Karlheinz Kabus Mechanik und Festigkeitslehre Aufgaben 7., aktualisierte Auflage
Inhaltsverzeichnis A ¼ Aufgaben, E ¼ Ergebnisse, L ¼ Erläuterungen und Hinweise zu den Lösungen A E L 1 Einführung................................... 11 173 221 2 Statik starrer Körper............................... 13 174 222 Freimachen.................................... 13 174 222 Zentrales ebenes Kräftesystem............................ 15 175 222 Allgemeines ebenes Kräftesystem.......................... 20 178 224 Räumliche Kräftesysteme.............................. 32 181 229 3 Ebene Fachwerke................................. 35 183 231 4 Schwerpunkt................................... 37 184 232 Körper..................................... 37 184 232 Flächen..................................... 38 184 232 Linien...................................... 41 185 233 Standsicherheit.................................. 42 186 233 5 Reibung..................................... 45 187 235 Haft- und Gleitreibung............................... 45 187 235 Reibungskräfte, Haftsicherheit........................... 45 187 235 Reibung auf geneigter Ebene........................... 47 187 235 Technische Anwendung des Reibungsgesetzes..................... 48 187 236 Gleitführungen................................. 48 187 236 Gewinde.................................... 49 187 236 Reibungskupplungen und -bremsen......................... 50 188 237 Lager..................................... 52 188 237 Rollen und Rollenzüge.............................. 53 188 237 Seilreibung.................................... 54 188 237 Roll- und Fahrwiderstand.............................. 56 189 238 6 Kinematik.................................... 58 190 239 Gleichförmige geradlinige Bewegung......................... 58 190 239 Ungleichförmige geradlinige Bewegung........................ 59 190 239 Gleichmäßig beschleunigt oder verzögert...................... 59 190 239 Freier Fall und senkrechter Wurf.......................... 61 191 240 Gleichförmige Kreis- und Drehbewegung....................... 62 191 241 Ungleichförmige Kreis- und Drehbewegung...................... 63 192 241 Übersetzung................................... 64 192 242 Zusammengesetzte Bewegungen............................. 67 192 242 7 Kinetik..................................... 71 194 245 Translation.................................... 71 194 245 Anwendung des Grundgesetzes der Dynamik..................... 71 194 245 Prinzip von d Alembert.............................. 72 194 245 Impuls, Impulssatz................................ 74 194 246 Arbeit, Energie, Leistung.............................. 75 195 246 Arbeit und Energie............................... 75 195 246 Leistung und Wirkungsgrad............................ 77 195 247 Gerader zentrischer Stoß.............................. 79 196 248 Rotation..................................... 80 196 248 Anwendung des Grundgesetzes der Dynamik..................... 80 196 248 Trägheitsmomente................................ 82 197 249 Drehimpuls, Drehimpulssatz............................ 84 197 249 Arbeit, Energie und Leistung bei Drehbewegung.................... 85 197 250 Fliehkraft.................................... 90 198 251
10 Inhaltsverzeichnis A E L 8 Mechanische Schwingungen............................. 93 200 253 Freie ungedämpfte Schwingungen........................... 93 200 253 Schwingungen mit geradliniger Bewegung...................... 93 200 253 Pendelschwingungen............................... 95 200 253 Dreh- oder Torsionsschwingungen.......................... 97 200 254 Diverse freie ungedämpfte Schwingungen....................... 99 201 254 Freie gedämpfte Schwingungen........................... 102 201 256 Erzwungene Schwingungen............................ 104 201 256 9 Festigkeitslehre................................. 109 203 258 Spannung und Formänderung............................ 109 203 258 Schnittkräfte und -momente........................... 