2. Konsumententheorie

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1 2. Konsumententheorie Georg Nöldeke WWZ, Universität Basel Intermediate Microeconomics, HS Konsumententheorie 1/99

2 2 / Einleitung Wir betrachten durchweg eine Situation, in der es nur zwei Güter gibt, die im Allgemeinen mit Gut 1 und Gut 2 bezeichnet werden. Ein Güterbündel x ist durch die Angabe von Mengen der beiden Güter beschrieben: x = (x 1,x 2 ) mit x 1 0 und x 2 0. Der Konsument verfügt über ein Budget in Höhe von m > 0 Geldeinheiten, welches ihm zum Kauf der beiden Güter zur Verfügung steht. Die Preise der beiden Güter sind durch p = (p 1, p 2 ) mit p 1 > 0 und p 2 > 0 gegeben. Das Budget m und die Preise p 1, p 2 werden als vorgegeben betrachtet: m und p sind exogen. Die Entscheidung des Konsumenten besteht in der Auswahl eines Güterbündels: x ist endogen.

3 3 / Präferenzen Ausgangspunkt der folgenden Modellierung ist die Vorstellung, dass wir für einen Konsumenten, der zwischen zwei Güterbündeln x und y auszuwählen hat, beobachten können, ob er 1. das Güterbündel x als besser erachtet. 2. das Güterbündel y als besser erachtet. 3. die beiden Güterbündel für gleich gut erachtet. Wir schreiben in den jeweiligen Fällen: 1. x y ( x wird y streng vorgezogen. ) 2. y x ( y wird x streng vorgezogen. ) 3. x y ( x und y sind indifferent ) und nehmen an, dass für gegebene Güterbündel x und y höchstens eine dieser Aussagen zutreffend ist.

4 4 / Präferenzen Man definiert x y x y oder x y, und liest die Beziehung als x wird y vorgezogen. Eine Präferenzrelation, die ebenfalls mit bezeichnet wird, ist dadurch beschrieben, dass sie für jedes Paar von Güterbündeln x und y angibt, ob die Beziehung x y gilt oder nicht. Beachte: Aus Kenntnis der Präferenzrelation kann man die Indifferenzrelation und die strenge Präferenzrelation rekonstruieren. Gilt z.b. x y während die Beziehung y x nicht gilt, so folgt x y.

5 5 / Präferenzen Definition (Vollständigkeit) Eine Präferenzrelation heisst vollständig, wenn für alle Güterbündel x und y gilt: x y oder y x (oder beides). Definition (Transitivität) Eine Präferenzrelation heisst transitiv, wenn für alle Alternativen x, y und z gilt: x y und y z x z.

6 6 / Präferenzen Definition (Rationalität) Eine Präferenzrelation heisst rational, wenn sie vollständig und transitiv ist. Gegeben eine rationale Präferenzrelation und ein Güterbündel x = (x 1,x 2 ) definiert man die Indifferenzkurve I(x) als die Menge aller Güterbündel, die indifferent zu x sind: I(x) = {y = (y 1,y 2 ) y x}

7 7 / Präferenzen Im Regelfall wird unterstellt, dass Präferenzrelationen nicht nur rational sind, sondern weitere Eigenschaften aufweisen: 1. Stetigkeit und Differenzierbarkeit der Präferenzrelation: Indifferenzkurven haben keine Sprünge und keine Knicke. 2. Strenge Monotonie der Präferenzrelation: Mehr ist besser. 3. Strenge Konvexität der Präferenzrelation: Mischungen sind besser als Extreme. Stetigkeit und Differenzierbarkeit ist eine technische Annahme, die wir nicht weiter formalisieren werden.

8 8 / Präferenzen Zur Vereinfachung verwenden wir die folgende Notation und Terminologie: x y bedeutet, dass x 1 y 1 und x 2 y 2 gilt: x ist grösser als y. x > y bedeutet, dass x 1 > y 1 und x 2 > y 2 gilt: x ist streng grösser als y. Ein Güterbündel mit x > 0 bezeichnen wir als inneres Güterbündel. Definition (Monotonie und strenge Monotonie) Sei x y. Eine rationale Präferenzrelation heisst monoton, wenn aus x y folgt, dass x y gilt. Folgt für innere Güterbündel zudem x y, so heisst die Präferenzrelation streng monoton.

9 9 / Präferenzen Abbildung: Ist eine Präferenzrelation streng monoton, so sind die Indifferenzkurven durch innere Güterbündel streng fallende Funktionen.

10 2.2 Präferenzen Die Güterbündel z, die auf der Verbindungslinie zwischen zwei Güterbündeln x und y liegen, lassen sich mathematisch als sogenannte konvexe Kombinationen von x und y beschreiben. Für alle Güterbündel x, y und reele Zahlen 0 α 1 definiert man αx + (1 α)y = (αx 1 + (1 α)y 1,αx 2 + (1 α)y 2 ). Gilt z = αx + (1 α)y für 0 < α < 1, so bezeichnet man z als eine konvexe Kombination von x und y. Definition (Konvexität und strenge Konvexität) Eine Präferenzrelation heisst konvex, wenn für alle Güterbündel x y und konvexen Kombinationen z dieser beiden Güterbündel aus x y folgt, dass auch z y gilt. Gilt für innere Güterbündel zudem z y, so heisst die Präferenzrelation streng konvex. 10 / 99

11 2.2 Präferenzen Abbildung: Eine Indifferenzkurve einer streng konvexen Präferenzrelation. Alle Güterbündel auf der Verbindungslinie zwischen den indifferenten Güerbündeln x und y werden diesen Güterbündeln streng vorgezogen. Hier für das Güterbündel z = 0.5x + 0.5y dargestellt. 11 / 99

12 2.2 Präferenzen Abbildung: Indifferenzkurve einer nicht-konvexen, aber streng monotonen Präferenzrelation. Das Güterbündel z liegt auf der Verbindungslinie zwischen x und y, so dass bei Konvexität z y gelten müsste. Es gilt aber y z. 12 / 99

13 13 / Präferenzen Definition (Artigkeit) Eine rationale Präferenzrelation heisst artig, wenn sie differenzierbar, streng monoton und streng konvex ist. Artigkeit besagt, dass die Indifferenzkurven sich als differenzierbare, streng fallende und streng konvexe Funktionen von x 1 darstellen lassen. Güterbündel, die rechts oberhalb einer Indifferenzkurve liegen, den Güterbündeln auf der Indifferenzkurve vorgezogen werden. Wir werden im Folgenden nur artige Präferenzrelationen betrachtet.

14 14 / Präferenzen Abbildung: Eine Indifferenzkurve einer artigen Präferenzrelation.

15 15 / Die Grenzrate der Substitution Definition (Grenzrate der Substitution) Die Steigung der Indifferenzkurve I(x) an der Stelle x heisst die Grenzrate der Substitution an der Stelle x. Sie wird mit GRS(x) bezeichnet. Die Grenzrate der Substitution misst (im Sinne eines Grenzwertes) das Verhältnis x 2 / x 1, in dem die Mengen der beiden Güter gegeneinander ausgetauscht werden können, so dass der Konsument indifferent bleibt. Oftmals ist es nützlich, den Absolutwert der Grenzrate der Substitution zu betrachten. Diesen bezeichnen wir als die marginale Zahlungsbereitschaft (für Gut 1).

