Globalübung Mikroökonomie Globalübung Mikroökonomie SoSe 2017, Linda Hirt-Schierbaum, Till Wagner 1 / 34
Globalübung Mikroökonomie SoSe 2017, Linda Hirt-Schierbaum, Till Wagner 2 / 34 Kapitel 4: Nutzen
lobalübung Mikroökonomie SoSe 2017, Linda Hirt-Schierbaum, Till Wagner 3 / 34 Summary (VL) Anhand einer Nutzenfunktion können Präferenzen einfach dargestellt werden. Die Zahlen der Funktionswerte haben keine eigene Bedeutung. Es gibt für jede Präferenzordnung viele Nutzenfunktionen ( monotone Transformationen). Die Höhenlinien der Nutzenfunktion entsprechen den Indierenzkurven. Die Steigung der Höhenlinien die MRS kann anhand der Formel ausgerechnet werden. MRS(x 1, x 2 ) = MU 1(x 1, x 2 ) MU 2 (x 1, x 2 ) Die MRS ist eindeutig durch die Präferenzen deniert.
Globalübung Mikroökonomie SoSe 2017, Linda Hirt-Schierbaum, Till Wagner 4 / 34 Konstruktion einer Nutzenfunktion bei monotonen Eine einfache Methode mit Hilfe der Indierenzkurven Gut 2 x Diagonale y u(y) u(x) Indierenzkurven 45 u(z) z Gut 1
Grenzrate der Substitution MRS und Indierenzkurve Herleitung mittels totalem Dierential (Alternative zum Satz zur impliziten Funktion) betrachte die bivariate Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) das totale Dierential ist deniert als du( ) = u( ) x 1 dx 1 + u( ) x 2 dx 2 = MU 1 dx 1 + MU 2 dx 2 du( ) dx 1 = MU 1 dx 1 dx 1 + MU 2 dx 2 dx 1 = MU 1 + MU 2 dx 2 dx 1 in jedem Punkt einer Indierenzkurve gilt u(x) = k für ein bestimmtes k R, also du( ) dx 1 = 0 0 = MU 1 + MU 2 dx 2 dx 1 MU 1 MU 2 = dx 2 dx 1 = I (x 1) x 1 die Grenzrate der Substitution MRS(x) = MU 1 MU 2 ist die Steigung der Indierenzkurve I (x 1 )! lobalübung Mikroökonomie SoSe 2017, Linda Hirt-Schierbaum, Till Wagner 5 / 34
Globalübung Mikroökonomie SoSe 2017, Linda Hirt-Schierbaum, Till Wagner 6 / 34 Eindeutigkeit der Grenzrate der Substitution MRS Betrachte streng monotone Funktion f : R R. Beispiele: f (u) = 2 u, u 2 (für R + ), ln(u) (für R ++ ) f (u) 2 u u 2 ln(u) u
Globalübung Mikroökonomie SoSe 2017, Linda Hirt-Schierbaum, Till Wagner 7 / 34 Eindeutigkeit der Grenzrate der Substitution MRS Betrachte streng monoton steigende Funktion f : R R. Der Grenznutzen der Nutzenfunktion f (u(x)) beträgt MU f 1 = f (u(x)) x 1 = f (u(x)) u(x) x 1 = f (u(x)) MU 1 und MU f 2 = f (u(x)) x 2 = f (u(x)) u(x) x 2 = f (u(x)) MU 2 Die Grenzrate der Substitution von f (u(x)) beträgt MRS f (x) = MUf 1 MU f 2 = f (u(x)) MU 1 f (u(x)) MU 2 = MU 1 MU 2 = MRS(x)
Globalübung Mikroökonomie SoSe 2017, Linda Hirt-Schierbaum, Till Wagner 8 / 34 Ein Zahlenbeispiel zur Eindeutigkeit der MRS Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = 2 x 1 + 3 x 2 0 für alle x 1, x 2 0 (Streng) Monotone Transformation f (u) = u 2 (für u 0) Neue Nutzenfunktion v(x 1, x 2 ) = f (u(x 1, x 2 )) = 4 x 2 1 + 12 x 1 x 2 + 9 x 2 2 Grenznutzen der neuen Nutzenfunktion v(x 1, x 2 ): MU v 1 = v(x 1, x 2 ) x 1 = 8 x 1 + 12 x 2 MU v 2 = v(x 1, x 2 ) x 2 = 12 x 1 + 18 x 2 Grenzrate der neuen Nutzenfunktion v(x 1, x 2 ): MRS v = MUv 1 MU v 2 = 8 x 1 + 12 x 2 12 x 1 + 18 x 2 = 4 (2 x 1 + 3 x 2 ) 6 (2 x 1 + 3 x 2 ) = 2 3
