Rationale Funktionen ANALYSIS Kapitel 6 WRProfil - Mittelstufe KZN Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 15. August 2016
Überblick über die bisherigen ANALYSIS - Themen: 1 Funktionen (Grundlagen) 1.1 Einführung 1.2 Definitionen 1.3 Darstellungsmethoden 1.4 Ein Beispiel aus dem Aktienmarkt & weitere Anwendungen 1.5 Funktionen & EXCEL 1.6 Funktionen & GeoGebra 1.7 Das Auffinden von Nullstellen 1.8 Mengentheoretische Betrachtungen im & am Graphen 2 Affine Funktionen 2.1 Einführung - ein Leitprogramm 2.2 Die gegenseitige Lage affiner Funktionen 2.3 Abstandsbestimmungen 2.4 Wer kann s erklären? 3 Quadratische Funktionen 3.1 Repetition 3.2 Der Graph einer quadratischen Funktion 3.3 Mini-Maxi-Satz & Anwednungen 3.4 Symmetrieeigenschaften 3.5 Die quadratische Funktion und ihre Nullstellen 3.6 Eine Aufgabe 3.7 Kubische Gleichungen/ Gleichungen dritter Ordnung 4 Potenz- & Exponentialfunktionen 4.1 Repetition: Die Algebraischen Grundlagen 4.2 Repetition: Der Graph einer quadratischen Funktion 4.3 Die Potenzfunktionen 4.4 Die Exponentialfunktionen & Logarithmusfunktionen 4.5 Die Umkehrfunktion - ein Unterrichtspuzzle 4.6 Wachstums- & Zerfallsprozesse... oder das ganze Kapitel als blended learning Einheit in einer Gruppen-SOL Umgebung. I
5 Folgen & Reihen 5.1 Darstellung von (Zahlen-) Folgen 5.2 Eigenschaften von Folgen 5.3 Konvergenz & Divergenz 5.4 Die unendliche geometrische Reihe 5.5 Anwendungen 5.6 Finanzmathematik 5.7 Die Euler sche Zahl II
Inhaltsverzeichnis 6 Rationale Funktionen 1 6.1 Grundbegriffe & Definitionen.................... 1 6.2 Der Fundamentalsatz der Algebra.................. 4 6.3 Rationale Funktionen........................ 6 6.4 Das Verhalten am Rand des Definitionsbereichs.......... 7 6.5 Das Verhalten für x ±..................... 13 6.6 Ein Puzzle............................... 19 6.6.1 Meine Erkenntnisse aus dem Puzzle............ 21 6.7 Eine Aufgabenserie über (fast) alles Bisherige........... 22 6.8 Meine Zusammenfassung....................... 23 III
6 Rationale Funktionen Nach der Einführung einiger Grundbegriffe werden wir (ohne Beweis) den Fundamentalsatz der Algebra kennen lernen und seinen Einfluss auf die Anzahl und Vielfachheit der Nullstellen einer Polynomfunktion diskutieren. Der Schwerpunkt in diesem Kapitel bilden die sogenannten (gebrochen-) rationalen Funktionen. Wir werden ihr Verhalten auf dem Rande ihres Definitionsbereiches und ihr Verhalten für x ± untersuchen. Die notwendigen Grundlagen werden kurz und schnell einführen, damit ihr in einem Unterrichtspuzzle die neuen (und auch alte) Begriffe Umsetzen und zur Anwendungen bringen könnt. Wir werden dieses Kapitel auch zu einer ausgedehnten Repetition aller bisherigen Kapitel der Analysis verwenden, um im nächsten Semester auf einer soliden Basis in die Differentialrechnung einsteigen zu können. 6.1 Grundbegriffe & Definitionen Def.: Eine Funktion f : R R heisst eine Polynomfunktion n-ten Grades (in x) : f ist von der Form f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 +... a n x n mit a i R, i N 0 und a n 0, n N 0 1
Wir haben bereits drei Spezialfälle mit einigen ihrer Eigenschaften kennengelernt:... Aufg.: Stelle die Eigenschaften zusammen... und erstelle eine graphische Darstellung mit Mathematica, unter Verwendung von Schiebereglern... Aufg.: Stelle die Eigenschaften zusammen... und erstelle eine graphische Darstellung mit Mathematica, unter Verwendung von Schiebereglern... Aufg.: Stelle die Eigenschaften zusammen... und erstelle eine graphische Darstellung mit Mathematica, unter Verwendung eines Schiebereglers 2
Aufgaben : Repetiere die folgenden Begriffe: 1. Definitions- & Wertebereich 2. Nullstellen 3. Minimum & Maximum 4. Beschränktheit 5. Monotonieverhalten 6. Argumente & Funktionswerte 3
6.2 Der Fundamentalsatz der Algebra Satz: (Der Fundamentalsatz der Algebra) Jede Polynonfunktion n-ten Grades hat höchstens n Nullstellen (n N). Beispiel 6.2.1 f(x) = x 3 (x 2)(x + 3) 2 ist eine Polynomfunktion... -ten Grades, hat die Nullstellen... wobei... g(x) = x 2 + x + 1 ist eine Polynomfunktion... -ten Grades, hat... Nullstellen denn... Einige Bemerkungen: Wir finden die Nullstellen und die Vielfachheit der Nullstellen in dem wir die Funktionsgleichung der Polynomfunktion... Beispiel 6.2.2 Bestimme von der folgenden Funktion die Nullstellen und ihre Vielfachheit: f(x) = x 6 + x 5 5x 4 + 3x 3 4
Wir können den Fundamentalsatz der Algebra auch auf Gleichungen anwenden und wie folgt formulieren: Aufgaben : Bestimme die Lösungen mit zugehörigen Vielfachheiten für die folgende Gleichung: 9x 2 = x 3 + 15x + 25 und überprüfe den Einfluss der algebraischen Vielfachheit auf die NS der zugehörigen Funktionsgleichung. 5