16 16 / Die Grenzrate der Substitution Satz Für eine artige Präferenzrelation gilt für alle x > 0: 1. Die Grenzrate der Substitution ist streng negativ: GRS(x) < Die marginale Zahlungsbereitschaft ist streng fallend entlang einer Indifferenzkurve: x y und x 1 > y 1 impliziert GRS(x) < GRS(y).

17 17 / Die Grenzrate der Substitution Abbildung: Indifferenzkurve einer artigen Präferenzrelation. Es gilt GRS(x) < 0 und der Absolutwert GRS(x) ist um so kleiner, je grösser x 1 ist.

18 18 / Die Grenzrate der Substitution Abbildung: Indifferenzkurve einer nicht-konvexen Präferenzrelation. Die marginale Zahlungsbereitschaft steigt bei einer Bewegung entlang der Indifferenzkurve.

19 19 / Nutzendarstellung von Präferenzrelationen Rationale Präferenzrelationen lassen sich durch eine sogenannte Nutzenfunktion darstellen. Die Nutzendarstellung einer Präferenzrelation erfolgt dadurch, dass besseren Alternativen ein höherer Wert der Nutzenfunktion zugeordnet wird.

20 20 / Nutzendarstellung von Präferenzrelationen Definition (Nutzenfunktion) Eine Nutzenfunktion u ordnet jedem Güterbündel x eine reele Zahl u(x) zu: die Nutzenbewertung des Güterbündels x. Definition (Nutzendarstellung) Eine Nutzenfunktion u stellt eine Präferenzrelation dar, falls für alle Güterbündel x und y gilt: x y u(x) u(y)

21 21 / Nutzendarstellung von Präferenzrelationen Bei der Nutzendarstellung kommt es nur darauf an, dass die Nutzenfunktion die Güterbündel genauso ordnet, wie die Präferenzrelation. Definition (Streng monotone Transformation) Eine Nutzenfunktion v heisst eine streng monotone Transformation einer Nutzenfunktion u, wenn es eine streng steigende Funktion f : R R gibt, so dass für alle Güterbündel x gilt: v(x) = f (u(x)).

22 22 / Nutzendarstellung von Präferenzrelationen Satz (Ordinalität der Nutzendarstellung) Wenn u eine Nutzendarstellung der Präferenzrelation ist, dann stellt auch jede streng monotone Transformation v von u die Präferenzrelation dar. Die Ordinalität der Nutzendarstellung impliziert, dass es keinen Sinn macht, Eigenschaften der Nutzenfunktion, die durch eine streng monotone Transformation verändert werden, mit Blick auf die Ziele eines Entscheiders zu interpretieren.

23 23 / Nutzendarstellung von Präferenzrelationen Aus der Angabe einer Nutzenfunktion u lassen sich die Indifferenzkurven der dargestellten Präferenzrelation bestimmen. Die Indifferenzkurve zu x ist: I(x) = {y = (y 1,y 2 ) u(y) = u(x)} Insbesondere entsprechen die Indifferenzkurven von den Niveaulinien von u. Eine beliebige Indifferenzkurve ist durch die Gleichung u(x) = k bestimmt. Unterschiedliche Indifferenzkurven korrespondieren zu unterschiedlichen Werten der Konstanten k.

24 24 / Nutzendarstellung von Präferenzrelationen Definition (Grenznutzen) Die partielle Ableitung u(x) x i einer differenzierbaren Nutzenfunktion bezeichnet man als den Grenznutzen des i-ten Gutes (an der Stelle x). Beachte: Der Grenznutzen ist kein ordinales Konzept, d.h. unterschiedliche Nutzendarstellungen der gleichen Präferenzrelation führen zu unterschiedlichen Grenznutzen. Dennoch ist der Grenznutzen ein hilfreiches Konzept, da er zur Bestimmung der Grenzrate der Substitution der durch u dargestellten Präferenzordnung verwendet werden kann.

25 25 / Nutzendarstellung von Präferenzrelationen Satz Sei u eine differenzierbare Nutzenfunktion mit streng positiven Grenznutzen u(x)/ x i > 0. Dann gilt für die Grenzrate der Substitution der durch u dargestellten Präferenzrelation : GRS(x) = u(x)/ x 1 u(x)/ x 2. Die marginale Zahlungsbereitschaft ist also gleich dem Verhältnis der Grenznutzen der beiden Güter. Anmerkung: Ergebnis folgt aus dem Satz über implizite Funktionen, der auf die Gleichung u(x 1,x 2 ) = k angewendet wird.

26 26 / Nutzendarstellung von Präferenzrelationen Frage Wie erkennt man, ob eine differenzierbare Nutzenfunktion eine artige Präferenzrelation darstellt? 1. Die Grenznutzen beider Güter sind für alle x > 0 streng positiv. 2. Das Verhältnis der Grenznutzen ist für alle x > 0 bei einer Bewegung entlang einer Niveaulinie streng fallend in x 1 - die Nutzenfunktion ist streng quasikonkav. Definition (Artige Nutzenfunktion) Eine differenzierbare Nutzenfunktion heisst artig, wenn sie streng quasikonkav ist und die Grenznutzen beider Güter für x > 0 streng positiv sind.

27 27 / Beispiele für Nutzenfunktionen Definition (Cobb-Douglas-Präferenzen) Eine Präferenzrelation heisst Cobb-Douglas, wenn sie durch eine sogenannte Cobb-Douglas-Nutzenfunktion der Form dargestellt werden kann. u(x 1,x 2 ) = x c 1 x d 2 mit c > 0 und d > 0 Die Bedeutung von Cobb-Douglas-Präferenzen liegt darin, dass Cobb-Douglas-Nutzenfunktionen recht leicht zu handhaben sind und daher zur Illustration vieler der folgenden Überlegungen und Definitionen verwendet werden können.

28 28 / Beispiele für Nutzenfunktionen Eine Cobb-Douglas-Präferenzrelation mit der Nutzendarstellung u(x 1,x 2 ) = x c 1 x d 2 mit c > 0 und d > 0 wird ebenfalls durch die folgenden Nutzenfunktionen dargestellt: u(x 1,x 2 ) = x a 1x 1 a 2 u(x 1,x 2 ) = aln(x 1 ) + (1 a)ln(x 2 ), wobei a = c c + d. Wie wir noch sehen werden, besitzt der Parameter a in diesen Darstellungen eine unmittelbare ökonomische Interpretation.

