Systemwissenschaften, Mathematik und Statistik

Systemwissenschaften, Mathematik und Statistik

Systemwissenschaften: 1 WS: Systemwissenschaften 1, VO 2std 2 SS: Systemwissenschaften 2, VO 2std Übung zu Systemwissenschaften, UE 2std 3 WS: Systemwissenschaften 3, VU 2std 4 SS: Angewandte Systemwissenschaften, VO 2std

Inhalte: Systemwissenschaftliche Basiskonzepte Systemanalyse Wirkungsdiagramme, Feed-back loops Grundkonzepte der Modellierung Stakeholderanalyse Stoffflussanalyse Mathematische Beschreibung von Systemen Numerische Simulation (Vensim) Datenerhebung, Datenunsicherheiten Grenzen der Modellierung Anwendung in Fachschwerpunkt

Mathematik und Statistik: 1 WS: Integral- und Differentialrechnung für USW, VU, 4std 2 SS: Vektorrechnung für USW, VU, 3std. 3 WS: Statistik für USW, VO, 2std 3 WS: Proseminar zu Statistik für USW, PS, 1 std

Inhalte (Mathematik): Reelle Zahlen und Ungleichungen, komplexe Zahlen Elementare Funktionen und ihre Umkehrfunktionen Grenzwert und Stetigkeit, Folgen Differentialrechnung (in mehreren Veränderlichen) Integralrechnung in einer Veränderlichen Lineare Gleichungssysteme und Vektoren Lineare Abbildungen und Matrizen Koordinatentransformationen inneres Produkt Determinanten, Eigenwerte und Anwendungen

Inhalte (Statistik): Ein- und zweidimensionale Daten, Kennzahlen graphische Darstellung Wahrscheinlichkeitsrechnung, Zufallsgrößen und Verteilungen Schätzfunktionen statistische Tests (Ein- und Zweistichprobenprobleme) Chi-quadrat Test

SW1: SW2: Einfuehrung, Geschichte, Konzepte Wirkungsdiagramm Regression, empirische Modelle statische und dynamische Mengenbilanzen (mm) System Dynamics (Vensim) Szenarien Modelle mit Differentialgleichungen Daten, Wahrscheinlichkeit, Sensitivitaet

Vermittlung eines Eindrucks von Integral- und Differentialrechnung fuer USW SW2: Kinetik chemischer Reaktionen Mathematisches Modell Anpassung an Daten Bakk- oder Masterarbeit: konkretes Beispiel

2. EXPONENTIALFUNKTION, LOGARITHMUSFUNKTION 47 Beispiel 2.1. Die Biomasse einer Bakterienkultur verdoppele sich alle 3 Stunden. Anfänglich sind 3 g vorhanden. Wie entwickelt sich die Biomasse im Laufe der Zeit? (Zeiteinheit Stunden) Lösung. Es bezeichne B(t) die Biomasse zur Zeit t (in Stunden). Zu Beginn des Experimentes (t = 0) war B(0) = B 0 g Biomasse vorhanden. Da sich die Biomasse alle 3 Stunden verdoppelt, gilt B(t + 3) = 2B(t). Unter der Annahme einer bestandsproportionalen Zuwachsrate folgt mit t = 1 B(t + 1) B(t) = λb(t), also B(t + 1) = rb(t) mit r = λ + 1. Für die unbekannte Konstante r ergibt sich aus die Beziehung Es folgt B(t + 3) = rb(t + 2) = r 2 B(t + 1) = r 3 B(t)! = 2B(t) r 3 = 2, d.h. r = 3 2. B(1) = rb 0, B(2) = rb(1) = r 2 B 0, B(3) = rb(2) = r 3 B 0, etc. Man erkennt das Bildungsgesetz für die Dynamik der Biomasse B(t) = B 0 r t = B 0 2 t 3. Beispiel 2.2. Wir betrachten nun die Entwicklung einer Bakterienkultur unter der Annahme P (t + t) P (t) λp (t) t. (vgl Beispiel 0.4). Dieser Ansatz ist nur für kurze Zeitintervalle t sinnvoll, da sich während dieser Zeitspanne die Populationsgröße ändert. Für hinreichend kurze Zeitintervalle kann man allerdings davon ausgehen, daß nur die zur Zeit t vorhandenen Bakterien sich vermehren können. Die Populationsgröße zur Zeit t = 0 sei P (0) = P 0, gesucht ist P (t) für t > 0. Lösung. Um P (t) zu berechnen, unterteilt man das Intervall [0, t] in n gleich lange Teilintervalle der Länge t = t n und setzt t i = i nt, i = 0,..., n. Es folgt P (t n ) P (t n 1 ) + λ tp (t n 1 ) = (1 + λ t n )P (t n 1) (1 + λ t n )(P (t n 2) + λ tp (t n 2 )) = (1 + λ t n )2 P (t n 2 ) = (1 + λ t n )n P (t 0 ). Es liegt nahe zu vermuten, daß eine Verfeinerung der Unterteilung des Zeitintervalles [0, t] zu einer besseren Approximation von P (t) führt und im Idealfall P (t) = lim n (1 + λ t n )n P 0

