1 Natürliche Zahlen und vollständige Indution Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwer. (L. Kronecer) Wir setzen das System N der natürlichen Zahlen 1; ; 3;::: als beannt voraus. Zu seinen Struturmermalen gehört das Prinzip der vollständigen Indution. Im Kern besagt dieses, daß man die Folge aller natürlichen Zahlen ohne Wiederehr durchläuft, wenn man beginnend bei 1 stets von einer natürlichen Zahl zur nächsten weiterschreitet. 1.1 Vollständige Indution Zu jeder natürlichen Zahl n sei eine Aussage A(n) gegeben. Eine Strategie zu deren Beweis ist das Beweisprinzip der vollständigen Indution: Alle Aussagen A(n) sind richtig, wenn man (I) und (II) beweisen ann: (I) (II) A(1) ist richtig (Indutionsanfang). Für jedes n, für welches A(n) richtig ist, ist auch A(n +1) richtig (Indutionsschluß). Beispiel 1: Für jede natürliche Zahl n gilt: A(n):1++3+:::+ n 1 n(n +1): (I) (II) Für n 1stimmt diese Formel offensichtlich. Schluß von A(n) auf A(n +1): Unter der Voraussetzung, daß die Formel A(n) gilt, gilt auch die Formel A(n +1); mittels A(n) folgt nämlich 1++3+:::+n+(n+1) 1 n(n+1)+(n+1) 1 (n+1)(n+): Die Summenformel A(n) läßt sich auch eleganter beweisen. So löste Gauß (1777 1855)als Kind die Aufgabe, alle Zahlen von 1 bis 100 zu addieren, durch Bildung der 50 gleichen Summen 1+100; +99; 3+98;:::; 50+51.
1 Natürliche Zahlen und vollständige Indution Beispiel : Für jede Zahl x 6 1gilt die geometrische Summenformel 1+x + x + :::+ x n 1 xn+1 1 x : (I) Für n 1stimmt dieseformel offensichtlich. (II) Schluß von n auf n +1: 1+x + x + :::+ x n + x n+1 1 xn+1 1 x + x n+1 1 xn+ 1 x : Manchmal ist zu jeder ganzen Zahl n n 1 eine Aussage A(n) gegeben. Vollständige Indution ann sinngemäß auch in dieser Situation angewendet werden. Als Indutionsanfang hat man A(n 1 ) zu beweisen und der Indutionsschluß A(n)! A(n +1)ist für die n n 1 zu erbringen. Ebenso wichtig wie der Beweis durchvollständige Indution ist die Konstrution durch vollständige Indution, auch reursive Definition genannt. Es soll jeder natürlichen Zahl n ein Element f(n) einer Menge X zugeordnet werden durch (I) (II) die Angabe von f(1) und eine Vorschrift F, die für jedes n N das Element f(n +1)aus den Elementen f(1);:::;f(n) zu berechnen gestattet: f(n +1)F f(1);:::;f(n) : Beispielsweise erlärt man die Potenzen einer Zahl x durch (I) x 1 : x und (II) die Reursionsformel x n+1 : x n x für jedes n N. Daß ein solches Verfahren sinnvoll ist, besagt der sog. Reursionssatz. Für den Reursionssatz wie überhaupt für die Begründung der natürlichen Zahlen mittels der Peanoschen Axiome verweisen wir den Leser auf den Band Zahlen der Reihe Grundwissen bei Springer [4]. 1. Faultät und Binomialoeffizienten Für jede natürliche Zahl n definiert man n!, sprich n-faultät, durch n! :1 3 n: Für n! gibt es eine ähnlich einfache Formel wie für 1 + +::: + n. Man sieht leicht, daß n! mit n ungeheuer rasch anwächst; zum Beispiel ist 10! 3 68 800 und 1000! > 4 10 568 (siehe die Stirlingsche Formel in Kapitel 11.10).
