für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg
Spezialfälle und Rechenregeln Spezialfälle der Matrixmultiplikation A = (m n)-matrix, B = (n m)-matrix es existiert A B und B A A quadratisch A A = A 2 existiert A, B quadratisch A B existiert und B A existiert. Aber: Im Allgemeinen A B B A Ist E Einheitsmatrix, dann gilt: Spezielle Rechenregeln A E = E A = A A = (m p)-matrix, B = (p n)-matrix. Damit gilt: A B und B T A T existieren. B T A T = (A B) T A T A AA T ist symmetrische (p p)-matrix und ist symmetrische (m m)-matrix 76
Norm Gegeben Vektor a R n Definition: Absolutbetrag, Norm oder Länge eines Vektors: a = a = a T a = a 12 +... + a n2 = n a 2 i R + i=1 Seien a, b, c Vektoren des R n und r R ein Skalar. Dann gilt: a) a + b = b + a, a b = b a b) ra = r a c) a T b a b für n > 1 (Cauchy-Schwarz-Ungleichung) = a b für n = 1 d) a + b a + b (Dreiecksungleichung) e) a c c b a b a c + c b 77
Kosinussatz Gegeben: a, b Vektoren des R n, die den Winkel γ einschließen. Nach dem Kosinussatz gilt im Dreieck mit den Ecken 0, A, B a b 2 = a 2 + b 2 2 a b cos γ. b x 2 b a b a x 1 B b A Damit gilt: ( a + b 2 a 2 b 2) a T b = 1 2 ( a 2 + b 2 a b 2) = 1 2 = a b cos γ 78
Hyperebenen und Sphären Definition Hyperebene Gegeben: a R n mit a 0 und b R Dann heißt H(a, b) = { x R n : a T x = b } Hyperebene im R n Anmerkung: H teilt den R n in zwei Halbräume Definition Sphäre Gegeben: a R n, r R + Dann heißt K = {x R n : x a = r} Sphäre (Kugelfläche) im R n und dem Radius r Damit: r-umgebung von a: K < (a, r) = {x R n : x a < r} 79
Beispiel Hyperebene/Sphäre Beispiele H = { x R 3 : 2x 1 + 3x 2 + 3x 3 = 6 } { } K = x R 3 : x 3 2 0 = 1 { } = x R 3 : (x 1 3) 2 + (x 2 2) 2 + x 32 = 1 80
Offenheit, Abgeschlossenheit Gegeben M R n eine Punktmenge des R n und M = R n \ M deren Komplement bzgl. R n. Dann heißt: a R n innerer Punkt von M, wenn eine r-umgebung K < (a, r) von a existiert, die ganz in M liegt, also K < (a, r) M, a R n äußerer Punkt von M, wenn eine r-umgebung K < (a, r) von a existiert, die ganz in M liegt und a R n Randpunkt von M, wenn a weder innerer noch äußerer Punkt von M ist. Eine Punktmenge M R n heißt dann offen wenn jedes Element a M innerer Punkt von M ist, abgeschlossen, wenn jedes Element a M innerer Punkt von M ist, also das Komplement M offen ist. 81
Beschränktheit, Kompaktheit Eine Punktmenge M R n heißt beschränkt nach oben, wenn ein b R n existiert mit b x für alle x M, beschränkt nach unten, wenn ein a R n existiert mit a x für alle x M, beschränkt, wenn M nach oben und unten beschränkt ist, kompakt, wenn M beschränkt und abgeschlossen ist. Beispiele M 1 = {x R 2 + : x 1 + 2x 2 3, x 2} M 2 = {x R 2 + : x 1 N} 82
Lineare : Einführung Beispiele linearer } 2x a) 1 3x 2 = 1 x x 1 + x 2 = 2 1 = x 2 = 1 } x b) 1 + x 2 = 4 L = x 1 + x 2 = 2 } x c) 1 x 2 = 1 unendlich viele Lösungen 2x 1 + 2x 2 = 2 Probleme: System lösbar oder nicht? Verfahren zum Auffinden von Lösungen Darstellung von mehrdeutigen Lösungen Dazu gibt es: Den Gaußschen Algorithmus (erzeugt Dreiecksmatrix) das Verfahren von Gauß-Jordan (modifizierte Gauß: erzeugt Einheitsmatrix) 83