2. Translation und Rotation

2. Translation und Rotation 2.1 Rotation eines Vektors 2.2 Rotierendes ezugssystem 2.3 Kinetik Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-1

2.1 Rotation eines Vektors Gesucht wird die zeitliche Änderung eines Vektors, der nur seine Richtung, nicht aber seine Länge ändert. Zuerst wird der ebene Fall betrachtet. Das Ergebnis wird anschließend auf den Fall einer Rotation im Raum erweitert. Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-2

2.1.1 Ebene Rotation In der xy-ebene kann ein Vektor konstanter Länge, dessen Richtung von der Zeit abhängt, dargestellt werden in der Form c t =c cos t e x sin t e y y e y c(t) Für die zeitliche Ableitung folgt e x φ(t) x ċ t = d c dt t =c t sin t e x t cos t e y =c t sin t e x cos t e y y e y e x φ(t) c(t) φ(t) dc(t)/dt x Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-3

2.1.1 Ebene Rotation Es gilt: c ċ=c 2 cos e x sin e y sin e x cos e y =c 2 cos sin sin cos =0 Die Ableitung des Vektors steht also senkrecht auf dem Vektor selbst. Der Vektor der Winkelgeschwindigkeit wird definiert durch = e z Für das Vektorprodukt folgt c=c e z cos e x sin e y =c cos e z e x sin e z e y =c cos e y sin e x =ċ Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-4

2.1.1 Ebene Rotation Ergebnis: Für die zeitliche Ableitung eines Vektors konstanter Länge gilt ċ= c Dabei ist = e z die Winkelgeschwindigkeit. Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-5

2.1.2 Räumliche Rotation Eine räumliche Rotation wird durch einen beliebig im Raum liegenden Vektor ω beschrieben. Die Richtung des Vektors definiert die Drehachse. Der etrag des Vektors entspricht der Winkelgeschwindigkeit. Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-6

2.1.2 Räumliche Rotation In der Ebene, die durch den Punkt D geht und auf der der Vektor ω senkrecht steht, liegt eine ebene Rotation vor. Also gilt: Wegen gilt aber auch: Also gilt wie im ebenen Fall: ċ= c N c P c P =0 ċ= c C P ċ P =0 D C C N ω dc/dt c=c P c N c N c P Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-7

2.2 Rotierendes ezugssystem Untersucht wird die ewegung eines Punktes P in ezug auf 2 Koordinatensysteme: System Oxyz ist ruhend: Ursprung O Einheitsvektoren e x, e y, e z Koordinaten x, y, z System ξηζ bewegt sich translatorisch und rotatorisch: Ursprung Einheitsvektoren b ξ (t), b η (t), b ζ (t) Koordinaten ξ, η, ζ Die Richtung der Einheitsvektoren hängt jetzt von der Zeit ab. Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-8

2.2 Rotierendes ezugssystem ζ ω P z r P b ζ b e z η b ξ r P η e x O e y y r ξ x Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-9

Ortsvektoren: 2.2 Rotierendes ezugssystem Für den Ortsvektor des Punktes P im System Oxyz gilt r P =r r P Dabei ist r P = b t b t b t der Ortsvektor des Punktes P im System ξηζ. Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-10

2.2 Rotierendes ezugssystem Geschwindigkeiten: Für die Absolutgeschwindigkeit gilt v P =ṙ P =ṙ ṙ P Da sich bei einem rotierenden ezugssystem die Richtungen der Einheitsvektoren b ξ (t), b η (t) und b ζ (t) ändern, gilt jetzt ṙ P = b b b ḃ ḃ ḃ Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-11

2.2 Rotierendes ezugssystem Die Geschwindigkeit v P = d r P dt = b b b ist die Geschwindigkeit, die ein mit dem System ξηζ mitbewegter eobachter misst. Mit ḃ = b, ḃ = b, ḃ = b folgt für den Ausdruck in der zweiten Klammer: ḃ ḃ ḃ = b b b = r P Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-12