1. Faultät und Binomialoeffizienten 3 Die Faultät spielt eine große Rolle in der Kombinatori. Es gilt: Satz 1: Die Anzahl aller Anordnungen n verschiedener Elemente ist n!. Beweis: Wir bezeichnen die Elemente mit 1; ;:::; n.für 1; gibt es die zwei Anordnungen 1 und 1,für1; ; 3 die sechs Anordnungen 13; 13; 31; 13; 31; 31: Für n und n 3ist die Behauptung damit bewiesen. Schluß von n auf n +1: Die Klasse derjenigen Anordnungen der Elemente 1;:::;n+1,diedasElement auf Platz eins haben bei beliebiger Anordnung der übrigen n Elemente, enthält nach Indutionsannahme n! Anordnungen. Es gibt n +1derartige Klassen. Die Anzahl aller Anordnungen der Elemente 1;:::;n + 1 ist also (n + 1)n! (n + 1)!. Unter einer Permutation einer Menge M versteht man eine eineindeutige Abbildung der Menge auf sich. Ist M f1;:::;ng, so bewirt jede Permutation P eine Anordnung der Zahlen 1;:::;n, nämlich P (1);:::;P(n); umgeehrt wird jede Anordnung 1 ;:::; n dieser Zahlen durch eine Permutation von M bewirt. Eine mit Satz 1 gleichwertige Aussage ist also Satz 1 0 : Die Anzahl der Permutationen n verschiedener Elemente ist n!. Es ist zwecmäßig, die Definition der Faultät auf 0auszudehnen. Dazu fordert man, daß die Reursionsformel (F) (n +1)!(n +1) n! auch fürn 0weiter gelte: 1! 1 0!. Daher definiert man 0! : 1: In Kapitel 17 wird die Faultät unter sinngemäßer Beibehaltung der Formel (F) sogar auf alle reellen Zahlen 6 1; ; 3;::: ausgedehnt. Binomialoeffizienten Satz und Definition: Die Anzahl der -elementigen Teilmengen einer nicht leeren Menge mit n Elementen istimfall 0 <» n n(n 1) (n +1) (1) und im Fall 0! 1: 0 : :
4 1 Natürliche Zahlen und vollständige Indution Beweis: Es sei zunächst 6 0. Zur Bildung -elementiger Teilmengen stehen für ein erstes Element einer Teilmenge alle n Elemente der gegebenen Menge zur Auswahl; für ein zweites Element bleiben dann noch n 1 Elemente zur Auswahl usw. Insgesamt hat man n(n 1) (n +1) Möglicheiten, -elementige Teilmengen herzustellen. Dabei ergeben solche Möglicheiten dieselbe -elementige Teilmenge, die sich nur in der Reihenfolge der ausgewählten Elemente unterscheiden. Nach Satz 1 ist also die vorhin errechnete Anzahl durch! zu dividieren. Für die gesuchte Anzahl erhält man damit obigen Ausdruc. Der Fall 0: Die leere Menge ist die einzige 0-elementige Teilmenge. Die gesuchte Zahl ist also 1. Beispiel: 6 aus 49. Eine Menge mit 49 Elementen enthält 49 49 48 47 46 45 44 13 983 816 6 1 3 4 5 6 6-elementige Teilmengen. Die Wahrscheinlicheit, beim Lotto 6 aus 49 die richtigen sechs Zahlen zu erraten, ist also ungefähr 1:14Millionen. Die Zahlen heißen wegen ihres Auftretens in der Binomialentwiclung Binomialoeffizienten. Satz 3 (Binomialentwiclung): Für jeden Exponenten n N gilt (1 + x) n 1+ 1 n n x + x + :::+ x n n 1 + x n : 1 Beweis: Es gibt Möglicheiten, Klammern aus den n Klammern (1 + x) der linen Seite auszuwählen und daraus dann x als Fator zu nehmen. Beim Ausmultiplizieren des lins stehenden Produtes entsteht also nach Satz -mal die Potenz x. Die Binomialoeffizienten besitzen nach (1) auch die Darstellung n n! n!(n )! n : Ferner gilt die Reursionsformel: n +1 n n + : +1 +1
