7. Natürlice Eponential- und Logaritmusfunktion 7. Die natürlice Eponentialfunktion Wiederolung 0. Klasse: allgemeine Eponentialfunktion f() = a bekannt (a )' = lim = lim a a a = a lim a Ziel: f f = lim a a = lim a a a Finde eine Basis a, so dass lim =, dann gilt nämlic: (a )' = a, das eißt Funktion und Ableitung sind identisc. also: lim a = > Für ser kleine soll gelten a a = = / /+ /.. a = + bzw. a = (+) / Wir lassen nun gegen 0 geen und eralten: (+) / 2 0, 2,5937... 0,0 2,7048... 0 2,769... 0,000 2,78... 0,000 000 2,782... Merke: Der Grenwert lim (+) / = 2,78288284... eißt euler'sce Zal e. Die Eponentialfunktion mit der Basis e eißt natürlice Eponentialfunktion oder e-funktion f() = e. Ire Ableitung ist gleic der Funktion selbst: (e ) = e f() = e => Stammfunktion F() = e + c Natürlice Eponential- und Logaritmusfunktion Seite von 8
Grenzwerte mit e-funktion und Potenzfunktion Merke: Die e-funktion nimmt für viel stärker zu als jede Potenzfunktion. lim lim n e = 0 e n = e gewinnt! Aufgaben:. Leite ab: a) f() = -2e b) f() = e - 2 c) f() = + e d) f() = e e) f() = 2 e f) f() = 2 + e g) f() = e + e ) f() = e e i) f() = + e j) f() = e k) f() = sin + e l) f() = cos e 2. Ermittle das Veralten der Funktion f für - und für. Gib, falls möglic den Limes an. a) f() = e n b) f() = 3 e c) f() = d) f() = cos e e 3 Natürlice Eponential- und Logaritmusfunktion Seite 2 von 8
e) f() = e - f) f() = 3 e Lösungen:. Leite ab: a) f() = -2e f '() = -2e b) f() = e 2 f '() = e c) f() = + e f '() = + e d) f() = e f '() = e + e = (+) e e) f() = 2 e f '() = 2 e + 2 e = (2+) e f) f() = 2 + e f '() = 2 + e g) f() = e + e f '() = e ) f() = e e f '() = e i) f() = + e f '() = 0,5-0,5 + e j) f() = e f '() = 0,5-0,5 e + e k) f() = sin + e f '() = cos + e l) f() = cos e f '() = -sin e + cos e = (-sin +cos ) e 2. Ermittle das Veralten der Funktion f für - und für. Gib, falls möglic den Limes an. a) f() = e n ( ) lim f() = ; ( - ) lim f() = 0 b) f() = 3 e ( ) lim f() = ; ( - ) lim f() = 0 c) f() = cos e ( ) lim f() = 0 ; ( - ) lim f() = eistiert nict! d) f() = e 3 ( ) lim f() = ; ( - ) lim f() = 0 e) f() = e - ( ) lim f() = 0 ; ( - ) lim f() = f) f() = 3 e ( ) lim f() = 0 ; ( - ) lim f() = - Natürlice Eponential- und Logaritmusfunktion Seite 3 von 8
7.2 Die natürlice Logaritmusfunktion Man erält die Umkerfunktion(vgl. s()), indem man die ursprünglice Funktion(vgl. f()) an der Winkelalbierenden des I. und II. Quadranten(vgl. u()) spiegelt. Bei der Spiegelung vertauscen sic die Koordinaten: Wd: > aus (-2 / 0,4) wird (0,4 / -2) f() = e > aus (- / 0,4) wird (0,4 / -) y =e > aus (0 / ) wird ( / 0) y => = e y > aus ( / 2,7) wird (2,7 / ) y = log e > aus (0,5 /,6) wird (,6 / 0,5) >Funktion der Umkerfunktion Merke: Die Umkerfunktion zur e-funktion ist die natürlice Logaritmusfunktion: f() = log e = ln => D f = R + Sie at die Ableitung: f'() = (=> >0) Begründung: e ln = => e ln (ln )' = ln e = =>(ln )' = = e ln Natürlice Eponential- und Logaritmusfunktion Seite 4 von 8
