Übungsblatt 2 Elektrizitätslehre und Magnetismus Bachelor Physik Bachelor Wirtschaftsphysik Lehramt Physik.7.28 Aufgaben. Ein Transformator mit Primärwindungen und 3 Sekundärwindungen wird mit einem Wechselstrom I, mit einem Eektivwert von A und einer Frequenz von 5 Hz betrieben. Die Spulen sind auf einen paramagnetischen Kern mit A = cm 2 gewickelt. Der Sekundärstrom I 2 wird an einem Lastwiderstand R 2 = Ω gemessen. Wie verändert sich das Übersetzungsverhältnis I 2 /I als Funktion der Temperatur? 2. Berechnen Sie für das Material aus der Abbildung die Hystereseverluste pro cm 3 und Periode, wenn das Magnetfeld sinusförmig von ka m bis ka m wechselt..5 Magnetisierungskurve HY 2 T 27 http://www.jaycar.com.au/images_uploaded/ferrites.pdf.5 B/T.5.5 5 5 5 5 H/A/m 3. Zeigen Sie mit den Maxwellschen Gleichungen, dass das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugel im Inneren linear zunimmt. 4. In der Vorlesung wurde das magnetische Moment einer homogen geladenen Kugelschale ausgerechnet. Weiter wurde erwähnt, dass das magnetische Moment eines Elektrons doppelt so gross wie klassisch für eine homogen geladene Kugel berechnet sei. Nehmen Sie an, dass die radiale Ladungsverteilung einem Potenzgesetz genüge ρ r n und bestimmen Sie n so, dass das magnetische Moment doppelt so gross ist wie für eine homogen geladene Kugel. 5. Ein Plattenkondensator, Fläche A = m 2, Plattenabstand d = mm, gefüllt mit Vakuum, wird über einen Widerstand von R = M Ω entladen. Berechnen Sie die Verschiebungsstromdichte im Kondensator von Beginn der Entladung bis zur vollständigen Entladung. 6. Sei µ H = 2µ arctan H H. Berechnen Sie B H, M H. 6. Ein homogenes elektrisches Feld E = E x,, sei von einem harmonischen Magnetfeld y x 2 H t = H x arctan sin ωt,, H z cos ωt y überlagert. Eine Ladung q bendet sich bei r = x, y, z und habe die Geschwindigkeit v = v x, v y, v z. Berechnen Sie F = F x, F y, F z als Funktion von t, x, y, z, v x, v y, v z. Hinweis: Das Vektorpotential A ist diejenige Funktion, für die rot A = B gilt. x 2
8. Wie groÿ ist c in einem transparenten magnetischen Material mit ε = 2 und µ = 3. Wie groÿ wäre der Brechungsindex? 7. In der Vorlesung ist die Wellengleichung für das Vakuum abgeleitet worden. Leiten Sie die Wellengleichung für ein homogenes isotropes Stück Material ab, dessen Ladungsträger unbeweglich sind! Lösungen. Für Paramagnete gilt das Curie-Gesetz sowie M = C T H B = µ M + H = µ + C H T Nun ist die induzierte Spannung proportional zur Änderung der magnetischen Induktion, das Magnetfeld H proportional zum Primärstrom. Also ist I 2 + C I T 2. Wir verwenden w magn = 2 H B Dies ist die von der Hysteresekurve umschlossene Fläche in der Abbildung. Die Hystereseverluste pro cm 3 bekommt man, indem man 6 m3 w cm 3 = cm 3 w magn rechnet. Die Hysteresverluste sind aus der Fläche gerechnet Pro cm 3 erhalten wir w magn = 938T A m = 938 V s m 2 A m = 938 J m 3 w cm 3 =.938 J cm 3 Bemerkung: Bei Hz würde das etwa einen Verlust von Watt pro cm 3 ausmachen. 3. Wir verwenden die I. Maxwellsche Gleichung in der Integralform. Die Ladungsverteilung ist homogen und kugelförmig. Also ist ρ el dv = E da ε A oder 4. Die Ladungsdichte sei V A 4r 3 3ε ρ el = 4r 2 E E = ρ elr 3ε ρ el = ρ r R n ρ el,homogen = ρ Die Gesamtladung der kugelsymmetrischen Ladungsverteilung ist und damit Damit werden die Ladungsdichten q = 4 e = 4R3 ρ n + 3 ρ = R ρrr 2 dr e = 4R3 ρ 3 en + 3 4R 3 ρ = 3e 4R 3 2
