V01A3: Version 1 vom Mittwoch,

V01A3: Version 1 vom Mittwoch, 16.10.02 10 Inhaltsverzeichnis 1 Maße und Integrale in naiver Betrachtung 11 1.1 Einleitung.................................... 11 1.2 Maße in Euklidischen Räumen......................... 12 1.3 Parallelotope.................................. 12 1.4 Kegel....................................... 15 1.5 Maße bei Rotationskörpern........................... 16

V01A3: Version 1 vom Mittwoch, 16.10.02 11 Info1 in V01A3 1 Maße und Integrale in naiver Betrachtung 1.1 Einleitung Das erste Kapitel dieser Vorlesung ist als Motivation zu sehen. Das Thema Maße und Integrale dürfte den Zuhörern dieser Vorlesung 1 (resp. den Lesern dieses Skriptes) nicht völlig unbekannt sein. Wir erinneren hier an einige, sicherlich wohlbekannte Fakten und entwickeln daraus neue. Es geht zunächst um eine Sammlung von Informationen ohne tiefere Begründung zum Thema Maße und Integrale. Maße sind aus der Praxis bekannt als Längen von Kurven, Flächeninhalte von Oberflächen, Volumina von Körpern. Auch das Zählen von Punkten gehört zum Messen. Ebenso das Auszählen von Ereignissen in Statistiken. Maße und Dimension sind eng miteinander verbunden. In jeder Dimension hat man Maße. Kurven gehören zur Dimension 1, Flächen zur Dimension 2, Volumina von Körpern zur Dimesnion 3, Zählen von Punkten zur Dimension 0. Geräte zum Messen von Längen sind Metermaße, Zirkel, Winkelmaße, Fäden, die an Kurven angepaßt werden, Für Flächen verwendt man Farbe, um sie zu bestreichen, Schere und Papier, um Modelle zu zerschneiden und abzuwickeln. Für Rauminhalte nimmt man Flüssigkeiten, um Körper zu füllen oder zum Verdrängen von Volumen (Auftrieb bei Archimedes), Balkenwaagen zum Vergleichen. Gemessen werden nicht nur Rauminhalte, sondern auch Masseninhalte. Die Meßgeräte der Praxis sind technische, nichtmathematische Instrumente. In fast allen Wissenschaften wird heutzutage gemessen und gezählt. Allen voran ist hier die Physik, die raffinierte Präzisionsgeräte entwickelt hat. Gegenstände, die Mathematiker messen, sind Mengen und Teilmengen von anderen Mengen. i.d.r. von IR, IR 2, IR 3,... Das Messen geschieht i.d.r. mit reellwertigen Funktionen. Auch Funktionen selbst kann man messen. Gewisse Maße für Funktionen nennt man Integrale. Wir stellen uns jetzt einige Fragen. Was sind bekannte Resultate? Was erwartet man an Ergebnissen? Kann man schon im Vorfeld einfache Zusammenhänge sehen? Es ist klar, daß Mathmatiker letztendlich exakte Definitionen, Sätze und Beweise sehen möchten. Das ist für Praktiker und Anwender häufig ein Schritt zurück, der schwer zu rechtfertigen ist, es sei denn, es besteht ein Interesse an mathematischen Philosophien. 1 Werner End: Vorlesung Analysis III, Heidelberg WS02/03