29 29 / Beispiele für Nutzenfunktionen Cobb-Douglas Präferenzrelationen sind artig: 1. Die Cobb-Douglas Nutzenfunktion ist differenzierbar. 2. Für x > 0 sind die partiellen Ableitungen der Nutzendarstellung u(x 1,x 2 ) = aln(x 1 ) + (1 a)ln(x 2 ) streng positiv u(x) x 1 = a x 1 > 0, u(x) x 2 3. Das Verhältnis der Grenznutzen u(x)/ x 1 u(x)/ x 2 = a 1 a = 1 a x 2 > 0. ist streng fallend in x 1 und streng steigend in x 2 und daher streng fallend bei einer Bewegung entlang einer Niveaulinie. x 2 x 1

30 30 / Beispiele für Nutzenfunktionen Cobb-Douglas-Präferenzen: Niveaulinien u(x 1,x 2 ) = k der Nutzenfunktion u(x 1,x 2 ) = x 1 x 2. Beachte: Für alle k > 0 verlaufen die Indifferenzkurven streng fallend und streng konvex - die Präferenzrelation ist artig.

31 31 / Beispiele für Nutzenfunktionen Definition (Quasilineare Präferenzen) Eine Präferenzrelation heisst quasilinear (im zweiten Gut), wenn sie durch eine sogenannte quasilineare Nutzenfunktion der Form u(x 1,x 2 ) = v(x 1 ) + x 2 dargestellt werden kann. Niveaulinien einer quasilinearen Nutzenfunktion: v(x 1 ) + x 2 = k x 2 = k v(x 1 ). Dies bedeutet, dass sich die verschiedenen Indifferenzkurven einer quasilinearen Präferenzrelation nur durch die Höhe des vertikalen Achsenabschnitts k v(0) voneinander unterscheiden.

32 32 / Beispiele für Nutzenfunktionen Quasilineare Präferenzrelation: Die Indifferenzkurven ergeben sich aus der vertikalen Verschiebung einer einzigen Indifferenzkurve.

33 33 / Beispiele für Nutzenfunktionen Um eine quasilineare Präferenzrelation zu beschreiben, genügt es, die Funktion v anzugeben, welche jeder Menge von Gut 1 eine reele Zahl zuordnet. Gilt v(0) = 0, so hat diese Funktion eine einfache Interpretation: v(x 1 ) ist die Zahlungsbereitschaft des Konsumenten dafür, die Menge x 1 anstatt die Menge 0 von Gut 1 zu erhalten. Diese Zahlungsbereitschaft wird in Einheiten von Gut 2 gemessen. Beachte: Zahlungsbereitschaft und marginale Zahlungsbereitschaft sind unabhängig davon, wieviele Einheiten x 2 in einem Güterbündel enthalten sind.

34 34 / Beispiele für Nutzenfunktionen Die quasilineare Nutzenfunktionen u(x 1,x 2 ) = v(x 1 ) + x 2 stellt eine artige Präferenzrelationen dar, wenn v differenzierbar mit streng positiver erster Ableitung v und streng negativer Ableitung v ist: 1. Die partiellen Ableitungen der quasilinearen Nutzenfunktion sind streng positiv: u(x) x 1 = v (x 1 ) > 0, u(x) x 2 = 1 > Das Verhältnis der Grenznutzen ist v (x 1 ). Gilt v (x 1 ) < 0, so ist dieses streng fallend bei einer Bewegung entlang einer Niveaulinie.

35 2.6 Die Budgetbeschränkung Preise und Budget bestimmen die Möglichkeiten des Konsumenten: Er kann sich diejenigen Güterbündel leisten, die in der Budgetmenge B(p,m) = {x = (x 1,x 2 ) p 1 x 1 + p 2 x 2 m} liegen. Man nennt diese Güterbündel auch erschwinglich. Die Ungleichung p 1 x 1 + p 2 x 2 m besagt, dass die Ausgaben für ein Güterbündel x bei Güterpreisen p das Budget m nicht übersteigen. Sie wird als Budgetbeschränkung bezeichnet. Die Budgetgerade beschreibt diejenigen Güterbündel, die gerade erschwinglich sind p 1 x 1 + p 2 x 2 = m, d.h. die Ausgaben entsprechen dem Budget. 35 / 99

36 36 / Die Budgetbeschränkung Die Budgetgerade p 1 x 1 + p 2 x 2 = m x 2 = m p 2 p 1 p 2 x 1 beschreibt tatsächlich eine Gerade mit Steigung: p 1 /p 2 < 0. Horizontaler Achsenabschnitt: m/p 1 > 0. Vertikaler Achsenabschnitt: m/p 2 > 0. Beachte: Der Konsument kann sich alle Güterbündel leisten, die links unterhalb der Budgetgeraden liegen.

37 37 / Die Budgetbeschränkung Ökonomische Interpretation der Steigung der Budgetgerade: Die Steigung p 1 /p 2 ist negativ, da der Konsument bei einer Bewegung entlang der Budgetgeraden etwas von Gut 2 aufgeben muss, um zusätzliche Einheiten von Gut 1 zu erlangen. Der Absolutwert der Steigung, p 1 /p 2, gibt an, wieviele Einheiten von Gut 2 der Konsument aufgeben muss, um eine zusätzliche Einheit von Gut 1 zu erhalten. Dieser sogenannte relative Preis stellt also die Opportunitätskosten einer zusätzlichen Einheit von Gut 1 dar. Ökonomische Interpretation der Achsenabschnitte der Budgetgerade: Die Achsenabschnitte geben an, wieviele Einheiten des jeweiligen Gutes sich der Konsument maximal leisten kann, wenn er auf den Konsum des anderen Gutes verzichtet.

38 38 / Die Budgetbeschränkung Eine Veränderung des Budgets führt zu einer Parallelverschiebung der Budgetgeraden. Beispiel: Budget steigt beide Achsenabschnitt steigen um den Prozentsatz der Budgeterhöhung an. Eine Veränderung eines Preises führt zu einer Drehung der Budgetgeraden um den Achsenabschnitt des Gutes, dessen Preis unverändert bleibt. Beispiel: Preis von Gut 1 steigt horizontaler Achsenabschnitt wird kleiner; vertikaler Achsenabschnitt bleibt unverändert. Eine Veränderung aller Preise und des Budgets um den gleichen Prozentsatz lässt die Budgetgerade und damit die Budgetmenge unverändert. Beispiel: Werden alle Preise und das Budget in Rappen statt in Franken gemessen, so ändert sich nichts an den Güterbündeln, die der Konsument sich leisten kann.

39 39 / Die Budgetbeschränkung Anstatt Budget und Preise in einer fixen Geldeinheit zu messen, kann man auch den Preis von Gut 2 als Recheneinheit für die Geldgrössen wählen. Tut man dies, so bezeichnet man Gut 2 als Numeraire und setzt p 2 = 1. Das Budget m gibt dann an, wieviele Einheiten des Numeraire sich der Konsument maximal leisten kann. Der Preis p 1 von Gut 1 gibt dann den relativen Preis von Gut 1 an; er entspricht der Anzahl der Einheiten des Numeraires, auf welche der Konsument für eine zusätzliche Einheit von Gut 1 verzichten muss. Beachte: Die Budgetgerade bleibt unverändert, wenn man statt (p 1, p 2,m) die Werte (p 1 /p 2,1,m/p 2 ) einsetzt. Es ist also stets möglich, Gut 2 als Numeraire zu wählen, ohne etwas daran zu ändern, welche Güterbündel erschwinglich sind.