Globalübung Mikroökonomie SoSe 2017, Linda Hirt-Schierbaum, Till Wagner 9 / 34 Noch ein Zahlenbeispiel zur Eindeutigkeit der MRS Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = ln(x 1 ) + x 2 (Streng) Monotone Transformation f (u) = e u Neue Nutzenfunktion v(x 1, x 2 ) = f (u(x 1, x 2 )) = x 1 e x 2 Grenznutzen der neuen Nutzenfunktion v(x 1, x 2 ): MU v 1 = v(x 1, x 2 ) x 1 = e x 2 MU v 2 = v(x 1, x 2 ) x 2 = x 1 e x 2 Grenzrate der neuen Nutzenfunktion v(x 1, x 2 ): MRS v = MUv 1 MU v 2 = ex 2 x 1 e x 2 = 1 x 1
Globalübung Mikroökonomie SoSe 2017, Linda Hirt-Schierbaum, Till Wagner 10 / 34 Eindeutigkeit der Grenzrate der Substitution MRS (VL) Eine Präferenzordnung (ohne Knicke) hat viele Nutzenfunktionen...... die keinen interpersonellen Vergleich zulassen... aber für jedes Güterbündel x eine einzige MRS. Wir können die MRS als Kriterium bei Tauschentscheidungen zwischen verschiedenen Personen benutzen! Die MRS ist das Bindeglied, wenn es darum geht verschiedene Interessen zu vereinbaren.
Globalübung Mikroökonomie SoSe 2017, Linda Hirt-Schierbaum, Till Wagner 11 / 34 Verschiedenartige Nutzenfunktionen Lineare Nutzenfunktion Leontief Nutzenfunktion Quasilineare Nutzenfunktion Cobb-Douglas-Nutzenfunktion
Globalübung Mikroökonomie SoSe 2017, Linda Hirt-Schierbaum, Till Wagner 12 / 34 Lineare Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = a x 1 + b x 2 Die Höhenlinien der Funktion u(x 1, x 2) entsprechen den Indierenzkurven für perfekte Substitute: die Steigung der Indierenzkurven ist konstant. u(x 1, x 2 ) = a x 1 + b x 2 Gut 2 Gut 1
Globalübung Mikroökonomie SoSe 2017, Linda Hirt-Schierbaum, Till Wagner 13 / 34 Lineare Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = a x 1 + b x 2 perfekte Substitute Entlang einer Indierenzkurve ist der Nutzen konstant: Gut 2 u(x 1, x 2 ) = a x 1 + b x 2 = ū b x 2 = ū a x 1 ū b ū < ū: x 2 = ū b a b x 1 Geradengleichung! ū b Steigung: a b Achsenabschnitt u(x 1, x 2 ) = ū u(x 1, x 2 ) = ū Steigung ū a ū a Gut 1
Globalübung Mikroökonomie SoSe 2017, Linda Hirt-Schierbaum, Till Wagner 14 / 34 Leontief Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = min{a x 1, b x 2 } Die Höhenlinien der Leontief Nutzenfunktion entsprechen den Indierenzkurven von Präferenzen für perfekte Komplemente u(x 1, x 2 ) = min{a x 1, b x 2 } Gut 2 Gut 1
lobalübung Mikroökonomie SoSe 2017, Linda Hirt-Schierbaum, Till Wagner 15 / 34 Leontief Nutzenfunktionen u(x 1, x 2 ) = min{a x 1, b x 2 } a x 1 falls a x 1 < b x 2 min{a x 1, b x 2 } = b x 2 falls a x 1 b x 2 Grenznutzen: MU 1 = a falls a x 1 < b x 2 MU 2 = 0 falls a x 1 > b x 2 0 falls a x 1 < b x 2 b falls a x 1 > b x 2 Grenzrate der Subsitution: MRS = MU a= 1 0 falls a x 1 < b x 2 = MU 2 0 b = 0 falls a x 1 > b x 2
Leontief Nutzenfunktionen u(x 1, x 2 ) = min{a x 1, b x 2 } perfekte Komplemente Gut 2 a x 1 < b x 2 MRS = a x 1 = b x 2 x 2 = a b x 1 a x 1 > b x 2 MRS = 0 Gut 1 Globalübung Mikroökonomie SoSe 2017, Linda Hirt-Schierbaum, Till Wagner 16 / 34
