Integralrechnung - Rotationskörper

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1 F H Z > F A C H H O C H S C H U L E Z E N T R A L S C H W E I Z H T A > H O C H S C H U L E F Ü R T E C H N I K + A R C H I T E K T U R L U Z E R N A b t e i l u n g I n f o r m a t i k Integralrechnung - Rotationskörper Prof. Dr. Josef F. Bürgler Semesterwoche 14 Alle Aufgaben sind zusammen mit dem Lösungweg in möglichst einfacher Form darzustellen. Numerische Resultate sind mit einer Genauigkeit von 4 Stellen anzugeben. Skizzen müssen qualitativ und quantitativ richtig sein. Kontrollieren Sie also ihre Ergebnisse mit Hilfe von Maple und durch gegenseitige Kontrolle. 1 Volumen von Rotationskörpern Wir rotieren den Graphen G(f) einer anständigen Funktion f : [a, b] R, x y = f(x). um die x-achse. Dadurch ensteht ein Rotationskörper dessen Volumen wir nun berechnen wollen. Dazu gehen wir wie folgt vor: 1. Der Rotationskörper wird in Kreisscheiben der Dicke dx geschnitten. Das Volumen dv einer solchen Kreisscheibe (mit dem Radius f(x) an der Stelle x ist gegeben durch dv = πf 2 (x) dx. 2. Wir summieren die Volumina aller Kreisscheiben, sprich wir integrieren über x und zwar von a bis b V = π b a f 2 (x) dx. (1) 1

2 1 Volumen von Rotationskörpern 1.1 Volumen der Kugel Man berechne das Volumen einer Kugel mit Radius R. Lösung: Wir berechnen das Volumen einer Einheitskugel und multiplizieren dieses Resultat mit R 3 um das Volumen einer Kugel mit Radius R zu erhalten. Zudem können wir aus Symmetriegründen zwei Mal das Volumen einer Halbkugel nehmen. Falls wir den Graphen der Funktion f : [, 1] [, 1], x y = 2 um die x-achse rotieren lassen, entsteht die eine Hälfte der Einheitskugel. Dann hat man für das Volumen der Einheitskugel nach (1) V = 2π = 2π ( ) 2 2 dx, ( 2 ) dx, 2

3 1 Volumen von Rotationskörpern ] 1 = 2π [x x3 3 ( = 2π 1 1 ), 3 = 4 3 π., Das Volumen einer Kugel mit Radius R ist also wie in jedem Formelbuch ersichtlich V = 4π 3 R Volumen der Kugelkappe Einer Kugel vom Radius R wird eine Kappe der Höhe h ( h 2R) weggeschnitten. Wie gross ist das Volumen dieser Kugelkappe der Höhe h? Lösung: Tipp: sie müssen in der vorigen Rechnung lediglich die Integrationsgrenzen anpassen! 1.3 Volumen eines Zylinders Berechnen sie mit der oben gezeigten Methode das Volumen eines Zylinders der Höhe h und dem Radius R. Sie können dann das Resultat mit der Formel kontrollieren, die sie bis jetzt verwendet haben. Lösung: Tipp 1: legen sie das Koordinatensystem so, dass die x-achse entlang der Symmetrieachse des Zylinders zeigt. Zudem soll für die Grundfläche des Zylinders x = und für die Deckfläche x = h gelten. Tipp 2: Wie lautet nun die Funktion f, deren Graph G(f), wenn er um die x-achse rotiert wird, gerade die Zylinderoberfläche ergibt? 1.4 Volumen eines Kegels Berechnen sie mit der oben gezeigten Methode das Volumen eines Kegels der Höhe h und dem Radius des Grundkreises R. Sie können dann das erhaltene Resultat mit der Formel kontrollieren, die sie bis jetzt verwendet haben. Lösung: Tipp 1: legen sie das Koordinatensystem so, dass die x-achse entlang der Symmetrieachse des Kegels zeigt. Zudem soll für die Grundfläche des Kegels x = und für die Spitze des Kegels x = h gelten. Tipp 2: Wie lautet nun die Funktion f, deren Graph G(f), wenn er um die x-achse rotiert wird, gerade die Kegeloberfläche ergibt? 3

4 2 Nochmals: Volumen von Rotationskörpern 2 Nochmals: Volumen von Rotationskörpern Oben wurde der Graph der betroffenen Funktion um die x-achse rotiert. Nun soll der Graph G(f) der Funktion f : [a, b] R, x y = f(x). um die y-achse rotiert werden. Dadurch entsteht wiederum ein Rotationskörper, dessen Volumen wir nun berechnen wollen. Dazu gehen wir wie folgt vor: 1. Der Rotationskörper wird in Hohlzylinder der Dicke dx und der Höhe f(x) geschnitten. Das Volumen dv eines solchen Hohlzylinders (mit dem Radius x) ist gegeben durch dv = 2πxf(x) dx. 2. Wir summieren die Volumina aller Hohlzylinder, sprich wir integrieren über x und zwar von a bis b V = 2π b a xf(x) dx. (2) 4