40 40 / Optimale Güterbündel und Nutzenmaximierung Wir gehen davon aus, dass der Konsument bei gegebenen Preisen p = (p 1, p 2 ) > 0 und gegebenem Budget m > 0 ein Güterbündel wählt, welches optimal im Sinne der folgenden Definition ist. Definition (Optimales Güterbündel) Sei eine rationale Präferenzrelation. Ein Güterbündel x B(p,m) ist optimal in der Budgetmenge B(p,m), wenn es allen anderen Güterbündeln in der Budgetmenge vorgezogen wird: x B(p,m) x x.

41 41 / Optimale Güterbündel und Nutzenmaximierung Satz Ist eine Präferenzrelation artig, so gibt es in jeder Budgetmenge B(p,m) mit p > 0 und m > 0 genau ein optimales Güterbündel. Dieses liegt auf der Budgetgeraden, d.h. es gilt p 1 x 1 + p 2 x 2 = m. Die Existenz eines optimalen Güterbündels wird durch die Annahme der Stetigkeit der Präferenzrelation gesichert. Eindeutigkeit folgt aus der Annahme der strengen Konvexität der Präferenzrelation. Die Annahme der strengen Monotonie sichert, dass das optimale Güterbündel auf der Budgetgeraden liegen muss.

42 2.7 Optimale Güterbündel und Nutzenmaximierung Abbildung: Die Lösung eines Konsumentenproblems bei einer artigen Präferenzrelation. In der dargestellten Budgetmenge ist x das einzige optimale Güterbündel. Es wird allen anderen Güterbündeln in der Budgetmenge, wie z.b. dem mit x markierten Güterbündel, streng vorgezogen. 42 / 99

43 43 / Optimale Güterbündel und Nutzenmaximierung Abbildung: Ein Beispiel mit zwei optimalen Güterbündeln. Beachten Sie, dass die Präferenzrelation nicht konvex ist, da ansonsten das als nicht optimal markierte Güterbündel vorgezogen sein müsste.

44 44 / Optimale Güterbündel und Nutzenmaximierung Abbildung: Das innere Güterbündel x liegt auf der Budgetgeraden. Es ist nicht optimal, da die Indifferenzkurve durch x die Budgetgeraden schneidet und es somit Güterbündel in der Budgetmenge gibt, die x streng vorgezogen werden. Hier liegen diese Güterbündel in dem grün markierten Bereich.

45 45 / Optimale Güterbündel und Nutzenmaximierung Satz Ist eine Präferenzrelation artig, so ist ein Güterbündel x > 0, welches auf der Budgetgeraden liegt, genau dann optimal, wenn die Grenzrate der Substitution bei diesem Güterbündel mit der Steigung der Budgetgeraden übereinstimmt: GRS(x ) = p 1 p 2. Ökonomischer formuliert, besagt die Optimalitätsbedingung aus diesem Satz, dass die marginale Zahlungsbereitschaft für Gut 1 mit dem relativen Preis von Gut 1 übereinstimmt.

46 46 / Optimale Güterbündel und Nutzenmaximierung Beachte die Annahme x > 0 in der Formulierung des Satzes es handelt sich um eine Charakterisierung sogenannter innerer Lösungen des Konsumentenproblems. Gibt es kein Güterbündel, welches die Optimalitätsbedingung erfüllt, so muss es sich bei der Lösung des Konsumentenproblems um eine sogenannte Randlösung handeln: entweder x = (m/p 1,0) oder x = (0,m/p 2 ) ist optimal.

47 47 / Optimale Güterbündel und Nutzenmaximierung Satz (Nutzenmaximierung) Sei u eine Nutzendarstellung der Präferenzrelation. Das Güterbündel x ist genau dann optimal in der Budgetmenge B(p, m), wenn es das folgende Nutzenmaximierungsproblem löst: max x 0 u(x) unter der Nebenbedingung p 1x 1 + p 2 x 2 m. Für eine gegebene Nutzenfunktion u kann man optimale Güterbündel also explizit durch Lösung des Nutzenmaximierungsproblems bestimmen. Wir befassen uns daher im folgenden mit der Frage, wie man ein Nutzenmaximierungsproblem löst.

48 48 / Optimale Güterbündel und Nutzenmaximierung Satz Ist u eine artige Nutzenfunktion. Liegt das Güterbündel x auf der Budgetgeraden, p 1 x 1 + p 2 x 2 = m, (1) und erfüllt es die Bedingung erster Ordnung, u(x1,x 2 )/ x 1 u(x1,x 2 )/ x = p 1, (2) 2 p 2 so ist es die einzige Lösung des Nutzenmaximierungsproblems.

49 49 / Optimale Güterbündel und Nutzenmaximierung Für artige Nutzenfunktionen kann man zur Lösung des Nutzenmaximierungsproblems also wie folgt verfahren: 1. Suche ein Güterbündel, welches Gleichungen (1) und (2) erfüllt. Ist die Suche erfolgreich, so ist die Lösung des Nutzenmaximierungsproblems bestimmt. 2. Gibt es kein solches Güterbündel, so muss eine Randlösung vorliegen. Vergleiche u(m/p 1,0) und u(0,m/p 2 ), um zu bestimmen, welches dieser beiden Güterbündel den grösseren Nutzen liefert dieses ist die Lösung des Nutzenmaximierungsproblems.

50 50 / Beispiele für Nutzenmaximierung Cobb-Douglas-Nutzenfunktion: u(x 1,x 2 ) = x a 1 x1 a 2 mit 0 < a < 1. Die Gleichungen und p 1 x 1 + p 2 x 2 = m GRS(x1,x 2) = ax 2 (1 a)x1 = p 1 p 2 besitzen die eindeutige Lösung x 1 = am/p 1 > 0, x 2 = (1 a)m/p 2 > 0. Dieses Güterbündel ist also die eindeutige Lösung des Nutzenmaximierungsproblems. Beachte: Der Parameter a stellt den Anteil des Budgets dar, den der Konsument füt Gut 1 ausgibt.

51 51 / Beispiele für Nutzenmaximierung Artige quasilineare Nutzenfunktion u(x 1,x 2 ) = v(x 1 ) + x 2. Gibt es ein Güterbündel x 0, welches die Bedingungen v (x 1) = p 1 /p 2 und x 2 = (m p 1 x 1)/p 2 erfüllt, so ist dieses die einzige Lösung des Nutzenmaximierungsproblems. Gibt es kein solches Güterbündel, so tritt eine Randlösung auf: 1. Gilt v (0) p 1 /p 2, so ist (x 1,x 2 ) = (0,m/p 2) die einzige Lösung des Nutzenmaximierungsproblems. 2. Gilt v (m/p 1 ) p 1 /p 2, so ist (x 1,x 2 ) = (m/p 1,0) die einzige Lösung des Nutzenmaximierungsproblems.