109 203 258 Dehnung und Formänderungsarbeit........................ 110 203 258 Zug-, Druck- und Scherbeanspruchung........................ 111 203 259 Zug- und Druckbeanspruchung, Flächenpressung................... 112 203 259 Reiß- und Traglänge.............................. 116 204 260 Fliehzugspannungen, Wärmespannungen...................... 116 204 260 Walzenpressung................................ 118 205 261 Scherbeanspruchung.............................. 119 205 261 Biegebeanspruchung............................... 122 205 262 Flächen- und Widerstandsmomente........................ 122 205 262 Biegemomente, Quer- und Längskräfte....................... 125 206 262 Berechnung biegebeanspruchter Bauteile...................... 127 208 263 Schubspannungen bei Biegebeanspruchung..................... 132 209 264 Durchbiegung................................. 132 210 265 Verdrehbeanspruchung (Torsion)........................... 132 210 265 Kreisförmige Querschnitte............................ 133 210 265 Nichtkreisförmige Querschnitte.......................... 134 210 266 Verdrehwinkel, Formänderungsarbeit........................ 135 210 266 Zusammengesetzte Beanspruchung......................... 135 210 266 Biegung mit Zug oder Druck........................... 135 210 266 Biegung mit Verdrehung............................. 138 211 267 Gestaltfestigkeit................................. 140 211 268 Zug- und druckbeanspruchte Bauteile....................... 140 211 268 Biegebeanspruchte Bauteile........................... 142 212 268 Torsionsbeanspruchte Bauteile.......................... 144 213 269 Zusammengesetzt beanspruchte Bauteile...................... 145 213 269 Wellen und Achsen nach DIN 743......................... 147 214 269 Knickung.................................... 148 214 270 Elastische und unelastische Knickung....................... 148 214 270 Omega-Verfahren............................... 151 215 270 10 Hydromechanik................................. 153 216 271 Hydrostatik................................... 153 216 271 Druckausbreitung inflüssigkeiten......................... 153 216 271 Hydrostatischer Druck.............................. 155 216 271 Druckkräfte gegen Gefäßwände.......................... 157 216 272 Auftrieb und Schwimmen............................ 158 216 273 Hydrodynamik reibungsfreier Strömungen...................... 160 217 273 Kontinuitätsgleichung, Bernoullische Gleichung................... 160 217 273 Ausfluss aus Behältern............................. 162 217 274 Kraftwirkungen stationärer Strömungen........................ 164 217 274 Strömungskräfte................................ 164 217 274 Rückstoß- und Stoßkräfte............................ 165 218 274 Hydrodynamik wirklicher Strömungen........................ 167 218 275 Laminare und turbulente Strömungen....................... 167 218 275 Energieverluste in Rohrleitungsanlagen....................... 167 218 275
4Schwerpunkt 37 4 Schwerpunkt Körper 4.1 Für den in Bild 4.1 dargestellten homogenen Körper mit den Abmessungen a ¼ 90 mm, b ¼ 75 mm, c ¼ 30 mm, d ¼ 60 mm und h ¼ 120 mm soll die Lage des Schwerpunktes bestimmt werden. Es sind zu ermitteln: 1. Die Volumen V 1 und V 2, 2. Die Abstände y 1 und y 2, 3. Der Schwerpunktabstand y 0 auf der Mittenachse. 4.3 Bild 4.3 zeigt eine Achse aus Stahl, deren Schwerpunktabstand x 0 zu bestimmen ist. Bild 4.3 Achse 4.4 Welchen Abstand y 0 von der Körperunterkante hat der Schwerpunkt des in Bild 4.4 skizzierten homogenen Körpers? Bild 4.4 Drehkörper Bild 4.1 Zusammengesetzter Körper 4.2 Wie groß ist der Schwerpunktabstand y 0,wenn der Körper nach Bild 4.1 eine Bohrung entsprechend Bild 4.2 erhält? 4.5 Für den in Bild 4.5 dargestellten homogenen Körper sind die Schwerpunktabstände x 0, y 0 und z 0 von den Koordinatenachsen zu ermitteln. Bild 4.5 Werkstück Bild 4.2 Körper nach Bild 4.1 mit Bohrung 4.6 Bild 4.6 zeigt die Draufsicht und die Schnittdarstellung eines Werkstücks aus Stahl. Wie groß sind die Schwerpunktabstände x 0, y 0 und z 0?