Recenregeln für natürlice Logaritmen: Es sei u > 0, v > 0 und r beliebig. Beim Logaritmieren gilt die......produktregel: ln(u v) = ln u + ln v...quotientenregel: ln u = ln u ln v v...potenzregel: ln u r = r ln u Wictige Beispiele: ) e = 5 => = ln 5,6 2) ln =7 => = e 7 096,6 3) e ln 3 = 3 4) e -ln 2 = 2 5) ln e 3 = 3 6) ln e -5 = -5 7) e /2 ln 9 = 9 = 3 8) e ln 6 ln 2 = 3 Ableitung der allgemeinen Eponentialfunktion f() = a = (e ln a ) = e ln a => f'() = e ln a ln a = a ln a (a )' = a ln a Beispiel: (2 )' = 2 ln a Ableitung der allgemeinen Logaritmusfunktion f() = log a = f'() = ln a ln ln a = ln a ln (log a ) = ln a Natürlice Eponential- und Logaritmusfunktion Seite 5 von 8
Vergleic: Grenzwerte mit e-funktion und Potenzfunktion vs. Logaritmusfunktion => Lamarsciger ln : lim n ln = lim ln n = 0 ln ist der Verlierer Aufgaben:. Vereinface mitilfe der Logaritmiscen Recenregeln, aber one Tascenrecner. a) ln 2 b) ln a 3 c) ln e d) ln e) ln e f) ln e g) ln 3 e ) ln (e ) 2. Gib jeweils den maimalen Definitionsbereic an und differenziere: a) f() = + ln b) f() = ln c) f() = ln 2 d) f() = (ln ) 2 e) f() = ln (-) f) f() = ln g) f() = ln ) f() = ln Natürlice Eponential- und Logaritmusfunktion Seite 6 von 8
3. Es sei ɛ R. Bestimme zur Funktion f die Stammfunktion F. a) f() = 2 b) f() = c) f() = d) f() = e) f() = f) f() = g) f() = ) f() = 3 2 2 2 2 2 Lösungen:. Vereinface mitilfe der Logaritmiscen Recenregeln, aber one Tascenrecner. a) ln 2 = ln 2 b) ln a 3 = 3 ln a c) ln e = 2 ln e = 0,5 d) ln = ln ln = -ln e) ln e = ln ln e = - f) ln e = ln 2 ln e = -0,5 g) ln 3 e = ln e /3 = ) ln (e ) = ln e + ln 3 ln e = 3 Natürlice Eponential- und Logaritmusfunktion Seite 7 von 8
2. Gib jeweils den maimalen Definitionsbereic an und differenziere: a) f() = + ln => D f = R + f '() = + b) f() = ln => D f = R + f '() = c) f() = ln 2 => D f = R + /{0} f '() = d) f() = (ln ) 2 => D f = R + f '() = 2 (ln ) e) f() = ln (-) => D f = R - f '() = f) f() = ln => D f = R + f '() = 2 2 + ln (-) = g) f() = ln => D f = [ ; ] f '() = 2 (ln )-0,5 ) f() = ln => D f = R + f '() = 2-0,5 ln + 0,5 3. Es sei ɛ R. Bestimme zur Funktion f die Stammfunktion F. a) f() = 2 F() = + c b) f() = F() = ln + c c) f() = 3 F() = 3 ln + c d) f() = 2 e) f() = 2 f) f() = 2 2 g) f() = 2 ) f() = F() = ln(+2) + c F() = + 2 ln + c F() = ln + ( 2 F() = + ln(+) + c F() = ln(+) + c ) + c Natürlice Eponential- und Logaritmusfunktion Seite 8 von 8