52 2.8 Beispiele für Nutzenmaximierung Abbildung: Optimale Güterbündel für eine artige, quasilineare Präferenzrelation: Für die rote Budgetgerade ist das innere Güterbündel x optimal. Hier gilt v (x 1 ) = p 1/p 2. Für die schwarze und die grüne Budgetgerade resultiert die Randlösung x = (0,m/p 2 ). 52 / 99

53 53 / Die Nachfragefunktion eines Konsumenten Die Nachfragefunktion eines Konsumentens beschreibt, welches Güterbündel x der Konsument in Abhängigkeit von den Güterpreisen p > 0 und seinem Budget m > 0 wählt. Formal ist die Nachfragefunktion eines Konsumenten also eine Funktion f, die jedem (p,m) > 0 das nachgefragte Güterbündel x = f (p,m) zuordnet. Wir schreiben x 1 = f 1 (p 1, p 2,m), x 2 = f 2 (p 1, p 2,m) für die nachgefragte Menge des ersten, bzw. des zweiten Gutes und bezeichnen die entsprechend definierte Funktion als die Nachfragefunktion von Gut i.

54 54 / Die Nachfragefunktion eines Konsumenten Im Folgenden ist zur Vereinfachung unterstellt, dass die betrachteten Nachfragefunktionen differenzierbar sind. die betrachteten Budgetsituationen so sind, dass streng positive Mengen beider Güter nachgefragt werden. Die partiellen Ableitungen der Nachfragefunktion bezeichnen wir mit f i (p,m) p j : Änderung der nachgefragten Menge von Gut i bei Erhöhung des Preises von Gut j. f i (p,m) m : Änderung der nachgefragten Menge von Gut i bei einer Erhöhung des Budgets.

55 55 / Die Nachfragefunktion eines Konsumenten Einkommenselastizität (der Nachfrage) von Gut i: ξ i (p,m) = f i(p,m) m Ausgabenanteil von Gut i: m f i (p,m). θ i (p,m) = p i f i (p,m). m Elastizität der Nachfrage von Gut i bei einer Änderung des Preises von Gut j: ε i j (p,m) = f i(p,m) p j p j f i (p,m). Für i = j ist dieses die Eigenpreiselastizität; für i j die Kreuzpreiselastizität.

56 56 / Die Nachfragefunktion eines Konsumenten Definition (Normale und inferiore Güter) (Die Nachfrage von) Gut i heisst normal, wenn die nachgefragte Menge des Gutes mit steigendem Einkommen zunimmt: ξ i (p,m) > 0. (Die Nachfrage von) Gut i heisst inferior, wenn die nachgefragte Menge des Gutes mit steigendem Einkommen streng abnimmt: ξ i (p,m) < 0 Ob ein Gut normal oder inferior ist, hängt im Allgemeinen von der betrachteten Budgetsituation ab. Gilt ξ i (p,m) = 0 bezeichnet man die Nachfrage von Gut i als einkommensunabhängig.

57 57 / Die Nachfragefunktion eines Konsumenten Ob ein Gut normal, inferior oder einkommensunabhängig ist, hängt davon ab, wie sich die marginale Zahlungsbereitschaft bei Änderung der Menge des anderen Gutes verändert: Hängt die marginale Zahlungsbereitschaft für Gut 1 nicht von der Menge von Gut 2 ab, so ist Gut 1 einkommensunabhängig. Das gilt bei quasilinearen Präferenzen. Steigt die marginale Zahlungsbereitschaft für Gut 1 bei einem Anstieg der Menge von Gut 1, so ist Gut 1 normal. Fällt die marginale Zahlungsbereitschaft für Gut 1 bei einem Anstieg der Menge von Gut 2, so ist Gut 1 inferior. Die folgenden Abbildungen illustrieren diese Zusammenhänge.

58 58 / Die Nachfragefunktion eines Konsumenten Quasilineare Präferenzrelation: Die Nachfrage von Gut 1 ist einkommensunabhängig, da die Steigung der Indifferenzkurven nicht von x 2 abhängt.

59 59 / Die Nachfragefunktion eines Konsumenten Gut 1 ist normal: Bei einem Anstieg von x 2 steigt die marginale Zahlungsbereitschaft. Dies führt dazu, dass die nachgefrage Menge von Gut 1 mit steigendem Einkommen zunimmt.

60 60 / Die Nachfragefunktion eines Konsumenten Gut 1 ist inferior: Bei einem Anstieg von x 2 fällt die marginale Zahlungsbereitschaft. Dieses führt dazu, dass die nachgefragte Menge von Gut 1 mit steigendem Einkommen fällt.

61 61 / Die Nachfragefunktion eines Konsumenten Definition (Gewöhnliche Güter und Giffen-Güter) Gut i heisst gewöhnlich, wenn die nachgefragte Menge des Gutes mit steigendem Preis des betrachteten Gutes abnimmt: ε ii (p,m) 0 Gut i heisst Giffen, wenn die nachgefragte Menge des Gutes mit steigendem Preis des betrachteten Gutes zunimmt: ε ii (p,m) > 0. Auch bei dieser Definition gilt: Ob ein Gut gewöhnlich oder Giffen ist, kann von der betrachteten Budgetsituation abhängen.

62 2.9 Die Nachfragefunktion eines Konsumenten Gut 1 ist gewöhnlich: Bei einem Anstieg des Preis von Gut 1 (Drehung der Budgetgeraden im Uhrzeigersinn) fällt die nachgefragte Menge von Gut / 99

63 63 / Die Nachfragefunktion eines Konsumenten Gut 1 ist Giffen: Bei einem Anstieg des Preis von Gut 1 (Drehung der Budgetgeraden im Uhrzeigersinn) steigt die nachgefragte Menge von Gut 1.

64 64 / Die Nachfragefunktion eines Konsumenten Definition (Substitute und Komplemente) Gut i heisst Substitut für Gut j i, wenn die nachgefragte Menge von Gut i bei einem Anstieg des Preises von Gut j zunimmt: ε i j (p,m) > 0. Gut i heisst Komplement für Gut j, wenn die nachgefragte Menge von Gut i bei einem Anstieg des Preises von Gut j i abnimmt: ε i j (p,m) < 0. In den beiden vorhergehenden Grafiken ist Gut 2 jeweils ein Komplement für Gut 1.

65 65 / Die Nachfragefunktion eines Konsumenten Beispiel: Nachfragefunktion zu der Cobb-Douglas-Nutzenfunktion u(x 1,x 2 ) = x a 1 x1 a 2 ist f 1 (p 1, p 2,m) = a m p 1 und f 2 (p 1, p 2,m) = (1 a) m p 2. Einkommenselastizitäten sind ξ 1 (p,m) = ξ 2 (p,m) = 1: Beide Güter sind normal. Ausgabenanteile sind konstant: θ 1 (p,m) = a bzw. θ 2 (p,m) = (1 a). Eigenpreiselastizitäten sind ε 11 (p,m) = ε 22 (p,m) = 1: Beide Güter sind gewöhnlich. Kreuzpreiselastizitäten sind ε 12 (p,m) = ε 21 (p,m) = 0: Die Güter sind weder Komplemente noch Substitute für einander.