38 Aufgaben Bild 4.8 Mit Wasser gefüllter Behälter auf geneigter Ebene Flächen Bild 4.6 Werkstück 4.7 Das in Bild 4.7 dargestellte offene Gefäß ist aus 5mmdickemStahlblech (Dichte nach Tabelle 11) hergestellt und bis 50 mm unterhalb der Oberkante mit einer Flüssigkeit gefüllt, deren Dichte r F1 ¼ 1,26 g/cm 3 beträgt. Es ist der Schwerpunktabstand y 0 des gefüllten Gefäßes zu ermitteln. 4.9 Für die in Bild 4.9 gezeigte Fläche ist der Abstand y 0 des auf der Symmetrieachse liegenden Flächenschwerpunktes S 0 zu errechnen. Bild 4.9 Symmetrische Fläche 4.10 Welchen Abstand y 0 hat der Schwerpunkt S 0 der in Bild 4.10 dargestellten Querschnittsfläche? Bild 4.7 Gefäß mit Flüssigkeit 4.8 Ein aus 2mm dickem Messingblech (Dichte nach Tabelle 11) gefertigter Behälter mit den Außenmaßen Breite B ¼ 250 mm, Länge L ¼ 500 mm und Höhe H ¼ 300 mm ist bis zur Hälfte seines Fassungsvermögens mit Wasser (Dichte r W ¼ 1kg/dm 3 )gefüllt. Er befindet sich auf einer um a ¼ 15 geneigten Ebene (Bild 4.8). Es sind zu ermitteln: 1. Die Abstände h 1 und h 2 des Wasserspiegels vom Behälterboden, 2. Die Abstände x 0 und y 0 des Gesamtschwerpunktes. Bild 4.10 Querschnittsfläche 4.11 bis 4.13 Die Schwerpunktabstände y 0 der in den Bildern 4.11, 4.12 und 4.13 dargestellten symmetrischen Flächen sind zu ermitteln. Bild 4.11 Symmetrische Fläche Bild 4.12 U-förmige Fläche
4Schwerpunkt 39 Bild 4.13 U-förmige Fläche 4.14 bis 4.16 Die Schwerpunktabstände x 0 der in den Bildern 4.14, 4.15 und 4.16 dargestellten symmetrischen Flächen sind zu ermitteln. Bild 4.20 Fläche mit Aussparungen g ¼ 15 mm und R ¼ 25 mm ist die Lage des Schwerpunktes S 0 zu bestimmen, und zwar sein Abstand x 0 vom linken Flächenrand und der Abstand y 0 vom unteren Flächenrand. Bild 4.14 Rechteck mit Aussparungen Bild 4.15 Rechteck mit Halbkreis und Bohrung 4.21 Bild 4.21 zeigt die Querschnittsfläche eines aus zwei Winkelprofilen LEN10056 1 60 60 8und einem T-Profil EN 10055 T140 zusammengesetzten Trägers. Der Schwerpunktabstand y 0 ist zu ermitteln. Bild 4.16 Halbkreisfläche mit Loch 4.17 bis 4.19 Es sind die Schwerpunktabstände x 0 und y 0 der in den Bildern 4.17, 4.18 und 4.19 dargestellten Blechteile zu bestimmen. Bild 4.21 Querschnitt eines Profilträgers Bild 4.17 U-förmiges Blechteil 4.22 Der Schwerpunktabstand y 0 der in Bild 4.22 dargestellten Querschnittsfläche eines Profilträgers soll bestimmt werden. Dabei ist die Schwächung durch die Bohrungen mit dem Durchmesser 21 mm zu berücksichtigen. Bild 4.18 Blechteil Bild 4.19 L-förmiges Blechteil 4.20 Für die in Bild 4.20 gezeigte Fläche mit den Abmessungen a ¼ 80 mm, b ¼ 150 mm, c ¼ 40 mm, d ¼ 30 mm, e ¼ 45 mm, f ¼ 40 mm, Bild 4.22 4.23 In Bild 4.23 ist der Querschnitt eines aus Flachund Winkelprofilen verschweißten Trägers dargestellt. Der Schwerpunktabstand y 0 dieser Querschnittsfläche ist zu ermitteln, wobei die