V01A3: Version 1 vom Mittwoch, 16.10.02 12 Partop in V01A3 1.2 Maße in Euklidischen Räumen Wir betrachten die Euklidische Räume IR N mit ihren Teilmengen. Bekanntlich hat man zu jedem k = 0, 1, 2,... ein Maß µ k, mit denen sich gewisse Teilmengen X IR N (nicht alle) messen lassen. Das k dimensionale Maß µ k (X) von X ist dabei eine reelle Zahl 0 oder (Unendlich). Es handelt sich im Folgenden immer um das naheliegende Maß, also um das Standard Maß solcher Teilmengen. Für niedrige Dimensionen hat man die üblichen Namen: µ 1 (X) heißt Länge von X, falls X eine Kurve ist, µ 2 (X) heißt der Flächeninhalt von X, falls X eine Fläche ist. µ 3 (X) nennt man das Volumen, den Rauminhalt von X, etwa bei Körpern im Raum. (Mit Körpern bezeichnet man hierbei gewisse Gegenstände, also mathematisch gesehen sind das lediglich Teilmengen eines Raumes.) Man hat, wie bereits oben behauptet, auch analog gebildete höherdimensionale Volumina µ k (X) etwa µ 4 (X) u.s.w.. B. 1 Endliche Punktmengen Wenn X := {p 1,..., p r } IR N aus r paarweisen verschiedenen Punkte besteht, so ist µ 0 (X) = r und µ k (X) = 0 für alle k = 1, 2,... B. 2 Quader, Rechtecke und Intervalle Wenn Q := I 1 I N ein k dimensionaler Quader ist, I j = [a j, b j ] IR mit a j < b j für j = 1,.., k und a j = b j für j = k + 1,.., N, so ist µ k (Q) = (b 1 a 1 )... (b k a k ). Es ist µ n (Q) = 0 für n > k und µ n (Q) = für n < k. Speziell für ein zu einem Intervall ausgeartetem Rechteck Q = I 1 I 2 im IR 2, mit a 1 < b 1 und a 2 = b 2, ist µ 2 (Q) = 0, µ 1 (Q) = b 1 a 1 und µ 0 (Q) =. 1.3 Parallelotope Es sei v 1,..., v k IR N. Das von v 1,..., v k aufgespannte Parallelotop ist die Teilmenge P (v 1,..., v k ) := {t 1 v 1 + t k v k 0 t 1,..., t k 1} IR N. In den folgenden Beispielen möchten wir Standardmaße solcher Parallelotope angeben. Es handelt sich dabei (fast) um Verabredung (Axiome) bei dem Standardmaß. Ich sage hier fast Axiome, weil man sie auch aus elementareren Annahmen folgern kann. Das wollen wir hier nicht so weitgehend analysieren. Es würde andererseits sehr verwundern, wenn solche Formeln nicht gelten würden. Das wäre dann Nicht Standard.

V01A3: Version 1 vom Mittwoch, 16.10.02 13 B. 3 Parallelotope P (v 1,..., v N ) IR N Wenn k = N, dann ist µ N (P (v 1,..., v N )) = det(v 1,..., v N ). B. 4 Parallelotope P (v 1, v 2 ) IR N Wir betrachten den Spezialfall k = 2 und P (v 1, v 2 ) IR N, 2 N. Man richte v 2 auf zu einem Vektor w 2, der senkrecht ist zu v 1, so daß w 2 die Höhe des Parallelogramms v 1, v 2 ist. P (v 1, v 2 ) wird in ein flächengleiches Rechteck P (v 1, w 2 ) verwandelt. Bild 1 w 2 = v 2 + λv 1 v 2 v 1 + v 2 0 v 1 =: w 1 Zu Bild 1 : Das Parallelogramm P (v 1, v 2 ) wird durch eine Scherung in ein flächengleiches Rechteck P (w 1, w 2 ) verwandelt. Ansatz: w 2 = v 2 + λv 1. Die Bedingung ist: w 2 möge senkrecht auf v 1 sein: 0 = v 1, w 2 = v 1, v 2 + λ w 2 = v 1, v 2 + λ v 1, v 1, λ v 1, v 1 = v 1, v 2 Hieraus ergibt sich λ sofern v 1 0. Wir berechnen das Quadrat µ 2 (P (v 1, v 2 )) = µ 2 (P (v 1, w 2 )) = v 1 w 2 µ 2 (P (v 1, v 2 )) 2 = v 1 2 w 2 2 = v 1 2 ( v 2 2 + 2λ v 1, v 2 + λ 2 v 1 2 ) = v 1 2 v 2 2 + 2λ v 1 2 v 1, v 2 + λ 2 v 1 4 = v 1 2 v 2 2 2 v 1, v 2 v 1, v 2 + v 1, v 2 2 = v 1 2 v 2 2 v 1, v 2 2 v = 1, v 1 v 1, v 2 v 2, v 1 v 2, v 2 B. 5 Parallelotope P (v 1, v 2,..., v k ) IR N Das vorhergehende Beispiel motiviert folgende Formel, die wir hier als Definition nehemen: v 1, v 1 v 1, v k µ k (P (v 1, v 2,..., v k )) 2 =..... = det( v i, v j ) i,j=1,...,k v k, v 1 v k, v k