48 4. ELEMENTARE FUNKTIONEN gilt. Dieser Grenzwert existiert, denn man kann (mit einigem Aufwand) zeigen lim (1 + x n n )n = e x, x R, wobei e = 2, 71828... die Euler sche Zahl bezeichnet. Man erhält somit für die Populationsgröße P (t) = P 0 e λt. Die beiden Beispiele führten uns zwanglos auf einen neuen Typ von Funktionen, bei dem die unabhängige Variable im Exponenten steht: Definition 2.1 (Exponentialfunktion). Die Exponentialfunktion ist definiert durch { R R exp = x lim n (1 + x n )n. Anstelle exp(x) schreibt man auch e x. Man kann zeigen, daß exp(x) tatsächlich mit der reellen Potenz e x übereinstimmt. Dies wurde in der Bezeichnung bereits vorweggenommen. Es gelten somit die Rechenregeln aus Satz 1.4. Manchmal ist es zweckmäßig nicht nur die Eulersche Zahl als Basis für die Exponentialfunktion zur Verfügung zu haben: Satz 2.1 (Satz und Definition). Die Exponentialfunktion zur Basis a > 0, a 1 { R R exp a := x a x hat folgende Eigenschaften: (1) exp a ist stetig. (2) exp a ist eine Bijektion von R auf (0, ). (3) exp a ist streng monoton wachsend für a > 1 und streng monoton fallend für a < 1. (4) Für alle x R gilt exp a (x) > 0, exp a (0) = 1. (5) lim x exp a (x) = und lim x exp a (x) = 0 für a > 1 Abbildung 4.7 illustriert das qualitative Verhalten von exp a für a = 2 und a = 1 2. Satz 2.2. (1) Für positive λ wächst die Exponentialfunktion e λt rascher als jede Potenzfunktion, insbesonders gilt lim t t a = 0, für alle a > 0 eλt (2) Für negative λ konvergiert die Exponentialfunktion e λt rascher gegen Null als jede Potenzfunktion anwächst, insbesonders gilt lim t ta e λt = 0, für alle a > 0 Da jede Exponentialfunktion R bijektiv auf (0, ) abbildet, existiert die Umkehrfunktion: Definition 2.2 (Logarithmusfunktion). (1) Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion exp a : R (0, ), a > 0, a 1 definiert die Logarithmusfunktion zur Basis a log a : (0, ) R (2) Somit gilt: x = log a (y) y = exp a (x) = a x (3) log a (y) heißt Logarithmus von y zur Basis a.

Tabelle 3.2: Stickoxidbildung durch Zerfall einer Donorsubstanz Modellgrößen Größe Einheit Benennung Kommentar t s Zeit c D (t) mol/l Konzentration Donor gesucht c NO (t) mol/l Konzentration NO gesucht c 0 5.6 10 6 mol/l Anfangskonzentration Donor bekannt o 2 2 10 4 mol/l Konzentration O 2 bekannt k 1 3 10 3 1/s Reaktionskonstante Donorzerfall bekannt k 2 8 10 6 l 2 /(mol 2 s) Reaktionskonstante NO-Abbau bekannt dynamische Mengenbilanzen d dt c D(t) = k 1 c D (t), d dt c NO(t) = k 1 c D (t) k 2 o 2 c NO (t) 2. Anfangsbedingungen c D (0) = c 0, c NO (0) = 0. x10-5 1 Abbildung 3.3: Simulation des NO-Experiments k1=3.0000e-003, k2=8.0000e+006 0.9 0.8 0.7 Donor: --,; NO: -,o 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 o o o o o o o o o o o o 0o 0 200 400 600 800 1000 1200 Simulation: Donor strichliert, NO durchgezogen. gegebene Daten: Donor Sternchen, NO Kreise. t 30