40 Aufgaben Bild 4.23 Querschnitt eines geschweißten Profilträgers nicht dargestellten Schweißnähte zu vernachlässigen sind. 4.24 Das Volumen des in Bild 4.24 skizzierten Ringes mit halbkreisförmigem Querschnitt soll errechnet werden. Dafür sind zu ermitteln: 1. Der Flächeninhalt A der Querschnittsfläche, 2. Der Abstand x 0 des Schwerpunktes S 0 der Halbkreisfläche von der Ringmitte, 3. Das Volumen V ¼ A 2p x 0 (nach der Guldinschen Volumen-Regel). Bild 4.24 4.25 Für den skizzierten Leichtmetallring (Bild 4.25) aus einem luftgekühlten Zylinder sind zu errechnen: 1. Der Inhalt der Ringquerschnittsfläche A, 2. Der Abstand x 0 des Flächenschwerpunktes von der Ringmitte, 3. Das Volumen V in cm 3, 4. Die Masse m in kg (Dichte des Leichtmetalls r ¼ 2,7 kg/dm 3 ). Bild 4.26 1. Der Inhalt A der schraffierten Schnittfläche, 2. Der Abstand x 0 des Schwerpunktes der Fläche A von der Mittellinie, 3. Das Volumen V und die Masse m des Trichters. 4.27 Der Rauminhalt des in Bild 4.27 skizzierten Lagerbehälters (ohne Einfüllstutzen) ist wie folgt zu errechnen: 1. Der Flächeninhalt A der halben Längsschnittfläche des Behälterinnenraumes, 2. Der Abstand y 0 des Schwerpunktes der Fläche A von der Mittellinie, 3. Das Volumen V ¼ A 2p y 0 in hl. Bild 4.27 Trichter 4.28 Für den offenen, mit Flüssigkeit gefüllten Kugelbehälter nach Bild 4.28 sind zu errechnen: Bild 4.25 Leichtmetallring 4.26 Bild 4.26 zeigt den Längsschnitt durch einen Trichter aus Gusseisen (Grauguss, Dichte nach Tabelle 11). Es sind zu ermitteln: Bild 4.28 Ring mit Halbkreisquerschnitt Lagerbehälter Kugelbehälter mit Flüssigkeit
4Schwerpunkt 41 1. Der Flächeninhalt A der halben Längsschnittfläche des Flüssigkeitsvolumens, 2. Der Abstand x 0 des Schwerpunktes S 0 der Fläche A von der Mittenachse, 3. Das Flüssigkeitsvolumen V in l. 4.29 In Bild 4.29 ist ein geschweißter Wasservorratsbehälter mit seinen Innenraummaßen dargestellt. Wie groß ist das Fassungsvermögen des randvoll gefüllten Behälters? Schwerpunktes der Schnittlinie (Begrenzungslinie) zu bestimmen. Dafür sind die Schwerpunktabstände x 0 und y 0 dieser Linien zu errechnen. 4.40 Die Stäbe des in Bild 4.40 mit seinen Systemlinien schematisch dargestellten Wandschwenkkranes bestehen aus Rohren gleichen Durchmessers und gleicher Wanddicke. Welchen Abstand x 0 von der Drehachse hat der Schwerpunkt? Bild 4.29 Linien Ringförmiger Behälter als Wasserspeicher 4.30 Für die in Bild 4.30 dargestellte T-förmige Fläche ist der Schwerpunktabstand y 0 der Umrisslinie zu errechnen. Bild 4.40 Systemlinien eines Wandschwenkkrans 4.41 Bild 4.41 zeigt die Systemlinien eines Drehkranauslegers, dessen Stäbe aus gleichen Profilen bestehen. Der angegebene Schwerpunktabstand x 0 der Systemlinien ist zu ermitteln. Bild 4.30 T-förmige Fläche 4.31 bis 4.33 Für die Umrisslinien der symmetrischen Flächen in den Bildern 4.11, 4.12 und 4.13 sind die Schwerpunktabstände y 0 zu ermitteln. 4.34 bis 4.36 Es sind die Schwerpunktabstände x 0 der Begrenzungslinien der in den Bildern 4.14, 4.15 und 4.16 dargestellten symmetrischen Flächen zu bestimmen. Bild 4.41 Systemlinien eines Drehkranauslegers 4.42 Wie groß ist der Schwerpunktabstand x 0 des Fachwerks, dessen Systemlinien Bild 4.42 zeigt? Alle Stäbe sind aus gleichen Stahlprofilen hergestellt. 4.37 bis 4.39 Für die Herstellung der Schnittwerkzeuge zur Fertigung der in den Bildern 4.17, 4.18 und 4.19 gezeigten Blechteile ist die Lage des jeweiligen Bild 4.42 Systemlinien eines Fachwerks