5 2.1 Volumen der Kugel 3 Mantelfläche von Rotationskörpern Man berechne das Volumen einer Kugel mit Radius R. Lösung: Wir berechnen das Volumen einer Einheitskugel und multiplizieren dieses Resultat mit R 3 um das Volumen einer Kugel mit Radius R zu erhalten. Zudem können wir aus Symmetriegründen zwei Mal das Volumen einer Halbkugel nehmen. Falls wir den Graphen der Funktion f : [, 1] [, 1], x y = 2 um die y-achse rotieren lassen, entsteht die eine Hälfte der Einheitskugel. Dann hat man für das Volumen der Einheitskugel nach (2) V = 4π = 4 3 π. x 2 dx, Dabei haben wir aus lauter Bewequemlichkeit Maple verwendet! Das Volumen einer Kugel mit Radius R ist also wie in jedem Formelbuch ersichtlich V = 4π 3 R Formelbuch Suchen sie die entsprechenden Formeln z.b. im Stöcker (Formelbuch) und machen sie sich mit der Schreibweise und der Verwendung bekannt. 3 Mantelfläche von Rotationskörpern Wir rotieren den Graphen G(f) einer anständigen Funktion f : [a, b] R, x y = f(x). um die x-achse. Dadurch ensteht ein Rotationskörper dessen Mantelfläche wir nun berechnen wollen. Dazu gehen wir wie folgt vor: 1. Der Rotationskörper wird in Kegelstümpfe der Dicke dx geschnitten. 2. Die Mantelfläche eines solchen Kegelstumpfes soll nun berechnet werden. da = 2πf(x) 1 + [f (x)] 2 dx. 5

6 3 Mantelfläche von Rotationskörpern 3. Wir summieren die Mantelflächen aller Kegelstümpfe, sprich wir integrieren über x und zwar von a bis b b A = 2π f(x) 1 + [f (x)] 2 dx. (3) a 3.1 Oberfläche der Kugel Man berechne die Oberfläche einer Kugel mit Radius R. Lösung: Wir berechnen die Oberfläche einer Einheitskugel und multiplizieren dieses Resultat mit R 2 um die Oberfläche einer Kugel mit Radius R zu erhalten. Zudem können wir aus Symmetriegründen zwei Mal die Oberfläche einer Halbkugel nehmen. Falls wir den Graphen der Funktion f : [, 1] [, 1], x y = 2 um die x-achse rotieren lassen, entsteht die eine Hälfte der Einheitskugel. 6

7 4 Das Paradoxon der unendlichen Posaune Dann hat man für die Oberfläche der Einheitskugel nach (3) wegen [ ] 2 [f (x)] 2 2x = 2 = x2 2 2 sofort A = 4π = 4π = 4π = 4π x2 dx, dx, 1 dx, Die Oberfläche einer Kugel mit Radius R ist also wie in jedem Formelbuch ersichtlich A = 4πR Mantelfläche einer Kugelkappe der Höhe h Berechnen sie mit der oben gezeigten Methode die Mantelfläche einer Kugelkappe der Höhe h wenn die Kugel den Radius R hat. Kontrollieren sie das Resultat für die Spezialfälle h = 2R, h = R und h =. Vergleichen sie ihr Resultat auch mit der Formel in einem Formelbuch (z.b. Stöcker). 3.3 Mantelfläche eines Kegels Berechnen sie mit der oben gezeigten Methode die Mantelfläche eines Kegels der Höhe h und dem Radius des Grundkreises R. Sie können dann das erhaltene Resultat mit der Formel kontrollieren, die sie bis jetzt verwendet haben. Lösung: Tipp 1: legen sie das Koordinatensystem so, dass die x-achse entlang der Symmetrieachse des Kegels zeigt. Zudem soll für die Grundfläche des Kegels x = und für die Spitze des Kegels x = h gelten. Tipp 2: Wie lautet nun die Funktion f, deren Graph G(f), wenn er um die x-achse rotiert wird, gerade die Kegeloberfläche ergibt? 4 Das Paradoxon der unendlichen Posaune Lässt man den Graphen der Funktion f : [1, ] R, x f(x) = 1 x 7

8 4 Das Paradoxon der unendlichen Posaune um die x-achse rotieren, entsteht eine unendliche Posaune. Man berechne deren Volumen sowie deren Querschnitts- und Mantelfläche. Es wird sich heraus stellen, dass das Volumen endlich ist. Dagegen sind die Querschnitts- wie auch die Mantelfläche unendlich. Es bräuchte also unendlich viel Gold- oder Silberfarbe, um die Posaune innen zu belegen. Nun hat Hans folgende Idee: er füllt die Posaune mit Gold- oder Silberfarbe und leert die Farbe danach wieder in den Kübel zurück. Dadurch hat er die Posaune innen mit endlich viel Farbe bestrichen. Dies scheint aber im Widerspruch zur oben gemachten Aussage zu stehen! Welche Erklärung haben sie für diesen Widerspruch? Viel Vergnügen beim Durcharbeiten! 8