66 66 / Eigenschaften artiger Nachfragefunktionen Fragestellung Welche Eigenschaften muss die Nachfragefunktion eines Konsumenten mit artiger Präferenzrelation besitzen? Definition (Artige Nachfragefunktion) Eine Nachfragefunktion f heisst artig, wenn für alle p > 0 und m > 0 das Güterbündel f (p,m) das eindeutige optimale Güterbündel in der Budgetmenge B(p, m) eines Konsumentens mit artiger Präferenzrelation (bzw. Nutzenfunktion) ist.

67 2.10 Eigenschaften artiger Nachfragefunktionen Satz (Budgetidentität) Eine artige Nachfragefunktion erfüllt die Budgetidentität: Für alle (p,m) > 0 gilt: und damit p 1 f 1 (p,m) + p 2 f 2 (p,m) = m θ 1 (p,m)ξ 1 (p,m) + θ 2 (p,m)ξ 2 (p,m) = 1. Die Budgetidentität folgt daraus, dass das optimale Güterbündel bei einer monotonen Präferenzrelation stets auf der Budgetgeraden liegt. Anwendungsbeispiel: Es ist unmöglich, dass alle Güter inferior sind. 67 / 99

68 2.10 Eigenschaften artiger Nachfragefunktionen Satz (Homogenität vom Grad Null) Eine artige Nachfragefunktion ist homogen vom Grad Null in Preisen und Budget: Für alle (p,m) > 0 gilt f i (t p,tm) = f i (p,m) für alle t > 0 und damit ε i1 (p,m) + ε i2 (p,m) + ξ i (p,m) = 0. Dieser Satz gilt, da die Budgetmenge - und somit auch die Lösung des Konsumentenproblems - unverändert bleibt, wenn alle Preise und das Budget um den gleichen Prozentsatz ändern. Anwendungsbeispiel: Ist Gut 1 gewöhnlich und inferior, so muss es ein Substitut für Gut 2 sein. 68 / 99

69 69 / Eigenschaften artiger Nachfragefunktionen Satz (Negativer Substitutionseffekt) Für eine artige Nachfragefunktion gilt, dass die Substitutionselastizität negativ ist: ε ii(p,m) := ε ii (p,m) + θ i (p,m)ξ i (p,m) 0. Der Ausdruck ε ii (p,m) + θ i (p,m)ξ i (p,m) beschreibt die Änderung der Nachfrage von Gut i wenn der Preis von Gut i steigt und zugleich das Einkommen des Konsumenten so erhöht wird, dass er sich das Güterbündel f (p,m) weiterhin leisten kann. In Reaktion auf eine solche einkommenskompensierte Preiserhöhung von Gut 1 muss die nachgefragte Menge von Gut 1 fallen, da ansonsten ein Widerspruch zu der Annahme resultiert, dass f (p, m) das Nutzenmaximierungsproblem in der Ausgangssituation löst.

70 2.10 Eigenschaften artiger Nachfragefunktionen Das Güterbündel f (p, m) wurde in der Ausgangssituation (rote Budgetgerade) gewählt und wird daher allen Güterbündeln streng vorgezogen, die unterhalb der roten Budgetgeraden liegen. Bei einer einkommenskompensierten Preiserhöhung von Gut 1 (blaue Budgetgerade) muss also ein Güterbündel gewählt werden, welches links oberhalb von f (p, m) auf der blauen Budgetgeraden liegt. 70 / 99

71 71 / Eigenschaften artiger Nachfragefunktionen Konsequenzen des negativen Substitutionseffekt: Normale Güter sind gewöhnlich. Giffen-Güter sind inferior. Im hier betrachteten Zwei-Güterfall gilt zudem: Ist Gut i inferior, so ist es ein Substitut für Gut j. Ist Gut i ein Komplement zu Gut j, so ist Gut i normal.

72 72 / Eigenschaften artiger Nachfragefunktionen Beachte: Die Gleichung ε ii (p,m) = ε ii(p,m) + θ i (p,m)ξ i (p,m) wird oft als ε ii (p,m) = ε ii(p,m) + ( θ i (p,m)ξ i (p,m)) geschrieben und als Gesamteffekt = Substitutionseffekt + Einkommenseffekt interpretiert. Der Substitutionseffekt ist im Lehrbuch anders als hier definiert - im Ergebnis macht dies aber keinen Unterschied.

73 73 / Ausgabenfunktion und kompensierte Nachfrage Analog zu dem Nutzenmaximierungsproblem maxu(x 1,x 2 ) unter der NB p 1 x 1 + p 2 x 2 m x 1,x 2 kann man das Ausgabenminimierungsproblem min p 1 x 1 + p 2 x 2 unter der NB u(x 1,x 2 ) ū x 1,x 2 definieren. Die Lösung des Ausgabenminimierungsproblems x = h(p,ū) bezeichnet man als die kompensierte Nachfragefunktion. Zur besseren Unterscheidung bezeichnen wir die Lösung des Nutzenmaximierungsproblems x = f (p, m) im Folgenden als unkompensierte Nachfragefunktion.

74 74 / Ausgabenfunktion und kompensierte Nachfrage Die Ausgabenfunktion gibt das minimale Budget an, welches es erlaubt, das Nutzenniveau ū bei den Preisen p = (p 1, p 2 ) zu erreichen: E(p,ū) = p 1 h 1 (p,ū) + p 2 h 2 (p,ū). Das entsprechende Gegenstück im Nutzenmaximierungsproblem heisst indirekte Nutzenfunktion: U(p,m) = u( f 1 (p,m), f 2 (p,m)). Für artige Nutzenfunktionen besteht ein enger Zusammenhang zwischen den Lösungen des Nutzenmaximierungs- und des Ausgabenminimierungsproblems - man spricht von einer Dualität.

75 2.11 Ausgabenfunktion und kompensierte Nachfrage Ausgabenminimierung: h(p, ū) ist das billigste Güterbündel, welches es ermöglich, das Nutzenniveau ū zu erreichen. Die erforderlichen Ausgaben E(p, ū) können über die Achsenabschnitte der entsprechenden Budgetgerade bestimmt werden. 75 / 99

76 76 / Ausgabenfunktion und kompensierte Nachfrage E(p,U(p,m)) = m, bzw. U(p,E(p,ū)) = ū: Für gegebene Preise sind Ausgabenfunktion und indirekte Nutzenfunktion invers zueinander. h(p,u(p,m)) = f (p,m) bzw. h(p,ū) = f (p,e(p,ū)): Für gegebene Preise stimmen kompensierte und unkompensierte Nachfrage überein, wenn ū = U(p, m) bzw. m = E(p,ū) gilt. Diese Zusammenhänge implizieren, dass man Ausgabenfunktion und kompensierte Nachfragefunktion aus der Lösung des Nutzenmaximierungsproblems direkt bestimmen kann.