Globalübung Mikroökonomie SoSe 2017, Linda Hirt-Schierbaum, Till Wagner 17 / 34 Quasilineare Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = v(x 1 ) + x 2 u(x 1, x 2) is linear in x 2 und nicht-linear in x 1. u(x 1, x 2 ) = v(x 1 ) + x 2 Gut 2 Gut 1
Globalübung Mikroökonomie SoSe 2017, Linda Hirt-Schierbaum, Till Wagner 18 / 34 Indierenzkurven für `quasilineare' Präferenzen Gut 2 Gut 1
Globalübung Mikroökonomie SoSe 2017, Linda Hirt-Schierbaum, Till Wagner 19 / 34 Quasilineare Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = v(x 1 ) + x 2 u(x 1, x 2) is linear in x 2 und nicht-linear in x 1. Wir betrachten monoton steigende konkave Funktionen v(x 1 ): v(x 1 ) v ( ) > 0: mehr ist besser v ( ) < 0: Grenznutzen sinkt x 1
Globalübung Mikroökonomie SoSe 2017, Linda Hirt-Schierbaum, Till Wagner 20 / 34 Quasilineare Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = v(x 1 ) + x 2 u(x 1, x 2) is linear in x 2 und nicht-linear in x 1. Gut 2 ū u(x 1, x 2 ) = v(x 1 ) + x 2 = ū x 2 = ū v(x 1 ) Indierenzkurve Gut 1
Globalübung Mikroökonomie SoSe 2017, Linda Hirt-Schierbaum, Till Wagner 21 / 34 Quasilineare Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = v(x 1 ) + x 2 u(x 1, x 2) is linear in x 2 und nicht-linear in x 1. Grenznutzen: Grenzrate der Substitution: MU 1 = u(x 1, x 2 ) x 1 = v (x 1 ) MU 2 = u(x 1, x 2 ) x 2 = 1 MRS = MU 1 MU 2 = v (x 1 ) Die Steigung der Indierenzkurven hängt nur von x 1 ab.
Globalübung Mikroökonomie SoSe 2017, Linda Hirt-Schierbaum, Till Wagner 22 / 34 Quasilineare Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = v(x 1 ) + x 2 u(x 1, x 2) is linear in x 2 und nicht-linear in x 1. Gut 2 ũ ū û MRS(x) = v (x 1 ) x 1 konstant MRS(x) konstant x 2 = ũ v(x 1 ) x 2 = ū v(x 1 ) x 2 = û v(x 1 ) Gut 1
lobalübung Mikroökonomie SoSe 2017, Linda Hirt-Schierbaum, Till Wagner 23 / 34 Verschiedenartige Nutzenfunktionen (VL) Lineare Nutzenfunktion: u(x 1, x 2 ) = a x 1 + b x 2 Leontief Nutzenfunktion: u(x 1, x 2 ) = min{a x 1, b x 2 } Quasilineare Nutzenfunktion: u(x 1, x 2 ) = v(x 1 ) + x 2 Cobb-Douglas-Nutzenfunktion: u(x 1, x 2 ) = x c 1 x d 2 Es gelte a, b, c, d 0, v ( ) > 0 und v ( ) < 0. All diese Nutzenfunktionen repräsentieren monotone und konvexe Präferenzen.
Globalübung Mikroökonomie SoSe 2017, Linda Hirt-Schierbaum, Till Wagner 24 / 34 Indierenzkurven von konvexen Präferenzen (VL) Präferenzen sind konvex, falls die Bessermenge konvex ist. Dies bedeutet, dass auch die Indierenzkurven konvex sind: Gut 2 da I (x 1) x 1 = MRS(x): I (x 1 ) 2 I (x 1 ) ( x 1 ) 2 = MRS(x) x 1 0! Indierenzkurve Gut 1
Globalübung Mikroökonomie SoSe 2017, Linda Hirt-Schierbaum, Till Wagner 25 / 34 Repräsentiert die Nutzenfunktion konvexe Präferenzen? (VL) Mehrere alternative Prüfungswege Analytische Prüfung: Leite I (x 1 ) her und prüfe, ob I (x 1 ) 0. funktioniert nicht bei Leontief Nutzenfunktionen. Rechenweg bei Cobb Douglas Nutzenfunktionen aufwendig. Grasche Prüfung: Zeichne Indierenzkurve und prüfe ob Verbindungslinie zweier indierenter Güterbündel in der Bessermenge liegt. schwierig, falls Indierenzkurven nicht bekannt.
