Kapitel 6 Bewegung im elektromagnetischen Feld 6. Hamilton Operator und Schrödinger Gleichung Felder E und B. Aus der Elektrodynamik ist bekannt, dass in einem elektrischen Feld E(r) und einem Magnetfeld B(r) Kräfte auf geladene Teilchen wirken. Vektorpotential A und Skalarpotential φ. Die Felder E und B lassen sich aus einem sog. Vektorpotential A(r, t) und sog. Skalarpotential φ(r, t) ableiten, E A c t φ, (6.a) B A. (6.b) (φ, A) bildet dabei einen relativistischen Vierer Vektor, E und B sind nicht Komponenten von relativistischen Vierer Vektoren. Man beachte, dass in diesen Notizen die sog. cgs Einheiten verwendet werden. Eichtransformation. umgeeicht werden, Die Felder A und φ sind nicht eindeutig, sondern können A(x, t) A (x, t) A(x, t) + Λ(x, t), (6.2a) φ(x, t) φ (x, t) φ(x, t) Λ(x, t), c t (6.2b) wo Λ(x, t) eine beliebige Funktion ist. Die Felder E und B sind invariant unter dieser Transformation. Wie aus der Elektrodynamik bekannt ist, kann man erreichen, dass A (6.3) ist; man spricht von der Coulomb Eichung. 3
6.. HAMILTON OPERATOR UND SCHRÖDINGER GLEICHUNG Hamilton Funktion. Die Hamilton Funktion für ein Teilchen im elektromagnetischen Feld ist H p q A(r, 2 t) + q φ(r, t), (6.4) wobei p q c A(r, t) m v den kinetischen Impuls bezeichnet. Diese Hamilton Funktion kann in Eichtheorien abgeleitet werden (vgl. Zentralübung 9). Der letzte Term kann als Potential aufgefasst werden, V el q φ(r, t), und reproduziert für die in Abschnitt 5.5 diskutierte Situation das Coulomb Potential Z e2 r. Hamilton Operator. Der Hamilton Operator ergibt sich dann unter Ausnutzung des Korrespondenzprinzips zu H i 2m + q A(r, c 2 t) + q φ(r, t). (6.5) Schrödinger Gleichung. Die Schrödinger Gleichung ist dann i Ψ(r, t) H Ψ(r, t) t 2 2m 2 + i q A + A + q2 2 A 2 + q φ Ψ(r, t) Was passiert mit der Schrödinger Gleichung unter einer Eichtransformation? Durch Nachrechnen bestätigt man, dass, falls Ψ(r, t) die Schrödinger Gleichung mit den Feldern A und φ erfüllt, so erfüllt i q Ψ (x, t) exp Λ(x, t) Ψ(x, t) (6.6) c die entsprechende Gleichung mit A und φ aus (6.2). Die Multiplikation von Ψ mit einer Orts- und zeitabhängigen Phase kann also durch eine Transformation von A und φ kompensiert werden. Die Wahrscheinlichkeitsdichte ρ Ψ 2 ändert sich offensichtlich nicht unter (6.6). Nun wählen wir die Coulomb Eichung, d.h. A. Damit ist dann ( A Ψ) ( A ) Ψ + A Ψ. Dies führt dann auf die Schrödinger Gleichung i Ψ(r, t) H Ψ(r, t) t 2 2m Δ + i q m c A + q2 2 A 2 + q φ Ψ(r, t). (6.7) Falls A und φ nicht (explizit) von der Zeit abhängen, so sind wir wieder bei der stationären Schrödinger Gleichung H ψ(r) E ψ(r). 3
6.2. BEWEGUNG IM KONSTANTEN MAGNETFELD 6.2 Bewegung im konstanten Magnetfeld Um ein konstantes Magnetfeld zu beschreiben, setzen wir φ und A 2 (r B) mit konstantem B. Um zu sehen, dass wir damit das gewünschte B reproduzieren, verwenden wir die Relation für beliebige Vektorfelder a und b a b a b b a + b a a b. Damit folgt B 2 (r B) r ( 2 B) B ( r) + ( B ) r (r ) B 3 2 [ 3 + ] B B. Nun betrachten wir den Fall schwacher Felder, so dass der A 2 -Term in der Schrödinger Gleichung vernachlässigt werden kann. Übrig bleibt 2 2m Δ + i q (r B) m c 2 ψ(r) E ψ(r). Da B konstant ist, gilt r B ψ r B ψ Nun können wir die Schrödinger Gleichung weiter umformen, wobei E ψ(r) µ 2 2m Δ + i q (r ) i L B. B ψ(r) 2 2m Δ q L B ψ(r), (6.8) : µ B q L (6.9) das sog. magnetische Moment und µ den zugehörigen Operator bezeichnen. 32
6.3. ZEEMANN EFFEKT Fazit. Im schwachen konstanten Magnetfeld lautet der Hamilton Operator H 2 2m Δ + µ B. (6.) 6.3 Zeemann Effekt Wir betrachten nun ein Teilchen, das im Coulomb Potential V e φ(r) e2 r gebunden ist, wobei noch ein konstantes schwaches Magnetfeld B angelegt sei. Das Koordinatensystem sei so gewählt, dass das Magnetfeld in z Richtung zeigt, B (,, B) B e z. Das magnetische Moment des Elektrons (q e) ist µ e L. Hamilton Operator. Der Hamilton Operator ist H H + µ B, wobei H den Hamilton Operator eines Teilchens in einem Coulomb Potential bezeichnet, r 2 H 2 2m r 2 r Schrödinger Gleichung. H ψ nm r + L2 2m r 2 e2 r. Die Schrödinger Gleichung schreibt sich nun H ψ nm + e B L z ψ nm E ψ nm. In der Dirac Notation entspricht diese Gleichung Es gilt H n,, m H n,, m + e B L z n,, m E n,, m. L z n,, m m n,, m. Da H und L z kommutieren, besitzen sie einen gemeinsamen Satz von Eigenfunktionen, den Y m, bzw. einen gemeinsamen Satz an Eigenzuständen, den n,, m. Wesentlich ist, dass diese Eigenschaft in Anwesenheit eines konstanten Magnetfeldes erhalten bleibt. 33
6.3. ZEEMANN EFFEKT H Atom im Magnetfeld. Wir betrachten nun ein Wasserstoff Atom im konstanten Magnetfeld B (,, B). Die Schrödinger Gleichung für das Problem lautet H n,, m En + e B m n,, m, (6.) wobei E nm E n + ω L m. (6.2) Darin bezeichnen ω L e B die sog. Larmor Frequenz und En die Energie Eigenwerte ohne Magnetfeld, also En e 2 Ry 2a n n 2. Die Energie Niveaus (6.2) sind in Abbildung 6. dargestellt. Die Aufspaltung der Niveaus wird als Zeemann Effekt bezeichnet. E B B B B m 2 B B m n 3 n 2 ΔE ω L 2 2 n Abbildung 6.: Spektrum des Wasserstoff Atoms im konstanten Magnetfeld. 34