77 77 / Ausgabenfunktion und kompensierte Nachfrage Beispiel: Cobb-Douglas-Nutzenfunktion u(x 1,x 2 ) = x1 ax1 a 2. Nachfragefunktion ist f 1 (p,m) = am/p 1 und f 2 (p,m) = (1 a)m/p 2. Indirekte Nutzenfunktion ist daher: ( ) am a ( ) (1 a)m 1 a ( ) a a ( ) 1 a 1 a U(p,m) = u( f (p,m)) = = m. p 1 p 2 p 1 p 2 Auflösen der Gleichung U(p,m) = ū nach m = E(p,ū) liefert die Ausgabenfunktion: E(p,ū) = ū ( p1 ) ( ) a 1 a p2. a 1 a Einsetzen der Ausgabenfunktion in die unkompensierte Nachfragefunktion liefert die kompensierte Nachfragefunktion: ( a h 1 (p,ū) = ū 1 a ) p 1 a ( 2 1 a, h 2 (p,ū) = ū p 1 a ) p a 1. p 2

78 78 / Ausgabenfunktion und kompensierte Nachfrage Satz (Shepards Lemma) Sie u eine artige Nutzenfunktion. Dann ist die kompensierte Nachfragefunktion von Gut i gleich der partiellen Ableitung der Ausgabenfunktion nach p i : E(p,ū) p i = h i (p,ū). Intuition: Steigt p i um eine Einheit, so ermöglicht es das zusätzliche Einkommen h i (p,ū) gerade weiterhin das Güterbündel h(p,ū) zu konsumieren und somit das Nutzenniveau ū zu erreichen.

79 79 / Ausgabenfunktion und kompensierte Nachfrage Satz (Kompensierte Nachfrage und Substitutionselastizität) Die Eigenpreiselastizität der kompensierten Nachfragefunktion ist gleich der Substitutionselastizität der unkompensierten Nachfragefunktion: h i (p,ū) p i p i h i (p,ū) = ε ii(p,e(p,ū)) Intuition: Die Substitutionselastizität beschreibt die Auswirkung einer kompensierten Preisänderung - die genaue Form der Kompensation (Bisher gewähltes Güterbündel erschwinglich oder bisherigen Nutzenniveau erschwinglich) macht bei der Bestimmung der Ableitungen keinen Unterschied.

80 80 / Kompensierende und äquivalente Variation Fragestellung Der Preis von Gut 1 steigt von p 1 auf p 1, während p 2 und m unverändert bleiben. Wie kann man die Auswirkung auf die Wohlfahrt des Konsumenten quantifizieren? Die Betrachtung der resultierenden Nutzenänderung U(p 1, p 2,m) U(p 1, p 2,m) liefert keine sinnvolle Antwort, da die Grösse dieses Betrages davon abhängt, welche Nutzenfunktion zur Darstellung einer Präferenzrelation verwendet wurde. Immerhin gibt jedoch das Vorzeichen der Differenz U(p 1, p 2,m) U(p 1, p 2,m) Auskunft darüber, ob der Konsument sich verbessert oder verschlechtert.

81 81 / Kompensierende und äquivalente Variation Kompensierende Variation Die kompensierende Variation gibt den Geldbetrag an, den der Konsument nach der Preisänderung zusätzlich zu seinem Budget erhalten muss, um das gleiche Nutzenniveau wie in der Ausgangssituation zu erreichen: CV = E(p 1, p 2,ū)) m mit ū = U(p 1, p 2,m). Da m = E(p 1, p 2,ū) gilt, kann dieses auch als CV = E(p 1, p 2,ū)) E(p 1, p 2,ū) geschrieben werden. Aus Shepards Lemma folgt dann: p 1 CV = h 1 ( p 1, p 2,ū)dtildep 1. p 1

82 82 / Kompensierende und äquivalente Variation Äquivalente Variation Die äquivalente Variation gibt den Geldbetrag an, der von dem Budget des Konsumenten abgezogen werden kann, so dass sein Nutzen um den gleichen Betrag wie durch die Preisänderung fällt: EV = m E(p 1, p 2,u ) mit u = U(p 1, p 2,m) Da m = E(p 1, p 2,u ) gilt, kann dieses auch als EV = E(p 1, p 2,u )) E(p 1, p 2,u ) Aus Shepards Lemma folgt dann: p 1 EV = h 1 ( p 1, p 2,u )dtildep 1. p 1

83 2.12 Kompensierende und äquivalente Variation Kompensierende und äquivalente Variation wenn der Preis von Gut 1 von p 1 (rote durchgezogene Budgetgerade) auf p 1 (blaue, durchgezogene Budgetgerade) steigt. Gut 2 ist hier Numeraire, so dass die vertikalen Achsenabschnitte der verschiedenen Budgetgeraden als Geldbeträge interpretiert 83 / 99

84 84 / Kompensierende und äquivalente Variation Beachte: Kompensierende und äquivalente Variation hängen nur von der zu Grunde liegenden Präferenzrelation, nicht aber von der gewählten Nutzendarstellung, ab. Kompensierende und äquivalente Variation stimmen im allgemeinen (wie in der vorhergehenden Grafik) nicht überein. Eine Ausnahmefall sind die quasilinearen Präferenzrelationen, da hier die Nachfrage von Gut 1 ist für alle relevanten Budgetsituationen einkommensunabhängig, so dass unkompensierte und kompensierte Nachfrage von Gut 1 übereinstimmen: f 1 (p,m) = h 1 (p,ū) = h 1 (p,u ).

85 85 / Kompensierende und äquivalente Variation Satz Sei u eine artige quasilineare Nutzenfunktion. Dann gilt: p 1 CV = EV = f 1 ( p 1, p 2,m)d p 1. p 1 p 1 p 1 f 1 ( p 1, p 2,m)d p 1 ist die Fläche links von der unkompensierten Nachfragefunktion von Gut 1, die zwischen den Preisen p 1 und p 1 liegt. Diese Fläche wird oftmals (so auch im Lehrbuch) als Änderung der Konsumentenrente bezeichnet.

86 2.12 Kompensierende und äquivalente Variation Kompensierende und äquivalente Variation bei quasilinearen Präferenzen als Fläche links von der Nachfragefunktion zwischen den beiden Preisen. Beachte, dass der Preis auf der vertikalen Achse abgetragen ist. 86 / 99

87 2.12 Kompensierende und äquivalente Variation Im Allgemeinen, d.h. auch ohne die Annahme der Quasilinearität, ist der Unterschied zwischen kompensierender und äquivalenter Variation für kleine Preisänderungen gering und beide Wohlfahrtsmasse werden durch die Fläche links von der Nachfragefunktion zwischen den beiden Preisen approximiert: p 1 CV EV f 1 ( p 1, p 2,m)d p 1 p 1 Diese Approximation ist um so besser, je kleiner der durch θ 1 (p,m)ξ 1 (p,m) beschriebene Einkommenseffekt ist. Aus diesem Grund wird die Änderung der Konsumentenrente oft als Wohlfahrtsmass einer Preisänderung betrachtet. 87 / 99

88 88 / Konsumentenrente Betrachte einen Konsumenten mit artiger quasilinearer Nutzenfunktion u(x 1,x 2 ) = v(x 1 ) + x 2 mit v(0) = 0, v (x 1 ) > 0 und v (x 2 ) < 0. Gut 2 ist Numeraire: p 2 = 1. Dies erlaubt es, die Zahlungsbereitschaft v(x 1 ) als Geldbetrag zu interpretieren. Definition (Konsumentenrente) Die Differenz zwischen der Zahlungsbereitschaft v(x 1 ) eines Konsumenten und seinen Ausgaben z für Gut 1 heisst Konsumentenrente: kr = v(x 1 ) z.