Die radiusabhängigen Dichten sind dann ρ el r = en + 3 4R 3 Analog wie in der Vorlesung integrieren wir m a = Die Resultate sind Wir wollen haben, oder R Diese Gleichung hat die Lösung n = 5. 5. Der Entladestrom eines Kondensators ist 6. Die Spannung beträgt Das elektrische Feld ist Der Verschiebungsstrom ist Die Kapazität ist und 7. Wir verwenden, dass ist. K = r R n ρ el,homogen = 3e 4R 3 r 4+n sin 3 φe 2 n + 3B 8R 3+n m e dφ dr m a,homogen = R m a = R2 e 2 n + 3B 6n + 5m e m a,homogen = R2 e 2 B m e m a = 2m a,homogen m a 5n + 3 = 2 = m a,homogen 3n + 5 It = U R e t Ut = U e t Et = Ut d ε = ε = U d e t U d e t C = ε A d = 8.85 2 3 C = 8.85 9 C ε = U 6 Ωm 2 e t.885s B H = µ M H + H M H = µ H H = 2µ arctan HH H 2µ H B H = µ arctan + H H = µ H = K y H x ω arctan cos ωt,, H z ω y x 2 3r 4 sin 3 φe 2 B 8R 3 dφ dr m e x 2 sin ωt 3
Wir suchen also E so, dass rote = K ist. Dies ist die gleiche Aufgabe, wie die Suche nach dem Vektorpotential. In Komponenten haben wir y z z y = K x z x x z = K y = x y y x = K z Da K = K x,, K z in der xz-ebene liegt, nehmen wir weiter an, dass E y = ist. Wir haben dann z y = K x x y = K z und machen den Ansatz E x = E z = y K z dy + f x x, z y K x dy + f z x, z Die Funktionen f i können beliebig gewählt werden, da nur rote vorkommt. Wir setzen hier f i =. Diese Wahl zeigt, dass E nicht eindeutig bestimmt ist. Wir erhalten also E x = K z dy = H z ω x 2 x 2 sin ωt dy = µ H z x 2 sin ω t ω y x 2 + x 2 y y E z = K x dy = H x ω arctan y y = µ H x cos ω t ω y arctan cos ωt dy y + 2 µ H x cos ω t ω y ln + y2 y 2 H Die Rotation von E ist in der Tat gleich µ. Im Allgemeinen ist E = gradφ A Mit B = rota folgt nämlich das Induktionsgesetz. Das gesamte elektrische Feld ist dann E = E x + µ H z x 2 sin ω t ω y x 2 + x 2 y,,, µ H x cos ω t ω y arctan y + 2 µ H x cos ω t ω y ln + y2 y 2 4
Die Kraft ist dann F x, y, z = qe + µ qv H = qµ H x cos ω t ω y arctan y y + qµ =qµ ω v x v y v z H x y arctan qe x + q µ H z x 2 sinω tω y x 2 +x 2 + q 2 µ H x cos ω t ω y ln H x ω arctan y cos ωt y x H z ω 2 sin ωt x 2 +x2 + y2 y 2 E x µ ω + Hz x 2 y x x 2 + v +x 2 y H z 2 sin ωt x 2 +x2 v z H x arctan y x cos ωt v y x H z 2 sin ωt x 2 +x2 y + y 2 H xy ln + y2 y 2 + v y H x arctan y y cos ω t 8. c = µµ εε = c ε = c 6 = c 2, 44949 =, 22479 8 m s 9. Wir beginnen mit den Maxwellgleichungen und setzen i =. und erhalten divd = ρ el divb = roth = i + ɛɛ divd = ρ el divb = rotb = +µµ ɛɛ Wir nehmen die Rotation von IV und setzen II ein rot rotb = µµ ɛɛ B I II III IV I II III IV In isotropen Medien ist Mit erhält man rot rotb = µµ ɛɛ 2 B 2 rot rotb = grad divb div gradb = grad divb B B = µµ ɛɛ 2 B 2 5