1.3 Aufgaben 5 Für 0ist diese Formel offensichtlich richtig; für > 0 gilt: n n n(n 1) (n +1) n(n 1) (n ) + + +1!!( +1) n(n 1) (n + 1)( +1+n ) ( + 1)! (n +1)n (n +1 ) ( + 1)! n +1 : +1 Mit Hilfe der Reursionsformel und der Randwerte 1önnen 0 alle Binomialoeffizienten suzessive berechnet werden. Besonders übersichtlich gestaltet sich die Rechnung im Pascalschen Dreiec: n 0 1 n 1 1 1 n 1 1 n 3 1 3 3 1 n 4 1 4 6 4 1 n 5 1 5 10 10 5 1 n 6 1 6 15 0 15 6 1 n 7 1 7 1 35 35 1 7 1.................... n Die Ränder des Pascalschen Dreiecs bestehen aus lauter Einsen, und jede weitere Zahl ist die Summe der beiden schräg darüber stehenden. Historisches. Das nach Blaise Pascal (163 166)benannte Dreiec findet sich bereits 157 in einem Lehrbuch der Arithmeti. Pascal (Philosoph und Mathematier, eine der großen Gestalten des 17. Jahrhunderts, Verfasser der Pensées) hat Beziehungen dieses triangle arithmétique zur Kombinatori und Wahrscheinlicheitstheorie hergestellt. 1.3 Aufgaben 1. Man beweise: a) 1 + + :::+ n 1 n(n +1)(n +1); 6 b) 1 3 + 3 + :::+ n 3 1 n(n +1) ; c) (1 + x)(1 + x )(1 + x 4 ) (1 + x n ) 1 n+1 x (x 6 1). 1 x
6 1 Natürliche Zahlen und vollständige Indution. Für die Potenzsummen S p n : 1p + p +3 p + :::+ n p beweise man die von Pascal stammende Identität (p +1)Sn p p +1 p +1 + S p 1 n + S p 3 n + :::+ Sn 0 (n +1)p+1 1: Man berechne damit S 4 n; siehe auch 14.3 (17). 3. Man beweise und deute im Pascalschen Dreiec 0 + 1 + + :::+ n n : 4. Eine Menge mit n Elementen besitzt genau n Teilmengen. 5. Grundaufgabe der lassischen Statisti: Auf n Zellen sollen unterscheidbare Teilchen so verteilt werden, daß in der Zelle i genau i Teilchen liegen, 1 + + ::: + n. Eine Anordnung innerhalb jeder Zelle werde nicht berücsichtigt.! Man zeige: Es gibt genau verschiedene Verteilungen. 1!! n! 6. Grundaufgabe der Fermi-Statisti: Auf n Zellen sollen nicht unterscheidbare Teilchen so verteilt werden, daß jede Zelle höchstens ein Teilchen enthält. Man zeige: Es gibt genau verschiedene Verteilungen. 7. Grundaufgabe der Bose-Einstein-Statisti: Auf n Zellen sollen nicht unterscheidbare Teilchen verteilt werden, wobei jede Zelle beliebig viele Teilchen aufnehmen ann. + 1 Man zeige: Es gibt genau verschiedene Verteilungen. Hinweis: Bezeichnet man die Teilchen mit ffl und die Trennwände mit j, so entspricht jeder Verteilung ein Muster fflj ffl ffljj ::: ffljffl; zum Beispiel im Fall n 6, 7 der Verteilung jfflffljfflfflj j jfflfflfflj jdas Muster fflffljfflffljjjfflfflfflj. 8. Das Schubfachprinzip: Für n N sei N n : f1;:::;ng. Man zeige, daß es für jede Abbildung f : N n! N m mit n>mzwei verschiedene Zahlen n 1 ;n N n gibt so, daß f(n 1 )f(n ). 9. Es sei a 1 ;:::;a n irgendeine Anordnung der Zahlen 1; ;:::;nund n sei ungerade. Mit Hilfe des Schubfachprinzips zeige man, daß das Produt (a 1 1)(a ) (a n n) gerade ist.
http://www.springer.com/978-3-540-40371-5