Globalübung Mikroökonomie SoSe 2017, Linda Hirt-Schierbaum, Till Wagner 26 / 34 Lineare Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = a x 1 + b x 2 I (x 1), MRS(x) und Konvexität: analytische Prüfung u(x 1, I (x 1 )) = a x 1 + b I (x 1 ) = k I (x 1 ) = k b a b x 1 I (x 1 ) x 1 = a b MRS(x) = a b MRS(x) x 1 = 0 Indierenzkurven schwach konvex.
Globalübung Mikroökonomie SoSe 2017, Linda Hirt-Schierbaum, Till Wagner 27 / 34 Quasilineare Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = v(x 1 ) + x 2 I (x 1), MRS(x) und Konvexität: analytische Prüfung u(x 1, I (x 1 )) = v(x 1 ) + I (x 1 ) = k I (x 1 ) = k v(x 1 ) I (x 1 ) x 1 = v (x 1 ) MRS(x) = v (x 1 ) MRS(x) x 1 = v (x 1 ) > 0 Indierenzkurven streng konvex.
lobalübung Mikroökonomie SoSe 2017, Linda Hirt-Schierbaum, Till Wagner 28 / 34 Leontief Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = min{a x 1, b x 2 } I (x 1), MRS(x) und Konvexität: analytische Prüfung Implizite Funktion I (x 1 ) existiert nicht! (Indierenzkurve hat Knick, Satz 6.20 MfÖ nicht anwendbar.) Prüfungsweg funktioniert nicht.
Leontief Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = min{a x 1, b x 2 } Grasche Überprüfung der Konvexität der Präferenzen Gut 2 y schwach konvex y x streng konvex? x Gut 1 Globalübung Mikroökonomie SoSe 2017, Linda Hirt-Schierbaum, Till Wagner 29 / 34
Lineare Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = a x 1 + b x 2 Grasche Überprüfung der Konvexität der Präferenzen Gut 2 y schwach konvex x Gut 1 Globalübung Mikroökonomie SoSe 2017, Linda Hirt-Schierbaum, Till Wagner 30 / 34
Quasilineare Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = v(x 1 ) + x 2 Grasche Überprüfung der Konvexität der Präferenzen Gut 2 y streng konvex x Gut 1 Globalübung Mikroökonomie SoSe 2017, Linda Hirt-Schierbaum, Till Wagner 31 / 34
Aufgaben Globalübung Mikroökonomie SoSe 2017, Linda Hirt-Schierbaum, Till Wagner 32 / 34
lobalübung Mikroökonomie SoSe 2017, Linda Hirt-Schierbaum, Till Wagner 33 / 34 Aufgabe 1 Biancas und Maltes Nutzenfunktionen über die Mengen x 1 und x 2 der Güter 1 und 2 seien durch u B (x 1, x 2 ) = x 1 + x 2 und u M (x 1, x 2 ) = x 2 1 2 x 1 x 2 x 2 2 gegeben, x 1, x 2 0. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? a) Falls Bianca ein beliebiges Güterbündel (y 1, y 2 ) besser ndet als ein beliebiges Güterbündel (x 1, x 2 ), dann ndet Malte das Güterbündel (y 1, y 2 ) ebenfalls besser als das Güterbündel (x 1, x 2 ) b) Es gibt ein Güterbündel (x 1, x 2 ) in welchem die Grenzrate der Substitution von Bianca ungleich der Grenzrate der Substitution von Malte ist. c) Bianca und Malte haben die gleiche Präferenzordnung über die Mengen der Güter 1 und 2. d) Falls Bianca ein beliebiges Güterbündel (y 1, y 2 ) besitzt und Malte ein beliebiges Güterbündel (x 1, x 2 ) (0, 0) besitzt, dann können Bianca und Malte Gütermengen so tauschen, dass es beiden streng besser geht.
Globalübung Mikroökonomie SoSe 2017, Linda Hirt-Schierbaum, Till Wagner 34 / 34 Aufgabe 2 Colin hat die Nutzenfunktion u C (x 1, x 2 ) = x 1 x 2 3, wobei x 1, x 2 > 0 die Mengen der Güter 1 und 2 bezeichnen. Welche der folgenden Aussagen ist falsch? a) Dora mit der Nutzenfunktion u D (x 1, x 2 ) = x2 1 x2 2 + 10 x 9 3 1 x 2 + 25 hat die gleichen Präferenzen wie Colin. b) Colins Präferenzen sind streng konvex. ( c) Die Grenzrate der Substitution MRS = MU 1 MU 2 ) von Colin sinkt, wenn Colin mehr von Gut 1 konsumiert. d) Im Bündel (y 1, y 2 ) = (2, 6) ist der Gradient der Nutzenfunktion u C ( ) durch den Vektor ( 2 2/3) gegeben.