6.3 Rationale Funktionen Def.: Eine Funktion f : R R heisst eine rationale Funktion : f ist von der Form f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 +... a n x n b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + b 3 x 3 +... b m x m mit a i, b j R, i, j N 0 und a n, b m 0 Bemerkungen: Eine rationale Funktion wird auch durch die Schreibweise f(x) = p(x) q(x) dargestellt, wobei p(x) und q(x)... Die rationalen Funktionen werden weiter unterteilt in ganzrationale Funktionen, wenn das Nennerpolynom konstant ist, Bsp.: gebrochen-rationale Funktionen, wenn der Nenner ein Polynom von mindestens ersten Grades ist. Bsp.: Ueber die Anzahl Nullstellen einer rationalen Funktion lässt sich folgendes aussagen: Mathematisch interessant ist nun das Verhalten einer rationalen Funktion in der beliebigen Nähe von Stellen, an welchen sie nicht definiert ist und für x ±. Dieses Verhalten werden wird an den folgenden konkreten Beispielen untersuchen, wofür ihr zur Vorbereitung die zugehörigen Graphen skizzieren sollt: 6
6.4 Das Verhalten am Rand des Definitionsbereichs Für den Definitionsbereich D(f)einer rationalen Funktion f(x) = p(x) q(x) gilt: D(f) =... Skizziere die Graphen der folgenden Funktionen: f(x) = 1 x 1 7
1 g(x) = (x + 2) 2 8
h(x) = x 1 x 2 1 9
k(x) = x2 1 (x + 1) 2 10
Zusammenfassung: 11
Aufgaben : Formuliere die Funktionsgleichung einer gebrochenrationalen Funktion 1. mit einer Nullstelle und einem Pol, 2. mit keiner Nullstelle, einem Pol und einer Definitionslücke, 3. mit zwei Nullstellen, einem Pol ohne VZW und einer Definitionslücke und skizziere die zugehörigen Graphen. 12
6.5 Das Verhalten für x ± Skizziere die Graphen der folgenden Funktionen: (Überprüfe vor dem Skizzieren auf NS, Pole & Definitionslücken.) m(x) = x x 2 1 13
n(x) = 3x 2x 4 14
p(x) = 2x2 + x 2x 1 15
q(x) = x3 + 2x 2 4x 8 x 4 8x 2 + 16 16
Zusammenfassung: 17
Aufgaben : Formuliere die Funktionsgleichung einer gebrochenrationalen Funktion 1. mit keiner Nullstelle und einer horizontalen Asymptoten, 2. mit einem Pol und einer Asymptoten 2. Grades, 3. mit genau einer Nullstelle, zwei Polen und einer schiefen Asymptote. und skizziere die zugehörigen Graphen. 18
6.6 Ein Puzzle Wir werden hier die Arbeitsweise für ein Puzzle besprechen, welche ihr in anwenden werdet. Analysis-Aufgaben: Rationale Funktionen 1 Aufgeteilt in vier Gruppen sollt ihr in einer ersten Runde, der Aktivierungsrunde, die Theorie zum Thema rationale Funktionen im Hinblick auf eure Themenzuteilung durcharbeiten. Als Ziel gilt es, die notwendigen Kenntnisse für eine vertiefte Diskussion in eurem Teilgebiet zu schaffen. Die Teilgebiete sind: 1. Extremalstellen, Schranken & Nullstellen 2. Graphische Darstellung 3. Pole 4. Asymptoten In der zweiten Runde, der Expertenrunde, sollt ihr durch intensives Auseinandersetzen mit den zu eurem Teilgebiet gehörenden Aufgaben euer Wissen vertiefen und festigen. Am Ende dieser Runde muss jede Gruppe eine eigene Aufgabe zu ihrem Gebiet formulieren und jedes Mitglied in der Lage sein, alle Aufgaben aus seiner Gruppe erklären zu können. In der letzten Runde, der Unterrichtsrunde, werden die Gruppen neu so gebildet, dass aus jeder Expertengruppe mindestens ein Vertreter/eine Vertreterin anwesend ist. In dieser Runde werden die Mitglieder von den andern Experten über diejenigen Themen instruiert, die er oder sie selber nicht vertieft untersucht haben.... und am Schluss erhaltet ihr eine weitere Aufgabenserie mit euren Aufgaben, deren Lösungen ihr selber zu organisieren habt. 19
Einteilungen & Termine: Aktivierungs- & Expertenrunde Termine: Gruppeneinteilung: 1. Gruppe 2. Gruppe 3. Gruppe 4. Gruppe............................................................ Themenzuordnung: 1. Gruppe:... 2. Gruppe... 3. Gruppe:... 4. Gruppe:... Unterrichtsrunde Termine: Gruppeneinteilung: 1. Gruppe 2. Gruppe 3. Gruppe 4. Gruppe............................................................ 20
6.6.1 Meine Erkenntnisse aus dem Puzzle 21
6.7 Eine Aufgabenserie über (fast) alles Bisherige Die folgende Aufagenserie ist sehr umfangreich und befasst sich mit allen bisher behandelten Themen aus dem Bereich der Analysis: Analysis-Aufgaben: Rationale Funktionen 2 Es wird dringend empfohlen sich intensiv mit dieser Aufgabenserie zu befassen. Im nächsten Kapitel Differentialrechnung werden gefestigte und grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Funktionen vorausgesetzt. (Zugehörige Lösungen) 22
6.8 Meine Zusammenfassung 23