Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft Lösung Serie 1 (Differentialgleichungen 1-ter Ordnung) Dozent: Roger Burkhardt Klasse: Studiengang ST Büro: 4.613 Semester: (VZ) Modul: MDS Datum: FS009 1. Aufgabe Gegeben seien die nachfolgenden gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung (Anfangswertprobleme). Welche der Differentialgleichungen sind separierbar und welche sind linear (a) (b) x + tx = e t, x (0) = 1 Lineare DGL mit p(t) = t und s(t) = e t. x x = t, x (0) = 3 (c) Separierbare DGL: dt = t x x = tdt x sin (t) x = cos (t), x (0) = 1 Lineare DGL mit p(t) = sin(t) und s(t) = cos(t). (d) x + x = e t, x (0) = 0 Lineare DGL mit p(t) = 1 und s(t) = e t (lineare DGL mit konstanten Koeffizienten). (e) x + tan (t) x = sin (t), x (0) = 0 Lineare DGL mit p(t) = tan(t) und s(t) = sin(t). (f) Separierbare DGL: x = t x, x (0) = 1 dt = t x x = t dt
(g) (h). Aufgabe x 3x = t, x (0) = 7 Lineare DGL mit p(t) = 3 und s(t) = t (lineare DGL mit konstanten Koeffizienten). Separierbare DGL: x t = tx, x (0) = 0 dt = t ( 1 + x ) 1 1 + x = tdt (a) Bestimme die allgemeine und die partikulären Lösungen der separierbaren Differentialgleichungen. zu 1b: Allgemeine dt = t x x = Partikuläre tdt x = t + C x = ± C + t x(0) = 3 3 = C + 0 C = 9 x = 9 + t zu 1f: Allgemeine dt = t x x = t dt x3 3 = t3 3 + C x = 3 C + t 3 Partikuläre zu 1h: Allgemeine x(0) = 1 1 = C + 0 3 C = 1 x = 1 + t 3 dt = t ( 1 + x ) 1 tdt 1 + x = arctan(x) = t3 + C 3 ( ) x = tan t3 + C 3 Seite / 8
Partikuläre x(0) = 0 0 = tan ( ) ( ) 03 + C C = 0 x = tan t 3 3 3 (b) Bestimme die allgemeine und die partikulären Lösungen der linearen Differentialgleichungen. zu 1a: 1 x + tx = 0 x = tdt ln x = t + C x hom = Ce t x = C(t)e t x = C (t)e t tc(t)e t C (t)e t tc(t)e t + tc(t)e t = e t C(t) = 1dt = t + C Partikuläre x(t) = (t + C) e t = te t + Ce t x(0) = 1 1 = 0e 0 + Ce 0 C = 1 x = (t + 1) e t zu 1c: x sin (t) x = 0 1 x = sin(t)dt ln x = cos(t) + C x hom = Ce cos(t) x = C(t)e cos(t) x = C (t)e cos(t) + sin(t)c(t)e cos(t) C (t)e cos(t) + sin(t)c(t)e cos(t) sin(t)c(t)e cos(t) = cos(t) C(t) = cos(t)e cos(t) dt =??? Es gibt keine exakte Lösung! zu 1d: Seite 3 / 8
1 x + x = 0 x = 1dt ln x = t + C x hom = Ce t x = C(t)e t x = C (t)e t C(t)e t Partikuläre C (t)e t C(t)e t + C(t)e t = e t C(t) = 1dt = t + C x(t) = (t + C) e t = te t + Ce t x(0) = 0 0 = 0e 0 + Ce 0 C = 0 x = te t zu 1e: x + tan(t)x = 0 1 x = tan(t)dt ln x = ln(cos(t)) + C x hom = C cos(t) x = C(t) cos(t) x = C (t) cos(t) C(t) sin(t) C (t) cos(t) C(t) sin(t) + tan(t)c(t) cos(t) = sin(t) C(t) = tan(t)dt = ln(cos(t)) + C Partikuläre x(t) = ( ln(cos(t)) + C) cos(t) x(0) = 0 0 = ( ln(cos(0)) + C) cos(0) C = 0 x = cos(t) ln(cos(t)) zu 1g: x 3x = 0 1 x = 3dt ln x = 3t + C x hom = Ce 3t Seite 4 / 8
x = C(t)e 3t x = C (t)e 3t + 3C(t)e 3t C (t)e 3t + 3C(t)e 3t 3 ( C(t)e 3t) = t C(t) = t e 3t dt = 1 ( ) + 6t + 9t e 3t + C 7 ( x(t) = 1 ( ) ) + 6t + 9t e 3t + C e 3t 7 Partikuläre x(0) = 7 ( 7 = 1 ( ) ) + 6 0 + 9 0 e 3 0 + C e 3 0 7 C = 0 x = 1 7 ( + 6t + 9t ) 3. Aufgabe Erstelle zu den Differentialgleichungen 1b, 1d und 1g ein ausagekräftiges Richtungsfeld und skizziere damit die gesuchten Lösungskurven der Anfangswertprobleme. zu 1b: Mit MATLAB: >> richtungsfeld(t/x,[t,x],[-6,6,-6,6],[-,-1,-0.5,0,0.5,1,],0) >> ezplot(sqrt(9+t^),[-6,6]) Seite 5 / 8
zu 1d: Mit MATLAB: >> richtungsfeld(exp(-t)-x,[t,x],[-6,6,-6,6],[-5,-,-1,-0.5,0,0.5,1,,5],0) >> ezplot(t*exp(-t),[-6,6]) zu 1g: Mit MATLAB: >> richtungsfeld(t^+3*x,[t,x],[-,,-,],[-5,-,-1,-0.5,0,0.5,1,,5],0) >> ezplot(-(+6*t+9*t^)/7,[-,]) Seite 6 / 8
4. Aufgabe Modelliere die DGL der 1. Aufgabe in SIMULINK und vergleiche die Lösungen mit den berechneten exakten Lösungen. Modelle: MATLAB-Befehle für die Graphen: >> tt=simout.time; >> x1=simout.signals.values(:,1); >> x=simout.signals.values(:,); >> x3=simout.signals.values(:,3); >> x4=simout.signals.values(:,4); >> x5=simout.signals.values(:,5); >> x6=simout.signals.values(:,6); >> x7=simout.signals.values(:,7); >> x8=simout.signals.values(:,8); >> subplot(,4,1) >> plot(tt,x1, r* ) >> ezplot((t+1)*exp(-t^/),[0,]) >> subplot(,4,) >> plot(tt,x, r* ) >> ezplot(sqrt(9+t^),[0,]) Seite 7 / 8
>> subplot(,4,3) >> plot(tt,x3, r* ) >> subplot(,4,4) >> plot(tt,x4, r* ) >> ezplot(t*exp(-t),[0,]) >> subplot(,4,5) >> plot(tt,x5, r* ) >> ezplot(-cos(t)*log(cos(t)),[0,]) >> subplot(,4,6) >> plot(tt,x6, r* ) >> ezplot(sqrt(1+t^3),[0,]) >> subplot(,4,7) >> plot(tt,x7, r* ) >> ezplot(-1/7*(+6*t+9*t^),[0,]) >> subplot(,4,8) >> plot(tt,x8, r* ) >> ezplot(tan(/3*sqrt(t^3)),[0,]) Graphen: Seite 8 / 8