V01A3: Version 1 vom Mittwoch, 16.10.02 14 µ k (P (v 1, v 2,..., v k )) = det( v i, v j ) i,j=1,...,k. Bemerkung. vgl. hierzu Übmgsaufgabe 2, von Blatt 5, vom Mittwoch, 13.11.02. Diese Formel steht in engem Zusammenhang mit dem Gram Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren, bei dem linear unabhängige Vektoren v 1,..., v k ersetzt werden durch paarweise zueinander orthogonale w 1,..., w k, wodurch aus dem Parallelotop P (v 1,..., v k ) ein volumengleicher Quader P (w 1,..., w k ) entsteht. Dadurch wird die obige Formel für µ k motiviert oder sogar begründet. Man macht den Ansatz w j = v j + v j 1 c j 1j + + v 1 c 1,j mit unbestimmten Koeffizienten c rs die man rekursiv aus w j, v l = 0 für l = 1,..., j 1 berechnen kann. Geometrisch handelt es sich dabei um Scherungen, die Volumina unverändert lassen. Dadurch entsteht aus einem Paralleotop ein inhaltsgleicher Quader. µ k (P (v 1, v 2,..., v k )) = µ k (P (w 1, w 2,..., w k )) = w 1... w k. Die Längen w 2,..., w n sind Höhen in geeigneten Parllelotopen. Es ist einfach, von dem Produkt der w j (besser von dem Produkt der Quadrate w j 2 ) zu der Formel mit der Determinante zu gelangen. Hierzu gibt es auf Blatt 05 die Aufgabe 2 2. (6P) Zu jeder Folge v 1,..., v n V von linear unabhängigen Vektoren in einem reellen Vektorraum V mit einem Skalarprodukt gehört ein Orthogonalsystem w 1,..., w n V, so daß w j = v j +v j 1 λ j 1j +...+v 1 λ 1j, wobei λ kj IR. Man zeige: (a) Die w j sind eindeutig bestimmt und können nach folgenden Formeln berechnet werden: v 1, v 1 v 1, v j v 1, v 1 v 1, v j 1 v 1.. G 0 := 1, G j :=..... v j, v 1 v j, v j, w j := 1 G j 1 (b) Zeige w j 2 = w j, v j = G j /G j 1 und berechne damit w 1 w 2 w n. (c) Was bedeutet (v 1,..., v n ) (w 1,..., w n ) geometrisch? Welche Bedeutung erhält dabei das Produkt w 1 w 2 w n?.......... v j, v 1 v j, v j 1 v j Volumen und Matrixprodukte Nun noch eine Umformulierung mit Hilfe des Matrixproduktes. Es sei V = (v 1,..., v k ) IR N IR N die N k Matrix, deren Koeffizienten die Spaltenvektoren v 1,..., v k sind. Die tranponierte Matrix V T = V T V ist die k k Matrix mit Koeffizienten v T i v j = v i, v j. v T 1. v T k µ k (P (v 1,, v k )) 2 = det(v T i v j ) = det hat die Zeilenvektoren vt 1,..., v T n. Das Produkt ( v T 1. v T k ) (v 1,..., v k ) = det(v T V ).

V01A3: Version 1 vom Mittwoch, 16.10.02 15 Im Spezialfall k = N sind V und V T quadratische Matrizen und sie besitzen eine Determinante. Es gilt ferner det V T = det V. Das liefert µ k (P (v 1,, v N )) 2 = det(v T V ) = det V T det V = (det V ) 2, woraus sich µ k (P (v 1,, v N )) = det V ergibt, wie auch zu erwarten war. 1.4 Kegel Wir betrachten im IR n+1 ein Analogon zu einen Kegel mit Grundfläche M und Höhe h > 0. (Ich spreche auch in höheren Dimensionen von Grundfläche, weil mir kein passender Name einfällt.) Wir starten mit einer Teilmenge M IR n und denken uns M als M {h} in dem affinen Teilraum IR n {h} und verbinden diesen mit dem Nullpunkt durch Strecken. So entsteht der Kegel in IR n IR. In der Höhe t ergibt sich dabei die Menge t h M {t}. Den Kegel mit Spitze 0 über M {h} ist die Menge C h (M) := t [0,h] ( ) t t h M {t} = { h x, t x M, t [0, h]}. Bild 2 V = µ n ( t h M) t IR M {h} t M {t} h IR n {h} 0 IR n t h t + t t Zu Bild 2 : Der Kegel C h (M) in IR n IR B. 6 Wir intressieren uns für das Volumen µ n+1 (C h (M)). In der Schicht [t, t+ t] hat man in etwa (approximativ) ein (n+1) dimensionales Volumen V = µ n ( t M) t. h Man hat nun [0, h] geeignet zu unterteilen und solche Volumina aufzusummieren. So gelangt man bei immer feiner werdenden Unterteilungen zu der Formel µ n+1 (C h (M)) = h 0 µ n ( t h M)dt.