2.2 Rotierendes ezugssystem Damit gilt: ṙ P = d dt r P r P Diese Gleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen der zeitlichen Ableitung in ezug auf das bewegte System und der zeitlichen Ableitung in ezug auf das ruhende System. Sie gilt sinngemäß für beliebige Vektoren. Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-13

2.2 Rotierendes ezugssystem Für die Absolutgeschwindigkeit gilt also: Dabei ist die Geschwindigkeit des Punktes, die ein eobachter im System Oxyz misst, v =ṙ die Geschwindigkeit des Punktes P, die ein mitbewegter eobachter im System ξηζ misst, und v P r P v P =v r P v P der Ortsvektor des Punkts P, den ein eobachter im System ξηζ misst. Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-14

2.2 Rotierendes ezugssystem Die Absolutgeschwindigkeit setzt sich zusammen aus der Führungsgeschwindigkeit v f =v r P und der Relativgeschwindigkeit v r = v P Die Führungsgeschwindigkeit v f ist die Geschwindigkeit, die der Punkt P hätte, wenn er im System ξηζ ruhen würde. Die Relativgeschwindigkeit v r ist die Geschwindigkeit, die ein im System ξηζ mitbewegter eobachter misst. Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-15

2.2 Rotierendes ezugssystem eschleunigungen: Die Absolutbeschleunigung ist die zeitliche Ableitung der Absolutgeschwindigkeit: a P = v P = v d dt r P v P v =a ist die eschleunigung des Punktes im System Oxyz. Die eschleunigung v P berechnet sich zu v P = d dt b b b = b b b ḃ ḃ ḃ = d v P dt v P Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-16

2.2 Rotierendes ezugssystem Die eschleunigung a P = d v P dt = b b b ist die eschleunigung, die ein mit dem System ξηζ mitbewegter eobachter misst. Für den zweiten Summanden ergibt sich d dt r P = r P ṙ P = r P d dt = r P v P r P r P r P Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-17

2.2 Rotierendes ezugssystem Ergebnis: Die Absolutbeschleunigung berechnet sich zu a P =a r P r P a P 2 v P Führungsbeschleunigung a f Relativbeschleunigung a r Coriolisbeschleunigung a c Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-18

2.2 Rotierendes ezugssystem Die Führungsbeschleunigung a f ist die eschleunigung, die der Punkt P hätte, wenn er im System ξηζ ruhen würde. Sie setzt sich zusammen aus der linearen eschleunigung a des ezugspunktes, der eschleunigung infolge der Drehbeschleunigung, und der Zentripetalbeschleunigung r P r P Die Relativbeschleunigung a r ist die eschleunigung, die ein im System ξηζ mitbewegter eobachter misst. Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-19

2.2 Rotierendes ezugssystem Die Coriolisbeschleunigung a c steht senkrecht auf ω und v P. Sie verschwindet für ω = 0 oder v P = 0 oder wenn ω und v P parallel sind. Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-20

2.2 Rotierendes ezugssystem Veranschaulichung der Coriolisbeschleunigung: Der Punkt P bewegt sich auf der mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω rotierenden Scheibe mit der konstanten Relativgeschwindigkeit v P nach außen. u v P P r P ω Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-21

2.2 Rotierendes ezugssystem Während der Zeit Δt vergrößert sich der Abstand des Punktes P vom Drehpunkt um r= v P t. Dazu muss sich die Umfangsgeschwindigkeit um u= r= v P t vergrößern. Das entspricht einer eschleunigung von a 1 = v P. Gleichzeitig ändert sich infolge der Drehung die Richtung des Vektors v P. Daraus resultiert eine eschleunigung von a 2 = v P Die gesamte eschleunigung ist also a c =a 1 a 2 =2 v P Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-22

2.2 Rotierendes ezugssystem eispiel: Roboterarm L 1 v L ω 2 C L 2 H ω 1 φ 2 D O Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-23

Gegeben: 2.2 Rotierendes ezugssystem Der Roboter dreht sich um die Achse O mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit ω 1. Der Arm C wird mit einer konstanten Geschwindigkeit v L ausgefahren. Der Arm CD wird mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit ω 2 geschwenkt. Gesucht: Geschwindigkeiten und eschleunigungen des Punktes D Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-24

