Geometrisches Mittel Das geometrische Mittel ist die n-te Wurzel aus dem Produkt der Messwerte; es ist ein geeignetes Lagemass für Grössen, von denen das Produkt anstelle der Summe interpretierbar ist, z. B. von Verhältnissen oder Wachstumsraten. Es wird auch als mittleres Wachstum bezeichnet und findet unter Anderen Anwendung in der Finanzwirtschaft, mittlere Verzinzung, oder in der Makroökonomie, mittleres Wachstum einer Population oder der erwerbslosen Bevölkerung. Sind die Wachstumsfaktoren x 1,..., x T (all diese Faktoren sind grösser als Null!) gegeben, dann wird das geometrische Mittel wie folgt bestimmt: x G = T T x i = (x 1 x 2... x n ) 1 T (1) i=1 Anmerkung: In der Regel sind Bestände, B 1,..., B T gegeben. Daraus müssen dann erst die T Wachstumsfaktoren bestimmt werden. Wie erhält man (1)? Gegeben sei der Bestand einer Grösse in der Basisperiode 0, dieser sei. In der Folgeperiode steigt dieser Bestand um x 1 auf B 1. Es gilt also B 1 = x 1. Als Wachstum von Periode 0 auf 1 erhalten wir den sogenannten Wachstumsfaktor x 1 = B 1 oder allgemein für den t-ten Faktor, t = (1,..., T ). Analog gilt für die Folgeperiode x t = B t B t 1. B 2 = x 2 B 1 = x 1 x 2. 2006, Malte Wissmann 1
Verallgemeinern wir das bis zur Periode T so erhalten wir B T = T x t. (2) Dies beschreibt den Wachstumsprozess von Periode 0 bis Periode T. Das geometrische Wachstum ist dass konstante Wachstum, welches benötigt wird um nach T Perioden von auf B T zu kommen, also B T = x T G. (3) Setzen wir (2) und (3) gleich und kürzen so erhalten wir x T G = T x t. Wenn wir dann noch die n-te Wurzel ziehen erhalten wir (1). Die Formel (1) kann noch vereinfacht werden, multiplizieren wir (1) mit 1 (= / ) so erhalten wir x G = T TQ x t. Der Zähler ist damit gerade die Beziehung (2), was dann die wesentlich einfachere Formel x G = T BT (4) ergibt. Die mittlere Wachstumrate von Periode 0 auf Periode T ist dann r G = x G 1. (5) Das kommt daher, dass (3) auch oft als die aus der Finanzmathematik bekannten Form geschrieben wird. B n = (1 + r G ) n 2006, Malte Wissmann 2
Beispiel Ein Guthaben wird im ersten Jahr mit zwei Prozent, im zweiten Jahr mit sieben und im dritten Jahr mit fünf Prozent verzinst. Welcher über die drei Jahre konstanter Zinssatz r hätte zum Schluss das gleiche Kapital ergeben? Guthaben B 3 am Ende des dritten Jahres ist: B 3 = (1 + 0.02)(1 + 0.07)(1 + 0.05) = 1.02 1.07 1.05 Mit konstantem Zinsatz r G und zugehörigen Zinsfaktor 1 + r G ergibt sich am Ende ein Guthaben von B 3 = (1 + r G ) 3 Somit erhalten wir das geometrische Mittel als den konstanten Zinsfaktor x G = (1 + r G ) = (1.02 1.07 1.05) 1 3 = 1.047. Das Kapital wurde also über 3 Jahre mit 4.7(1.047 1)% verzinst. 2006, Malte Wissmann 3
Lorenzkurven Auf http://www.zkb.ch/prospekte/studien/wachstum/pdf/gesellschaftl ausgewogenheit.pdf findet sich ein Papier zur gesellschaftlichen Ausgewogenheit. Dort finden sich Einkommensdaten, in USD, für die Schweiz, Deutschland, Frankreich und den USA. Diese werden hier als empirisches Beispiel für Lorenzkurven genutzt. Die erste Spalte zeigt den Anteil der Wohnbevölkerung, die nächsten Spalten zeigen das Gesamteinkommen in den Bevölkerungsklassen der jeweiligen Länder. Gemessen wurde dabei das durchschnittliche Haushaltseinkommen, das sind also Erwerbseinkommen, Transfereinkommen, jedoch nicht Vermögenseinkommen, pro Monat. Anteil an der CHE GER FR USA Wohnbevölkerung 0.1 532 706 65 194 0.2 1045 1075 448 592 0.3 1264 1264 741 876 0.4 1512 1483 866 1199 0.5 1756 1736 990 1438 0.6 2015 1995 1169 1677 0.7 2308 2274 1348 2045 0.8 2652 2602 1552 2532 0.9 3149 3169 1930 3159 1 4776 5134 3035 7204 21009 21438 12144 20916 Schauen wir uns zu diesen Daten die Lorenzkurven an. Die durchgezogene Linie ist die Einkommensverteilung der Schweiz, die schwarzen Punkte stellen die deutsche Verteilung dar, die Quadrate die französische und die Dreiecke ist der amerikanische Einkommensverteilung. 2006, Malte Wissmann 4
Lorenzkurven zu Einkommensverteilungen Anteil am Einkommen 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Wohnbevölkerung Zwischen Deutschland und der Schweiz sind kaum Unterschiede festzustellen. Frankreich ist in den unteren Einkommensklassen etwas ungleicher, im Sinne von, die unteren Klassen verdienen weniger, als die Schweiz. Sie nähert sich aber dann an die Verteilung der Schweiz an. Die USA liegt systematisch unter der Schweiz, hat damit also eine ungleichere Verteilung als Schweiz und die anderen europäischen Staaten. Zum Beispiel haben in den USA 50% der Bevölkerung ca. 20% des monatlichen Einkommens während in der Schweiz 50% der Bevölkerung ca. 30% des monatlichen Einkommens bekommen. 2006, Malte Wissmann 5