XIII. Nichtparametrische Tests Seite 1 Parametrische und nichtparametrische Tests Parametrische Tests: Hier wird eine bestimmte Verteilung vorausgesetzt, und getestet, ob die gewählten Parameter passen. Beispiel N(µ; σ): Normalverteilung vorausgesetzt, Test, ob µ, σ passen Aussagen über Parameter Nichtparametrische Tests: Hier wird getestet, ob eine bestimmte Verteilung vorliegt. Beispiel N(µ; σ): Test, ob dies im Ganzen passt Aussagen über Verteilung Beachte: Nichtparametrisch heißt nicht, ohne Verwendung von Parametern.
XIII. Nichtparametrische Tests Seite 2 χ 2 -Anpassungstest zur Normalverteilung Gegeben sind Daten x 1,..., x n. Frage: Passen diese Daten zu N(µ; σ)-verteilten Zufallsvariable x? Teile den Wertebereich von x in r Klassen: E 1,..., E r Bestimme die zugehörigen Wahrsch.keiten: Kontrolliere: p i = 1 p i := P(x E i ) Überprüfe Bedingung: n p i 1 für i = 1 und i = n n p i 5 für alle anderen Bestimme abs. Häufigkeiten in den Klassen: zu f = (r 1) 2 und α. ( ) Berechne Prüfgröße χ 2 (H i n p i ) 2 Hi 2 = n n p i n p i keine Abweichung festzustellen wahrscheinlich keine N(µ; σ)-verteilung H i
XIII. Nichtparametrische Tests Seite 3 χ 2 -Anpassungstest zu P(λ) oder B(n; p) Gegeben sind Daten x 1,..., x n. Frage: Passen die Daten zu P(λ)- bzw. B(n; p)-verteilten Zuf.var. x? Teile den Wertebereich von x in r Klassen: E 1,..., E r Bestimme die zugehörigen Wahrsch.keiten: Kontrolliere: p i = 1 p i := P(x E i ) Überprüfe Bedingung: n p i 1 für i = 1 und i = n n p i 5 für alle anderen Bestimme abs. Häufigkeiten in den Klassen: zu f = (r 1) 1 und α. ( ) Berechne Prüfgröße χ 2 (H i n p i ) 2 Hi 2 = n n p i n p i keine Abweichung festzustellen wahrscheinlich nicht die vermutete Verteilung H i
XIII. Nichtparametrische Tests Seite 4 χ 2 -Anpassungstest zu Wahrscheinlichkeiten Gegeben sind Daten x 1,..., x n. Frage: Passen diese Daten zu vermuteten Wahrscheinlichkeiten? Teile den Wertebereich von x in r Klassen: E 1,..., E r Bestimme die zugehörigen Wahrsch.keiten: Kontrolliere: p i = 1 p i := P(x E i ) Überprüfe Bedingung: n p i 1 für i = 1 und i = n n p i 5 für alle anderen Bestimme abs. Häufigkeiten in den Klassen: zu f = (r 1) 0 und α. ( ) Berechne Prüfgröße χ 2 (H i n p i ) 2 Hi 2 = n n p i n p i keine Abweichung festzustellen wahrscheinlich stimmt die Vermutung nicht H i
XIII. Nichtparametrische Tests Seite 5 Unabhängigkeit Begriff: Zwei Zufallsvariablen heißen unabhängig, falls P(a x b c y d) = P(a x b) P(c y d) Beispiele: würfeln mit 2 Würfeln x und y: P(x =6 y =6) = P(x =6) P(y =6) = 1 36 Augenfarbe x und Körpergröße y Gegenbeispiele: Geschlecht x und Körpergröße y Dosis eines blutdrucksenkenden Medikaments x und Blutdruck y des Patienten eine Stunde nach Einnahme: (x 1 y 1 ),..., (x n y n )
XIII. Nichtparametrische Tests Seite 6 χ 2 -Unabhängigkeitstest Frage: Gegeben sind Daten (x 1 y 1 ),..., (x n y n ). Sind die Zufallsvariablen x und y unabhängig? Teile die Wertebereiche in Klassen ein: E 1,..., E r für x und E 1,..., E s für y Erstelle Kontingenztafel mit abs. Häufigkeiten H ij Überprüfe Bedingung: H ij 5 für alle i, j sonst: Zeilen/Spalten zus.fassen oder mehr Messungen zu f = (r 1) (s 1) und α. s Berechne Prüfgröße χ 2 (H ij 1 n Z i S j ) 2 1 j=1 n Z i S j Unabhängigkeit nicht zu widerlegen wahrscheinlich nicht unabhängig s. Tafel
XIII. Nichtparametrische Tests Seite 7 χ 2 -Unabhängigkeitstest für 2 2 Können die Zufallsvariablen x und y beide nur zwei Ausprägungen annehmen, so erhält man solche Kontingenztafel: E 1 E 2 E 1 H 11 H 12 Z 1 E 2 H 21 H 22 Z 2 S1 S 2 n Außerdem lässt sich die Prüfgröße χ 2 einfacher berechnen: χ 2 = n (H 11 H 22 H 12 H 21 ) 2 Z 1 Z 2 S 1 S 2