2.2 Rotierendes ezugssystem Koordinatensysteme: ζ ζ C b ζ C b ζ ξ C b ξ ξ b ξ z φ 2 D e z O x e x Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-25

2.2 Rotierendes ezugssystem Koordinatensystem Oxyz ist ruhend: Ursprung O Einheitsvektoren e x, e y, e z Koordinaten x, y, z Koordinatensystem ξ η ζ rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit ω 1 um die Achse O: Ursprung Einheitsvektoren b ξ, b η, b ζ Koordinaten ξ, η, ζ Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-26

2.2 Rotierendes ezugssystem Koordinatensystem Cξ C η C ζ C bewegt sich mit der Geschwindigkeit v L relativ zum Koordinatensystem ξ η ζ : Ursprung C Einheitsvektoren b ξ, b η, b ζ Koordinaten ξ C, η C, ζ C Alle Ergebnisse werden im Koordinatensystem ξ η ζ angegeben. Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-27

2.2 Rotierendes Koordinatensystem Punkt C: Ortsvektor im Koordinatenystem ξ η ζ : r C =L 1 t b Relativgeschwindigkeit bezüglich ezugssystem ξ η ζ : v C =v L b mit v L = L 1 Absolutgeschwindigkeit: v C =v 1 r C v C Mit v =0 und 1 = 1 b folgt: v C = 1 L 1 t b b v L b =v L b 1 L 1 t b Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-28

2.2 Rotierendes ezugssystem Absolutbeschleunigung: Mit a =0, 1 =0 und a C =0 folgt: Punkt D: a C =a 1 r C 1 1 r C a C 2 1 v C a C = 1 2 L 1 t b b b 2 1 v L b b = 1 2 L 1 t b b 2 1 v L b = 1 2 L 1 t b 2 1 v L b Ortsvektor im Koordinatensystem Cξ c η c ζ c : ζ C b ζ r CD =L 2 sin 2 b cos 2 b =L 2 sin 2 t b cos 2 t b C φ 2 b ξ r CD ξ C D Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-29

2.2 Rotierendes ezugssystem Relativgeschwindigkeit bezüglich ezugssystem Cξ c η c ζ c : Mit C v D = 2 r CD 2 = 2 b C v D folgt: Absolutgeschwindigkeit: (Rotation um Punkt C) = 2 L 2 b sin 2 t b cos 2 t b = 2 L 2 sin 2 t b cos 2 t b C v D =v C 1 r CD v D =v L b 1 L 1 t b 1 L 2 b sin 2 t b cos 2 t b 2 L 2 cos 2 t b sin 2 t b = v L 2 L 2 cos 2 t b 1 L 1 t L 2 sin 2 t b 2 L 2 sin 2 t b Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-30

2.2 Rotierendes ezugssystem Relativbeschleunigung bezüglich ezugssystem Cξ c η c ζ c (Zentripetalbeschleunigung der Rotation von Punkt D um Punkt C): C a D C = 2 v D = 2 2 L 2 b cos 2 t b sin 2 t b = 2 2 L 2 sin 2 t b cos 2 t b Absolutbeschleunigung: C C a D =a C 1 1 r CD a D 2 1 v D = 1 2 L 1 t b 2 1 v L b 1 2 L 2 b [ b sin 2 t b cos 2 t b ] 2 2 L 2 sin 2 t b cos 2 t b 2 1 2 L 2 b cos 2 t b sin 2 t b Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-31

2.2 Rotierendes ezugssystem a D = 1 L 1 t b 2 1 v L b 2 1 L 2 b sin 2 t b 2 2 L 2 sin 2 t b cos 2 t b 2 1 2 L 2 cos 2 t b = [ 2 1 L 1 t 2 1 22 L 2 sin 2 t ] b 2 1 v L 2 L 2 cos 2 t b 2 2 L 2 cos 2 t b Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-32

2.2 Rotierendes ezugssystem Ergebnis: v D = v L 2 L 2 cos 2 t b 1 L 1 t L 2 sin 2 t b 2 L 2 sin 2 t b a D = [ 1 2 L 1 t 1 2 22 L 2 sin 2 t ] b 2 1 v L 2 L 2 cos 2 t b 2 2 L 2 cos 2 t b Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-33

2.3 Kinetik Im ruhenden ezugssystem lautet das Newtonsche Grundgesetz für den Massenpunkt P: m a P =m a f a r a c =F Auflösen nach der Relativbeschleunigung a r liefert die ewegungsgleichung für das bewegte System: Mit der Führungskraft F f = m a f und der Corioliskraft F c = m a c folgt: ma r =F F f F c m a r =F m a f m a c Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-34

2.3 Kinetik Im bewegten System müssen neben den tatsächlichen Kräften F die Führungskraft F f und die Corioliskraft F c als Scheinkräfte berücksichtigt werden. Wenn das bewegte System eine reine Translation mit konstanter Geschwindigkeit ausführt (gleichförmige ewegung), ist die Führungskraft und die Corioliskraft gleich Null. Ruhende oder gleichförmig bewegte Systeme werden als Inertialsysteme bezeichnet. In Inertialsystemen treten keine Scheinkräfte auf: m a r =F Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-35

2.3 Kinetik eispiel: Die Erde (Radius R = 6371km) ist ein rotierendes ezugssystem. Wie groß ist die Führungskraft und die Corioliskraft, verglichen mit der Gewichtskraft G, für einen Körper, der sich mit einer Geschwindigkeit von 100km/h auf einem Großkreis nach Norden bewegt? Die ewegung der Erde um die Sonne kann dabei vernachlässigt werden. Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-36

2.3 Kinetik ζ v ζ v φ F c ξ ω φ F f φ r η η Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-37

2.3 Kinetik Die Winkelgeschwindigkeit beträgt = 2 24 3600 s =7,27 10 5 s 1 Vektoren im erdfesten System ξηζ : Winkelgeschwindigkeit: Ortsvektor: Geschwindigkeitsvektor: Die Führungsbeschleunigung a f ist gleich der Zentripetalbeschleunigung: = b r=r cos b sin b v=v sin b cos b a f = r = 2 R b [ b cos b sin b ] = 2 R b cos b = 2 R cos b Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-38

2.3 Kinetik Für die Coriolisbeschleunigung gilt: a c =2 v=2 b v sin b cos b =2 v sin b Für die Führungskraft folgt: F f = ma f =m 2 R cos b = 2 R g cos G b Zahlenwert: F f =3,435 10 3 G cos Die Führungskraft hat ihr Maximum am Äquator. Sie steht senkrecht auf der Drehachse der Erde und ist von der Erdachse weg gerichtet. Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-39

2.3 Kinetik Für die Corioliskraft folgt: F c = m a c = 2m v sin b = 2 v g sin G b Zahlenwert: F c =4,117 10 4 G sin Die Corioliskraft hat ihr Maximum am Pol (φ = 90 ). Sie zeigt auf der nördlichen Halbkugel nach rechts und auf der südlichen Halbkugel nach links. Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-40

2.3 Kinetik Für kurzzeitige und kleinräumige Vorgänge ist die Erde in guter Näherung ein Inertialsystem. ei Vorgängen, die über lange Zeiten oder große Entfernungen ablaufen, spielt die Corioliskraft eine große Rolle. eispiele: Luftströmungen Meeresströmungen Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-41

2.3 Kinetik F p v F c Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-42

2.3 Kinetik Der Wind weht parallel zu den Isobaren. Die Druckkraft ist im Gleichgewicht mit der Corioliskraft. Daher strömt die Luft auf der Nordhalbkugel im Gegenuhrzeigersinn um ein Tief und im Uhrzeigersinn um ein Hoch. Auf der Nordhalbkugel drehen Hurrikane im Gegenuhrzeigersinn und auf der Südhalbkugel im Uhrzeigersinn. Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-43

2.3 Kinetik Hurrikan Wilma, Oktober 2005 Prof. Dr. Wandinger 2. Relativbewegungen Dynamik 2 2.2-44