V01A3: Version 1 vom Mittwoch, 16.10.02 16 Was erwartet man von µ n? Es sollte die Formel µ n (rm) = r n µ(m) gelten. Das wollen wir hier verwenden. h µ n+1 (C h (M)) = µ n ( t h ( ) t nµn 0 h M)dt = (M)dt 0 h = µ n(m) h = t n dt = µ n(m) hn+1 h n 0 h n n + 1. Ergebnis: µ n+1 (C h (M)) = 1 n + 1 µ n(m)h. Das verallgmeinert das Resultat: Der Rauminhalt eines Kegels im IR 3 ist Ein Drittel Grundfläche mal Höhe µ 3(C h (M)) = 1 3 µ n(m)h. RotK in V01A3 1.5 Maße bei Rotationskörpern Es sei f(x) 0 eine stetige Funktion mit dem Intervall [a, b] als Definitionsbereich. Rotiert die Fläche zwischen der Funktion f(x) und der x Achse um die x Achse als Rotationsachse, so entsteht im Raum der Rotationskörper R f IR 3. R f : = {(x, y, z) IR 3 y 2 + z 2 f(x) 2, a x b} = {(x, r cos θ, r sin θ) 0 r f(x), θ IR, a x b}. Der Rotationskörper hat eine Oberfläche (R f ), die aus Mantelfläche Mantel (R f ) und zwei Kreisscheiben, Grund und Deckfläche, D a und D b besteht. (R f ) = Mantel (R f ) D a D b, Mantel R f : = {(x, y, z) IR 3 y 2 + z 2 = f(x) 2, a x b} = {(x, f(x) cos θ, f(x) sin θ) θ IR, a x b}.

V01A3: Version 1 vom Mittwoch, 16.10.02 17 y x x z Bild 3 : Rotationskörper erzeugt von f(x) im IR 3 x Achse waagerecht nach rechts, z Achse nach links, unten, 135 o gegen die positive x Achse, y Achse nach oben. Die Kreisscheibe D x senkrecht zur x Achse mit Mittelpunkt (x, 0, 0) vom Radius f(x). Im Bild erscheint D x als Ellipse. Ein Punkt (x, y, z) der Mantelfläche hat den Abstand f(x) von der x Achse. Der Winkel θ ist der Winkel (x, 1, 0), (x, 0, 0), (x, y, z) mit Scheitel (x, 0, 0). Zu jedem x [a, b] schneidet die Ebene {x} IR 2 den Rotationskörper in einer Kreisscheibe D x vom Radius f(x). D x := {(x, y, z) y 2 + z 2 f(x) 2 } = R f ({x} IR 2 ). Es ist R f die Vereinigung aller solcher Kreisscheiben D x über alle x [a, b]. Das schreibt sich als R f = D x. x [a,b]

V01A3: Version 1 vom Mittwoch, 16.10.02 18 Das ist sogar eine disjunkte Vereinigung, denn für x x ist D x D x =. y (x,1,0) (x,y,z) θ {x} x IR 2. (x,0,0) x z Bild 4 : Es zeigt den Schnitt durch den Rotationskörper mit der Ebene {x} IR 2, Das ist die Kreisfläche D x in der Ebene {x} IR 2. y Achse nach oben, z Achse nach links unten, Der Mittelpunkt von D x ist (x, 0, 0) Gezeichnet ist ein Vektor vom Mittelpunkt zu einem Randpunkt (x, y, z) einem Punkt mit (y 2 + z 2 = f(x) 2 ). Ferner ist θ der Winkel dieses Vektors in D x zu der positiven y Achse in D x, also von (x, y, z) zu (x, 1, 0) mit Scheitel (x, 0, 0).