89 89 / Konsumentenrente Die Konsumentenrente misst den Handelsgewinn des Konsumenten Ohne Handel von Gut 1 ist der Nutzen des Konsumenten u(0,m) = m. Der Nutzen des Konsumenten aus einem Handel, in dem er x 1 Einheiten von Gut 1 gegen Zahlung des Betrages z erhält, ist u(x 1,m z) = v(x 1 ) + m z. Die Differenz v(x 1 ) + m z m = v(x 1 ) z = kr ist der Handelsgewinn. Frage: Was hat das mit dem Ausdruck p 1 p 1 f 1 ( p 1, p 2,m)d p 1 zu tun?

90 2.13 Konsumentenrente Sei mit d(p 1 ) := f 1 (p 1,1,m) die zum Preis p 1 nachgefragte Menge von Gut 1 bezeichnet. Die durch den Kauf dieser Menge zum Preis p 1 erzielte Konsumentenrente ist kr(p 1 ) = v(d(p 1 )) p 1 d(p 1 ). Satz kr(p 1 ) = p 1 d 1 ( p 1 )d p 1 Insbesondere gilt also p kr(p 1 ) kr(p 1 1) = d( p 1 )d p 1, p 1 so dass die zuvor als Änderung der Konsumentenrente bezeichnete Fläche tatsächlich den Verlust an Konsumentenrente darstellt, der durch einen Anstieg des Preises von p 1 auf p 1 entsteht. 90 / 99

91 91 / Konsumentenrente Die Konsumentenrente bei Preis p 1 ist die Differenz zwischen der Zahlungsbereitschaft v(d(p 1 )) und der Zahlung z = p 1 d(p 1 ) für die nachgefragte Menge des Gutes. Die Zahlungsbereitschaft entspricht der blau umrandeten Fläche; die Zahlung entspricht der grün schraffierten Fläche.

92 92 / Beispiele zur Wohlfahrtsanalyse Durch einen Konsumentenpreisindex wird versucht, die Veränderung der Kaufkraft einer Währung zu messen. Dazu wird in der Schweiz (und vielen anderen Ländern) ein Laspeyres-Preisindex verwendet: Für ein Basisjahr wird ein Warenkorb festgelegt, der den Konsum eines typischen Konsumenten beschreiben soll. In dem Basisjahr und den Folgejahren werden die zum Kauf dieses Warenkorbs erforderlichen Ausgaben festgestellt. Auf dieser Grundlage wird dann errechnet, um wieviel Prozent die zum Kauf des Warenkorbs erforderlichen Ausgaben angestiegen sind.

93 93 / Beispiele zur Wohlfahrtsanalyse Abbildung: Das Siegel der Wirtschaftswissenschaftlichen Fakultät der Universität Basel zeigt Etienne Laspeyres ( ), der von Professor an der Universität Basel war.

94 94 / Beispiele zur Wohlfahrtsanalyse Frage Was kann über die Wohlfahrt eines Konsumenten ausgesagt werden, der im Basisjahr den Warenkorb konsumiert und dessen Einkommen für ein Folgejahr entsprechend des Konsumentenpreisindex angepasst wird? Antwort Der Konsument erzielt im Folgejahr ein höheres Nutzenniveau, es geht ihm also besser.

95 95 / Beispiele zur Wohlfahrtsanalyse Begründung der Antwort: Unterstelle eine artige Nutzenfunktion mit innerer Lösung des Konsumentenproblems. Der Kaufkraftausgleich ermöglicht es dem Konsumenten das im Basisjahr gewählte Güterbündel weiterhin zu konsumieren - er kann sich durch den Inflationsausgleich also nicht verschlechtern. Gibt es eine Änderung der relativen Preise, wird der Konsument im Folgejahr jedoch ein anderes Güterbündel wählen - dieses Güterbündel wird dem im Basisjahr gewählten Güterbündel streng vorgezogen. Schlussfolgerung: Die durch den Kaufpreisindex gemessene Inflationsrate ist systematisch verzerrt: sie überschätzt den tatsächlichen Kaufkraftverlust. Die korrekte Inflationsrate könnte prinzipiell mit der kompensierende Variation bestimmt werden.

96 96 / Beispiele zur Wohlfahrtsanalyse Modellrahmen: Betrachte Gut 2 als Numeraire und setze p 2 = 1. Gehe davon aus, dass der Preis p 1 von Gut 1 in einer Situation ohne Besteuerung dem Wettbewerbspreis entspricht. Unterstelle, dass das Angebot von Gut 1 vollkommen elastisch ist, so dass eine Mengensteuer auf Gut 1 mit Satz t den Preis des Gutes von p 1 auf p 1 +t ändert. Betrachte die Auswirkung der Einführung eine Mengensteuer mit gegebenem Satz t > 0.

97 2.13 Beispiele zur Wohlfahrtsanalyse Auswirkung einer Mengensteuer: Nach Einführung der Mengensteuer mit Satz t wird (x1,x 2 ) nachgefragt; die Steuereinnahmen tx1 entsprechen der Länge der rot markierten Strecke auf der Achse für Gut / 99

98 98 / Beispiele zur Wohlfahrtsanalyse Ist Gut 1 gewöhnlich, so führt die Einführung einer Mengensteuer dazu, dass die nachgefragte Menge von Gut 1 fällt. Fragt der Konsument nach Einführung der Mengensteuer das Güterbündel (x1,x 2 ) nach, so sind die Steuereinnahmen tx1. Nach Einführung der Mengensteuer geht es dem Konsumenten offenkundig schlechter als in der Ausgangssituation: U(p 1 +t,1,m) < U(p 1,1,m). Würde die Mengensteuer durch eine Kopfsteuer ersetzt, die zu den gleichen Steuereinnahmen führt, so würde es dem Konsumenten besser als in der Situation mit Mengensteuer gehen: U(p 1 +t,1,m) < U(p 1,1,m tx 1).

99 99 / Beispiele zur Wohlfahrtsanalyse Vergleich von Mengen- und Kopfsteuer: Führen Mengensteuer und Kopfsteuer zu den gleichen Steuereinnahmen in Höhe von tx 1, so zieht der Konsument die Kopfsteuer vor.