +1 t 0 n1 s n (t n t +1 s n (t n t 0 ] ds... d s1 1 t +1 t 0 ( f [t 1,...,t +1 ] f [t 0,...,t ] f [t 0,...,t +1 ]. ds ds +1 ds ds 1 s +1 1 n1 s n s +1 0 ds ds 1 78