V01A3: Version 1 vom Mittwoch, 16.10.02 19 f(x) x V π f(x) 2 x Bild 5 : Ein Ausschnitt aus dem Rotationskörper zwischen x und x + x Dieser Teil ist approximativ ein Vollzylinder vom Radius f(x) und der Höhe x. Das ergibt einen infiniteimalen Volumenzuwachs V πf(x) 2 x Definition 1.1 Der Rauminhalt des Rotationskörpers ist: b b µ 3 (R f ) = π f(x) 2 dx = µ 2 (D x ) dx. a a Mantelflächeninhalt Es geht hier um den Flächeninhalt von Mantel R f. Bei Berechnungen von Mantelfächen müssen wir f als stetig und stückweise stetig differenzierbar voraussetzen. Ferner mögen alle im Folgenden hingeschriebenen Integrale existieren, evtl. lediglich als uneigentliche Riemannintegrale.

V01A3: Version 1 vom Mittwoch, 16.10.02 20 f(x) x y f(x+ x) Bild 6 :Zur Berechnung des Mantelinhaltes. Hier ersetzt nan den Ausschnitt zwischen [x, x + x] approximativ durch den Kegelstumpfmantel mit den Radien y = f(x) und y + y = f(x + x) und der Mantellinie (Fallinie) s = x 2 + y 2 = x 2 + y 2 x 2. Man hat y = f(x + x) f(x) y x und den Oberflächenzuwachs O = 2π 1 2 (f(x) + f(x + x)) s 2 πf(x) s 2πf(x) 1 + f 2 (x) x. In der Formel für den infinitesimalen Volumenzuwachs hat man auch f(x + x) durch f(x) ersetzt, alles geschieht approximativ;. Definition 1.2 Der Flächeninhalt der Mantelfläche eines Rotationskörpers ist: b µ 2 ( Mantel R f ) = 2π f(x) 1 + f 2 (x) dx. a Bemerkung. Wir werden später, dieses anschauliche Vorgehen zu rechtfertigen. Es ist dann tatsächlich µ 3 (R f ) das Standardvolumen resp. µ 2 ( Mantel R f ) der Standard Flächeninhalt, was man aus einer Theorie von Integralen und Maßen folgern kann. Würde es keine Übereinstimmung der naiv definierten (gefundenen) Inhalte mit einer Standard Theorie geben, so wäre die Theorie unbrauchbar. Das schließt nicht aus, daß es auch noch andere Maßtheorien gibt, die etwa für solche Rotionskörper andere Werte ergeben. Wir bemerken auch, daß bei Oberflächenberechnungen von krummen Flächen, naive geometrische Vorstellungen leicht zu Fehlern führen.

V01A3: Version 1 vom Mittwoch, 16.10.02 21 So darf man nicht infinitesimal den Zylindermantel nehmen. Das ergibt falsche Resultate. Aber ein infinitesimaler Kegelmantel ergibt das Rihtige, wie wir gesehen haben. Ebenso gibt es Approximationen an Flächen durch Dreiecke, die im Grenzwert zu einem falschen Flächeninhalt führen. (Schwarzscher Stiefel). Zu diesem (verrückten) Phänomen vgl. Seite 27 in Reckziegel, Helmut et al: Elementare Differentialgeometrie mit MAPLE, vieweg, 1998. Literatur in V01A3 Literatur: [F] Forster, Otto: Analysis 3, vieweg, 1983. [B] Bass, J.: Cours de Mathématiques, tome III, Masson et C ie, 1971. [V] Vieweg Mathematik Lexikon, Braunschweig, 1981. [L] Loomis, Lynn, H.: An Introduction to Abstract Harmonic Analysis, van Nostrand, 1953. [D] Dieudonné, J.: Grundzüge der modernen Analysis, Band 2, Teubner. [B S] Bronstein-Semendjajew.: Taschenbuch der Mathematik, Harry Deutsch Verlag, Frankfurt, 2000. [B S] Spivak, M: Calculus on Manifolds. Benjamin, 1965. [O] Ostrowski, A: Vorlesungen zur Differential und Integralrechnung I,II,III, Birkhäuser, Basel, 1954. [M K] Mangoldt Knopp: